正数和负数

正数和负数

学情分析：

我担任的七年级（2）班的数学教学工作，学生总数为44人。该班特点是两头学生多，中间生少。后进生的基础差，学生学习主动性差，尖子生又较主动探究参与教学主动性高，所以教学时针对学生特点，以小组合作形式较多，意在培养学生互助学习的习惯。 教学内容：

正数和负数的学习 教学目标：

1、知识技能：了解正数和负数是怎样产生的；知道什么是正数和负数；理解数0表示的量的意义。

2、数学思考：体会数学符号与对应的思想，用正、负数表示具有相反意义的量的符号化方法。

3、解决问题：会用师生合作，联系实际，激发学生学好数学的热情。

教学重难点分析：

重点：正、负数的意义。 难点：负数的意义及0的内涵。 教学课时：

一课时 教学过程：

活动1

1、请同学们数一数自己的文具盒中共有几支笔。（若干支笔） 2、请一个同学数一数老师手中的文具盒中有几支笔。（没有笔） 3、用一把小刀把一个苹果切成两半，半个苹果怎样用一个数来表示？ 4、书P4 图1 .1-1 自然数的产生、分数的产生 师生行为

通过活动说明数的产生和发展离不开生活和生产的需要。原始社会，从打猎记数开始，首先出现自然数，经过漫长岁月，人们用“0”表示没有，随着人类的不断进步，在丈量土地进行分配时，又用小数使测量结果更加准确。 活动2

1、各组派两名同学进行如下活动：一名同学按老师的指令表演，另一名同

学在黑板上速记，看哪一组获胜。

各小组研究各自手中的温度计上刻度的确切含义，然后各小组派一名说出其中三个刻度的含义，请另一组一名同学在黑板上速记。看哪一组获胜。

师生行为

教师说出指令：向前两步，向后两步； 向前一步，向后三步； 向前四步，向后一步； 向前四步，向后两步。

一名学生按老师的指令表演，另一名学生在黑板上速记。 一名同学说出指令：零上10℃，零下5℃，零上35℃。 零上15℃，零上48℃，零下12℃。 另一名学生按指令在黑板上速记。 教师分析同学们的活动情况，如果学生不能引入符号表示，教师也参与表演。用符号表示出 ：+2、-2、+1、-3、+4、-1、+4、-2、+10、-5、+35、+15、+48、-12等，让学生感受引入符号的必要性。 活动3

问题展示

天气预报2003年12月某天北京的温度为―3～3℃，它的确切含义是什么？这一天北京的温差是多少？

某机器零件的长度设计为100㎜，加工图纸标注的尺寸为100±0.5(㎜),这里的±0.5代表什么意思？合格厂品的长度范围是多少？

有三个队参加足球比赛中，红队胜黄队（4∶1），黄队胜蓝队（1∶0），蓝队胜红队（1∶0），如何确定三个队的净胜球数与排名顺序？

师生行为

教师解释净胜球数与排名顺序：介绍确定足球比赛排名顺序的规定：两队积分不相同，积分高的队排名在前；两队积分相同，净胜球多的队排名在前；两队积分，净胜球数都相同，进球多的队排名在前。按照上述规定，红队第一，蓝队第二，黄队第三。

学生思考-3～3℃、净胜球数与排名顺序、±0.5的意义。 活动4

在师生活动中和问题中出现了一些新数据：-3、-2、-5、-12、-0.5它们表示什么含义？

我们小学知道，数0表示没有，仔细观察上述的各例子，数0都表示没有吗？数0是正数吗？是负数吗？

师生行为

教师讲解：我们把这种前面带有“—”号的数叫做负数。并说明：为与负数相区别，我们把以前学过的0以外的数，例如3、2、0.5等，叫做正数，根据需要，有时在正数前面也加上“+”，例如，+2、+3、+0.5。就是3、2、0.5。一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号。

教师说明数0的意义。数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。0的意义已不仅是表示“没有”。 活动5

展示问题

1、学生举例说明正、负数在实际中的应用。

2、在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准（规定海平面的海拔高度为0）。通常用正数表示高于海平面的某地的海拔高度，负数表示低于海平面的某地的海拔高度。珠穆朗玛峰的海拔高度为8848米，它表示的什么含义？吐鲁番盆地的海拔高度为–155米。它表示什么含义？

