初高中数学衔接教材(已整理)

第一章

数与式 1.1 数与式的运算 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.1.4

绝对值 乘法公式 二次根式 分式

目录

1.2 分解因式

第二章 二次方程与二次不等式

2.1 2.1.1 2.1.2

一元二次方程 根的判别式 根与系数的关系

2.2 二次函数 2.2.1 2.2.2 2.2.3

二次函数 y=ax2+bx+c 的图像和性质 二次函数的三种表达方式 二次函数的应用

2.3 方程与不等式 2.3.1

第三章

二元二次方程组的解法

相似形、三角形、圆 平行线分线段成比例定理 相似三角形形的性质与判定

3.1 相似形 3.1.1 3.1.2

3.2 三角形

3.2.1 三角形的五心 3.2.2

解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用

3.3 圆 3.3.1 3.3.2 3.3.3 3.3.4

直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理 点的轨迹

四点共圆的性质与判定 直线和圆的方程（选学）

---

-

初中升高中数学教材变化分析

1.1 数与式的运算 1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义 ：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

a, a 0,

0, a

0.

绝对值的几何意义 ：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义 ： a b 表示在数轴上，数 a 和数 b 之间的距

1 x 3 ＞4． ，得 x 1；由 x

4 ，

0,

| a | a, a

离．

例 1 解不等式： x

解法一 ：由 x 1 0

3 0 ，得 x 3 ；

①若 x 1，不等式可变为

＜1， ∴ x＜0；

②若 1 x 2 ，不等式可变为

即 1＞4，

∴不存在满足条件的 x； ③若 x

3 ，不等式可变为

( x 1) ( x 3)

即 2x 4 ＞4，解得 x＜0，又 x

( x 1) ( x 3) 4 ，

( x 1) ( x 3) 4 ，

即 2x 4 ＞4， 解得 x＞4．又 x≥3， ∴ x＞4．

综上所述，原不等式的解为

x＜0，或 x＞4．

解法二： 如图 1．1－1， x

1 表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A

之间的距离 |PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的

|x－3| 距离 |PB|，即 |PB|＝|x－3|．

所以，不等式 x 1 x 3 ＞4 的几何意义即为

P C A B D

|PA|＋|PB|＞4． x 0 1 3 4 由 |AB|＝2，可知 点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点D(坐标为 |x－ 1|

图 1． 1－ 1

4)的右侧．

x＜0，或 x＞4．

练 习

---

x

-

2

---

-

（1）若 x （2）如果 a

初中升高中数学教材变化分析

5 ，则 x=_________；若 x b 5，且 a

是 1．填空：

4 ，则 x=_________.

1，则 b＝________；若 1 c 述

正

确

2，则 c＝________.

的

2．选择题： 下 （

列

叙

） 3．化简： 练1．填空：

---

（ A）若 a b ，则 a b （B）若 a b ，则 a b （ C）若 a b ，则 a b

（D）若 a b ，则 a b |x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：

(b)( b

（1）平方差公式

a a ) a2 b2 ； (（2）完全平方公式

a b)2 a2 2ab b2 ．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： (b)( aa（1）立方和公式

a 2 b b2 ) a3 b3 ； (b)(aa（2）立方差公式

a 2 b b2 ) a3 b3 ； (（3）三数和平方公式

a b c)2 a 2 b2 c2 2(ab bc ac) ( 3 3 2 2

（4）两数和立方公式

a (b) a 3a3 a b 3 a b ；b 2

（5）两数差立方公式

a b)3 a3 b 3ab2 b3 ． 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例 1 计算： (x

1)(x 1)(x2 x 1)(x2 x 1) ． 解法一： 原式 = ( x2

1) ( x2 1)2

x2

= (x2 1)(x4 x2 1) = x6 1．

解法二： 原式 = (x

1)(x2 x 1)(x 1)(x2 x 1)

= (x3 1)(x3 1)

= x6 1．

bb

例 2 已知 a b c 4 ， ab c ac 4 ，求 a2 2 c2 的值．

ac

解： a2 b2 c2 (a b c) 2 2( ab bc ) 8 ． 习

（1） 1 a2

1 ( 1 b 1

a) （

）；

9

4 b2 2

3

（2） (4m

)2 16m2 4m (

) ；

；

-

(3 ) (a 2b c)2

a 2 4b2 c2 (

) ．

等 于

2．选择题：

（ 1 ） 若 x2 1 m x 是k 一 个 完 全 平 方 式 ， 则 k

（

---

2 ）

3

-

初中升高中数学教材变化分析

（

2x2

一般地，形如

够开得尽方的式子称为

2 x 1， x2 2

数

（A） m

2

1） m 2 （ B 4

（ 2 ） 不 论 a

）

（A ）总是正数 （C）可以是零

， b

11（ ） ） 2 2 m C （ D m

3 16

为 何 实 数 ， a2 b2 2a 4b 8 的 值

（B）总是负数

（D）可以是正数也可以是负

1.1.3．二次根式

a (a 0) 的代数式叫做 二次根式 ．根号下含有字母、且不能 无理式 . 例如

3a a2 b 2b ， a2

b2 等是无理式，而

与 x

2xy y2 ， a2 等是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做

它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为 2 ，3 a 与 a ， 3

与 x ， a x b y 与 a

分母（子）有理化 ．为了进行分母（子）

有理化因式 ，例如 2

有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果

6 与 3 6 ，2 3 3 2 与 2 3 3 2 ，等等． 一般地， a

x b y ， a x b 与 a x b 互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 a b ab( a 0,b 0) ；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类

