南方人口
SOUTHCHINAPOPULATION
No．32016Vol．31GeneralNo．135
两人群引力模型框架下的中国死亡率预测①
—结合美国相应数据——
范勇
朱文革
200433）
（上海财经大学金融学院，上海
［摘
要］Lee－Carter系列模型是对一个人群的死亡率动态建模和预测的模型。由于中国死亡率抽样数
据的质量问题导致模型预测的效果不如国外文献所反映的那么精确。本文在两人群引力模型框架下结合中国和美国同期死亡率数据建模，并将结果与相应的单人群模型比较。研究表明，引力模型与APC模型相结合取得了最好的效果，在此基础上本文预测2025年老年抚养比会急剧上升到23．32％，2030年的婚配男性人口超出女性约2079万，婴幼青少年20年间累计死亡人数约293万。［关键词］引力模型；Lee－Carter模型；APC模型；死亡率预测［中图分类号］C92－05
［文献标识码］A
［文章编号］1004－1613（2016）03－0036－10
一、研究背景
死亡率建模和预测是人口和统计学重点研究的课题，也是养老金和寿险产品定价、准备金和长寿风险评估的基础。人口死亡率的演变具有一定的生物规律。这些规律在没有大规模战争和瘟疫的情况下是可以用数学工具来描绘和预测的。Lee和Carter（1992）提出了一个简洁实用的能很好的反应人口死亡率动态变化的模型，后续一些文献考虑了死亡率更多的影响因子和更好的计算迭代方法，对该模型进行了多方面的拓展（李志生、刘恒甲2010；Cairns等2007）。
Lee－Carter系列模型运用的基础是有大量连续准确的数据。但是，一些国家和地区可能在暴
露数、死亡数登记时出现一些错误，也可能抽样调查的手段过于粗糙，保险行业或公司面临的问题常常是暴露数过少。这样的死亡率数据就存在着一定的质量问题，用Lee－Carter系列模型拟合和预测得到的未来死亡率数值就可能是有偏的或者方差过大，这样的预测精确性就较差。
针对这一现实问题，一些学者提出了各种解决的方法。Li等（2004）提出有限数据下Lee－
Carter模型的应用方法，王晓军和任文东（2012）基于这一方法对筛选后的中国数据进行了建模
和预测，但是他们选择了6个比较准确的年份的样本数据建模的同时却忽略了另外约10个年份的数据信息。Czado等（2005）采用贝叶斯泊松对数死亡率过程改善了拟合数据的平滑度。金博轶
①本文获上海财经大学研究生创新基金项目“最优退休年龄、基本养老保障与混合年金制度研究”2014－333）资助。
*［收稿日期］2015－12－29
（CXJJ－
［作者简介］范勇（1975－）上海财经大学金融学院，博士研究生，研究方向为长寿风险管理；朱文革（1966－）上海财经大学金融学院，博士生导师、教授，研究方向为长寿风险管理、巨灾风险。
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两人群引力模型框架下的中国死亡率预测
（2012）基于有限数据下的贝叶斯方法进行动态死亡率建模，改善了相近年龄和不同年度的非规则波动。范勇等（2015）对我国男性死亡率数据先进行修匀和平滑，去除每个年龄对数死亡率的线性趋势，在每个年龄上用ARIMA模型分析时间序列特征，拟合并预测了未来20年的人口死亡率，但是他们仍然采用的传统的BIC、MAPE等拟合指标来比较模型的优劣。模拟和修匀都只能降低预测的不确定性，而不能有效地改善不同年份的系统偏差，而且他们的视角始终局限于一个人群之中。Li和Hardy（2011）考虑了美国和加拿大这两个人群在Lee－Carter模型估计下因子的协动关系，但是他们的目的是利用两人群死亡率的相关关系对冲加拿大人群可能出现的基差风险而不是对小样本人群的不精确做出补正。Dowd等（2011）对英国（E＆W）和被保险人群（CMI）的男性老年人在引力模型框架下建模并预测了被保险人群的死亡率，其中小样本人群（CMI）比大样本人群（E＆W）明显小得多，它的死亡变动的规律率既有自身的特点又与大样本数据相关。模型涉及两个具有包含关系的人群而不是两个分离的相关人群。
本文将在引力模型框架下结合Lee－Carter和APC模型联合估计和预测未来20年中国分年龄死亡率。两人群模型实际上就是更好地利用参照人群的有效信息，对目标人群更好的预测和风险管理。它在国内理论研究上尚未受到重视，但在实务上却有先例。中国恢复保险业务之初，采用的就是日本全社会生命表，再结合经验数据进行调整定价和评估。本文选择的参照国是美国，其原因是美国人口数量多，能够充分反映死亡率的一般特征。美国的数据积累年限为1932－2013年，能够最大程度上与中国数据匹配，而其他国家没有到2013年。本文研究发现，引力效应有助于中国人群平滑误差，做出更可信的符合生物规律的预测。
二、数据的选择与生物合理性检验
