第５期 ２０１２年５月 组合机床与自动化加上技术 Ｍｏｄｕｌａｒ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｔｏｏｌ＆Ａｕｔｏｍａｔｉｃ Ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｉｑｕｅ Ｎ０．５ Ｍａｙ．２０１２ 文章编号：１００１—２２６５（２０ｔ２）０５—０００６—０３ 最优输入整形抑制柔性机械臂的残留振动 马西良 （徐州工程学院电机工程学院，江苏徐州 ２２１００８） 摘要：研究机器人柔性机械臂末端残留振动的抑制，给出两自由度柔性臂的动力学方程设计了最优 输入整形器，并将其应用到柔性臂的运动，抑制柔性臂末端残留振动，通过实验对比与分析，结果表 明最优输入整形能够有效地抑制机械臂末端的残留振动，且引入系统的时滞时间更短。 关键词：柔性机械臂；残留振动；最优输入整形 中图分类号：ＴＨ１６；ＴＰ２４ 文献标识码：Ａ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ—ｓｕｐｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ Ｆｌｅｘｉｂｌｅ Ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ ｂｙ Ｏｐｔｉｍａｌ Ｉｎｐｕｔ Ｓｈａｐｉｎｇ ＭＡ Ｘｉ—ｌｉａｎｇ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ＆Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｘｕｚｈｏｕ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｘｕｚｈｏｕ Ｊｉａｎｇｓｕ ２２ １ ００８， Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ—ｓｕｐｐｒｅｓｓｉｏｎ ｏｆ ｒｏｂｏｔ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ ｅｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ，ｄｙｎａｍｉｃ ｅｑｕａ— ｔｉｏｎ ｏｆ ２Ｒ Ｆｌｅｘｉｂｌｅ Ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ ｗａｓ ｂｕｉｌｔ．Ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｉｎｐｕｔ ｓｈａｐｅｒ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｄｅｓｉｇｎｅｄ，ｔｈｅｎ ａｐｐｌｉｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｌｅｘｉｆｂｌｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ ｔｏ ｃｏｍｐｒｅｓｓ ｔｈｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｎｄｕｃｅｄ，ｔｈｒｏｕｇｈ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ａｎｄ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓ， ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｅｄ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ ｓｕｐｐｒｅｓｓ ｔｈｅ ｒｅｓｉｄｕａｌ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｌｅｘｉ— ｂｌｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ，ｔｏ ｒｅａｃｈ ｔｈｅ ｓｐｅｃｉｆｉｅｄ ｌｏｃａｔｉｏｎ，ａｎｄ ｔｈｅ ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｄ ｄｅｌａｙ ｔｉｍｅ ｏｆ ｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｅｖｅｎ ｓｈｏｒｔｅｒ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｍａｎｉｐｕｌａｔｏｒ；ｒｅｓｉｄｕａｌ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ；ｏｐｔｉｍａｌ ｉｎｐｕｔ ｓｈａｐｉｎｇ ０ 引言 相对于刚性机械臂，柔性机械臂则具有诸多优 点：质量轻，惯量小，低能耗，高效率，可以较大加速 度运动等，在机器人、航空航天等领域 。 被广泛采 用。但是，柔性机械臂在运动过程中会产生弹性变 形，这将引起柔性臂振动（也称残留振动），从而导致 柔性机械臂的运动不平稳，跟随精度变差，严重影响 了柔性臂优点的发挥。因此，必须采用有效的措施 对柔性臂的弹性变形进行抑制，目前国内外学者已 控制的切换，以实现对挠性悬臂梁的振动主动控制， 阀值的选取需根据系统响应速度和超调量而定，也 易受人为因素的影响。余跃庆等 基于模糊ＰＩＤ融 合控制思想实现了柔性机械臂的振动主动控制，控 制系统的总输出为模糊控制和ＰＩＤ控制输出的加权 和，但加权因子的选取需根据偏差值来决定，并在 具体操作过程中需要不断加以修正。本文针对环境 探测机器人的两自由度柔性机械臂，建立简化的动 力学模型，保留原有的对柔性臂控制系统硬件结构， 设计最优输入整形器并应用到柔性臂的运动控制 中，来抑制柔性机械臂末端的残留振动，实验证明采 用该控制策略，切实抑制了柔性臂末端的残留振动。 做了许多工作 ，如文献［５］开展了柔性梁的线性 化控制策略研究，结果显示线性化控制策略能够使 系统到达指定位置，但到达时间这一指标欠佳。文 献［６］利用ＰＩＤ方法进行欠驱动平面柔性机械臂的 控制分析和实验研究。但ＰＩＤ参数的调整存在较大 的人为性。魏井君等 提出采用修正Ｆｕｚｚｙ—ＰＩ双模 ｌ 环境探测机器人柔性机械臂的动力学建模 环境探测机器人工作时，需要控制两自由度柔 性机械臂运动，将安装在柔性臂末端的集成探测传 感器伸到期望位置，进行数据的采集、图像的传送等 控制方法，通过设置信号阀值实现Ｆｕｚｚｙ控制和ＰＩ 收稿日期：２０１１—０９—０６：修回日期：２０１ｌ一１１—０７ 基金项目：国家高新技术研究发展（８６３）计划项目（２００６ＡＡ０４Ｚ２０８） 作者简介：马西良（１９７７一），男，山东临沂人，徐卅Ｉ工程学院博士，主要从事机器人技术、自动控制技术的研究 ２０１２年５月 马西良：最优输入整形抑制柔性机械臂的残留振动 ・７・ 工作。柔性臂的结构如图１所示，主要由臂杆１，臂 杆２，关节１，关节２及机械臂末端构成，柔性臂末端 安装了集成探测传感器，称之为柔性臂末端质量块。 关节１和关节２均采用ＭＡＸＯＮ直流电机驱动，并带 有光电编码器，用于测量关节转动的角度及角速度； 关节１与机器人的躯干相连，关节２连接着臂杆１和 臂杆２，两臂杆均为工字型铝合金材料，臂杆１运动 时的弹性变形不明显，可视为刚性杆，臂杆２稍微细 长，运动时有明显的弹性变形。关节由为定子和转 子构成，关节１的定子在机器人的躯干上，转子的质 量为ｍ。，转动惯量为．， 。关节２的定子的质量为 ｍ ，转动惯量为．， ，定子质量为ｍ ，转动惯量为 ， 臂杆２末端质量块的质量为ｍ 。 图１ 柔性臂的简化图 假设 。和 是分别作用在关节１和关节２的 驱动力矩， 。和 为对应的关节转过的角度。结合 柔性臂的实际运动，只需考虑臂杆２在竖直面内的 弹性变形（摆动位移）Ｙ，而在横向的弹性变形和扭转 弹性 皆可予以忽略，利用拉格朗日方程可得到柔 性臂系统的动力学方程： ｒＺ ０＋Ｄ ＋Ｑ ｌ西＝Ｍ ｉ Ｑ加 ＋西＋ 叩＝ｏ ‘ ’ 其中，０为柔性臂在竖直方向的转角向量０＝ （０ ，０：） ， 为转角向量Ｍ＝（ ，Ｍ ） ，Ｙ为在竖直 面内的弹性变形量，ｚ 为系统的惯量矩，Ｄ 为系统 的哥氏向心力矩，Ｑ Ｑ柚为系统的耦合矩， 为臂杆 ２的一阶振动模态频率，卵为模态变量，对（１）式进行 处理可得到柔性臂系统的传递函数为： Ｉ ２ 一 １ Ｇ（５）＝＝ｓ Ｉ ｚ ——： —：：— Ｑ Ｑ：Ｉ ‘２） 从柔性臂系统的传递函数可以知道，环境探测 机器人的柔性臂为典型的小阻尼系统，故可采用输 入整形技术对柔性臂末端的残留振动进行控制 １０］， 考虑到输入整形会引入系统的时滞时问，本文采用 最优输入整形技术来进行残留振动的抑制，且保证 较短的系统时滞时间。 ２最优输入整形的原理及设计 本文依据最优控制原理，依照柔性臂系统的动 力学方程设计了时滞时间可任意选择的最优输人整 形，然后与柔性臂的运动控制指令卷积后再控制柔 性臂的运动，从而抑制柔性臂末端的残留振动。 ２．１最优输入整形的原理： 最优输入整形的设计借鉴最优控制理论，根据 目标函数的极小值原理，对控制器的性能指标进行 参数优化，得到目标函数极值最小的控制器，文献 ［１１］给出了使柔性系统残留振动最小的最优输入整 形的传递函数为： ，（ｓ）＝１—２ｃｏｓ（２ｗｄＴ】）ｅ一扣 ｅ ｌ ＋ｅＩ２扣 ｌ ｅ （３） 其中 ＝ √１一 为柔性系统的有阻尼固有频 率。 对（３）式进行归一化处理可得： Ｆ（ ）＝Ａ１＋Ａ２ｅ—ｕ ＋Ａ３ｅ一 （４） 式中，最优输入整形器的脉冲幅值和时滞分别为： Ａ－＝ １一 —２ｃｏ ｓ ２ （ ｗ Ｔ ｄ １）ｅ ｕ＋ｅ 扣 ． ２ｃｏｓ（２ ｄＴ１）ｅ。 一 １一 —２ｃｏ ｓ ２ （ ｗ Ｔ ｄ １）ｅ叶 ＋ｅ （５） １ ２ｃ 一 ｏｓ （２ ｄ １）ｅ。 Ｔ ＋ｅＩ２ 旺。 （６） ２．２最优输入整形器的设计 经过实验测量得到环境探测机器人的柔性臂的 诸多参数如表１所示，经计算得柔性臂系统的阻尼 ＝０．０２３，柔性臂系统的固有频率 ＝５．４ｒａｄ／ｓ，假定 可容忍的柔性臂振动幅值比 。＝５％。由文献［１２］ 可知，传统的输入整形器（如ｚ 输入整形器）的时滞 时间 固定为系统振动的半周期，输入整形器的脉 冲个数越多，引入目标系统的时滞时间越长，系统的 响应时间也越长，而最优输入整形器的时滞时间 可任意选择，采用最优输入整形器抑制柔性系统的 残留振动可有效降低引入系统的时滞时间，系统有 较快的响应时间。选取最优输入整形器的时滞时间 Ｔ ＝０．３ｓ，代人（５）（６）式得最优输入整形器： 。。４ 。】 为对比最优输入整形器对柔性臂末端残留振动的抑 制效果，设计相应的ＺＶ输人整形器： 。 ・８・ 组合机床与自动化加工技术 第５期 表１柔性机械臂的参数 关节１ 关节２ 臂杆２（柔性杆） Ｊ１＝０．３３ｋｇ・ｎｌ ．／２＝０．１１ｋｇ・ｌｌｆｌ 臂杆２长为０．９ｍ ｍｌ＝６．１ ｋｇ Ｊ２ ＝０．１９ｋｇ・ｍ 弯曲刚度为０．３５Ｎ・ＩＴＩ ｍ２＝１．８ｋｇ．ｍ２ ＝４．３ｋｇ 横截面积为３．１４ｃｍ。 ｍ３＝１．８ｋｇ 密度为７．８×１０ ｋｇ・ｉｎ一 ３实验及结果分析 ３．１实验方案 通常环境探测机器人柔性臂要经过加速、匀速 （有时也可不含此阶段）、减速几个阶段完成运动，到 达期望位置，这样的运动可用梯形速度曲线描述如 图２所示。将设计好的最优输入整形器和梯形曲线 型的运动指令卷积，得到整形后的运动指令，然后将 其离散化，便于用计算机控制，经计算机的控制软件 处理后送给柔性臂控制系统，进而抑制柔性臂到达 目标位置时末端的残留振动。安装在柔性臂末端的 微型振动传感器采集柔性臂末端的振动数据并传至 控制计算机，为实验分析所用。 Ｌ重 塑 墨 器＿一＿＿－伺服回路 图２实验方案框图 ３．２ 实验方法 为了验证最优输入整形对柔性臂末端残留振动 抑制的效果，搭建了环境探测机器人柔性机械臂的 实验系统，如图３所示。实验软件的功能是生成柔 性臂的运动指令，根据最优输入整形器的幅值和时 滞时间设计最优输入整形器并和运动指令卷积，然 后把卷积后的结果作离散化处理。运动控制器负责 将实验软件发来的指令进行控制算法处理成伺服驱 动信号传给伺服驱动系统（伺服驱动器和带光电编 码器的伺服电机一起构成伺服驱动系统），由伺服驱 动系统完成柔性臂的运动，完成运动后将柔性臂末 端的微型振动传感器所采集的数据进行处理分析。 图３实验系统框图 ３．３实验结果分析 为检验最优输人整形抑制环境探测机器人的柔性 机械臂末端的残留振动的有效性，实验在两个工况下 进行。工况Ｉ：柔性臂以０．６ｒａｄ／ｓ的速度，２ｒａｄ／ｓ 的角 加速度做点到点的运动；工况２：柔性臂以１ ｒａｄ／ｓ的 速度，４ｒａｄ／ｓ 的角加速度做点到点的运动。