(易错题精选)初中数学方程与不等式之一元二次方程真题汇编及答案解析

一、选择题

1．已知关于x的一元二次方程xxa230 有两个不相等的实数根，则满足条件的4C．2

D．1

最小整数a的值为( ) A．-1 【答案】D 【解析】 【分析】

根据根的判别式即可求出a的范围． 【详解】

由题意可知：△＞0， ∴1﹣4（﹣a+解得：a＞

B．0

3）＞0， 41 2故满足条件的最小整数a的值是1， 故选D． 【点睛】

本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式.

2．已知x=1是一元二次方程A．0 【答案】C 【解析】 【分析】

根据一元二次方程解的定义，把x=1代入x2+bx+1=0得关于b的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】

解：把x=1代入x2+bx+1=0 得1+b+1=0，解得b=-2． 故选：C． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

B．1

的解，则b的值为（ ） C．

D．2

3．方程x25x0的解是（ ） A．x5

B．x5

C．x10,x25

D．x10,x25

【答案】D 【解析】 【分析】

提取公因式x进行计算. 【详解】

(x−5)=0，所以x10,x25. 提取公因式x得：x·故本题答案选D． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的计算，掌握提取公因式这一知识点是解题的关键.

4．为执行“均衡教育\"政策，某县2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元．若每年投人教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ）

1.2

B．25001x12000

A．25001x22C．250025001x25001x221.2

D．250025001x25001x12000 【答案】D 【解析】 【分析】

设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2017年投入教育经费+2017年投入教育经费×（1+增长率）+2017年投入教育经费×（1+增长率）2=1.2亿元，据此列方程． 【详解】

设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x， 由题意得，2500+2500×（1+x）+2500（1+x）2=12000． 故选：D． 【点睛】

此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．

5．已知m，n是方程x22x10的两根，且7m14ma3n5nm10，则a的值是（ ） A．5 【答案】A 【解析】 【分析】

B．5

C．9

D．9

22由一元二次方程的解及根与系数的关系可得出m22m1,n22n1,mn2，结合

7m214ma3n25nm10，可求出a的值，此题得解．

【详解】

解：∵m，n是方程x22x1=0的两根，

m22m1,n22n1,mn2．

Q7m214ma3n25nm10，

即(7a)(32)10，

a5． 故选：A． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，正确求出a的值.

6．李师傅去年开了一家商店，将每个月的盈亏情况都作了记录．今年1月份开始盈利，2月份盈利2000元，4月份盈利恰好2880元，若每月盈利的平均增长率都相同，这个平均增长率是（ ） A．20% 【答案】A 【解析】 【分析】

设这个平均增长率为x，根据等量关系：2月份盈利额×（1+增长率）2=4月份的盈利额列出方程求解即可． 【详解】

设这个平均增长率为x，根据题意得： 2000（1+x）2=2880，

解得：x1=20%，x2=-2.2（舍去）． 答：这个平均增长率为20%． 故选A． 【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）

2

B．22% C．25% D．44%

=后来的量，其中增长用+，减少用-，难度一般．

7．用配方法解方程：x2﹣2x﹣3=0时，原方程变形为（ ） A．（x+1）2=4 【答案】B 【解析】

试题分析：将原方程的常数项﹣3变号后移项到方程右边，然后方程两边都加上1，方程左

B．（x﹣1）2=4

C．（x+2）2=2

D．（x﹣2）2=3

边利用完全平方公式变形后，即可得到结果． 解：x2﹣2x﹣3=0， 移项得：x2﹣2x=3， 两边加上1得：x2﹣2x+1=4， 变形得：（x﹣1）2=4，

则原方程利用配方法变形为（x﹣1）2=4． 故选B．

8．聪聪、明明、伶伶、俐俐四人共同探究代数式2x23x5的值的情况他们做了如下分工，聪聪负责找值为0时x的值，明明负责找值为4时x的值，伶伶负责找最小值，俐俐负责找最大值，几分钟，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ） （1）聪聪认为找不到实数x，使2x23x5的值为0； （2）明明认为只有当x1时，2x23x5的值为4；

