2019届高考数学一轮复习：《基本不等式》教学案(含解析)

[知识能否忆起]

a＋b

一、基本不等式ab≤

2

1．基本不等式成立的条件：a>0，b>0. 2．等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 二、几个重要的不等式

ba22

a＋b≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同号)．

ab

a＋b2(a，b∈R)；a＋b2≤a＋b(a，b∈R)． ab≤222

三、算术平均数与几何平均数

a＋b设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平

2均数不小于它们的几何平均数．

四、利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则：

(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p.(简记：积定和最小) p

(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)

4

[小题能否全取]

1

1．(教材习题改编)函数y＝x＋(x＞0)的值域为( )

xA．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[2，＋∞)

B．(0，＋∞) D．(2，＋∞)

2

22

1

解析：选C ∵x＞0，∴y＝x＋≥2，当且仅当x＝1时取等号．

x2．已知m>0，n>0，且mn＝81，则m＋n的最小值为( ) A．18 C．81

B．36 D．243

解析：选A ∵m>0，n>0，∴m＋n≥2mn＝18.当且仅当m＝n＝9时，等号成立． 3．(教材习题改编)已知01

A. 33

C. 4

1B. 22D. 3

11931

解析：选B 由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立．

334424

4．若x>1，则x＋的最小值为________．

x－144

解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.

x－1x－14

当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立．

x－1答案：5

25

5．已知x＞0，y＞0，lg x＋lg y＝1，则z＝＋的最小值为________．

xy解析：由已知条件lg x＋lg y＝1，可得xy＝10. 25

则＋≥2 xy答案：2

1.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．

1025＝2，故＋min＝2，当且仅当2y＝5x时取等号．又xy＝10，即x＝2，y＝5时等号成立． xyxy

a＋b2，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab

2．对于公式a＋b≥2ab，ab≤2

和a＋b的转化关系．

a＋b

3．运用公式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用，例如a＋b≥2ab逆用就是ab≤；

2

2

2

2

2

a＋ba＋b2(a，b>0)等．还要注意“添、拆项”技巧和公式等号成立的条件等．

≥ab(a，b>0)逆用就是ab≤22

利用基本不等式求最值

典题导入

4

[例1] (1)已知x＜0，则f(x)＝2＋＋x的最大值为________．

x

(2)(2018·浙江高考)若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( ) A.

2428 B. 55

D．6

C．5

[自主解答] (1)∵x＜0，∴－x＞0，

44

∴f(x)＝2＋＋x＝2－＋

x－x

－

.



44

∵－＋(－x)≥24＝4，当且仅当－x＝，即x＝－2时等号成立．

x－x

4∴f(x)＝2－＋

－x

－

≤2－4＝－2， 

∴f(x)的最大值为－2.

113

(2)∵x＞0，y＞0，由x＋3y＝5xy得＋＝1.

5yx

12y1313x12y13111313x

∴3x＋4y＝·(3x＋4y)·＋＝＋4＋9＋＝＋＋x≥5＋5×2x55y5yx5y当x＝2y时取等号)，∴3x＋4y的最小值为5.

[答案] (1)－2 (2)C

本例(2)条件不变，求xy的最小值．

解：∵x＞0，y＞0，则5xy＝x＋3y≥2x·3y， 12

∴xy≥，当且仅当x＝3y时取等号．

2512

∴xy的最小值为. 25

由题悟法

用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．

以题试法

1．(1)当x＞0时，则f(x)＝

2x

的最大值为________． x＋1

2

a

b

3x12y·＝5(当且仅yx

(2)(2018·天津高考)已知log2a＋log2b≥1，则3＋9的最小值为________．

(3)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________． 2x22

解析：(1)∵x＞0，∴f(x)＝2＝≤＝1，

x＋112

x＋x1

当且仅当x＝，即x＝1时取等号．

x(2)由log2a＋log2b≥1得log2(ab)≥1， 即ab≥2，∴3＋9＝3＋3≥2×3

a

b

a

2b

a＋2ba2b

(当且仅当3＝3，即a＝2b时取等号)． 2

又∵a＋2b≥22ab≥4(当且仅当a＝2b时取等号)， ∴3＋9≥2×3＝18.

即当a＝2b时，3＋9有最小值18.

a

b

a

b

2

(3)由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥22xy，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，即m≤10.故m的最大值为10.

答案：(1)1 (2)18 (3)10

基本不等式的实际应用

典题导入

[例2] (2018·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy，x垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹122

程y＝kx－(1＋k)x(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有

20炮弹落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程；

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

[自主解答] (1)令y＝0，得kx－故x＝

122

(1＋k)x＝0，由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0， 20

轴在地平面上，y轴发射后的轨迹在方关．炮的射程是指

20k2020

≤＝10，当且仅当k＝1时取等号． 2＝1＋k12

k＋k

所以炮的最大射程为10千米．

122

(2)因为a＞0，所以炮弹可击中目标⇔存在k＞0，使3.2＝ka－(1＋k)a成立

20⇔关于k的方程ak－20ak＋a＋＝0有正根 ⇔判别式Δ＝(－20a)－4a(a＋)≥0 ⇔a≤6.

