切线长定理

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

切线长定理及其应用

二. 重点、难点：

重点：切线长定理以及应用

难点：切线长定理的题设、结论

三. 具体内容：

1. 切线长：经过圆外一点向圆引两条切线，在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长。

2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点的连线平分两切线的夹角。

【典型例题】

[例1] 如图，⊙O分别切△ABC三边AB、BC、CA于点D、E、F，若BC=a，CA=b，AB=c，（1）求AD、BE、CF的长；（2）若∠C=90°，求△ABC内切圆半径r。

解：（1）∵ ⊙O切△ABC三边AB、∴ AD=AF，BD=BE，CE=CF

∴

∵ BC=a，CA=b，AB=c

∴

同理

、CA于D、、F

BCE

（2）连结OE、OF

∵ ⊙O与AB、BC切于D、E ∴ OE⊥BC，OF⊥AC

∵ ∠C=90° ∴ 四边形OECF为矩形

又∵ OE=OF ∴ 四边形OECF为正方形

∴ OE=OF=CE=CF

由（1）知

∴ 内切圆半径

[例2] 如图，⊙O切△ABC的边BC于D，切AB、AC延长线于E、为18，求AE。

解：由已知得CF=CD，BD=BE，AE=AF

∴ AB+AC+BC=AB+AC+CD+BD

，△ABC的周长F

=AB+AC+CF+BE=AE+AF=2AE

∵ △ABC周长为18 ∴

[例3] 如图，在中，∠B=90°，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，

以D为圆心，DB为半径作⊙D，求证：（1）AC是⊙O切线；（2）AB+EB=AC。

证明：（1）作DF⊥AC于F

∵ AD平分∠BAC ∴ DB=DF

∴ AC切⊙D于F

（2）由（1）知，AC切⊙D于F

又∵ ∠B=90° ∴ AB切⊙D于B ∴ AB=AF

又在和中

∴

∴ CF=BE ∴ AC=AF+CF=AB+EB

[例4] 如图，CB、CD与⊙O切于B、D，AB为⊙O直径，⊙O半径为r。求证：AD//OC。

证明：连结OD

∵ CB、CD切⊙O于B、D

∴ OD⊥CD，OB⊥CB，∠1=∠2

∴ ∠3=∠4

∵ OA=OD ∴ ∠A=∠5

∵ ∠BOD=∠3+∠4=∠A+∠5

∴ 2∠3=2∠5 ∴ ∠3=∠5

∴ AD//OC

[例5] 如图，两同心圆O，PA、PB是大圆的两条切线，PC、PD是小圆的两条切线，A、B、C、D为切点，求证：AC=BD。

证明：连结PO

∵ PA、PB为大圆切线

∴ PA=PB，∠APO=∠BPO

又∵ PC、PD为小圆切线

∴ PC=PD，∠CPO=∠DPO

∴ ∠APC=∠APO－∠CPO=∠BPO－∠DPO=∠BPD

∴ 在△PAC和△PBD中

∴ △PAC≌△PBD ∴ AC=BD

[例6] 如图，AB是⊙O直径，AD、BC、CD切⊙O于A、

证明：∵ AD、BC、CD切⊙O于A、B、E

∴ DO平分∠ADE，CO平分∠BCE

∴ ∠1=∠2=∠ADE，∠3=∠4=∠BCE

∵ AB是⊙O的直径，AD、BC切⊙O于A、B

∴ AB⊥AD，AB⊥BC ∴ AD//BC

∴ ∠ADC+∠BCE=180°

、E，求证：OC⊥OD。B

∴ ∠2+∠4=∠ADE+∠BCE=（∠ADE+∠BCE）=90°

∴ ∠COD=90° ∴ OC⊥OD

【模拟试题】

1. 如图，AB、AC是⊙O的切线，B、C为切点，D为BDC=（ ）

上一点，且∠A=70°，则∠

A. 250° B. 120° C. 125° D. 115°

2. 如图，PQ、PR、AB是⊙O的切线，切点分别为Q、R、S，若∠APB=40°，则∠AOB=（ ）

A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°

3. 如图，AB、AC分别切⊙O于B、C，AB=20，DE是⊙O的切线与AB、AC分别交于D、E两点，则△ADE的周长是（ ）

A. 20 B. 40 C. 60 D. 80

4. PA、PB分别切⊙O于A、B，DE切⊙O于C，DE分别交线段PA、PB于D、E；若⊙O半径长为6cm，PO的长为10cm，则△PED的周长为 。

5. 已知：⊙O的半径为4cm，PO=8cm，则过P点的⊙O的两条切线长为 cm；这两条切线的夹角为 。

6. 如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠APB=68°，则∠DOE= ，∠AOB= 。

【试题答案】

1. C 2. C 3. B 4. 16cm 5. ；60°

6. 56°；112°