均值的推导：
方差的推导：
这之后，通过分部积分法和利用高斯积分，可以求得积分的值为1(所以方差为 σ 2 \sigma ^2 σ2)，证明过程略，可手算几分钟试试。
另一个思路可参考，将指数积分转为error function，再求解。
另外，证明过程用到了积分基本定式 e x d x = d ( e x ) e^xdx=d(e^x) exdx=d(ex)，后者的证明参考，一种证明利用了" e x e^x ex的导数是本身"的事实，另一种利用了麦克劳林展开。
而如何证明" e x e^x ex的导数是本身"？看另一个博客。
关于麦克劳林公式，可参考。
参考里Assistant的答案。其中：
整个证明的存疑点在于需要利用一个已知事实，即如下公式：
如何证明该公式的值：
∫
−
∞
∞
x
2
e
−
x
2
2
d
x
=
1
\int_{-\infty}^{\infty} x^{2} e^{-\frac{x^{2}}{2}} dx=1
∫−∞∞x2e−2x2dx=1
需要用分部积分法，以及奇函数的特性，化到最后得到
∫
−
∞
∞
e
−
x
2
2
d
x
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{x^{2}}{2}} dx
∫−∞∞e−2x2dx, 而这个公式经过整理，最终可以与有联系建立联系，公式如下：
而当有 z → + ∞ z \to +\infty z→+∞时，误差函数又与高斯积分有联系。
什么是分部积分法？参考，其证明是从函数 ( u v ) ′ = u v ′ + v u ′ (uv)'=uv'+vu' (uv)′=uv′+vu′出发，从而证明的。
当 ∫ u d v ∫ u d v ∫udv求起来比较困难，但 u v u v uv和 ∫ v d u ∫ v d u ∫vdu比较好求时，可以用分部积分法来求解。
参考。
参考
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