所以当a不超过6千米时，可击中目标．

由题悟法

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解．

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时

可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.以题试法

2．(2018·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，

2

2

2

22

2

121

并提高定价到x元．公司拟投入(x－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作

65为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价．

解：(1)设每件定价为t元，

t－25×0.2t≥25×8，

依题意，有8－1

整理得t－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.

因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x＞25时，

121

不等式ax≥25×8＋50＋(x－600)＋x有解，

6515011

等价于x＞25时，a≥＋x＋有解．

x651501

∵＋x≥2 x6

1501

·x＝10(当且仅当x＝30时，等号成立)，∴a≥10.2. x6

2

因此当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．

1

1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有 ( )

xA．最大值为0 C．最大值为－4

B．最小值为0 D．最小值为－4

解析：选C ∵x＜0，∴f(x)＝－ －



时取等号．

＋

1

－

－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1，即x＝－1－x

2

2

a＋b2≤a＋b，2．(2018·太原模拟)设a、b∈R，已知命题p：a＋b≤2ab；命题q：则p是q成立的( ) 22

2

2

A．必要不充分条件 C．充分必要条件 解析：选B

B．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

x＋23．函数y＝(x>1)的最小值是( )

x－1

A．23＋2 C．23

B．23－2 D．2

2

解析：选A ∵x>1，∴x－1>0.

x＋2x－2x＋2x＋2x－2x＋1＋－∴y＝＝＝x－1x－1x－1＝≥2

－

2

222

＋3

＋－

x－1＋33＝x－1＋＋2

x－1

－

3

＋2＝23＋2. x－1

3

当且仅当x－1＝，即x＝1＋3时，取等号．

x－1

4．(2018·陕西高考)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aB．v＝ab a＋bD．v＝ 2

a＋b

C.ab2

ss

解析：选A 设甲、乙两地的距离为s，则从甲地到乙地所需时间为，从乙地到甲地所需时间为，又因为ab2s2ab2ab

assa＋b2ab＋ab

2ab2ab

>＝a，即a14

5．已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得aman＝4a1，则＋的最小值为( )

mn3

A. 2C.25

6

5B. 3D．不存在

2

解析：选A 设正项等比数列{an}的公比为q，由a7＝a6＋2a5，得q－q－2＝0，解得q＝2. 由aman＝4a1，即2

m＋n－2m＋n－24

＝4，得2＝2，即m＋n＝6. 2

1414mn14514mn3

故＋＝(m＋n)＋＝＋＋≥＋＝，当且仅当＝时等号成立． mn6nmmn66nm66211k6．设a>0，b>0，且不等式＋＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于( )

aba＋bA．0 C．－4

B．4 D．－2

＋ab

2

11k

解析：选C 由＋＋≥0得k≥－

aba＋b＋ab

2

，而

＋ab

2

ba

＝＋＋2≥4(a＝b时取等号)，所以－ab

≤－4，因此要使k≥－

＋ab

2

恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.

7．已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．

4x＝3y，

解析：∵12＝4x＋3y≥24x×3y，∴xy≤3.当且仅当

4x＋3y＝12，

3x＝，

2即y＝2

时xy取得最大值3.

答案：3

8．已知函数f(x)＝x＋________．

p

(p为常数，且p＞0)若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为x－1

解析：由题意得x－1＞0，f(x)＝x－1＋

p

＋1≥2p＋1，当且仅当x＝p＋1时取等号，因为f(x)在(1，x－1

9

＋∞)上的最小值为4，所以2p＋1＝4，解得p＝. 4

9

答案： 4

9．(2018·朝阳区统考)某公司购买一批机器投入生产，据市场分析每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x＋18x－25(x∈N)．则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．

yy25解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－x＋，而x＞0，故≤18－225＝8，当且仅当x＝5

xxx时，年平均利润最大，最大值为8万元．

答案：5 8

10．已知x＞0，a为大于2x的常数， (1)求函数y＝x(a－2x)的最大值； 1

(2)求y＝－x的最小值．

a－2x解：(1)∵x＞0，a＞2x， 1

∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)

212x＋≤×2(2)y＝

－2

2

*

2＝a，当且仅当x＝a时取等号，故函数的最大值为a. 8

48

1aa

－＝2－. 222

22

1a－2xa

＋－≥2 a－2x22

a－2

当且仅当x＝时取等号．

2故y＝

1a

－x的最小值为2－. a－2x2

19

11．正数x，y满足＋＝1.

xy(1)求xy的最小值； (2)求x＋2y的最小值． 19

解：(1)由1＝＋≥2

xy

1919

·得xy≥36，当且仅当＝，即y＝9x＝18时取等号，故xy的最小值为36. xyxy

2y9x2y9x

·＝19＋62，当且仅当＝，即xyxy

2y9x19(2)由题意可得x＋2y＝(x＋2y)＋＝19＋＋≥19＋2

xyxy9x＝2y时取等号，故x＋2y的最小值为19＋62.