二次根式．

2．二次根式 a2 的意义 a, a 0, a2 a a, a 0.

（ ） 4x6 y( x 0) ．

3

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1） 12b ； （2） a2b ( a 0) ；

解： （1） 12b 2 3b ；

---

（2） a2b a （3） 4 x6 y 2 x3 例 2

计算： 3 (3

3 ( 3

b a b(a 0) ；

y 3) ． 3＝)

3

3

2x3 y ( x 0) ．

3

4

解法一：

-

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3 (3 3)

＝

(3 3)(3 ＝ 3 3 3 9 3

＝ 3( 3 1)

6 ＝

3 1

3)

解法二 ：

． 3

3

＝ 3

3( 3 1)

＝

1 ＝ 3 1

＝

( 3 1)( 3 1)

3 1

2

3 ( 3＝3)

3

3 1． 2

例 3 试比较下列各组数的大小：

（1） 12

11 和 11

11 11 10

11 又 12 ∴

12

解： （1）∵ 12

11 ( 12

1 10 ； （2）

和 2 2－ 6 .

6 4 11)( 12 12

11

10) 11)

2

11

10 ( 11 10)( 11 1 11 10 11 10 ，

1

，

12 11

， 1

11 10

例 4

12 11 ＜ 11 10 ．

2 2 － 6 (2 2 － 6)(2 －

1 + （2）∵ 2 2 6

2 2

又 4＞2 2，

∴ 6＋4＞ 6＋2 2，

2 ∴ ＜ 2 2－ 6 . 6 4

2)

2 2 + 6) + , 6 2 2 6

2)

2004

( 3

2) 1)．

25

5 2 ．

2)

化简： (

2)

3 2004 ( 3

2005 ．

解： ( 3

2) 2005 2004 ( 3 2) ( 3 2004 ( 3 ＝ ( 3 2) 2004

＝12004 ( 3 2) ＝ 3 2 ．

化简：（1） 9 4 5 ；

5 4 5 4

3 2) ( 3 2) ＝ (

例 5

2(0 x （2） x2 1

x2 2 2 5

22

(2

5) 2

解：（1）原式

---

( 5) 2

（2）原式 = ( x 1 )2

x

1 ， x

x

-

例 6

x ，所以，原式＝ 1 x ． ∵ 0 x 1，∴ 1 1

x x

3

3

2 , y 2

3 2 ，求 3x2 5xy 3 2

已知 x

3y2 的值 ．

5

---

-

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解： ∵ x y 3 2 3 2 ( 3 2) 2 ( 3 2) 2

10 ，

3 2 3 2

3

2 3 2

xy

3 2 3

1 ， 2

∴ 3x2 5xy 3y2 3(x y)2 11xy 3 102

11 2 ．

练

习

1．填空：

（1） 1

3

＝ __ ___；

1

3

x)( x 3) ； （2）若 (5

2 ( x 3) 5 x ，则 的取值范围是 x _ _

___ （3） 4 24 6 3 96 2

150 __

___；

（4）若

5 ，则 x 1 x 1 x 1 x 1 ． x ______ __

2 x 1 x 1 x 1 x 1

2．选择题：

等 式

x

x

成 立

的

条

件 x 2

（ ） x 2

（A ） x 2

（B） x 0 （C） x 2 （D） 0 x 2

3．若 b a2 1 1 a2 ，求 a b 的值．

a 1

4．比较大小： 2－ 3

5－ 4（填 “＞”，或 “＜ ”）．

1.1.４．分式

1．分式的意义

形如 A 的式子，若 B 中含有字母，且 B 0 ，则称 A

B

B

为分式 ．当 M≠0时，分式 A 具有下列性质：

B

A A M ； A A M． B B M

B

B M

上述性质被称为 分式的基本性质 ．

2．繁分式 a

像 b

， m n p 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做 繁分式． c d 2m n p 例 1