3、记录帐目时，通常用正数表示收入款额，负数表示支出款额。则收入254元可记为多少元？支出56元可记为多少元？

P5 图1、1—2 1、1—3 师生行为

教师安排学生分小组活动：举一些实际中用正数、负数表示数量的例子。 学生分组相互交流并推选代表发言。

教师与同学一起对各代表的发言进行评价。

教师解释：把0以外的数分为正数和负数，起源于表示两种相反意义的量，后来正数和负数在许多方面被广泛地应用。例如，在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准。 随堂练习：

练习P5

总结：这节课我们学习了哪些知识？你能说一说吗？ 课后作业

课本P7 ——1、2、3

数轴

学情分析：

我担任的七年级（2）班的数学教学工作，学生总数为44人。该班特点是两头学生多，中间生少。后进生的基础差，学生学习主动性差，尖子生又较主动探究参与教学主动性高，所以教学时针对学生特点，以小组合作形式较多，意在培养学生互助学习的习惯。 教学内容：

数轴的学习 教学目标

1．知识与技能

①掌握数轴三要素，能正确画出数轴．

②能将已知数在数轴上表示出来，能说出数轴上已知点所表示的数． 2．过程与方法

①使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练，逐步形成应用数学的意识．

②结合本节内容，对学生渗透数形结合的重要思想方法． 3．情感、态度与价值观

使学生进一步形成数学来源于实践，反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点．

教学重点难点分析

重点：数轴的概念．

难点：从直观认识到理性认识，从而建立数轴概念． 教学课时： 一课时

教学过程

（一）创设情境，导入新课

课件展示 在一条东西方向的马路上，有一个学校，学校东50m和西150m•处分别有一个书店和一个超市，学校西100m和160m处分别有一个邮局和医院，分别用A、B、C、D表示书店、超市、邮局、医院，你会画图表示这一情境吗？（学生画图）

（二）合作交流，解读探究

师：对照大家画的图，为了使表达更清楚，我们把0•左右两边的数分别用正数和负数来表示，即用一直线上的点把正数、负数、0都表示出来．•也就是本节内容──数轴．

点拨 （1）引导学生学会画数轴． 第一步：画直线定原点

第二步：规定从原点向右的方向为正（左边为负方向） 第三步：选择适当的长度为单位长度（据情况而定）

第四步：拿出教学温度计，由学生观察温度计的结构和数轴的结构是否有共同之处．

对比思考：原点相当于什么；正方向与什么一致；单位长度又是什么？ （2）有了以上基础，我们可以来试着定义数轴：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴． 做一做 学生自己练习画出数轴．

7 试一试：你能利用你自己画的数轴上的点来表示数4，1.5，-3，-2，0吗？

讨论 若a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的什么位置上？与原点相距多少个单位长度；表示－a的点在原点的什么位置上？•与原点又相距了多少个长度单位？

小结 整数能在数轴上都找到点吗？分数呢？

可见，所有的__________都可以用数轴上的点表示___________•都在原点的左边，______________都在原点的右边． 随堂练习

1 下列所画数轴对不对？如果不对，指出错在哪里．

123①45-1012②3-2-101③2

0④-10⑤1-3-2-1012⑥

-2-10⑦12

7 2 试一试：用你画的数轴上的点表示4，1.5，-3，-3，0

3 如果a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的什么位置上？•表示－a的点在原点的什么位置上呢？

【提示】 由数轴上数的特点不准得到，正数都在原点的右边，负数都在原点左边．

4 下列语句：①数轴上的点又能表示整数；②数轴是一条直线；•③数轴上的一个点只能表示一个数；④数轴上找不到既不表示正数，又不表示负数的点；⑤数轴上的点所表示的数都是有理数．正确的说法有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

5 （1）与原点的距离为2.5个单位的点有 个，它们分别表示有理数 和 ．

（2）一个蜗牛从原点开始，先向左爬了4个单位，再向右爬了7•个单位到达终点，那么终点表示的数是 ．

1212 6 在数轴上表示－22和13，并根据数轴指出所有大于-22而小于13的

整数．

7 数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1cm，若这个数轴上随意画出一条长2000cm的线段AB，则线段AB盖住的整点是（ ） A．1998或1999 B．1999或2000 C．2000或2001 D．2001或2002 备选例题