在每个 工况下柔性臂分别在未整形的运动指令（梯形速度 曲线）、经ｚＶ整形器卷积后的运动指令、经最优输人 整形卷积后的运动指令作用下运动，实验软件对每 次实验采集的柔性臂末端的数据做图形化处理。 在工况１下的实验结果如图４所示，柔性臂以未 整形的运动指令做点到点的运动，到达期望位置时 末端振动的最大摆角为１６．５。，最大振动位移０．２５６ 米（ｓｉｎ１６．５ Ｘ臂杆２长０．９ｍ），经１２．３ｓ振动停止； 柔性臂以经ＺＶ整形器卷积后的运动指令做点到点 的运动，到达期望位置时末端振动的最大摆角为 ６．９。，最大振动位移０．１０８ｍ，经４ｓ振动停止；柔性臂 以经最优输入整形器卷积后的运动指令做点到点的 运动，到达期望位置时末端振动的最大摆角为４．８。， 最大振动位移０．０７５ｍ，经０．９ｓ振动停止。 在工况２下的实验结果如图５所示，柔性臂以未 整形的运动指令做点到点的运动，到达期望位置时 末端振动的最大摆角为３９．８。，最大振动位移 ０．５７６ｍ，经２１．５ｓ振动停止；柔性臂以经ＺＶ整形器 卷积后的运动指令做点到点的运动，到达期望位置 时末端振动的最大摆角为１１．４。，最大振动位移 ０．１７８ｍ，经９．４ｓ振动停止；柔性臂以经最优输入整 形器卷积后的运动指令做点到点的运动，到达期望 位置时末端振动的最大摆角为７．１。，最大振动位移 ０．１１ｍ，经２．４ｓ振动停止。 （ｃ）最优整形 图４在工况１下整形前和整形后末端振荡幅值的输出 ５Ｏ Ｏ 一５Ｏ 箬警 一 二 二 二 ・１２・ 组合机床与自动化加工技术 第５期 咖６ ㈣㈣ ５ ４剐 ３ ４ 咖 ３０ ｌ ４ ２ ８ ２ ６ ｌ姗彻 （３）基于ＶＥＲＩＣＵＴ二次开发的数控加工 过程切削力仿真方法，能够在保证仿真精度的 情况下，显著提高数控加工过程的切削力仿真 效率，有效解决了传统切削力仿真软件效率低 下的问题。 ［参考文献］ ［１］郑金兴．面向虚拟制造中物理仿真单元技术研究 ［Ｄ］．哈尔滨工程大学，２００３． 时间， ［２］杨勇，李长河，孙杰・钛合金Ｔｉ６Ａ１４Ｖ铣削加工中 切削力的三维数值模拟［Ｊ］．应用基础与工程科 图５ 切削力０一ｌＯＯｓ曲线 －ｌ … ＿ ＩＩ幽鞠■ｌ一 ■¨ 。 “ ， 学学报，２０１０，１８（３）：４９３—５００． ３ 结束语 （１）通过使用Ｖｅｒｉｃｕｔ软件提供的二次开发工具 Ｏｐｔｉｐａｔｈ，在ＶＣ平台下编写代码实现切削参数的提取。 （２）使用Ｃ＋＋中面向对象的编程工具ＭＦＣ开发 物理仿真结果输出界面，提取ｏｐｔｉｐａｔｈ输出的参数， 同时根据正交切削实验和多元线性回归法提供的切 削力计算模型，可以在ＭＦＣ开发界面中输出切削力 大小随时问变化的曲线。 ［３］陈波，赵福令．基于ＶＥＲＩＣＵＴ的数控加工过程仿真技术 ［Ｊ］．机械设计与制造，２００６（６）：５８—６０． ［４］ＣＵＴ．Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ Ｔｏｏｌｓ［Ｊ］．ＣＧＴｅｃｈ ｈｅｌｐ ｌｉｂｒａｒｙ ｖｅｒｓｉｏｎ ７．０，２００９（８）：２—１３． ［５］Ｒ．Ｖ．Ｋａｚｂａｎ，Ｋ．Ｍ．Ｖ．Ｐｅｎａ，Ｊ．Ｊ．Ｍａｓｏｎ．Ｍｅａｓｕｒｅ— ｍｅｎｔｓ ｏｆ ｆｏｒｃｅｓ ａｎｄ ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅ ｆｉｅｌｄｓ ｉｎ ｈｉｇｈ・・ｓｐｅｅｄ ｍａｃｈｉ － ｎｉｎｇ ｏｆ ６０６ １一Ｔ６ ａｌｕｍｉｎｕｍ ａｌｌｏｙ［Ｊ］．Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ Ｍｅｅｈａｎ— ｉｃｓ，２００８（１）：３０７—３１７． （编辑李秀敏） （上接第８页） 从两个工况下的实验结果数据来看，ＺＶ整形器 对柔性臂末端残留振动的抑制有明显的效果，但系 统的运动时间因ｚＶ整形器引入时滞时间而变长；最 优输入整形对柔性臂末端残留振动的抑制要比ＺＶ ［４］ＣａｉＧｕｏｐｉｎｇＬｉｍ ＣＷ Ａｃｔｉｖｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ａ ｆｌｅｘｉｂｌｅ ｈｕｂ ｂｅａｍ ｓｙｓｔｅｍ ｕｓｉｎｇ ｏｐｔｉｍａｌ ｔｒａｃｋｉｎｇ ｃｏｎｔｒｏｌ ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］．