2

2

12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1 000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼

每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．

(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y＝f(x)的表达式；

(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？

解：(1)由题意知建筑第1层楼房每平方米建筑费用为720元， 建筑第1层楼房建筑费用为720×1 000＝720 000(元)＝72 (万元)， 楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1 000＝20 000(元)＝2(万元)， 建筑第x层楼房的建筑费用为72＋(x－1)×2＝2x＋70(万元)， 建筑第x层楼时，该楼房综合费用为 y＝f(x)＝72x＋

－2

2

×2＋100＝x＋71x＋100，

2

综上可知y＝f(x)＝x＋71x＋100(x≥1，x∈Z)． (2)设该楼房每平方米的平均综合费用为g(x)，则g(x)＝＝10x＋

1 000

＋710≥2 x

10x·

1 000

＋710＝910. x

×10 000

＝1 000x

2

x

＝＋71x＋x

1 000

当且仅当10x＝，即x＝10时等号成立．

x

综上可知应把楼层建成10层，此时平均综合费用最低，为每平方米910元．

1．(2018·浙江联考)已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为( ) A．1 C．3

B．2 D．4

x＋22xy

解析：选B 依题意得x＋22xy≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即≤2(当且仅当x＝2y时取等号)，即

x＋yx＋22xyx＋22xy

的最大值是2；又λ≥，因此有λ≥2，即λ的最小值是2.

x＋yx＋y

y

2．设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值是________．

xz解析：由已知条件可得y＝yx＋9z＋6xz所以＝

xz4xz1x9z＝＋＋6 4zx1≥2 4

x9z

×＋6＝3， zx

2

2

2

2

2

x＋3z

， 2

y

当且仅当x＝y＝3z时，取得最小值3.

xz答案：3

3．某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．

(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．

解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)，

设平均每天所支付的总费用为y1元， 则y1＝

＋x

＋900]

＋1 800×6

900

＝＋9x＋10 809

x≥2

900

·9x＋10 809＝10 9， x

900

当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．

x

即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． (2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．

设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元， 1

则y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800×0.90

x900

＝＋9x＋9 729(x≥35)．

x

100

令f(x)＝x＋(x≥35)，x2＞x1≥35，

x则f(x1)－f(x2)＝x1＋



100100

－x2＋＝x1x2

2

－x1

x1x2

－x1x2

.∵x2＞x1≥35，

∴x2－x1＞0，x1x2＞0,100－x1x2＜0， 故f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)， 100

即f(x)＝x＋，当x≥35时为增函数．

x则当x＝35时，f(x)有最小值，此时y2＜10 9. 因此该厂应接受此优惠条件．

1．函数y＝a值为________．

解析：因y＝a恒过点(0,1)，则A(1,1)，又A在直线上，所以m＋n＝1(mn＞0)． 11m＋n11故＋＝＝≥＝4， mnmnmnm＋n2

2

x1－x

11

(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，则＋的最小mn

1

当且仅当m＝n＝时取等号．

2答案：4

2．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A、B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值是________．

解析：∵A(2,0)，B(0,1)，∴0≤b≤1， 由a＋2b＝2，得a＝2－2b， ab＝(2－2b)b＝2(1－b)·b≤2·



－2

＋b2

＝2. 

1

1

当且仅当1－b＝b，即b＝时等号成立，此时a＝1，

211

因此当b＝，a＝1时，(ab)max＝.

221

答案： 2

3．若x，y∈(0，＋∞)，x＋2y＋xy＝30. (1)求xy的取值范围； (2)求x＋y的取值范围．

解：由x＋2y＋xy＝30，(2＋x)y＝30－x， 则2＋x≠0，y＝

2

30－x

＞0,0＜x＜30. 2＋x

－x＋30x

(1)xy＝

x＋2－x－2x＋32x＋－＝ x＋2

＝－x－＋32

x＋2＝－

2



＋

＋＋34≤18，当且仅当x＝6时取等号， x＋2

因此xy的取值范围是(0,18]． (2)x＋y＝x＋

30－x32＝x＋－1 2＋xx＋2

x＝42－2，32

＝x＋2＋－3≥82－3，当且仅当

x＋2y＝42－1

x＋y的取值范围是[82－3,30)．

32

时等号成立，又x＋y＝x＋2＋－3＜30，因此

x＋2