2011年考研数学二试题及答案

2011年全国硕士研究生入学统一考试

数学二试题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）已知当x0时，fx3sinxsin3x与cx是等价无穷小，则 （ ）

k（A）k=1, c =4 （B）k=1,c =4 （C）k=3,c =4 （D）k=3,c =4 【答案】（C）

【考点】无穷小量的比较，等价无穷小，泰勒公式 【难易度】★★★ 【详解】

解析：方法一：当x0时，sinxx

lim3sinxsin3x3sinxsinxcos2xcosxsin2xx0cxklimx0cxk limsinx3cos2x2cos2xx0cxklim3cos2x2cos2xx0cxk1 32cos2x12cos2limxx0cxk1lim44cos2x4sin2xx0cxk1limx0cxk1 lim4x0cxk31c4,k3，故选择（C）.

方法二：当x0时，sinxxx33!o(x3) 33f(x)3sinxsin3x3[xxo(x3)][3x(3x)o(x3)]4x3o(x33!3!)故c4,k3，选（C）.

2（2）设函数fx在x=0处可导，且f0=0，则limxfx2fx3x0x3= （（A） 2f0 （B）f0 （C） f0 【答案】（B）

【考点】导数的概念 【难易度】★★ 【详解】

）

D） 0

（

解析：limx0x2fx2fx3x3fxf0fx3f0 lim23x0xxf02f0f0

故应选（B）

（3） 函数f(x)ln(x1)(x2)(x3)的驻点个数为 （ ）

（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D）3

【答案】（C）

【考点】复合函数求导 【难易度】★★ 【详解】

解析：方法一：令g(x)(x1)(x2)(x3)，

易知g(1)g(2)g(3)0，且g(x)0有两个根，图象如图， 即g(x)有两个驻点，所以g(x)有两个驻点， 因为ylnx函数单调，故lng(x)有两个驻点，选C.

方法二：

(x2)(x3)(x1)(x3)(x1)(x2)3x212x11令f'(x)0

(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)有两个不同的根.所以f(x)有两个驻点.选（C）. （4） 微分方程yye（A） a(ex2xex(0) 的特解形式为（ ）

ex) （B） ax(exex) bex) （D） x2(aexbex)

（C） x(aex【答案】（C）

【考点】二阶常系数非齐次线性微分方程 【难易度】★★★★ 【详解】

解析：对应齐次微分放的特征方程为r0，解得r， 于是yye，yye分别有特解yaxex222x2x

，ybxex，

因此原非齐次方程有特解yx(aexbex).选（C）.

（5） 设函数f(x),g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)0,g(0)0,且f'(0)g'(0)0，则函数zf(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （ ）

（A） f''(0)0,g''(0)0 （B） f''(0)0,g''(0)0 （C） f''(0)0,g''(0)0 （D） f''(0)0,g''(0)0

【答案】（A）

【考点】多元函数的极值 【难易度】★★★ 【详解】

解析：因为函数zf(x)g(y)在点(0,0)处取得极小值，且f(x),g(x)均有二阶连续导数

所以

zf'(x)g(y)x(0,0)(0,0)0，

zy(0.0)f(x)g'(y)(0.0)0，满足.

2z又因为A2xf\"(x)g(y)(0,0)(0,0)f\"(0)g(0)，

2zBf'(x)g'(y)xy(0,0)2zC2yf(x)g\"(y)(0,0)(0,0)f'(0)g'(0)0，

(0,0)f(0)g\"(0)，

所以必须有BACf(0)g(0)f(0)g(0)0且A0， 又因为f(0)0，g(0)0， 所以f''(0)0,g''(0)0，选（A）.

200（6） 设I40lnsinxdx，J4lncotxdx，K4lncosxdx，则I,J,K的大小

关系是（ ）

（A） IJK （B） IKJ （C） JIK （D） KJI 【答案】（B）

【考点】定积分的基本性质 【难易度】★★ 【详解】

解析：如图所示，因为0x4时，

0sinx2cosxcotx，因此lnsinxlncosxlncotx 2π/4 4lnsinxdx04lncosxdx04lncotxdx，故选（B）.

0

（7） 设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行

10010010，P2001,则A= （ ） 得单位矩阵，记P110010101（A） P 1P2 （C） P1P2 （B） P2P1 （D）1P2P1

【答案】（D）

【考点】矩阵的初等变换 【难易度】★★ 【详解】

解析：由初等矩阵与初等变换的关系知AP1B，P2BE，

111P21PP2P所以ABP111，故选（D）

（8） 设A(1,2,3,4)是4阶矩阵，A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)是方程组Ax=0的一个基础解系，则Ax0的基础解系可为 （ ）

**T1,2 （C）（A） 1,3 （B） 1,2,3 （D） 2,3,4

【答案】（D）

【考点】★★★

【难易度】矩阵的秩；齐次线性方程组的基础解系 【详解】

解析：因为(1,0,1,0)是方程组Ax=0的一个基础解系

T1100所以A(1,2,3,4)130

1100

即1,3线性相关，故排除（A）（C），

4r(A)4**又因为r(A)1r(A)3，即r(A)2，所以排除（B），从而应选（D）.

