1. 复数A. 第一象限2. 设A.
在复平面上对应的点位于( )
B. 第二象限
，
C. 第三象限
，则
D. 第四象限
( )
B. C.
则
D.
的最大值等于( )
3. 实数x，y满足约束条件A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
4. 某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他
们一周阅读时间单位：
，绘制了下面频率分布直方图.根据直方图，得到甲，乙两校学生
，标准差分别为
，
，则于( )
一周阅读时间的平均数分别为
A. C. A. C.
，，
B. D. B.
对称
，，
5. 已知函数
是偶函数的图象关于直线
，下列结论正确的是( )
在
上单调递增
D. 的图象与x轴围成的三角形面积为2
6. 在直角坐标系xOy中，锐角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边
与单位圆交于点
若
，则
( )
A. B.
，
C.
，
D.
若点P满足
，则
7. 直角三角形ABC中，
( )
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A. 0B. C. D.
8. 如图，圆柱的底面直径AB与母线AD相等，E是弧AB的中
点，则AE与BD所成的角为( )
A. B. C. D.
9. 某工厂产生的废气经过过滤后排放，已知在过滤过程中的污染物的残留含量
与过滤时间
为常数，滤掉了
单位：
之间的函数关系为
单位：
，其中e是自然对数的底数，k
，则污染物被过
为原污染物总量.若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了所需时间约为
( )
A. 73h10. 椭圆
B. 75hC. 77hD. 79h
的上顶点为A，F是C的一个焦点，点B在C上，若
，则C的离心率为( )
A. 11. 将函数
的图象关于点
B. C.
的图象向左平移
对称，且在
D.
个单位后得到函数
( )
的图象.若
上单调递减，则
A. 12. 设A. 13.
14. 已知圆M：
B. C. 1
，则( )
D. 2
B. C. D.
的展开式中的常数项为______ .
，双曲线
倾斜角为锐角的直线l过
M的圆心，且与N的一条渐近线平行，则l的方程为______ .
15. 在中，点D在BC边上，
，则
______ .
若，
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16. 如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为
单位：
的正方体截去四个相同的三棱锥截面为等腰三角形
后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为______
17. 公比为q的等比数列
求a与q的值；若
，记数列
的前n项和
的前n项和为，
如图
，求，将
如图
沿AC折起到
的位
18. 矩形ABCD中，
置.点
在平面ABC上的射影E在AB边上，连结
证明：过直线
；
的平面与BC平行，求
与所成角的正弦值.
19. 为普及航空航天科技相关知识、发展青少年航空航天科学素养，贵州省某中学组织开
展“筑梦空天”航空航天知识竞赛，竞赛试题有甲、乙、丙三类每类题有若干道，各类试题的每题下表所示，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮分之和即为选手总分.题型项目甲类题乙类题丙类题
每小题分值每小题答对概率
102030
其竞赛规则为：
第一轮，先回答一道甲类题，若正确，进入第二轮答题：若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，否则退出比赛.
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第二轮，在乙类题中选择一道作答，若正确，进入第三轮答题；否则，退出比赛.第三轮，在前两轮位作答的那一类试题中选择一道作答.
小明参加竞赛，有两种方案选择，方案一：先答甲类题，再答乙类题，最后答丙类题；方案二：先答甲类题，再答丙类题，最后答乙类题.各题答对与否互不影响.请完成以下解答：
若小明选择方案一，求答题次数恰好为3次的概率；经计算小明选择方案一所得总分的数学期望为该选择哪一种方案？并说明理由.
，为使所得总分的数学期望最大，小明
20. 过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，O为坐标原点，
求C的方程；
在x轴上是否存在点T，使得直线TA与直线TB的斜率之和为定值的坐标和定值k；若不存在，请说明理由.
若存在，求出点T
21. 已知函数
当当
时，讨论函数时，求曲线
，
的单调性；
与
的公切线方程.
为参数，常数
，以坐
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的方程为
写出C的极坐标方程和l的直角坐标方程；若直线值.
