吉19林工学院学报NO年第二期10JOURNALOFJILININSTITUTEOFTECHNOLOGY2Vo19(第卷)l10二阶微分方程的两点边值问题解的唯一性定理谢宜沉(基础科学系)摘要,。本文利用变分原理对二阶方程两汽边值问题解的唯一性定理给子了完备性的证明关镇词l;边值问题可浏函数固有值、、引言,本文的目的是给出一个充分条件它能够保证两点边值问题{l解的唯一性此处假设,““+u()y一f()axx(l)梦(一l)=梦(l)=b,u(劝和f(x)。分别是一个定义在,〔一1l〕上的非负有界可测函数和可测b函数而是给定的常数为了保证两点边值问题(l)的解的唯一性只需保证如下的两点边值问题a,}梦;,I(只有零解。十()歹=(一1)一0。x0,,(1)一。(2)而要保证两点边值问题(2)只有零解通常总是要求函数犷十匆~鲜(,()避开固有值问题xO,一1)一0犷(l)=0的每个固有值,人一(警,2,`2……即当收稿日期1987一12一21:一40一二()书怪或2(琴乙。:)(劝。x竺冬少乙〔<〕,,2一12<…~,,<)只有零解才能保证两点边值问题(2我们这里给出的充分条件与已有结果最显著的差异就是并不要求函数有值(婴)’J“(劝避开每个固。2,而只是要求’~、2定理102。~~对于每个大于。”z、一J’“兰丁一1。一(、)d二、于某个固定的正数劝,、。确切地说我们将证明如下的定理“姗”“’切,t二2/、~~~一~,~`~一~月卢一~的正数A(此处。是一个固定的自然数)都存在一个正数袱A),/,、’“J。”’厂“,当可测函数l(幻满足下列条件Z:0毛“(二)毛A;立丁,。(二)dx<,(A))的解是唯一的则间题(l。此外劝(A)一ZA以A),而氛A)是由方程tg古lA一古。(3)所确定的隐函数2。不难看出这个函数袱A)是A的递减函数定理的证明为了证明上述定理我们引进集合`环’,,一{(uxux)!()在〔一l,l〕上可测且0蕊。()镇x月,},,ux。x,一{()}()任U且使两点边值问题(2)有非零解}。。此处一~,’A>`一婴2,,一’是一个固定的自然数~’~~“J曰、、~“如果我们能够从集合w、中挑选出一个函数广l。A(二),使泛函(4),I。(u)=】。()d,xx在w。,上的在,。一u,处取得正的最小值叻(A)则两点边值问题(2)一定只有零解只要。。彭生,1“(二)d二<,(A)下面我们来做这样两件事1“:构造出使泛函,J。(。)在集合w、上达到正的最小值袱A)的函数。u以劝;02给出最小值抓A)的解析表达式(3)A显然集合w。非空的因为。,。ar2/〔wA。对于集合wA中的每个函数(xl,,(劝,两点边值问;2当然有非零解题()示之为了明显地表达出此非零解对函数}}夕}}梦(x}l。)的依赖关系我们用抓二。)表我们还可以要求这个非零解满足条件二二二:nlaX〔〔一:l;。)}=〕注意非零解,y(幻u)可用下面的公式给出;(一卜封11(`),(`)`,一)(,+`,“一41十干`又Jx梦气八一八十,(5)从这个公式可以推知1“y(二:;川是〔一1,1〕上的一次连续可微函数^;02几乎处处等于零的函数一定不在集合w中。定义y~{抓x)}抓)是一次连续可微函数:,}州}}。~,l},不难验证集合,Y)是两点边值问题()2的非零解当且仅当泛函中的一个函数到x,1(,;卜丁〔一、厂(。,1(;,2(,;2,d(6)等于零值。。由此可知,我们的问题就是在约束条件,y)=0之下来求泛函J。(。)在t人厂上的最小利用p(4)和(6)我们可定义,H(户;“梦)=妞(x)+户(,`2一扭()犷)~x2赵2(x)(l一理)+理`(7)其中是待定的参数,。文献【l]中的定理52A,告诉我们如果使得H(尸,;,:,,u,(x)和y,=y(x;u,)是最小值问题(4)一(6)的最小解则存在一个常数p犷,)mi任`n礴H(P,;u,梦,)7可以看出为使H从表达式()UX(犷p;uy,)在。、处取得最小值函数x,U,(劝应取下面形状:、`了当当1一户,犷三()妻0,一,x1一户,梦二()<0。因为。从二)不可能恒等于零所以集合{lxu,()=x,二A,,}三{11一:,xp,x夕三()<0}的测度一定大于零即P^>,1,即存在x且xl<二:使得蕊xxx之搜,(z)=|!曰八UCA..了一l
l是待定常数二、二:也是待定常数之、|se解上述三个方程得!lIee产sxA1o!、,二,一一(l一h(),:镇hh一二xZ,l`Z摊梦、了了产、一/厂(…不一l*)成(:1,(9)护不(l一*)COS(1十x),一1簇(一h,A人-寸百一由衔接条件可得tg雪lA一咨,Ah20<,(10)(“劝(A)=ZAZh一2月考(A)。<,二、2:(11)~其中右`(A)是方程(10),所确定的隐函数由“`,知“A,<晋,“`A,一’。〔“A,〕<0,当人~co时叔A)~O,又少(劝~2(考+。A拿)~2t古一乒9古)<烤一g20(12)即砂(A)是严格递减的。定理证毕此外,11m幼(A)=2(13)由(13)得到结论命题:对任何非负有界可,数“。二(,,只,:戴0。(二)试`,2,贝。两点边值问题不只有零解。尹+`工,`一“在`一`,内夕(一叹1)一0犷(1)=,参1考文:献,关肇直等编著极值控制与极大值原理北京科学出版社Un1980:171n一179iqun哪TheoePoblemofrrenforothoerSoedienluitronotrtehaB心ulraydtionsValues七ednDiffenetiqEuay“劝”X衍Y诬Tbe致”icCSAecpDeeaCtrtmentr加teTbeunquien.拐onsthroeemforossulutioningvtothtw小ontpiPrineobeundaryvalueProblemofsecondorderdffieernt诩equati5Pr1ovdebylriatioanailPKeywords:obun血ryvalueProblem;eahraeterstieiavlseu一43一