若

5x 4 A

B ，求常数 A, B 的值．

---

是

-

x( x 2) x x 2

6

---

练1．填空题：对任意的正整数

2．选择题：（

---

-

初中升高中数学教材变化分析

解： ∵ A

B A(x 2) Bx ( A B)x 2 A 5x 4 ，

x

x 2 x( x 2) x(x 2)

x(x 2) ∴ A B 5,

解得 A 2 ,B

3．

2A 4,

例 2 （1）试证：

1

1 1

（其中 n 是正整数）； n(n 1) n n 1

（ 2）计算： 1

1 1 ； 1 2 2 3

9 10 （3）证明：对任意大于 1 的正整数 n， 有 1

1 1 1

2 3 3 4

1) 2 ． n(n

(

（1）证明： ∵ 1 1 n 1) n 1 ，

n n 1 n(n 1) n(n 1)

∴ 1 1 1 （其中 n 是正整数）成立．

n( n 1) n n 1

（2）解：由（ 1）可知

1 1

1

(1 1 ) (1 1)

( 1 1 ) 1 1 ＝ 9 ． 1 2 2 3

9 10

2 2 3

9 10 10 10

（3）证明：∵ 1 1

1 ＝ ( 1 11 1 ( 1 1 ) ＝ 1 1 2 3 3 4 n( n 1) 2 3 ) ( 3 4 )

，

n n 1 2 n 1

1

又 n≥2，且 n 是正整数，∴ n＋1 一定为正数，

1 1 1 1

∴ 2 3 3 4 n(n 1) ＜2 ．

例 3 设 e c

，且 ＞ ， 2－5ac＋2a2＝0，求 e 的值． e 1 2c

a

解：在 2c2－5ac＋2a2＝0 两边同除以 a2，得

2e2－5e＋2＝0，

∴(2e－1)(e－2)＝0，

1

∴e＝2

＜1，舍去；或 e＝2．

∴e＝2．

习

n， 1

( 1

1

)； n(

n

2)

n n 2

若

2x y

2

x

，

则

＝ 3

y

）

x y

（A）１

（B） 5

（C） 4

（D） 6

-

4

的值． y

y

5

7

5

3．正数 x, y 满足 x2 y 2 2xy ，求 x x 4．计算 1 1

1 1 ... 1 ． 2 2 3 3 4 99 100

---

-

初中升高中数学教材变化分析

习题 1．1 A 组

(2)

；

1．解不等式：

(1) ； x 1 3

(3)

x 1 x 1 6 ．

33y 1 y 3xy 的值． ２．已知 x ，求 x 3．填空：

1（1） (2 8

3) (2

x 3

x 2 7

1 ； 9 ＝

3) a)________

2 2 ，则 的取值范围是 ； （2）若 (1 a) 2 (1

a ________

（3） 1 1 1 1 1 ．

________ 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6

B 组 1．填空：

11 2 ， b ，则 3a3a ab ____ （1） a ____；

2 2 3 5ab 2b2 xy 2y 2 0 ，则 x2 3xy y2 （2）若 x2 x2 y2 __

y y

1

, y 1 ，求 2．已知： x 的值．

2 3 x y x y

若

C

1．选择题：

1 （

（ ）

（

（

） （A） a b

2

1； __

a 1

a

， b

）

）

组 a

2 算 1

b

则

b

于

（B） a b

计 （B） a

（C） a b 0

a （ C）a

（D） b a 0

等

1

（D） a

1

（A） a

1 ) ) 1 0 ． 3( x 2x x

3．计算： 1 1 1 1 ． 1 3 2 4 3 5 9 11

1

2．解方程 2( x2

4．试证：对任意的正整数

n，有 1 2 3 2 3 4

1.2 因式分解

n( n 1)(n 2)

＜4 ．

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

---

-

1．十字相乘法 例 1

分解因式： （1）x2－3x＋2；

8

（2）x2＋4x－12；

---

-

初中升高中数学教材变化分析

(a b)

x y ． （3） x2 xy aby2 ； （4） xy 1 2

解：（ ）如图 ． － ，将二次项 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项

1 1 1 1 x

2 分解成－ 1 与－ 2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－ 3x，就是

1 1

－ 2 6

x x

－ ay － by

x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

－ x 1 1 － 1

－ x 1 2 － 2 图 1． 1－ 1 图 1． 1－2

x2－3x＋2 中的一次项，所以，有

图 1． 1－ 4

1．1－1 中 说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图的两个 x 用 1 来表示（如图 1．1－2 所示）． （2）由图 1．1－3，得 2 x ＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． 22 x ( a b) xy aby ＝ ( x ay)( x by) x － 1 （4） xy 1 x y ＝xy＋(x－y)－1

y 1

图 1． 1－

＝(x－1) (y+1) （如图 1．1－5 所示）． 5 课堂练习

一、填空题：

。 1、把下列各式分解因式：

图 1． 1－ 3

。 。 。

。 。 。 。 。

。

2

（ 1） x 5x 6

2

（ 2） x 5x 6

2（ 3） x 5x 6

2

（ 4） x 5x 6

（5） x2 a 1 x a

2（ 6） x 11x 18

2

（ 7） 6x 7x 2

2（ 8） 4m 12m 9

2

（ 9） 5 7 x 6x

（ 10）12x 2 xy 6 y2 2、 x2

4x

x 3 x

。

6x 8 （4） x2

）

D、 a 11b a 3b

7x 10

3、若 x2 ax b x 2 x 4 则 a ， b 二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）

