第二十五章概率初步一、选择题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)1．下列事件中，是必然事件的是(A．两条线段可以组成一个三角形B．400人中至少有两个人的生日在同一天C．早上的太阳从西方升起D．打开电视机，它正在播放动画片2．掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是(A．每2次必有1次正面向上B．必有5次正面向上C．可能有7次正面向上D．不可能有10次正面向上3．事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化．以上三个事件的概率分别记为P(A)，P(B)，P(C)，则P(A)，P(B)，P(C)的大小关系正确的是(A．P(C)＜P(A)＝P(B)B．P(C)＜P(A)＜P(B)C．P(C)＜P(B)＜P(A)D．P(A)＜P(B)＜P(C)4．由于各人的习惯不同，双手交叉时左手大拇指在上或右手大拇指在上是一个随机事件，)))曾老师对他所教的学生做了一个调查，统计结果如下表所示：2014届参与试验106的人数右手大拇指在上的人数频率0.5090.5180.5000.4900.500)57495156110981041122015届2016届2017届2018届根据表格中的数据，你认为在这个随机事件中，右手大拇指在上的概率可以估计为(A．0.6C．0.45B．0.5D．0.45．从标有数字－3，－2，－1，0，1，2，3的七张没有明显差别的卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数字的绝对值不小于2的概率是(A.17B.27C.37D.)476．小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中的一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为(A.14B.13C.12D.34)7．在▱ABCD中，AC，BD是两条对角线，现从以下四个关系式：①AB＝BC，②AC＝BD，③AC⊥BD，④AB⊥BC中任选一个作为条件，可推出▱ABCD是菱形的概率为(A.12B.14C.34D.25)8．把十位上的数字比个位、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上的数字为7，则从3，4，5，6，8，9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是(A.12)B.23C.25D.35二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)9．“一个有理数的绝对值是负数”是________事件．10．一个不透明的袋中装有除颜色不同外其余均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球．每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计袋中红球有________个．11．在一个不透明的箱子中装有4件同型号的产品，其中合格品3件、不合格品1件，现在从这4件产品中随机抽取2件检测，则抽到的都是合格品的概率是________．12．小明随机地在如图25－Z－1所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为________．图25－Z－113．点P的坐标是(a，b)，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，则点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．14．任取不等式组k－3≤0，2k＋5>0的一个整数解，则能使关于x的方程2x＋k＝－1的解为非负数的概率为________．三、解答题(本大题共4小题，共44分)15．(10分)在一只不透明的袋子中装有2个白球和2个黑球，这些球除颜色不同外其余都相同．(1)若先从袋子中拿走m个白球，这时从袋子中随机摸出1个球是黑球为必然事件，则m的值为________；(2)若将袋子中的球搅匀后随机摸出1个球(不放回)，再从袋中余下的3个球中随机摸出1个球，求两次摸到的球颜色相同的概率．16．(10分)一只不透明的袋中装有形状、大小等都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，7，8.现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位上的数字；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位上的数字．(1)写出按上述规定得到的所有可能的两位数；(2)从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率．17．(12分)A，B，C三人玩篮球传球游戏，游戏规则是：第一次传球由A将球随机地传给B，C两人中的某一人，以后的每一次传球都是由上次的接球者将球随机地传给其他两人中的某一人．