（3）伶伶发现2x23x5有最小值；（4）俐俐发现2x23x5有最大值 A．（1）（2） 【答案】B 【解析】 【分析】

解一元二次方程，根据判别式即可判断（1）（2），将式子2x2﹣3x+5配方为2（x﹣

B．（1）（3）

C．（1）（4）

D．（1）（2）（4）

3）431，根据平方的非负性即可判断（3）（4）． 8【详解】

2

+

解：（1）2x2﹣3x+5＝0，△＝32﹣4×2×5＜0，方程无实数根，故聪聪找不到实数x，使2x2﹣3x+5的值为0正确，符合题意，

1，方程有两个不相等的实数根，故明明认为只有2当x＝1时，2x2﹣3x+5的值为4错误，不符合题意，

（2）2x2﹣3x+5＝4，解得x1＝1，x2＝（3）∵2x2﹣3x+5＝2（x﹣又∵（x﹣∴2（x﹣

3231）+，

8432

）≥0， 4323131）+≥，

884∴2x2﹣3x+5有最小值，故伶伶发现2x2﹣3x+5有最小值正确，符合题意，

（4）由（3）可知2x2﹣3x+5没有最大值，故俐俐发现2x2﹣3x+5有最大值错误，不符合题意， 故选：B． 【点睛】

本题考查解一元二次方程和配方法的应用，掌握一元二次方程求根公式和配方法是解决本题的关键．

9．如果等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两根，那么它的周长为 （ ） A．17 【答案】A 【解析】

试题分析：根据题意可得方程的两根为x=3和x=7,3、3、7不能构成三角形，则三角形的三边为3、7、7，则周长为17. 考点：一元二次方程、等腰三角形.

B．15

C．13

D．13或17

10．设x1，x2是方程x2x20160的两实数根，则x12017x22016的值是（ ） A．2015 【答案】C 【解析】 【分析】

采用“降次”思想，将x1转化为2017x12016，再利用根与系数的关系可得答案． 【详解】

∵x1，x2是方程x2x20160的两实数根

2∴x1+x2=1，x1x120160 2∴x1=x12016

3B．2016 C．2017 D．2018

3x13=x122016x1=x120162016x1=2017x12016

∴x12017x22016

=2017x120162017x22016 =2017x1x2 =2017 故选C． 【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记公式x1x2=转化是解题的关键．

3b，以及采用降次思想进行a

11．某商品原售价225元，经过连续两次降价后售价为196元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程中正确的是（ ）

2A．225（1﹣x）＝196

2B．196（1﹣x）＝225

C．225（1﹣x2）＝196

D．196（1﹣x2）＝225

【答案】A 【解析】 【分析】

可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=225，把相应数值代入即可求解． 【详解】

第一次降价后的价格为225×（1﹣x），第二次降价后的价格为225×（1﹣x）×（1﹣x），则225（1﹣x）2=196． 故选A． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

12．如图，幼儿园计划用30m的围栏靠墙围成一个面积为100m2的矩形小花园（墙长为15m），则与墙垂直的边x为（ ）

A．10m或5m 【答案】C 【解析】 【分析】

设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米，根据矩形的面积公式结合矩形小花园的面积为100m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】

设与墙垂直的边长x米，则与墙平行的边长为（30﹣2x）米， 根据题意得：（30﹣2x）x＝100， 整理得：x2﹣15x+50＝0， 解得：x1＝5，x2＝10． 当x＝5时，30﹣2x＝20＞15， ∴x＝5舍去． 故选：C． 【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

B．5m或8m

C．10m

D．5m

13．某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%，2018年比2017年产量的增长率为x，2018年底产量达到144吨，则x满足（ ） A．100（1+x）2＝144 C．100（1+8.1%）+x＝144

B．100（1+8.1%）（1﹣x）＝144 D．100（1+8.1%）（1+x）＝144

【答案】D 【解析】 【分析】

由题意知，2017年蔬菜产量为：100（1+8.1%），2018年蔬菜产量为：100（1+8.1%）（1+x），然后根据2018年底产量达到144吨列方程即可. 【详解】

解：∵某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%， ∴2017年蔬菜产量为：100（1+8.1%），

∵2018年比2017年产量的增长率为x，2018年底产量达到144吨， ∴2018年蔬菜产量为：100（1+8.1%）（1+x）＝144， 故选D． 【点睛】

本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键.

