椭圆的定义及标准方程

若2aF1F2，则点的轨迹 。 用数学符号表示椭圆的定义： 2.椭圆标准方程的推导：

3. 椭圆的标准方程： 图 形 标准方程 焦点坐标 定 义 a、b、c的关系 焦点位置 xa22 yb22 xb221ab0 ya221ab0 F1c0、F2c,0 F10,c、F20,c |MF1|+|MF2|=2 a (2a>2c>0) abc 222分母哪个大，焦点就在哪个轴上 二、典型例题 例1、求出下列椭圆方程中a,b,c的值、焦点坐标、椭圆上任意一点到两焦点的距离和。

222yyyxxx1； ⑵1； ⑶1； ⑷8x23y224。 ⑴9494916222

例2. 求满足下列条件的椭圆的标准方程 （1）求焦点为F1(2,0),F2(2,0)，且过点(,2532)的椭圆的标准方程.

（2）求满足ab8,c4的椭圆的标准方程；

（3）求中心在原点，焦点在坐标轴上，求过P(2,3),Q(3,1)的椭圆的标准方程；

（4）两个焦点的坐标分别是(3,0)和(3,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；

x2（5）过点p-3,2且与椭圆

29y+y24=1有相同焦点；

例3.（1）若方程

x225my216m1表示焦点在y轴上的椭圆，求实数m的取值范围。

（2）椭圆

x24x2m221的焦距为2，求m的值 y2（3）方程

k3xa5ky21表示椭圆，则求k的取值范围

1表示焦点在

（4）如果方程

a6x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是__________.

例4. （1）已知椭圆

x225y2161上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一焦点距离为________

（2）椭圆

x216+y29xa右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上一点，Q是PF1的中点，若OQ＝1，则PF1＝________ =1的左、

22（3）椭圆方程是

x+y225它的两焦点分别是F1，F2，且F1F2＝8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为 ． =1a>5，

2例5. 已知椭圆

4y231，F1,F2是椭圆的两个焦点，P，Q为椭圆上点，PQ不过焦点。

（1）求F1PQ，F1PF2的周长；（2）已知F1PF260，求F1PF2的面积；. （3）若F1PF2，求证：F1PF2的面积Sbtan

三、课后训练

1.椭圆x22y23的焦距为 ( ) A.1 B.2.椭圆

x222。

2 C.3 D.6

25y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为 ( )

A.5 B.6 C.7 D.8 3.若椭圆

xm22y23m1的焦距为4，则m= ( )

A.1 B.2 C.3 D.4

4．中心在原点，焦点在横轴上，a=2，b=1，则椭圆方程是（ ） A.x24y231 B.

x23y241 C.

x24y1 D.x22y241

5.若椭圆的对称轴为坐标轴，a+b=18，一个焦点的坐标是3,0，则椭圆的标准方程为（ ） x2A.

9y2161 B.

x225y2161 C.

x216y2251 D.

x216y291

6.与椭圆9x3+4y2=36有相同焦点，且b=45的椭圆方程是( ) A．

x2

7．若方程x+ky=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 （ ）

A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）

2225y2201Bx220y2251Cx220y2451Dx280y28518. 椭圆mx2ny2mn0(mn0)的焦点坐标为（ ）

A．0,mn B．0,mn C．0,nm D．0,nm

9.焦点为(0,-1)，(0,1)的椭圆方程可以是 ( ) A.

xa22y22a11 B.

xa221ya221

2 C.y2xa22y22a11 D.

x221aya221

10.过点A（-1，-2）且与椭圆

x691的焦点相同的椭圆标准方程是__

11．如果椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，则实数k的取值是__________. 12．已知F1,F2为椭圆

|AB|____..

22x225y291的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A||F2B|12，则

13．椭圆14．椭圆15．椭圆

x49y241上一点

2P与椭圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直，则PF1F2的面积__.

xx2162yy21221上一点P到两焦点的距离之差为2，则F1PF2的形状为 . 1的两个焦点为F1,F2，点

9P在椭圆上，若|PF1|4,则|PF2|_____, F1PF2____.

17．求下列椭圆的标准方程：

（1）椭圆的焦点为F1(0,5),F2(0,5)，点P(3,4)是椭圆上的一个点；

(2)椭圆焦点是F1(0，－1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，且PF1＋PF2＝2F1F2

（3）焦点为F1(3,0),F2(3,0)，且过点(3,165)的椭圆的标准方程.

(4)若△ABC的两个顶点坐标A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程为