(1)求两次传球后，球恰在B手中的概率；(2)求三次传球后，球恰在A手中的概率．18．(12分)有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有有3个完全相同的小球，分别标有数0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数－1，－2，0.现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数为y，确定点M的坐标为(x，y)．(1)用画树状图法或列表法列举点M的所有可能的坐标；(2)求点M(x，y)在函数y＝－x＋1的图象上的概率；(3)在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是2，求过点M(x，y)能作⊙O的切线的概率．详解详析
1．B[解析]A项，两条线段可以组成一个三角形是不可能事件，故A不符合题意；B项，400人中至少有两个人的生日在同一天是必然事件，故B符合题意；C项，早上的太阳从西方升起是不可能事件，故C不符合题意；D项，打开电视机，它正在播放动画片是随机事件，故D不符合题意．故选B.2．C[解析]因为一枚质地均匀的硬币只有正、反两面，所以不管抛多少次，硬币正面1朝上的概率都是，所以掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有7次正面向上．故选C.23．B[解析]事件A是随机事件，0＜P(A)＜1；事件B是必然事件，P(B)＝1；事件C是不可能事件，P(C)＝0.所以P(C)＜P(A)＜P(B)．故选B.4．B5．D[解析]∵标有数字－3，－2，－1，0，1，2，3的七张没有明显差别的卡片中，随机抽取一张，所抽卡片上的数的绝对值不小于2的有4种情况，∴随机抽取一张，所抽卡4片上的数的绝对值不小于2的概率是.故选D.76．A7．A[解析]①AB＝BC，③AC⊥BD能够推出▱ABCD为菱形，4种情形中有2种符合21要求，所以所求概率为＝.428．C[解析]任选两数的所有等可能的结果有以下15种：34，35，36，38，39，45，46，48，49，56，58，59，68，69，，其中能组成“中高数”的有6种，所以所求概率P62＝＝.故选C.1559．[答案]不可能10．[答案]8[解析]由题意可得，摸到黑球和白球的频率之和为1－0.4＝0.6，∴球的总个数为(8＋4)÷0.6＝20，∴红球有20－(8＋4)＝8(个)．11．[答案]12[解析]画树状图得：∵共有12种等可能的结果，抽到的都是合格品的有6种结果，61∴抽到的都是合格品的概率是＝.12212．[答案]3π9[解析]设内切圆的半径为a，则内切圆的面积为πa2，正三角形的高为3a，边长为23a，正三角形的面积为3153a2.故πa23π.P(针扎到内切圆区域)＝＝33a2913．[答案][解析]画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的结果数为4，所以点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率＝1341＝.20514．[答案][解析]∵不等式组5的解集为－＜k≤3，22k＋5>0k－3≤0，∴不等式组的整数解为－2，－1，0，1，2，3.k＋1.2关于x的方程2x＋k＝－1的解为x＝－∵关于x的方程2x＋k＝－1的解为非负数，∴k＋1≤0，解得k≤－1，∴能使关于x的方程2x＋k＝－1的解为非负数的k的值为－1，－2，21∴能使关于x的方程2x＋k＝－1的解为非负数的概率为＝.6315．解：(1)2(2)设黑球分别为H1，H2，白球分别为B1，B2，列表如下：第二次H1第一次H1H2B1B2(H2，H1)(B1，H1)(B2，H1)(B1，H2)(B2，H2)(B2，B1)(H1，H2)(H1，B1)(H2，B1)(H1，B2)(H2，B2)(B1，B2)H2B1B2总共有12种结果，每种结果的可能性相同，两次摸到的球颜色相同的结果有4种，所以两次摸到的球颜色相同的概率＝16．解：(1)画树状图如下：41＝.123共有16种等可能的结果，它们是11，41，71，81，14，44，74，84，17，47，77，87，18，48，78，88.(2)这些两位数中，算术平方根大于4且小于7的有6个，所以算术平方根大于4且小于7的概率＝17．解：(1)画树状图得：63＝.168∵共有4种等可能的结果，两次传球后，球恰在B手中的只有1种结果，1∴两次传球后，球恰在B手中的概率为.4(2)画树状图得：∵共有8种等可能的结果，三次传球后，球恰在A手中的有2种结果，21∴三次传球后，球恰在A手中的概率为＝.8418．解：(1)画树状图表示如下：从树状图可知点M的坐标共有9种等可能的情况，分别是(0，－1)，(0，－2)，(0，0)，(1，－1)，(1，－2)，(1，0)，(2，－1)，(2，－2)，(2，0)．(2)其中(1，0)，(2，－1)两个点在函数y＝－x＋1的图象上，2∴点M在函数y＝－x＋1的图象上的概率为P＝.9(3)在⊙O上或⊙O外的点M有5个，即(0，－2)，(1，－2)，(2，－1)，(2，－2)，(2，0)，过其中的每个点都能作⊙O的切线，5∴过点M能作⊙O的切线的概率为.9