1、在多项式（ 1）x 2 7x 6 （2） x2 4x 3 （3） x2

2

x（5） 15 x 44 中，有相同因式的是（

A 、只有（ 1）（2） C、只有（ 3）（5） 2、分解因式 a2 A 、 a 11 a 3

---

B、只有（ 3）（4）

）

D、（1）和（ 2）；（3）和（ 4）；（3）和（ 5）

C、 a 11b a 3b

8ab 33b2 得（

B、 a 11b a 3b

-

3、 a

b 2 8 a

b 20 分解因式得（

） 9

---

-

a b 10 a b 2 B、 a b 5 a b 4 A 、

a b 2 a b 10 C、 D、 a b 4 a b 5

3x a 可分解为 x 5 x b ，则 a 、 b 的值是（ 4、若多项式 x2

B、 A 、 ， ， C、 ，

a 10 b 2 a 10 b 2 a10 b2 5、若 x2 mx 10 x a x b 其中 a 、 b 为整数，则 m的值为（ A 、 3 或 9

B、 3

C、 9

三、把下列各式分解因式

1、 6 2 p q 2 11 q 2 p 3

D、 3 或 9

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）

D、

a

，

10 b 2

）

2、 a3 5a2 b 6ab 2

3、 2 y 2 4 y 6 4、 b4 2b2 8

2．提取公因式法

例 2

9 3x2

3x 23

分解因式：

（1） a2 b 5 a 5 b

解： （1）． a 2 b 5 a 5 （2） x3

9 3x2 或

（2） x3

b = a(b 5)( a 1)

3x = ( x3 3x2 ) (3x 9) = x2 ( x 3) 3(x 3)

= ( x 3)(x2 3) ．

3x ＝ ( x3 3x2

x3 9 3x2

课堂练习：

3x 1) 8 ＝ (x 1)3 8 ＝ ( x 1)3

＝ [( x 1) 2][( x 1)2 ( x 1) 2 22 ] ＝ ( x 3)(x2 3)

一、填空题： 1、多项式 6x2 y 2、 m x y

2xy 2 4 xyz中各项的公因式是 _______________。

x y __________________。 x y 2 ____________________。 x

x

y z _____________________。 x y z ______________________。

n y x n y z

3、 m x y 2 n y x 2 4、 m x y z 5、 m x y z

x y z

6、 13ab 2 x6 39a3b2 x 5 分解因式得 _____________________。 7．计算 99 2 99 =

） 二、判断题：（正确的打上“√” ，错误的打上“×”

22

1 、 2a b 4ab 2ab a b ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

（

）

---

2 、 am bm m m a b ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

-

10

---

-

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（

）

3 、 3x3 6x2

15x 3x x2 2 x 5 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

（ ）

4、 x n x n 1 x n 1

x 1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （ ）

3：公式法

例 3 分解因式： （ 1） a 4 16 （2） 3x 2 y 2 x y 2

解： (1)

a4

16 = 42 (a2 )2 (4 a2 )(4 a2 ) ( 4 a2 )(2 a)(2 a)

2 (2) 3x 2 y 2 x y 2 = (3x y x y)(3x 2 y x y) ( 4x y)(2x 3 y)

课堂练习

一、 a 2 2ab b2 ， a2 b2 ， a3 b3 的公因式是

二、判断题：（正确的打上“√” ，错误的打上“×” ）

2

2

1、 4 x2 0.01 2 x 0.1 2 x 0.1 2 x 0.1 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （

9 3 3 3

2 、 9a2 8b2 3a 2 4b

2 3a 4b 3a 4b

⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

（

）

3 、 25a2

16b 5a 4b 5a 4b ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ （ ）

4 、 x2 y 2

x 2 y2 x y x y ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

（ ）

5 、 a2

b c 2 a b c a b c ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯

（

）

五、把下列各式分解

1、 9 m n 2

m n 2 2、 3x2

1

3

2 3、 4 x2

4x 2

4、 x4

2x2 1

4．分组分解法 例 4

（1） x2

xy 3 y 3x

（2） 2 x2

xy y2

4x 5 y 6 ．

---

。

）-

（2） 2x2 xy y2 4x 5y 6= 2x2

11

( y 4)x y2 5 y 6

---

-

初中升高中数学教材变化分析 或

= 2x2 ( y 4)x ( y 2)( y 3) = (2 x y 2)( x y 3) ． 2x2 xy y2 4 x 5y 6 = (2x2 xy y 2 ) (4 x 5y) 6

y)( = (2 x x y) (4 x 5y) 6

若关于 x ax2 bx c(a 练

例 5

（1） x2 解： （1）令 x2

∴ x2

= (2 x y 2)( x y 3) ．

课堂练习：用分组分解法分解多项式（

1） x2

y2 a2 b2 2ax 2by

（ 2） a2 4ab 4b2 6a 12 b 9

5．关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解．

的方程 ax2 bx c 0(a 0) 就可分解为 a( x

2x 1；

0) 的两个实数根是

x1 )(x x2 ) .

