2014考研数学二答案真题解析

1.B

xlimln(12x)0+xxlim(2x)0x2lim1x0x0111(1cosx(x2)121xlim)20xlim2x0x(12)limx0xa021022、C

yxsin1xxsin1kxxlimyxlimxx1limxyxlimxsin1x0yxsin1x存在斜渐近线yx3、D

令fxx2,则在[0,1]区间f(0)0举例：

f(1)1gx0(1x)1xxfxgx又f''x20D4．C

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dy2t4dx2tdyt13dx22t2(2t4)d2y8(2t)2dx22t(2t)3d2y2dxkt11322y\"(1y')1(13)32233122R(13)1021010k5、D

xarctanxf(x)arctanx12.故.2arctanxxx1limx02x2limx0xarctanxxarctanxlimx2arctanxx0x31limx01x211x2lim.

x03x2(1x2)3x236、A

2u2u2u2u2u0，因为220，故A2与B2异号. 排除法当BxyxyyxACB20，函数u(x,y)在区域D内没有极值.

连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在D的边界点取到.7、B

解析：

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0ab0b0dabd0acac0dbdbdaccb(1)23bdac00bd0c(1)4100ba000cdc00a(1)21c0ad(1)33adacbdcbcbd(bcad)a(adbc)28、A 解析：

已知1，2，3无关设（11+k3)2(2l3)0即11+22+（k1l2)3012k1l20从而1+k3，2+l3无关反之，若1+k3，2+l3无关，不一定有1，2，3无关100例如，1=0，2=1，3=00009.

111113x11arctan|[()]dxdxx22x5x124222428110.

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f'x2(x1)x[0,2]f(x)x22xc又f(x)是奇函数f(0)0c0f(x)x22xx[0,2]f(x)的周期为4f(7)f(3)f(1)f(1)(12)111、解：方程两边对x求偏导：

e2yz(2yzx)2xzx0代入x12,y12解得：zx=1ez（112，）2+1两边对y求偏导e2yz(2z2yzy)2yzy0代入x12,y12解得：z1z（1，1）ez（112，）2y=221ez（2，）12+112.解：把极坐标方程化为直角坐标方程令

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xrcoscosyrsinsindysincosdy则ddxdxcossinddydx12201022xcos0当时，2siny2则切线方程为2(y)(x0)2化简为2yx213、质心的横坐标：

xf(x)dxf(x)dx0101x(x2x1)dx(x2x1)dx012012 (1423121xxx)4320(113xx2x)30112014、

f(x1,x2,x3)x12x222ax1x34x2x3(x1ax3)(x22x3)24x32a2x322f的负惯性指数为14-a202a2公众号“考试狗的学习秘籍”提供关注免费领取更多资料

15. 解：

limxx1(t(e1)t)dt1221tlimxx1(t(e1)t)dt2121t1x(e1)x12limlimx(ex1)xxx121xxln(1x)xx令1et1t1t1t2(t2)1txtlimxt2lim21xt2216、

解：

x2y2y'1y'y'1x2y21令y'0,x1''2x(y21)(1x2y)2yy'(y21)2又y'(1)y'(1)0y''(1)2y2(1)10,y(1)为极大值y''(1)2y2(1)10,y(1)为极小值下求极值'1x2yy21,(y21)dy(1x2)dx,(y21)dy(1x2)dx13y3yx13x3c又 y(2)0c23113y3yx23x33公众号“考试狗的学习秘籍”提供关注免费领取更多资料

代入 x113y3(1)y(1)11233y(1)1代入 x1,13y3(1)y(1)113230y(1)017、

解：积分区域D关于yx对称，利用轮对称行，

xsin(x2y2)dxdyDxyysin(x2y2)Dxydxdy1xsin(x2y2)ysin(x2y22xy)xydxdyD1sin(x2y22)dxdyD1220d21sin(r)rdr1241rdcos(r)14rcos(r)|212141cos(r)dr11324418、 解

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zf'excosy,x2zxx'xx2'xyeyefeeyfecos(f''cos)f''(cos)cosy2xzf'ex(siny),y2zxx'x22'xe[f''e(siny)fcosy](e)sinyf''fcosyey22z2x2zy2f''e2x(4zexcosy)e2xf''(excosy)4f(excosy)excosy令texcosy,f''(t)4f(t)ty''4yx求特征值：

240x2y(x)C2xx1eC22e再求非其次特征值。y(axb)代入y-14xyy(x)yC1e2xC2x2e14xy(0)=0=C1C2y'(0)=0=x1x124C11C20C1162C112C24C2116f()1212116e16e419.

解：（I）

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h1(x)g(t)dtaxh1(a)0h1'(x)g(x)0h1(x)单调不减当xa,b时，h1(x)0h2(x)g(t)dtxaaxh2'(x)g(x)10g(x)1h2'(x)0h2(x)单调不增又h2(a)0当xa,b时，h2(x)0p(x)f(u)g(u)duaxaaag(t)dtf(u)duxxg(t)dt]g(x)f(x)f[ag(t)dt]g(x)axp'(x)f(x)g(x)f[a0g(x)1xxag(t)dtdtxaag(t)dtxaaax又f(x)单调增加（Ⅱ）f(x)f[axag(t)dt]p'(x)0p(x)单调不减又（=0p(b)0pa）即f(x)g(x)dxabaaag(t)dtf(x)dxb20、

解：

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f(x)x1x,f1(x)f(x)xf2(x)f(f(x))11x1xx12x1xxf3(x)f(f(x))212x1用归纳法知：fn(x)xx13x12xx1nx1x11nx11Sndxdx01nxn01nx111(1)dx0n1nx112ln(1n),x[0,1]nnlimnSnlimn[nn1n1n2ln(1n)]1limln(1n)nn121. 解： 因

f2(y1)则 yf(x,y)y22y(x)2f(y,y)(y1)(2y)2f(y,y)y2y(y)则(y)y1故f(x,y)y22yx1f(x,y)0xy22y1x22Vf(x)1dxf(x)2f(x)1dx0(2x)dx2x202002222222、

解：

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1234r1r3(A)=0111120312344r2r3011104311001010200131234011100131205r3r22r2r101023r3r10013x1x4x22x4x33x4x4x4x11x2c2x33x14c为任意常数

x1设 B=x2x3y1y2y3z1z2z31000100011000100014123131141x111234Ax200111x012033y101234Ay2101111203y0

3

z101234Az200111z112033即

1001234123401110100111043100112031001205123401110100102001300100131001010-2001-326-1-1-31-1-41公众号“考试狗的学习秘籍”提供关注免费领取更多资料

x112x2c21x3131x104y116y2c23y3234y104z111z2c21z3331z104c12c26c312c12c32c123B13c113c243c31ccc231c1,c2,c3为任意常数23、

解：

11设A11110110 B1011111000120n001EA11(n)n11n=000012所以A 的n个特征值为1=n,2=又因为A是一个实对称矩阵，所以A可以相似对角化，且

An0，EB000’’0(n)n10N所以B 的n个特征值为1=n,2==0n’又0EB0000000-10-20-n所以r(0EB)1

故B的n-1重特征值0有n-1个线性无关的特征向量

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n0所以B也可以相似对角化，且B0所以A 与B 相似。

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