0r(A)3

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

12x1)x . （9） lim(x02【答案】2

【考点】重要极限公式；洛必达法则

【难易度】★★ 【详解】

11212x解析：原式=lim[1(1)]2x02x(112x11)2xex0lim(12x11)2xe2x1x02xlime2xln2x02limeln222.

（10） 微分方程y'ye【答案】yexxcosx满足条件y(0)0的解为y= .

sinx

【考点】一阶线性微分方程 【难易度】★★ 【详解】

dxdxxx解析：ye(ecosxedxC)ex(cosxdxC)e(sinxC)

由于y(0)0,故C0,所以ye（11） 曲线yxsinx.

x0tantdt(0x4)的弧长s .

【答案】ln12 【考点】定积分的应用 【难易度】★★★ 【详解】

解析：ds1ydx1tanxdxsecxdx

22 s

404ln(12) secxdxlnsecxtanx0

ex,x0,（12） 设函数f(x)0，则xf(x)dx . x00,【答案】

1 【考点】反常积分；定积分的换元积分法与分部积分法 【难易度】★★ 【详解】 解析：原式 00dx

0xexdx0xdexxex0exdx

0e1x01（13） 设平面区域D由直线yx,圆xy2y及y轴所围成，则二重积分

22xyd . D【答案】

7 12【考点】二重积分的计算 【难易度】★★★ 【详解】

解析：用极坐标变换.D:42，0r2sin，于是

原式d242sin0rcosrsinrdr

2sin051 2sincosr4444sin6624d24cossind42sin5d(sin)

446227112 32（14） 二次型f(x1,x2,x3)x13x2x32x1x22x1x32x2x3，则f的正惯性指数为 .

【答案】2

【考点】矩阵的特征值的概念；用配方法化二次型为标准形 【难易度】★★★ 【详解】

解析：方法一：f的正惯性指数为所对应矩阵正特征值的个数.

222

111由于二次型f对应矩阵A131，

1111EA11111140，

311故10,21,34.因此f的正惯性指数为2.

方法二：用配方法. fx12x1(x2x3)(x2x3)3x2x32x2x3(x2x3)

2 x1x2x32x2

TT22那么经坐标变换xAxyyy12y2，亦知p2.

222222三、解答题：15~23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.

（15） （本题满分10分 ）

已知函数F(x)x0ln(1t2)dtx，设limF(x)limF(x)0,试求的取值范围. xx0【考点】洛必达法则、积分上限的函数及其导数

【难易度】★★ 【详解】

解析：当0时，limF(x)；不符合题意.

x当0时，limF(x)limxx0ln(1t2)dtxx

ln(1x2)2x12x12limlimlimlim0,122221xxxxx1x(1)xx(1)x(1)x得10即1；

xx0limF(x)limx0ln(1t2)dtxln(1x2)x2limlim0 11x0x0xx得12即3

F(x)0. 于是当13时，limF(x)limxx0（16） （本题满分11分）

131xtt33设函数yy(x)由参数方程确定，求yy(x)的极值和曲线yy(x)的凹

y1t3t133凸区间及拐点.

【考点】函数的极值；函数图形的凹凸性、拐点 【难易度】★★★ 【详解】

dydy(x)2t12t(t21)2t(t21)14tdtdt解析：y(x)，y(x) 222223dxt1dx(t1)t1(t1)dtdt令y(x)0得t1 当t1时，x511，y，y0.y为极小值. 333当t1时，x1，y1，y0.y1为极大值. 令y(x)0得t0,xy当t0时，x1. 311，y0；当t0时，x，y0. 331111所以曲线yy(x)的凸区间是(,)，凹区间是(,)，拐点是(,).

3333

（17） （本题满分9分）

设函数zf(xy,yg(x))，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导且在x12z处取得极值g(1)1，求

xy.

x1y1【考点】函数的极值；多元复合函数求导法；二阶偏导数 【难易度】★★★ 【详解】 解析：

zf1yf2yg(x), x因为函数g(x)可导且在x1处取得极值g(1)1, 所以g(1)0， 所以

zxx1f1(y,yg(1))yf2yg(1)f1(y,y)y

zxy2(x1y1zx1)xyy1(y,y)f12(y,y))f1(y,y)y(f11y1

(1,1)f12(1,1) f1(1,1)f11（18） （本题满分10分）

设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:yy(x)与直线yx相切于原点，记为曲线l在点(x,y)处切线的倾角，若

ddy,求y(x)的表达式. dxdx【考点】变量可分离的微分方程；可降阶的高阶微分方程 【难易度】★★★ 【详解】

解析：由题设知：y(0)0，y(0)1，(0)24及

解：因为ytan，两边对x求导得ysecdd， (1tan2)dxdxddy，ytan得yy(1y2). dxdxdpdp令yp,y，得(1p2)p

dxdx代入

分离变量得dxdp1p()dp

p(1p2)p1p211p22积分得xlnpln(1p)ClnC

221p2由p(0)1得C11ln，代入得 2212p2dyexxlnp

2x21p2dx2e由y(0)0，再积分得

y(x)xet2e2t0dtx0etd()txeex2arcsinarcsin

t2024e1()22

（19） （本题满分10分）

（I）证明：对任意的正整数n，都有（II）设an1111ln(1) 成立. n1nn121lnn(n1,2,)，证明数列an收敛. n【考点】函数单调性的判别、微分中值定理 【难易度】★★★ 【详解】