本文约定美国人群为人群1，中国人群为人群2。由于美国数据的暴露数几乎是全体人口，而中国数据除了2000年和2010年是普查数据外，1995年和2005年是1％人口抽样，其余的都是
1‰的人口抽查。所以从样本暴露数角度看中国却是小样本人群。
美国以及其他相关国家和地区的暴露数和死亡数据均来自于HumanMortalityDatabase。中国数据来源于《中国人口统计年鉴》和《中国人口就业统计年鉴》。时间跨度为1994－2013年一共
20年。在中国人口死亡率的历史数据中，对死亡人口为0的样本，本文参考普查年数据用线性插
值法补齐。1996年末组年龄只到85岁，本文参考人口普查年相应的比例对平均人口和死亡人口数量进行拆分，重新计算85岁至89岁的死亡率。本文同样用拆分方法处理非普查年份的90－99岁的超高龄人口的暴露数和死亡人数。这是对历史数据的初步处理。
Cairns等（2006）认为好的死亡率模型的一个重要的标准就是“生物合理性”，本文综合过去
的研究成果概括为如下生物规律：
（1）同一个年份，对数死亡率岁年龄的变化有如下规律：婴儿死亡率较高然后迅速下降到最低点，而青少年阶段会有更多的意外死亡，成年的中老年人口死亡率随着年龄呈近似线性上升趋势（Heligman和Pollard，1980）。等，2006）。
（2）一定时期内对数死亡率总体水平（即模型中的时间效应因
子）随时间呈线性下降趋势，高龄阶段的死亡率下降速度是递减的（Lee和Carter，1992；Cairns
（3）在相邻的队列，死亡率的变化趋势类似，且在同一队列的高龄人口对数中心死
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图1中国和美国1994－2013年0岁女性和79岁男性对
数死亡率历史值
图2中国和美国2013年0－99岁男性对数死亡率
历史值
亡率呈线性趋势（Cairns等，2015）。
总之，人口死亡率随年龄、时间、队列的演变是渐进的，跳跃的情况不会发生在数量很大的群体中，但是有可能在地区、行业以及特定对象的人口中发生。
图1分别展示了中美两国0岁的女性和79岁的男性人口的对数死亡率1994－2013年的变化趋势图。图2反应了两国2013年男性人口对数死亡率在不同年龄的分布情况。中国数据也能大体上反应了人口死亡率随着年龄和时间的变化规律，但是由于中国暴露数的样本量过少，尤其是在死亡率较低的低龄人群阶段，误差和波动较大，比如近两年的0岁女婴死亡率下降过快，远低于美国，这显然是不合理的。
根据上述生物规律，既能够判断数据的准确性，也可以衡量预测的效果。本文采用经验凹函数D2（t，x）＝lnm（t，x）－蚝虔［lnm（t，x－1）＋lnm（t，x＋1）］来衡量死亡率随年龄的变化关系的光滑度和线性趋势。考虑了不确定性因素的影响，在同一年份D2（t，x）在中高龄阶段在0附近无规则震荡。该函数均值偏离0越多，则线性趋势越弱；方差越大，则光滑度越差。
另外，当本文的预测结果相对光滑的情况下，最低死亡率年龄也可以作为一个补充衡量指标。如果最低死亡率发生年龄明显偏高合作偏低，那么这个预测青少年阶段就存在系统性偏差。
三、动态死亡率的独立模型和引力模型（一）独立Lee－Carter模型和APC模型
死亡率模型中既能够用于全年龄预测同时又比较简便稳定的主要有Lee－Carter模型和APC模型（Cairns等，2008）。Lee－Carter模型形式如下式（1）型M1）：
（1）
由于涉及的人群不止一个，上标k表示人群序号。对于本文两人群情况，k＝1和2，人群1代表美国，人群2代表中国。
表示第k个人群t年x岁的个体的中心死亡率，
表示年龄因子，
（为了简便起见，在图表中使用时称为模
是只与年龄有关的参数，κt（k）表示时间效应，是依赖于时间的状态变量，βx（k）表示年龄对时间效应的反应或者敏感度。
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两人群引力模型框架下的中国死亡率预测
模型设定αx（k）和βx（k）在被估计出来之后不变，而κt（k）服从ARIMA（0，1，0）过程：
（2）
将上面所预测得到的
代入式（1）得到未来s年的死亡率预测。这就是Lee－Carter模型的
拟合和预测的过程。它在许多发达国家的预测建模中取得了很好的效果。
Lee－Carter模型的一个重要的拓展是加入队列效应，这样不仅改善了拟合优度，也克服了残
差的自相关性。带有队列效应的简便形式是Age－Period－Cohort（APC）模型（记作M3）：
（3）
其中，γc（k）表示队列效应，是依赖于出生年的状态变量。c＝t－x表示出生年，na表示样本数据中用于估计参数的年龄数。其余的变量与Lee－Carter模型相同。对两个人群分别运用死亡率模型估计和预测，在本文中被称为独立模型框架下建模。