2 ，

（

）

x1 、 x2 ，则二次三项式

把下列关于 x 的二次多项式分解因式：

（2） x2

1

2x 1=0，则解得 x1

= (x

1 2)( x

4xy 4 y2 ． 2 ， x2 1

2) ．

∴ x2 2x 1= x ( 1

2) x ( 1 2)

1

（2）令 x2 4 xy 4y2 =0，则解得 x1

习

( 2 2 2) y ， x1 ( 2 2 2) y ，

4xy 4 y2 =[ x 2(1 2) y][ x 2(1 2) y] ．

1．选择题：

多项式 2x2 xy 15 y2 的一个因式为 （A） 2x 5 y 2．分解因式：

（B） x 3 y

（C） x 3y （2）8a3－b3；

（D） x 5y

（1）x2＋6x＋8； （3）x2－2x－1；

（4） 4( x y 1) y( y 2x) ．

1．分解因式：

（1） a

32习题 1．2

2

1 ； 42

4x 13x 9 ； （2）

25xy 2 y x （4） 3x

2 c 2ab 2ac 2bc ； （3） b 9y 4 ．

（ ） 2 ； 2 x 2 2x 3

（ ） ( x2 2x) 2 7( x2 2x) 12 ． 4 c

b2 2 ab bc ca ，试判定 3． ABC 三边 a ， b ， c 满足 a2 ABC 的形状．

2 ．分解因式： ＋x－(a2－a)． 2．在实数范围内因式分解：

（1） x2 5x 3 ； （3） 3x2 4xy y2 ；

---

-

4

x

， 1 + 1 + 1 的 （尝试题）已知 ， ，求

5. abc=1 a+b+c=2 a2+b2+c2=

ab c - 1 bc a -1 ca b - 1

12

---

-

初中升高中数学教材变化分析

值 .

2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式

{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法， 如求方程的根（ 1） x2 2x 3 0 (2) x2 2x 1 0 (3) x2 2x 3 0 }

我们知道，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为

b4a

(x b )2 2 c ． ① 2a 4a2

因为 a≠0，所以， 4a2＞0．于是

（1）当 b2－4ac＞0 时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

x1，2＝ b

根

x1＝x2＝－ b ；

2a

b ) （3）当 b2－4ac＜0 时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边 ( x

一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由 b2－4ac来判定，我们把 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式 ，通常用符号 “Δ”来表示．

综上所述， 对于一元二次方程 （1）当

（2）当

（3）当

ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

x1， 2＝ b x1＝x2＝－ b

b2 4ac ； 2a ；

2 2a

b2 4ac ； 2a

（2）当 b2－4ac＝0 时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数

＞0 时，方程有两个不相等的实数根 ＝0 时，方程有两个相等的实数根

＜0 时，方程没有实数根．

2

a

例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数），如果方程有实

数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0； （3） x2－ax＋ (a－1)＝0；

---

（2）x2－ax－1＝ 0； （4）x2－2x＋a＝0．

解：（1）∵ 数根

＝32－4×1×3＝－ 3＜0，∴方程没有实数根．

（ 2）该方程的根的判别式 ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实

-

13

---

-

初中升高中数学教材变化分析

24

x1 a a ， x2 2

（ 3）由于该方程的根的判别式为

若一元二次方程 则有

x1 x1 x2

b

b2

4aca

a2 4 ． 2

＝ a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，

所以， ①当 a＝2 时，

＝0，所以方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝1；

②当 a≠2时， ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1．

（ 3）由于该方程的根的判别式为

＝ 22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，

所以 ①当 ②当 ③当

＞0，即 4(1－a) ＞0，即 a＜1 时，方程有两个不相等的实数根

x1 1

1 a ，

x2 1

1 a ；

＝0，即 a＝1 时，方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝1；

＜0，即 a＞1 时，方程没有实数根．

a 的取值的变化而

分

a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做

说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 变化，于是，在解题过程中，需要对 常地运用这一方法来解决问题．

类讨论 ．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根 ， x2

b b

b2 2a

4ac ，

2b 2a

b ；

b ， a

2a b

b2 4ac

2a

a

4ac

x1x2 b b2 4ac b b2 4ac b2 (b2 ) 4ac c ． 2a 2a 4a2 4a2 a

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

＋bx＋c＝0（ a≠0）的两根分别是 x ，x ，那么 x ＋x ＝

1 2 12 ax

＝ c ．这一关系也被称为 韦达定理 ． a

2b2 4ac

2a

如果

· x1 x2

特别地，对于二次项系数为 两根，由韦达定理可知

---

1 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0，若 x1，x2 是其

-

x1

＋x ＝－ p，x · ＝q，

2 1 x2

14

---

-

即

初中升高中数学教材变化分析

p＝－ (x1＋x2)，q＝x1·x2，

所以，方程 x2＋px＋q＝0 可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于 x1，x2 是一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两根，所以， x1，x2 也是一元二次方程 x2－(x1＋x2)x＋ x1·x2＝0．因此有