和C相交于A，B两点，以AB为直径的圆与直线l相切，求的
23. 设
求证：
，，已知函数；
的最小值为
，求证：
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答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为所以
所以复数z在复平面内对应的点的坐标为故选：
根据复数代数形式的除法运算化简复数z，再根据复数的几何意义判断即可．本题主要考查复数的几何意义，以及复数的四则运算，属于基础题．
，
，
，位于第四象限．
2.【答案】B
【解析】解：故故故选：
解不等式得到集合B，从而求出交集．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
或
，
，解得
或
，
3.【答案】C
【解析】解：根据题意，画出可行域阴影部分及目标函数，因为
交点的纵坐标，故当联立故故选：
画出可行域及目标函数，利用几何意义得到最大值．本题考查简单线性规划相关知识，属于中档题．
经过点A时，
，得
，将其代入解析式，得到
，
的最大值为取得最大值，
中斜率为
，z的几何意义为
与y轴
4.【答案】D
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【解析】解：根据频率分布直方图可知
，，
所以
，
，
，所以故选：
根据频率分布直方图求出平均数与方差，即可判断．
本题主要考查频率分布直方图，平均数与方差的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：A选项，，
画出其函数图象，如下：
故不是偶函数，A错误；
B选项，在
上单调递减，故B错误；
C选项，的图象关于直线
对称，C正确；
D选项，的图象与x轴围成的三角形面积为
，D错误．
故选：
去掉绝对值，得到，画出其图象，进而判断出四个选项．
本题主要考查了分段函数的图象和性质，属于基础题．
6.【答案】B
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【解析】解：因为所以所以又所以因为点所以所以故选：
由两角和正切公式求
，
，，所以
，
，
，，
为的终边与单位圆的交点，，
，结合同角关系求，根据三角函数定义求
本题主要考查了两角和的正切公式，同角基本关系及三角函数定义的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：由题意得
，，
，
，
，
，
故选：利用
表示
，结合数量积的性质和数量积的定义，即可得出答案．
本题考查平面向量数量积的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：取
，
故四边形ADFE为平行四边形，所以所以设
或其补角为AE与BD所成角，，则
，
，由勾股定理得：
，
，
，
的中点F，连接EF，BF，DF，则
，且
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由余弦定理得，
故，
所以AE与BD所成角为故选：
作出辅助线，找到异面直线形成的夹角，求出各边长，利用余弦定理求出夹角．本题考查异面直线所成角问题，余弦定理的应用，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】C
【解析】解：由题意得两边取对数，故
设污染物被过滤掉了则即
故污染物被过滤掉了故选：
根据题意列出方程，求出
，得到函数解析式，再设出未知数，解方程，求出答案．
所需时间约为，，化简得，解得所需时间约为
，
，
，故
，化简得
，
，
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
10.【答案】A
【解析】解：因为其中则由解得故
，
，得
，
中得：
，
，不妨设
，
，
，
，
，所以A，B，F三点共线，
，
，将其代入，解得
故离心率为
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故选：
根据向量关系得到A，B，F三点共线，表达出B点坐标，代入椭圆方程，求出离心率．本题考查椭圆的几何性质，向量的坐标运算，方程思想，属中档题．
11.【答案】B
【解析】解：由题意得
的图象关于点故又则故当当因为
时，时，
在
在
，
对称，故，解得
，
，，又
或1，
在
，
上单调递减，，解得
，
，，
上单调递减，故，
，解得
满足要求，经检验，满足，当
时，
上不单调递减，不合要求，舍去，
其他均不合要求．故选：
先根据左加右减得到又函数的单调性得到
的解析式，进而根据函数关于
，从而求出答案．
对称，求出
，
，
本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
12.【答案】A
【解析】解：设则
，且
，
，
，即
设
，
，则
，
单调递减，
，即
，
，
，，，
，
，
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设设
，则在
即
，
，即
，则，，
时单调递增，
在
，
在
时单调递增，，
，
，
，
，
时单调递增，
，，
，即，
故选：构造函数
，
，并判断单调性，得到
，并判断单调性，得到即可．
，再构造函数
本题考查利用构造函数的单调性比较大小，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：
的展开式通项公式为
，
令故
，解得，，
所以展开式中常数项为故答案为：
利用二项式定理得到展开式的通项公式，求出常数项．本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题．
14.【答案】
第10页，共18页
【解析】解：圆M：圆M：又双曲线
的圆心
的渐近线方程为
，即圆M的标准方程为
，半径或
，
，
，
直线l过圆M的圆心，且与N的一条渐近线平行，其倾斜角为锐角，直线l的方程为故答案为：
由圆的方程求圆心，由双曲线方程求双曲线的渐近线方程，由此确定直线l的方程．本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
，即
15.【答案】3
【解析】解：在在
中，由正弦定理，得
，②
，
，
，，
，解得
，且
，
，①
中，由正弦定理，得
两式相除，得因为所以故故答案为：
在两个三角形中，分别使用正弦定理，结合