（2004·新疆生产建设兵团）在数轴上，离原点距离等于3的数是________． 【点拨】 不要忽视在原点的左右两边． 总结反思，拓展升华

数轴是非常重要的工具，它使数和直线上的点建立了对立关系．它揭示了数

和形的内在联系，为我们今后进一步研究问题提供了新方法和新思想．大家要掌握数轴的三要素，正确画出数轴．提醒大家，所有的有理数都可以用数轴上的相关点来表示，但反过来并不成立，即数轴上的点并不都表示有理数．

一条直线的流水线上，依次有5个卡通人，•它们站立的位置在数轴上依次用点M1、M2、M3、M4、M5表示，如图：

M1-5M2M3-4-3-2-101M4234M55 （1）点M4和M2所表示的有理数是什么？ （2）点M3和M5两点间的距离为多少？

（3）怎样将点M3移动，使它先达到M2，再达到M5，请用文字说明； （4）若原点是一休息游乐所，那5个卡通人到游乐所休息的总路程为多少？

课后作业

1．规定了 、 、 叫数轴，所有的有理数都

可从用 上的点来表示．

2．P从数轴上原点开始，向右移动2个单位，再向左移5个单位长度，此时P点所表示的数是 ．

3．把数轴上表示2的点移动5个单位后，所得的对应点表示的数是（ ） A．7 B．-3 C．7或-3 D．不能确定 4．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（ ） A．正数 B．负数 C．不是负数 D．不是正数

5．数轴上表示5和-5的点离开原点的距离是 ，但它们分别 ． 提升能力

6． 是最小的正整数， 是最小的非负数， 是最大的非正数．

7．与原点距离为3.5个单位长度的点有 个，它们分别 是 和 ．

1 8．画一条数轴，并把下列数表示在数轴上：+2，-3，0.5，0，-4.5，4，33

开放探究

9．在数轴上与-1相距3个单位长度的点有 个，为 ；长为3个单位长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 个整数点． 10．新中考题

（2004·南京）下列四个数中，在-2到0之间的数是（ ） A．-1 B．1 C．-3 D．3

位似

学情分析：

我担任的九年级（2）班的数学教学工作，学生总数为43人。该班特点是两头学生多，中间生少。后进生的基础差，学生学习主动性差，尖子生又较主动探究参与教学主动性高，所以教学时针对学生特点，以小组合作形式较多，意在培养学生互助学习的习惯。

教学内容：

位似的学习

教学目标：

1、了解位似图形的定义和位似中心等概念，

2、会画位似图形，并根据相似比的大小将图形放大或缩小。 教学重点难点分析

重点：定义。 难点：画图。 教学课时：

一课时 教学过程：

一、回顾相似三角形有关知识。 二、观察图片感知位似图形（p60）

思考：1、位似图形的定义？

2、位似中心？

一、 怎样画位似图形：

1、确定位似中心（1、中心在两个图形同侧。2、两个图形之间。3、两个图形之内）

2、对应点与位似中心的距离比是否相等 四、位似图形的性质：

两个图形相似；对应边互相平行，对应点连线交与一点。 五、相似与位似有何区别和联系？ 随堂练习：

1、习题27.3 ：1、2、4. 2、下列判断正确的是（ ）

A、相似图形一定是位似图形。 B、位似图形一定是相似图形。 C、全等图形一定是位似图形。 D、位似图形一定是全等图形。 3下图中位似中心在图形上的是（ ）

3、4、在小孔成像问题中，如图可知CD的长是物长AB长的（ ）

CAD18cmB6cm

111A、3倍 B、2 C、3 D、4

课后作业：

1、图形A与图形B位似，且位似比1：2，图形B与图形C位似位似比是1：3则图形A与图形C 位似（一定或不一定）

2、在视力表中，设0.1所对的“E”长为a，0.2所对的“E”长为b则a：b= 3、将一个等边三角形放大，是放大后的三角形的边长是原三角形边长的5倍，则放大前后等边三角形高的比 面积的比 。

4、画出以O为位似中心，将五边形ABCDE缩小到原来的0.5倍的五边形

BAOECA/B/C/D/E/, 并求五边形ABCDE与五边形A/B/C/D/E/周长比，面积比？

D的

一元一次不等式组

学情分析

不等式的解集已经在前一节中学习并运用其解决实际问题,•若由多个不等式构成的不等式组的解集如何确定呢?不等式的解集可类比方程的解进行求解,是否不等式组的解与方程组的解也类似呢?因此学生就会进行类比,进而可得出其解集的公共部分.