以两个数 x1，x2 为根的一元二次方程（二次项系数为

2 －(x ＋x ＋ · ＝0． x 1 2)x x1 x2 例 2

已知方程 5x2

kx

1）是

k 的值，

5

21 得

6 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值．

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来 解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利 用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出

所以，方程就为 5x2－7x－6＝0，解得 x1＝2，x2＝－ 3 ．

3

，k 的值为－ 7． 所以，方程的另一个根为－

5

k 的值．

解法一： ∵2 是方程的一个根，∴ 5×22＋k×2－6＝0，∴ k＝－ 7．

5

解法二： 设方程的另一个根为 x1，则 2x1＝－ 6 ，∴ x1＝－ 3 ．

5 （－ 3 ）＋ 2＝－ k ，得 k＝－ 7． 5 5

3

，k 的值为－ 7． 所以，方程的另一个根为－

5 由 例 3

已知关于 x 的方程 x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0 有两个实数根，并且这

两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值．

分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大

到关于 m 的方程，从而解得 m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个

实数根，因此，其根的判别式应大于零．

解：设 x1，x2 是方程的两根，由韦达定理，得x1＋x2

＝－ 2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．∵x12＋x22－x1·x2＝21，

∴ (x1＋x2)2－3 x1·x2＝21， 即

[ －2(m－2)] 2－3(m2＋4)＝21，

m2－16m－17＝0，

化简，得

当 m＝－ 1 时，方程为 x2＋6x＋5＝0， ＞ 0，满足题意；

当 m＝17 时，方程为 x2＋30x＋293＝0， ＝302－4×1×293＜0，不合题意，

舍去．

综上， m＝17．

说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所

---

-

对应的 m 的范围，然后再由 “两个实数根的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条 件的 m 的值即可．

（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的

15

---

-

初中升高中数学教材变化分析

判别式 是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．

例 4 已知两个数的和为 4，积为－ 12，求这两个数．

可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．

解法一： 设这两个数分别是 x，y，

即

x

∴1

分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数． 也

则 x＋y＝4， ①

xy＝－ 12． 由①，得 代入②，得

x(4－x)＝－ 12， x2－4x－12＝0，

x

2, 或2

6, y2

②

y＝4－ x，

y1

6,

2.

x2－4x－12＝0 的两个根．

因此，这两个数是－ 2 和 6．

解法二： 由韦达定理可知，这两个数是方程

解这个方程，得

x1＝－ 2，x2＝6．

解法二（直接利用韦达定理来解题）

2x2＋5x－3＝0 的两根． 1 x2 2

的值；（ ） 3 ＋x 3．

2 3 x1

所以，这两个数是－ 2 和 6．

说明：从上面的两种解法我们不难发现， 要比解法一简捷． 例 5

－x 的值； （ ）求

1 | x1 2 |

∴ x1 x2

5

若 x1 和 x2 分别是一元二次方程

（ ）求 1 2 x12 3 ． 2

解： ∵x1 和 x2 分别是一元二次方程

， x1 x2 2

2x2＋5x－3＝0 的两根，

（1）∵ | x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝ ( 5)2

4 ( 3) ＝ 25 ＋6

2 2 4

49

＝ ，

4

∴| x1－x2|＝ 7 ．

2

1

（2） x12

2

1 x1 x2 (x1 x2 ) 2x1x2 x22 x12 x22 ( x1 x2 ) 2

2

2

3

5 2 2 ( ) ()2 2

3 2 ( ) 2

25 3 4 9 4 37 ． 9

（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋ x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]

＝ － 5 × － 5 2－3×( 3 ＝－ 215 ．

) )] ( ) [(

2 2 2 8

说明：一元二次方程的 两根之差的绝对值 是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个

量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则

---

-

16

---

-

2

初中升高中数学教材变化分析 b 2a

4ac

（其 | a |

x1 b

， x2

4ac

b b

b2 4ac ， 2a

∴| x －x ＝ b

1 2|

b2 2a

4ac b2 4ac2 b2

2a 2a

b2 4ac | a |

| a ． |

于是有下面的结论：

若 x 和 x 分别是一元二次方程

1 2 ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则 | x －x ＝

12|

中 ＝b2－4ac）．

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时， 取值范围． 练

解：设 x1，x2 是方程的两根，则

x1x2＝a－4＜0， 且 ＝(－1)2－4(a－4)＞0． 由①得

由②得

① ②

可以直接利用上面的结论．

例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2－x＋a－4＝0 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的