（二）引力Lee－Carter模型和APC模型
对两个人群独立建模，即没有考虑两个人群的死亡率之间的相关关系，从而忽略了影响它们动态演变的共同因素。两个人群的死亡率演变可能差异较大，小样本人群的死亡率变化也能明显违反生物特征的合理性或者有异常波动情况出现。引力模型修正了独立框架下的时间效应和队列效应等的拟合方法，考虑它们之间相关的因素（称为引力效应）。简单地说，引力模型与独立模型的区别仅仅在于小样本人群2的死亡率的影响因素（时间效应和队列效应等）既与人群2自身的规律相关也与大样本人群1有关。
假设人群1样本量足够大，已经充分反映了时间效应的信息，人群2的时间效应状态变量kt（2）
不仅受上一期
的影响，而且与上一期人群1的时间效应
有关，其相关的程度就是准（k），这
就是人群1对人群2的引力效应。人群1即为式（2）在k＝1的情况，人群2的满足下式（4）：
（4）
那么kt（2）的估计值是由比例准（k）的人群1（先验）信息
和比例1－准（k）的自身（后验）信息
的一个加权平均值。一般而言有0＜准（k）＜1，越小，人群2越依赖于自己数据的有效信息，表明人群2数据越有效；越大，人群2越依赖于人群1的一般信息，说明人群2的数据质量越差。这样的估计值起到一个均值回复的作用，不至于太多的偏离理论真值。附加部分C（12）Zt（1）表示误差项除了人群2本身的部分以外还与人群1相关。这样就描述了预测死亡率的两人群引力模型（以下称为模型M2）。
在APC模型中，
服从ARIMA（0，1，0）过程，
服从ARIMA（1，1，0）。如果考虑
时间和队列的引力效应，类似地变为两人群的引力模型（记作模型M4）。表1概括的四个模型的异同。
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表1
模型
独立Lee－Carter模型（M1）
独立模型和引力模型下的主要异同点
时间效应
有有有有
队列效应
无有无有
引力效应
无无有有
四、模型的拟合与状态变量的估计、预测结果
为了方便起见，本文还约定在下文的图表中，
“中国1”、
“中国
独立APC模型（M2）引力Lee－Carter模型（M3）引力APC模型（M4）
2”分别指代运用独立Lee－Carter模
型、独立APC模型估计模型状态变
量（即不考虑两人群之间的引力效应）所得的中国人群的估计量，“中国3”、“中国4”代表
运用两人群引力模型（分别基于Lee－Carter和APC模型）估计所得的中国人群的估计量。由于美国是大样本人群，在上述两种情况下的状态变量和参数估计值几乎没有差异。出于简化的目的，在不影响分析的情况下，我们只显示上述模型的部分结果。
（一）状态变量的估计和预测
本文分别在不考虑两个人群之间的引力效应和考虑两个人群之间的引力效应的两种框架四个模型下，估计的状态变量和参数αχ、βχ、kt和γc。图3显示了中国男性人口对数死亡率在M1和
M3的情况下（M2和M4情况下结论类似）时间效应的估计值以及它们未来20年的预测值和90％
的置信区间。图4显示了队列效应的估计值以及它们未来25年的预测值和90％的置信区间。
估计结果表明，美国组的时间效应呈明显的线性下降趋势，中国组时间效应也大致呈线性下降趋势，只是更加陡峭且波动较大，表明中国人口死亡率在这段时间内比美国下降更快，但同时有较大的异常变化，特别是2006－2009年抽样数据的死亡率（无论男女人口）较为明显被低估，即抽样人口的代表性不全面，过多的来自身体综合素质较好或经济发达地区的人群。结果还可以看出，考虑了引力效应后的kt、γc在形状上更加平缓，波动更小。
在引力模型M4的情况下，
，
。这意味着中国人群死亡率与美国数
据在时间效应方面存在着约17．4％的引力效应（即与美国的时间效应相关），在队列效应方面存在着约5．6％的引力效应。
图3中国和美国1994－2013年0－99岁男性时间效应
的估计值
图4中国和美国1994－2013年0－99岁男性队列效应
的估计值
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两人群引力模型框架下的中国死亡率预测
利用上述估计结果，易得美国、中国在每种情况下和在未来20年的预测值和90％的置信
区间。无论是时间效应还是队列效应，引力模型框架下的预测值都高于相应的独立预测的情况，预测区间幅度都比中国2情况下要小。
（二）模型预测效果比较：2033年对数死亡率的预测值与预测区间
Cairns等（2009）提出了选择随机死亡率模型的一些标准，但是那些关于拟合方面的指标却
不一定适用于不精确数据的情况，更好的拟合有可能反而偏离了真实水平。因此，对未来的预测效果的检验，本文更多地借助于生物规律。
