也谈数学概念教学的学科本质

——对2008年无锡市中考数学第27题的分析解读和教学建议

无锡市港下中学 程 军

笔者参加了2008无锡市中考数学的阅卷工作。今年中考数学试题总体上延续去年的特色,稳中求变,注重基础,关注每一位学生的成长；考察能力，供不同层次的学生不同的需要，试卷有很强的区分度。本文就笔者参加的阅卷的第27题做深入的分析，并结合阅卷过程中所反馈的各种信息，谈谈教师在课堂教学中的启示和思考。

本大题是卷面最后第2题，具有一定的选拔功能，得分率约0.32。 1．原题呈现和解读

【原题】如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴正方向运动，以O、A为顶点作菱形OABC,使点B、C在第一象限，且∠AOC=60°；以P（3，0）为圆心，PC为半径作圆。设点A运动了t秒.求：

（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；

yPCB

（2）当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值。 ［解读］这是一道动态型的综合题，考察学生对基础知识的综合运用（主要是三角函数概念、菱形基本性质、圆的切线特征、勾股定理等相关内容）；考察学生对数学概念的本质理解（三角函数概念——重点正弦、余弦等）；考察学生对解题策略的优化选择；考察学生对数学思想方法的深刻领悟（分类思想、数学结合思想等）。粗看试题，学生对动点型问题有所接触，并不陌生。但仔细审题，会发现学生容易上当，被“麻痹”思想“温柔”一刀，损失惨重。本来简单的第（1）题也因审题不仔细而不得分，十分可惜！。第（2）题涉及到分类讨论，对于每一种情况图形位置发生较大变化，需要分别画图加以说明，学生解答千差万别，求简，求真的数学本质在这里体现得淋漓尽致，不同层次的学生在这里得到不同的发挥！

2．学生解答及回放

2.1在阅卷过程中，出现了许多令教师深思的解答现象。 现象一

有相当比例的考生审题不清，误把动点A（1，0）看成是从原点（0，0）开始的，从而导致下面解答过与参考答案差1的尴尬结局，阅卷教师无不为之惋惜！

现象二

对第（2）题解答分三种情况讨论，学生含糊其辞，不做画草图分析界定，甚至出现第1种情况与第2种情况结果对调的怪事！

现象三

很多考生选择使用勾股定理，表达式较繁，运算量大，而不选用简洁的三角函数表达式

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01Ax

求解

舍简就繁！难以置信！

2.2以下是考生有代表性的几种解法

PPCBHDHCBPCBPCBED图2（2）A0DA图1（1 )0A0D图2（1）A0图1（2 )

对于第①种情况有3种典型解法。 法1如图1（1）在RtΔOCP

3333∴t+1=2，∴t=2-1.

3中，由∠COP=30°， OP=3，得PC=233，且OC=2，

法2 如图1（2）作CH⊥OP，设OD=x，则在RtΔOCD中，∠COD=60°，∠OCD=30°

3CD=3x，∴OH=CD=3x，PH=3-3x，由∵PH=3，∴PC=2，在RtΔPCH中，由勾

2327233xx4x263x02224股定理知：PCPHCH，即2

2333302x32解得，x=4，∴t+1=4232332,t=-1.

法3 如图1（1）∵OC=t+1,在RtΔOCD中，∠COD=60°

t1t1322∴OD=，CD=，且在RtΔ

3PCO中，OP=3，PC=2

222∴在RtΔ

t13t1t133OCD中，由勾股定理得222，化简，

t22t2304，

解得

对于第②种情况，大致有2种典型解法。 很多考生使用图2（1）

3331,t23122（不合题意，舍）

t1t1322法1 过C作CH⊥OP，在RtΔOCH中，∠COH=30°，CH=，OH=，

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t13222∴PH=2-3，且PC=PO，在RtΔPCH中，由勾股定理知，CHPHPC，

t1t13392t133(t1)0,t11(舍，不合题意）,t2331， 22，

22t13法2 部分学生用到图2（2），过P 作PE⊥OC，由OC=t+1，OE=2，PE=2，在

222RtΔOPE中，由勾股定理知PEOEOP

t13922，t1331,t2331(不合题意，舍）

22第③种情况做出的学生寥寥无几。 3．原因分析和反思

从学生对第①和第②前两种情况的解答来看，不能不让我们感到吃惊！为什么学生会把动点起始位置看错？为什么很多学生都一律使用勾股定理，以致给解题带来很大的运算量？为什么学生如此拒绝使用三角函数的定义式？产生上述为什么，需要我们教师好好反思，反思平常教学中的教学理念、教学设计和诸多教学环节。