（

）

a＜ 4，

a＜ 17 ．∴ 的取值范围是 ＜ ．

a a 4 4

习

1．选择题：

22

2 3kx 3k 0 的根的情况是 （1）方程 x

（A）有一个实数根

（C）有两个相等的实数根 数 （

m

的

取

（B）有两个不相等的实数根

（D）没有实数根 值

范

4

（D） m＞－ 1 ，且 m≠0

4

围

（2）若关于 x 的方程 mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0 有两个不相等的实数根，则实 ）

1

（A）m＜

4

（C） m＜ 1 ，且 m≠0

4

是

（B）m＞－ 1

2．填空 :

1 ＝ x1 x2

．

（1）若方程 x2－3x－1＝0 的两根分别是 x 和 x ，则 1

1 2 （2）方程 mx2＋ x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 （3）以－ 3 和 1 为根的一元二次方程是

．已知 a2 8a 16 | b 1|

3

---

0 ，当 取何值时，方程 k

．

．

2 ＋ax＋b＝0 有两个不相等 kx

-

的实数根？

4．已知方程 x2－3x－1＝0

的两根为 x1 和 x2，求 (x1－3)( x2－3)的值．

习题 2.1 A

组 17

---

-

1．选择题 :

初中升高中数学教材变化分析

（B）3

）

（1）已知关于 x 的方程 x2＋kx－2＝0 的一个根是

（A）－ 3 （2）下列四个说法：

1，则它的另一个根是 （

（C）－ 2 （D）2

①方程 x2＋2x－7＝0 的两根之和为－ 2，两根之积为－ 7； ②方程 x2－2x＋7＝0 的两根之和为－ 2，两根之积为 7；

③方程 3 x2－7＝0 的两根之和为

0，两根之积为 7 ；

3

④方程 3 x2＋2x＝0 的两根之和为－ 2，两根之积为 0．

其中正确说法的个数是 （A）1 个

或－ 1 2．填空 :

（B）2 个

（C）3 个

（ ）

（D）4 个

）

（3）关于 x 的一元二次方程 ax2－5x＋a2＋a＝0 的一个根是 0，则 a 的值是

（ （A）0

（B）1

（C）－1

．

．

（D）0，

（1）方程 kx2＋4x－1＝0 的两根之和为－ 2，则 k＝

2 2 2

（2）方程 2x －x－ 4＝0 的两根为 α，β，则 α＋β＝ 是

（3）已知关于 x 的方程 x2－ax－3a＝0 的一个根是－ 2，则它的另一个根

．

（4）方程 2x2＋2x－1＝0 的两根为 x1 和 x2，则 | x1－x2|＝ ．

2 2 ．试判定当 取何值时，关于 的一元二次方程 －(2m＋1) x＋1＝0 有两

m x 3 m x

个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

2 ．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 －7x－1＝0 各根的相反数．

x 4

1．选择题 :

B

组

k 的值为 ( （D）0 ＋

2

)

若关于 x 的方程 x2＋(k2－1) x＋ k＋1＝0 的两根互为相反数，则 （A）1，或－ 1 （ B）1 （C）－ 1

2．填空 :

（1）若 m，n 是方程 x2＋2005x－1＝0 的两个实数根，则 m2

等于 ．

（2）如果 a，b 是方程 x2＋x－1＝0 的两个实数根，那么代数式

．

．已知关于 的方程 2 －kx－2＝0． 3 x x （ 1）求证：方程有两个不相等的实数根；

＋b3 的值是

－mn 的值

n mn

a3＋a2b＋ab2

（ 2）设方程的两根为2 x1 和 x2，如果 2(x1＋x2)＞x1x2，求实数 k 的取值范围． ．一元二次方程 ＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为 x1 和 x2．求：

ax 4

（1）| x －x

和 x1 12 |

x2 ；（2）x 3

＋x 3 ．

1 2

---

-

2

5．关于 x 的方程 x2＋4x＋ m＝0 的两根为 x1，x2 满足 | x1－x2|＝2，求实数 m 的值． C 组 1．选择题：

18

---

-

初中升高中数学教材变化分析

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2－8x＋7＝0 的两根，

则 这 个 直 角 三 角 形 的 斜 边 长 等 于 （ ）

（A） 3

（B）3

（C）6

（D）9

（ 2 ） 若 x ， x 是方 程 2x2 － 4x ＋ 1 ＝ 0 的两个 根， 则 x1 x2 的 值 为 1 2 x2 x1 （ ）

（A）6

（ B）4

（ C）3

（D） 3

2 （3）如果关于 x 的方程 x2－2(1－m)x＋m2＝0 有两实数根 α，β，则 α＋β的取

1

1

（A）α＋β≥2

（B）α＋ β≤ （C）α＋β≥ 1 （D）α＋β≤ 1

2

（4）已知 a，b，c 是

ABC 的三边长，那么方程 cx2

＝0 的根的

＋(a＋b)x＋ c

4

（A）没有实数根

（B）有两个不相等的实数根

（ C）有两个相等的实数根

（D）有两个异号实数根

2．填空：若方程 x2－8x＋m＝0 的两根为 x1，x2，且 3x1＋2x2＝18，则 m＝

．3． 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程

4kx2－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根．

（1）是否存在实数 k，使 (2x1－x2)( x1－2 x2)＝－ 3 成立？若存在，求出

k 的

2

值；若不存在，说明理由；

（2）求使

x

1 x2 x2 x1

---

值范围为（） 情况是(

)