教学内容：

一元一次不等式组

课程目标：

一、知识与技能目标

1.通过由学生动手操作:用各种不同长度的木棒去拼三角形,归纳出能拼出三角形的各边长之间的关系和不能拼成三角形的三边的特征,•目的是归纳出同时符合几不同条件的不等式的公共范围,即不等式组的解集.

2.通过确定不等式组的解集与确定方程组的解集进行比较,•抽象出这二者中的异同,由此理解不等式组的公共解集. 二、过程与方法目标

通过由一元一次不等式,一元一次不等式的解集、•解不等式的概念来类推学习一元一次不等式组,一元一次不等式组的解集,解不等式组这些概念,•发展学生的类比推理能力. 三、情感态度与价值观目标

通过培养学生的动手能力发展学生的感性认识与理性认识,•培养学生独立思考的习惯.

重点和难点：

重点 :对一元一次不等式基本性质的掌握;理解不等式(组) 解及解集的含义，会解简单的一元一不等式(组),并会在数轴上表示其解集;会解相关的问题,建立起相关的知识体系。

难点 :建立起相关的知识体系。

教学课时：

1课时

教材解读：

本节内容是在学习了不等式的解集之后的知识内容,•在此基础上提出若某数同时满足几个不等式时,如何去确定这个数的取值范围,这就是不等式组的公共解集的确定,在实际生活中同样会遇到一个数所能满足的条件不止一个的问题,这就要用到不等式去确定其解. 教学过程：

一、创设情境,导入新课

冬天到了,天气渐渐变冷,同学们在上学的路上未免会感觉到寒意,•尤其是骑自行车上学的同学更觉得冷,妈妈们为了他们的孩子能过得舒服一些,都会给他们的孩子准备好帽子、手套来御寒.就拿手套来说吧,贵的可达几十元钱一双,便宜的呢,只要一、二元就可买到,但其质量和保暖程度肯定不相同,便宜的可能用的时间不长,•而贵的对小孩来说不善于保护,又未免太奢侈了,作为家长肯定希望所买的东西价廉又物美,假设妈妈的要求是手套的价格不能超过6元,而小孩又不喜欢太便宜的,他们对家长的要求是所买的手套价格不能少于4元,同学们,如果你是商店售货员,你会拿什么价格的手套给他们选择呢?如果商店里的手套从每双2.5元至16元的各种价格都有,且每双不同的手套之间都是按逐渐提高0.5元的价格进行呈列的,•你能确定他们的选择有几种吗?

当然可以,太简单了,要使买的手套让家长和小孩都满意可让他们从每双4•元至6元的这些物品中选,由于这档手套有4元/双,4.5元/双,5元/双,5.5元/双,6元/双共五种,故售货员只需从这五种价格的手套中取出供他们挑选,就能让母子同时满意.•这里我们所用到的数学知识就是:如何确定不等式组的公共解集.今天我们就共同来探讨不等式组吧. 二、师生互动,课堂探究 (一)提出问题,引发讨论

在学习不等式组之前,我们来开展小组活动吧,每个小组的同学准备五根小木棒,使它们的长度依次为3cm、10cm、6cm、9cm和14cm,用这些小木棒来搭三角形,要求所搭成的三角形的三边中必须有3cm和10cm这两根木棒,请大家先想想我们还有多少种不同的搭配方式,它们都能搭出三角形吗?再动手试试,验证你们的想法.

搭配方式有三种:3cm、10cm、6cm;3cm、10cm、9cm;3cm、10cm、14cm.•但并不是每种搭配方式都能搭成三角形.要构成三角形,必须有两条较短的边拼起来后要略比长边长,也即“任意两边之和大于第三边”，•将此不等式变形后成为“任意两边之差小于第三边”，这样可发现只有一种搭配方式可构成三角形，通过拼图验证可得到如课本P143中图.