反思1 审题教学环节都是教师惹的祸？

在阅卷中，有相当部分考生的解题思路清晰甚至连第（2）题3种情况都解答的很完美，就是把动点A的起始位置看作是（0，0），功亏一篑！造成的原因是 多方面的。但，回想我们平时教学中，有没有意识到审题这一环节对学生解题的重要性？我们是否以教师的审题代替学生审题？是否在审题环节中让学生走过场？甚至出现读一遍就做题的怪现象？学生的审题经历不能被剥夺！成人对题意的理解与学生是完全不一样的。在今后的教学中，要重视审题，训练学生读通题目、读懂题意，解题要先慢后快，只有“读题慢和细”，才能赢得“解题快和准”！

反思2 概念教学环节教师你抓住了数学学科的本质了吗？

为什么很多学生都使用勾股定理来解答问题，而放着三角函数定义式这一简单工具不用？三角函数概念是初中数学中最基本，最重要的概念之一，越简单的东西往往越体现本质。正弦和余弦等概念实质反映了直角三角形中锐角与对应边比值之间的一种特殊函数关系！ 即∠A

中只要已知一锐角（不管该角是否为特殊角）和一边，就能利用三角函数求出其余元素。学生在学习此概念时应深刻领悟其本质，教师结合例题教学也应向我们的学生明确这一点。再看看试卷上的第（2），前两种情况，很显然都符合已知一边一角这一情绪，理所当然首先考虑用三角函数定义式来求解！

解答如下：（2）①当⊙P与OC相切时，显然有PC⊥OC，∴OC=OPcos30°，∴1+t=3

正弦A的邻边A的对边余弦斜边，从这上述定义可以看出，在直角三角形斜边，∠A

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33322×，∴t=-1——见图1（1）

1（2）②当⊙P与OA相切时，切点为O，PC=OP，过P作PE⊥OC，则OE=2OC，

∴t+1=OPcos30°，∴t=t331——见图2（2）

(2)③解答略

（这也是参考答案提供的解法，简洁扼要！）与上述学生的解法在时间上不可同日而语！ 那为什么很多考生偏偏不用它，而用勾股定理呢？这要从勾股定理的本质谈起。勾股定理实质反映了直角三角形中三边之间的数量关系，与锐角大小毫无关系，它的形式比较好记，运用起来比较容易、单一（只涉及到边，一个维度），但列出的方程往往较复杂（二次方程居多），解起来当然费时。对于1+t=3×

323t1t133222和

222的运算量，一试就知！

学生之所以不愿或不会使用OC=OPcos30°，从根本上讲是对余弦概念比较陌生，这里涉及

到边与和角（含有2个维度），余弦的本质特征没有完全认同和接纳。或许在平时的数学教学中，我们的学生已经拒绝接受这一概念！

反思3 数学思想方法的渗透是否真的虚无缥缈，可有可无？

本综合题主要考察了分类思想，数形结合思想等，在阅卷中，很多学生没有很好理解⊙P与菱形OABC所在直线相切，显然要分几种情况讨论。另外，对于每一种情况，必须画草图加以辅助说明，一方面通过草图，列出相应关系，由图形到数量关系，形象直观，有利于正确思考——这是解题需要；另一方面，这也是对九年义务教育的考生应有的基本数学素养的考核。或许若干年后，学生对解题的具体步骤已经淡忘，但对解决问题的一般思想方法——分类谈论思想，画草图分析——数形结合思想永远也不会忘记！因为数学思想方法是铭记在学生头脑起永恒作用的精神和态度，近乎流淌在人的“血液”中，内化为一种“文化元素”，学生受用一辈子！

4．对今后的教学建议

中考是具有选拔性功能的综合考试，数学在各科中又最具选拔性特征的学科。一方面是由于学科本身的特点决定的；另一方面也反映出数学在各门功课中的重要性。作数学教师应该为从事这一门学科的教育教学而感到自豪！

4.1 重视基础知识、基本技能的扎实训练

加强数学基本概念，性质、定理等内容的教学。基础知识、基本技能是数学教学永远不变“主旋律”。注重审题等教学环节，“宁可多审三分题，不要抢答题一秒”， 让学生扎实平稳过“审题关”。切忌教师包办代替，学生能做的事学生自己做！

4.2重视过程教学，切实培养能力

平时的重要概念、定理、法则等内容要舍得花时间，充分让学生经历知识的发生、发展过程，重视过程教学。也许当时可能看不出成效，但三年下来，学生的思维品质更加深刻、灵活、严谨；学生的数学素养越来越厚重；数学的理性精神和探究精神更加深入人心；当然解决问题的能力越来越强。厚积才能薄法！

4.3重视数学思想，提高学生数学素养 数学思想是知识内容的精髓，是数学教育教学的灵魂。动态综合题里蕴涵着丰富的数学

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思想，（例如上述27题中融入了分类思想、数形结合思想，甚至还有动态几何的几何不变性等）因此它不是空中楼阁，教师要把它贯彻到平时的课堂教学中。另外要努力培养学生对数学“求真、求简”的基本素养，提倡解题思路简单、准确、高效！

（责编：姚敬东）

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