解析：（I）方法一：设f(x)则f(x)11ln(1)xx(x1)，

11110，f(x)在[1,)上单调递减 x211x2x2(x1)xx所以f(x)limf(x)0，即设g(x)ln(1)则g(x)11ln(1)xx(x1)

1x1x1(x1)

1111120，g(x)在[1,)上单调递减 1x(x1)2x1x1x1x11(x1)

xx1111综上：对任意的正整数n，都有ln(1) 成立.

n1nn所以g(x)limg(x)0，即ln(1)方法二：设fxln1x,x0,,显然f(x)在0,上满足拉格朗日中值定理 nn1x11111111ff0ln1ln1ln1,0,

nnn1nn111111111110,时， ,即

1n11nnn1n1n10nn111ln1，结论得证. n1nn（II）设an111231lnn. nan1an11n1lnln10，即数列an单调递减. n1n1n1n

11an1231lnnn1ln(1)lnnn

11ln(11)ln(1)ln(1)2334n1ln2lnn23nln(n1)lnn0得到数列an有下界.利用单调递减数列且有下界得到an收敛.

（20） （本题满分11分）

一容器的内侧是由图中曲线绕y轴旋转一周而成的曲面，该曲线由

11x2y22y(y)与x2y21(y)连接而成

22（I） 求容器的容积；

（II） 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位：m，重力加速度为gm/s,，水的密度为10kg/m） 【考点】定积分的应用 【难易度】★★★★ 【详解】 解析：（I）V233y2112x2y22y1O1x2y21x1211(1y2)2dy1(2yy2)2dy

2213113222[(yy)(yy)1133294

（II）dWgf(y)(2y)dy，

2Wgf2(y)(2y)dy12g[(1y)(2y)dy1(2yy2)(2y)dy]212122121g[(2yy2y3y4)2342727103gg(J)88

（21） （本题满分11分）

121(2y243142， yy)1]342

已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)0，f(x,1)0，f(x,y)dxdya，

D其中D(x,y)|0x1,0y1，计算二重积分I''xyfxy(x,y)dxdy. D【考点】二重积分的计算；定积分的换元积分法与分部积分法

【难易度】★★★ 【详解】 解析：I10xdxyf(x,y)dyxdxydfx'(x,y)

0001''xy1111'xdxyfxx,y|1fx,ydy 0x00xdxf(x,1)fx'(x,y)dy

001'x10f(x,1)0fx'(x,1)0

Ixdxf(x,y)dydyxfx'(x,y)dx

00011'x1111 dyxf(x,y)|1f(x,y)dx0001dyf(1,y)f(x,y)dx 001f(x,y)dxdya.

D

（22） （本题满分11分）

设向量组1(1,0,1),2(0,1,1),3(1,3,5)，不能由向量组1(1,1,1),2(1,2,3),

TTTTT3(3,4,a)T线性表示.

（I）求a的值；

（II）将1,2,3用1,2,3线性表示.

【考点】向量组的线性相关与线性无关；矩阵的初等变换 【难易度】★★★ 【详解】

101解析：（I）因为1,2,301310，所以1,2,3线性无关，

115又因为1,2,3不能由1,2,3线性表示，所以r1,2,33，

113所以1,2,312所以a5

1131a50，

40113a02a3101113（1,2,3,1,2,3）（II）=013124 1151351011131011131002150131240131240104210 014022001102001102故121423，2122，35110223

（23） （本题满分11分）

1111A为3阶实对称矩阵，A的秩为2，且A0000

1111（I） 求A的所有特征值与特征向量；

（II） 求矩阵A

【考点】矩阵的秩；矩阵的特征值和特征向量的概念、性质；实对称矩阵的特征值和特征向量

【难易度】★★★ 【详解】

1111解析：（I）因为A0000

111111111所以A00，A000， 11111T所以11是A的特征值，1(1,0,1)是对应的特征向量；

21是A的特征值，2(1,0,1)T是对应的特征向量.

因r(A)2知A0，所以30是A的特征值.

T设3(x1,x2,x3)是A属于特征值30的特征向量，

因为A为实对称矩阵，

所以不同特征值对应的特征向量相互正交，即

T13x1x30,T 解得3(0,1,0) T23x1x30,TTT故矩阵A的特征值为1,1,0；特征向量依次为k1(1,0,1),k2(1,0,1),k3(0,1,0)，其中

k1,k2,k3均是不为0的任意常数.

11011 （II）将1,2,3单位化得1，，001 2322011令Q(1,2,3)1201212012011，则QTAQ1

001001T1Q000所以AQ. 1000