［ｎｔｅｒｎａ— ｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，２００６，４８（１０）：１ ｌ ５０ —１１６２． ［５］吴忻生，邓军．末端有未知扰动的分布参数柔性机械臂 的鲁棒边界控制［Ｊ］．控制理论与应用，２０１１，２８（４）：５１１ —整形器作用时更有效，况且最优输入整形器的时滞 时间可任意选择，又可获得较快的系统响应。 ５１８． ［６］陈炜．欠驱动平面柔性机械臂动力学分析与控制研究 ［Ｄ］．北京：北京工业大学，２００６． ［７］魏井君，邱志成，叶春德．基于模糊控制的压电挠性梁的 ４ 结束语 柔性机械臂的弹性振动对柔性臂末端轨迹特性 有相当的影响，本文以环境探测机器人柔性机械臂 振动主动控制实验研究［Ｊ］．振动与冲击，２００８，２７（１２）： ９１—９６． 为研究对象，对其进行动力学建模，并设计最优输入 整形器及ｚＶ整形器，在不同的工况条件下研究最优 输入整形抑制柔性机械臂末端的残留振动有效性， 通过实验结果分析，证明了最优输入整形器不仅能 有效的抑制柔性机械臂末端的残留振动，而且引入 系统的时滞时间可以更短，具有比ＺＶ整形器更好的 系统响应时间。 ［参考文献］ ［１］刘迎春，余跃庆，姜春福．柔性机器人研究现状［Ｊ］．机 械设计，２００３，２０（１２）：４—７． ［２］Ｄｕ Ｅ，ＣｕｉＨｏｎｇｌｉａｎｇ，ＺｈｕＺｈｅｎｑｉ Ｒｅｖｉｅｗ ｏｆ ｎａｎｏ ｍａｎｉｐｕｌａ— ｔｏｒｓ ｆｏｒ ｎａｎｏ ｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｎｏｍａｎｕｆａｃｔｕｒｉｎｇ，２００６，１（１）：８３—１０４． ［８］余跃庆，周刚，方道星．基于模糊ＰＩＤ融合的柔性机械臂 振动压电主动控制研究［Ｊ］．中国机械工程，２００８，１９ （１５）：１８３６—１８４１． ［９］黎林．基于双重驱动的柔性机械臂振动控制研究［Ｄ］． 南昌：华东交通大学，２００９． 【１Ｏ］Ｅｒｉｋａ Ａ．Ｏ Ｂ．Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ Ｕｓｉｎｇ Ｃｏｍｍａｎｄ Ｇｅｎｅｒ— ａｔｉｏｎ ｉｎ Ｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｆｌｙｉｎｇ Ｓａｔｅｌｌｉｔｅｓ［Ｄ］．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍｅｃｈａｎ— ｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｇｅｏｒｇｉａ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００５． ［１１］Ｍｏｈａｍｍｅｄ Ｆ Ｄ，Ｚｉｙａｄ Ｎ Ｍ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｉｎｐｕｔ—Ｓｈａｐｉｎｇ Ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒ ｆｏｒ Ｑｕａｙ—Ｓｉｄｅ Ｃｏｎｔａｉｎｅｒ Ｃｒａｎｅｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｄｙｎａｍｉｃｓ，２００６，４５：１４９—１７０． ［１２］Ｊａｎｇ Ｗ Ｓ，Ｋｉｍ Ｋ Ｓ，Ｌｅｅ Ｋ Ａｎ Ｏｐｅｎ—Ｌｏｏｐ Ｃｏｎｔｒｏｌ Ｓｃｈｅｍｅ ｆｏｒ Ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｒｅｓｉｄｕａｌ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ ｏｆ ａ Ｆｌｅｘｉ— ［３］邱志成，韩建达，王越超．基于复合喷气压电驱动器的柔 ｂｌｅ Ｒｏｂｏｔ［Ｊ］．Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｒｆ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００３， 性机械臂振动控制［Ｊ］．机械工程学报，２００９，４５（５）：１８４ —４３（４）：３８７—３９４． （编辑赵蓉） １９２