，求出答案．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
16.【答案】
、D为正方体底面边上
【解析】解：如图将正方体补全，依题意可得A、B、的中点，
要使球的表面积最小，即为求如图建立空间直角坐标系，
的外接球的表面积，
第11页，共18页
则则几何体设球心为即所以
，，
外接球的球心必在上、下底面中心的连线上，
，球的半径为R，则
，解得
，
，即该球表面积的最小值为，
，
所以外接球的表面积故答案为：
将正方体补全，依题意可得A、B、表面积最小，即为求
、D为正方体底面边上的中点，要使球的
的外接球的表面积，建立空间直角坐标系，几何体
，球的半径
外接球的球心必在上、下底面中心的连线上，设球心为
为R，由距离公式得到方程，求出m，即可求出
，从而得解．
本题考查球的表面积计算，考查空间向量在立体几何中的运用，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：
当当
时，时，，
又数列又
，为等比数列，则
，，解得
；
；
，
，
，
，
，
第12页，共18页
当时，，
【解析】
先求
根据
，
的关系由条件求
，再结合等比数列定义，即可得出答案；
，利用等差数列求和公式求，利用裂项相消法求和，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】证明：
所以又所以又所以解：由于所以故平面
，平面平面
；
过E作
，平面即为平面
，
由题意知：平面ABC，平面ABC，
平面，平面，且，
交AC于F，连结平面
，
，平面
，
建立如图所示空间直角坐标系：
由于又因此由所以所以则在
，，，故
，又平面
，中可得，
，，
，故
，
，
，
是的一个法向量，
，平面
，
，BC，
平面
，
，，
第13页，共18页
，
则
，，
设则
与所成角为，
，
即与平面所成角的正弦值为
先证明；
过E作
交AC于F，连结
，
，由线面垂直判定定理证明
平面
，再证明
【解析】
，证明平面与平面重合，建立空间直角坐标
与所成角的正弦值．
系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求
本题主要考查了直线与平面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．
19.【答案】
类试题”，则记事件
解：记事件“小明先答对甲类一道试题”，“小明继续答对另一道甲
“小明答对乙类试题”，
，
“小明答题次数恰好为3次”，则
“小明答对丙类试题”，
，
，
即小明答题次数恰好为3次的概率为；
解：设小明竞赛得分为X，由方案二知X的可能值为0、10、40、60，
，
，
，，
第14页，共18页
所以，因为【解析】
，所以选择方案一． 记事件
，
“小明先答对甲类一道试题”，“小明继续答对另一道甲类试题”，
，利
“小明答对乙类试题”，“小明答题次数恰好为3次”，可知
用独立事件和互斥事件的概率公式可求得事件E的概率；
设小明竞赛得分为X，由方案二知X的可能值为0、10、40、60，计算出X在不同取值下的概率，可求得
的值，与方案一的期望进行大小比较，可得出结论．
本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
20.【答案】解：
故设直线l的方程为
当直线l的斜率为0时，与抛物线交点为1个，不合要求，舍去，
，代入
并整理得
设由所以
，得
，即
，则
，即，；
，使，
，，
，
故抛物线的方程为
假设存在满足条件的点由所以
知
，
，化简可得：
，
因为上式对解得
，
恒成立，所以，
，
所以在x轴上存在点【解析】
，使得直线TA与直线TB的斜率之和为
先得到直线l的斜率不为0，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之积，进而
及抛物线方程；
，得到
由垂直得到向量数量积为0，列出方程，求出
假设点方程组，求出
，使
，
，结合第一问得到
第15页，共18页
本题主要考查了圆锥曲线定值问题，设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解，属于中档题．
21.【答案】解：
当，令
时，
，有
，函数，函数
在，
在R上单调递增；
在
，上单调递减，上单调递增，
当
，
故所以
因为所以设曲线则切线方程为整理得
时，
，即
，，在点
，与曲线
，即
，
，
在的切线相同，
，
又切线方程也可表示为即整理得所以消令
整理得
，
令因为又函数所以当
，
又所以
，
所以
在得，
，
，单调递减，在
，
，所以函数
在R上单调递增，在R上单调递增，又
，
，，
，
，
，，
，
，
在R上单调递增，
单调递增，
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所以因此函数即
此时切线方程为所以曲线【解析】
讨论
与
，
只有一个零点，
只有一个解
，
的公切线方程为
的导函数的单调性，确定
，
的单调性；
把公切线设出来，通过待定
系数法，比较系数可得切点横坐标，从而确定公切线方程．本题考查公切线，属于难题．
22.【答案】解：
通方程为且因为将得
由直线l的方程化简得
将直线得
，即
，，所以，
将曲线C的参数方程为参数，常数，消去t，得C的普
，
，
，即
，化简得
，即为l的直角坐标方程．
，代入
，
，即为C的极坐标方程，
，
代入，
故以AB为直径的圆圆心为O，半径圆心O到直线l的距离【解析】
，由已知得
，解得
消去参数得到C的普通方程，再利用公式得到极坐标方程，注意定义域，再求出l的
直角坐标方程；
将
代入C的极坐标方程，求出A，B的坐标，得到AB为直径的圆的圆心和半
径，根据相切关系得到方程，求出答案．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
证明：23.【答案】由题意得
，
因为，，，
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于是当且仅当即
由柯西不等式得
时取等号，
，
，
当且仅当，即，
即故【解析】
时取等号．
由绝对值三角不等式求出
，再利用基本不等式证明不等式；
由柯西不等式进行证明．
本题主要考查不等式的证明，考查转化能力，属于中档题．
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