14．代数式x24x5的最小值是（ ） A．5 【答案】B 【解析】 【分析】

此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算． 【详解】

∵x2+4x+5=x2+4x+4-4+5=（x+2）2+1 ∵（x+2）2≥0， ∴（x+2）2+1≥1，

∴当x=-2时，代数式x2+4x+5的最小值为1． 故选：B． 【点睛】

此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．

B．1

C．4

D．没有最小值

15．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元.设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为（ ）

A．1001x81 B．811x100 C．811x100 D．1001x81 【答案】D 【解析】 【分析】

此题利用基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．

2222【详解】

由题意可列方程是：1001x81. 故选：D. 【点睛】

此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于列出方程

2

16．深圳沙井某服装厂2017年销售额为8亿元，受中美贸易战影响，估计2019年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x，可列方程为（ ） A．8（1﹣x）＝5.12 C．8（1﹣x）2＝5.12 【答案】C 【解析】 【分析】

一般用降低后的量=降低前的量×（1-降低率），降低前的价格设为1，则第一次降价后的价格是（1-x），第二次降价后的价格是（1-x）2，可得出方程． 【详解】

设平均每次降价的百分比为x，

则根据题意可得出方程为：8（1﹣x）2＝5.12； 故选C． 【点睛】

本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b（当增长时中间的“±”号选“+”，当降低时中间的“±”号选“-”）．

B．8（1+x）2＝5.12 D．5.12（1+x）2＝8

17．若关于x的一元二次方程x22xk0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A．k1 【答案】B 【解析】 【分析】

直接利用根的判别式进而得出k的取值范围． 【详解】

∵关于x的一元二次方程x22xk0有两个不相等的实数根， ∴b4ac441(k)

2B．k1 C．k1 D．k1

44 k0， ∴k1． 故选：B． 【点睛】

此题主要考查了根的判别式，正确记忆公式是解题关键．

18．我校图书馆三月份借出图书70本，计划四、五月份共借出图书220本，设四、五月份借出的图书每月平均增长率为x，则根据题意列出的方程是( ) A．70(1+x)2＝220 B．70(1+x)+70(1+x)2＝220 C．70(1﹣x)2＝220

D．70+70(1+x)+70(1+x)2＝220 【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意，找出等量关系，列出方程即可. 【详解】

三月份借出图书70本 四月份共借出图书量为70×(1+x) 五月份共借出图书量为70×(1+x)2 则70(1+x)+70(1+x)2＝220． 故选：B． 【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，分析题干，列出方程是解题关键.

19．若关于x的一元二次方程x22xkb10有两个不相等的实数根，则一次函数

ykxb的图象可能是:

A． B． C．

D．

【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】

由方程x22xkb10有两个不相等的实数根,

44kb1＞0， 可得V解得kb＜0，即k、b异号，

当k＞0，b＜0时，一次函数ykxb的图象过一三四象限，

当k＜0，b＞0时，一次函数ykxb的图象过一二四象限，故答案选B.

20．关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是( ) A．a＞1 【答案】D 【解析】 【分析】

由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是a≠0；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a的不等式，求出a的取值范围． 【详解】

解：由于原方程是二次方程，所以a≠0； ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2-4ac=4-4a＞0，解得a＜1； 综上，可得a≠0，且a＜1； 故选D． 【点睛】

本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： (1)△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)△=0⇔方程有两个相等的实数根； (3)△＜0⇔方程没有实数根．

B．a=1

C．a＜1

D．a<1且a≠0