图5分别了显示用四个模型预测的2033年对数死亡率。由于婴儿的死亡率会急剧下降，即使在0岁婴儿中，后6个月的死亡率也比前6个月有极大的改善，所以经验凹函数期初必为负值。从理论上讲，该函数应该由负到正在趋于0。图6显示了四个预测结果的经验凹函数的两两对比图。在中高龄段几乎都在0附近，但M4最接近于0，且方差最小。
独立APC模型预测值波动幅度过大。本文还看到在50岁以上中高龄阶段两种方法预测值差异不大，但在低龄段独立APC模型明显低估了死亡率。
再看四个预测的最低死亡率年龄，M1和M3预测结果都在5岁，而M2和M4预测结果在13岁。本文对比了美国、日本以及中国积累数据中4个暴露数较大年份的最低死亡率年龄发现，
96％以上的情况在9－13岁，没有低于7岁的样本。因此Lee－Carter模型预测的2033年的对数死
亡率曲线不符合正常的年龄分布状况。
以上研究表明，无论在独立还是引力情况下，中国死亡率的演变存在着明显的队列效应。这在直觉上也符合中国近现代的历史事实。引力APC模型能更好地反映了中高龄阶段的线性趋势和光滑度，它预测的结果最符合生物特征。
（三）以0岁和79岁为例对未来20年死亡率的预测
本文对中国女性0岁和男性79岁的人口在未来20年死亡率和90％的置信区间进行预测。引力模型预测结果更为平滑，方差更小，表示精确度更高。值得注意的是，本文在2011－2013年将拟合值和原始值相比较，发现79岁的人基本吻合，而0岁儿童抽样调查的数据严重低估了死亡率（包括2010年普查数据）。总的来说在死亡率较低的年龄阶段误差较大，这是由于这一阶段死亡率较低的特点所致。国家统计局应当尽可能增大抽样比例（比如1％）以提高数据的准确性和可信度。
图5中国男性2033年对数死亡率预测
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图6中国2033年对数死亡率预测凹函数
（四）人口动态变化预测：2030年
老年抚养比是在现收现付养老制度下的一个关键指标，它指的是老年人口占劳动人口的比例。本文中设定劳动人口为20岁以上未退休人口，而老年人口为退休人口。本文利用2010年普查的分年龄分性别人口数和预测的死亡率估计2030年20岁以上分年龄性别的人口数，即出生于2010年到了2030年仍然存活的人数。对于同一队列的人口，其随着时间的推移变化规律满足式（5）：
（5）
其中，lt，x表示在t年的x岁的人口数目，将它乘以s年的累积生存概率，就可得第（t＋s）年的（x＋s）岁的预测总人口数。100岁以上人口数目较少，对于抚养比和年金估值影响不大，可忽略不计。在下面的预测结果中，我们只保留期望值而不列出置信区间。
本文运用引力模型估计的死亡率数值预测2030年分20岁以上的人口数及其分布，假设20年后的退休年龄已经延迟到男性为65岁以及女性为60岁。表2概括了2030年婚配期男女比率、婚配期男性超出人数、青少年死亡总数和2025年老年抚养比等人口结构指标的预测结果。
可以看出，M4在修正青少年死亡率过低方面是有效的。前两个指标预测4个模型差异不大，这是因为男女死亡率的抽样误差也存在着正相关关系。在2010年0－20岁的人口中男性比女性多约2192万，到了2030年变成20－40岁的人群，男女都面临婚配的需求。2030年婚配期男性比女
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两人群引力模型框架下的中国死亡率预测
表2
模型
婚配期男女比率
四个模型人口指标预测（前3个指标均为2030年）婚配期男性超出人数
青少年死亡总数
2025年老年抚养比
0．23260．22600．23160．2332
M1M2M3M4
1．1353821．1374261．1353361．136105
20713082210080312070222520788791
2491353245371725572372926590
性多出约2079万人，这是因为男性人口的死亡率略高于女性所致。届时中国社会婚配男女比例失调的问题十分严峻。这个年龄段的人群在到达2030年的过程中约有293万人会因为各种原因死亡，平均每年约15万人。现在执行的鼓励生育政策也不能改变上述预测，但可以改变更远的未来的人口状况。王广州（2013）的仿真研究发现死亡独生子女在2015年会超过10万，在2028年会超过20万。尽管我们各自的研究的基础人群和计算口径都不相同，但都说明了失独家庭可能的规模很大，也从一个角度说明了鼓励生育的必要性。但在死亡变动趋势上，本文认为死亡率会持续下降，即便生育率在将来有一定程度的提升，死亡人口上应该是小幅变化而不是像王广州（2013）中模拟的持续大幅上升的情况。
另一个严峻的问题是事实上的老年抚养比将由2010年的11．68％上升到23．32％，而宋晓梧等（2001）预测2020年老年抚养比为15．5％，2030年为21．7％，老年化危机的程度被低估。