-6-3036791318

用不等式来解释,设第三边长为xcm,则有x>10-3又x<10+3,即x>7与x<13,这二者并不矛盾,比7大比13小的数在数轴上可表示为如图9.3-1-1的阴影部分,在这部分数中任取一个都能与10cm和3cm构成一个三角形,所给的三条边6cm、9cm、14cm中只有9cm符合要求.这就是说第三边的取值必须同时满足两个条件:比7大且比13小,•把x>7与x<13组合成一个整体即构成一元一次不等式组,即把两个不等式合起来,组成一个一元一次不等式组.•由此例可知不等式组的解集即为各个不等式的解集的公共部分. (二)导入知识,解释疑难 1.教材内容讲解

通过以上分析可知一般地,几个不等式的解集的公共部分,叫做由它们所组成的不等式组的解集,解不等式组就是求它的解集.

例:解下列不等式组,并把解集在数轴上表示出来.

2x1113x150 (1)  (2) 3x1

7x28x1x2 (3) 2x2412x4x (4) 

3x433x15解:(1)由①得x>5,由②得x>-2,在数轴上表示为如图.

-2-10123456

它们的公共部分为x>5,故不等式组的解集为x>5.

(2)由不等式①得x<6,由不等式②得x≥1,在数轴上表示为如图.

-2-10123456

它们的公共部分为1≤x<6,即为不等式组的解集.

(3)由不等式①得x<1,由不等式②得x≥2,在数轴上表示为如图.

-2-14601235

它们没有公共部分,故此不等式组无解.

(4)由不等式①得x<-3,由不等式②得x<

7,在数轴上表示为如图. 317334-4-3-2-10

它们的公共部分是x<-3,即为不等式组的解集.

由上述四例可发现不等式组的解集有四种情况:

若a>b:①当xa时,•则不等式的公共解集为x>a;

xb②当xa时,不等式的公共解集为bxbxa③当时,不等式的公共解集为xxb④当

xa时,不等式组无解.

xb

练习:解下列不等式组:

2x53(x2)2x73(1x)5x38x2 (1) x1x (2) 42 (3) x12x3

x31x333232 解:(1)不等式2x+5≤3(x+2)的解为x≥-1,不等式的解集为-1≤x<3.

(2)不等式2x-7<3(1-x)的解为x<2,不等式的公共解集为x≤-1.

(3)不等式5x+3>8x-2的解为x<共解集为x<

x1x 的解为x<3,•故不等式组2342x31x的解为x≤-1,故不等式组335x12x3,不等式的解为x<3,•故不等式组的公

3235 . 3 2.探究活动

试确定以下不等式组的解集:

2(x6)3x (1)求不等式组2x15x1的整数解.

123xy02x53x4x50 (2)解不等式组4(3x1)5(2x1) (3) 

1xxx30x1023 解:(1)2(x-6)<3-x的解集为x<5,

2x15x11的解集为x≥-1.•不等式组的公329,不等式2共解集为-1≤x<5,其整数解有-1,0,1,2,3,4,故不等式组的整数解为-1,0,1,2,3,4. (2)不等式2x-5<3x+4的解集为x>-9,不等式4(3x-1)<5(2x+1)的解集为x<

1xx2的解集为x≤ ,不等式组的公共解集必须同时满足这三个不等式,故其解集为3252-95 (3)x-7<0的解集为x<7,x-5<0的解集为x<5,x+3>0的解集为x>-3,x+1>0的解集为x>-1,不等式组的解集必须同时满足这四个不等式,故其公共解集为-11.你是如何确定方程组的解的?

方程组的解即是指同时满足各个方程的解. 2.方程组的解与不等式组的解有什么异同?

无论是方程组还是不等式组,它们的解均是指同时满足各个方程(不等式)•的解的公共部分,但方程组的解一般只有一组,而不等式组的解一般有很多范围可选择.

3.不等式组的解的四种情形.

作业设计

(一)双基练习

2x1x 1.解不等式组: 1

x32 2.解不等式组: 2x0

3x503x2x1

x54x1 3.解不等式组: 5x23(x1) 4.解不等式组: 13

x15x22 (二)创新提升

5.是否存在实数x,使得x+3<5,且x+2>4. (三)探究拓展 6.已知不等式组2xa1的解集为-1x2b3