五、结论
本文使用引力模型方法，借助于经典Lee－Carter模型、APC模型和美国相应的人口死亡率数据，对中国人口1994－2013年人口死亡率动态建模以及未来人口结构指标预测。我们将在引力模型方法与独立方法下的4个模型的建模和预测结果进行对比，得出如下结论：
首先，对于中国已有的抽样数据而言，死亡率存在着明显的队列效应。拟合与预测结果在考虑了引力效应的情况下更加平滑，方差更小。引力APC方法的预测更加合理准确。
其次，引力模型的运用在理论和实务中都具有合理性。在中国数据的数量和质量上都较为缺乏的情况下，借鉴时间上最为吻合、样本暴露数巨大的美国数据，会使本文的建模更加与生物规律吻合。中国在1980年代恢复人身保险业务的时候，既没有行业经验数据，也没有全国统计数据，只好借用日本全社会生命表来定价和评估。因此，从实务的角度看，在中国数据不精确的情况下，本文同样可以借鉴外国数据。理论上这就是两人群模型，通过两个人群在统计上的相互影响和比较，更好地除去意外冲击，重点关注死亡率的生物规律的本质特征。
第三，准确的死亡率预测能够影响养老金框架等政策设计。利用引力模型估计的未来老年抚养比值表明养老金社会统筹的压力被严重低估。对于个人账户而言，短期内老年人口死亡率变化和差别都不大，年轻人口死亡率被低估也会使得账户积累值被高估。由于从2010年到现在出生的婴儿在经过15－20年的成长才能成为劳动人口，所以无论怎样放开计划生育政策对2030年以前的老年抚养比几乎没有影响，而且会增加幼儿抚养比，从而增加劳动人口的实际负担。但是，20年后当今的新生儿就会成为未来的劳动力，对降低抚养比从而减缓养老压力起到积极的作用。
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2016年第3期
南方人口
引力模型方法对时间效应和队列效应的均值和方差在整体上起到了一定的修正作用，但并未从根本上改变某些特定年份的整体偏差。一个可能的更为有效的方法是，在理论上寻求一个合理的模型，检查出抽样调查所得的数据中明显不合情理的数据并进行修正，在更接近真实值的基础上再做建模和预测。这些可作为后续研究。
［参
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两人群引力模型框架下的中国死亡率预测
TheApplicationofGravityModelofTwoPopulationinForecastingChina＇spopulationMortality
RateintheReferenceofUSACorrespondingData
FANYong，ZHUWen-ge
（SchoolofFinance，ShanghaiUniversityofFinanceandEconomics，Shanghai200433）
Abstract：Lee-Cartermodelanditssubsequentextensionsarethedynamicmodelsinthemodelingandpredictionofthemortalityofapopulation．BecauseofthepoorqualityofsamplingdataforthemortalityinChina，Theaccuracyofmostmodelsinpopulationpredictionislowerthanthatofforeignliteratures．Inthispaper，themodelofmortalitydatainChinaandtheUnitedStatesismodeledintheframeworkofthegravitymodeloftwopeopleandtheresultsarecomparedwiththesinglegroupmodel．ThegravitymodelcombinedwithAPCmodelcanimprovetheaccuracyofpredictiongreatlyanditshowsthatChina'solddependencyratioisgoingtoriseashighas23．32％，malematingpopulationisgoingtobe20．79millionmorethanthefemale，infantandjuvenilecumulativedeathnumberistobeabout2．93million．Keywords：GravityModel，Lee-CarterModel，APCModel，ForecastofMortality
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