-

－2 的值为整数的实数 k 的整数值；（3）若 k＝－ 2，

试求 的值．

19

x1 ，

x2

---

-

初中升高中数学教材变化分析

4．已知关于 x 的方程 x2

(m 2) x m2 0 ． 4

（ 1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（ 2）若这个方程的两个实数根 x1，x2 满足 |x2|＝|x1|＋2，求 m 的值及相应的 x1， x2．

5．若关于 x 的方程 x2＋x＋a＝0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值范围．

2． 2

2.2.1

二次函数

二次函数 y＝ax2＋bx＋ c 的图象和性质 x2 (3) y

x2 2x 3

y＝2x2， y＝ 1 x2，y＝－ 2x2 的图象，通

2

情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图 （1） y 问题 1

x2 (2) y

函数 y＝ax2 与 y＝x2 的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出

过这些函数图象与函数 y＝x2 的图象之间的关系，推导出函数 y＝ax2 与 y＝x2 的图象之间所存在 的关系．

先画出函数 y＝x2，y＝2x2 的图象．

先列表：

x x2 2x2

⋯－3 －2 －1 9 ⋯ ⋯

18

4 8

1 2

0

0 0

1 1 2

2 4 8

3 9 18

⋯ ⋯

从表中不难看出， 要得到 2x2 的值，只要把相应的 x2 的值扩大两倍就可以了．再描点、连线，就分别得到了函数 y＝x2，y＝2x2 的图象（如图 2－1 所示），

从图 2－1 我们可以得到这两个函数图象之间的关系： 函数 y＝2x2 的图象可以由函数 y＝x2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 究这两个函数图象与函数

(a 0)

坐标变为原来的 a 倍得到．在二次函数

y＝ 1 x2，y＝－ 2x2 的图象，并研

2

y

y＝x2 的图象之间的关系．

＝ 2 的图象各点的纵

y x

2

y＝ax

(a

≠ 中，二次 0)

二次函数 y＝ax2 ≠ 的图象可以由

项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口

的大小．

问题 2 函数 y＝a(x＋h)2＋k 与 y＝ax2 的图象之间存在怎 样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来 研究它们之间的关系．同学们可以作出函数

---

y＝2(x＋1)2 ＋1

y＝ 2(x＋1) 2

y＝ 2x2

y＝2(x＋ 1)2＋ 1

-

与 y＝2x2 的图象（如图

2－2 所示），从函数的同学我们不难

20

－ 1

O 图 2.2-2

x

---

-

初中升高中数学教材变化分析

“形状相同，位

发现，只要把函数

y＝2x2 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就

可以得到函数 y＝2(x＋1)2＋1 的图象．这两个函数图象之间具有

置不同 ”的特点． 类似地，还可以通过画函数

图象之间的相互关系．

y＝－ 3x2，y＝－ 3(x－1)2＋1 的图象，研究它们

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数 y＝a(x＋h)2＋ k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；

h 决定了二次函数图象的左右平移，而且 “h 正左移， h 负右移 ”；k 决定了二次

函数图象的上下平移，而且 “k 正上移， k 负下移 ”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数

法：

2 2 b

由于 y＝ax ＋bx＋c＝a(x ＋

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方

2 b b2 b2

x )＋c＝a(x ＋ x ＋ 2 )＋c－

4a a a4a

y＝ax2 的图象作左右平

a( x b ) 2 b2 4ac ，

2a 4a

所以， y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数

2y＝ax移、上下平移得到的，于是，二次函数 ＋bx＋ c(a≠0)具有下列性质：

（ 1）当 a＞ 0 y＝ ax2 ＋ bx＋ c 图象开口向上；顶点坐标为 时，函数

＝－ b ；当 x＜ b 时，y 随着 x 的增大而减小； ( b , 4ac b2 ) ，对称轴为直线

x 2a 22 a 4a a

当 x＞

b 时， 随着

y 2a

的增大而增大；当 ＝

x x

b 时，函数取最小值

2

a

2

4ac b ． ＝

y

4

a

（ 2）当 a＜0 时，函数 y＝ax2 ＋bx＋ c 图象开口向下；顶点坐标为

bb

( , 4ac 2 ) ，对称轴为直线 ＝－ b ；当 x＜ b 时， 随着 的增大而增大；

y x x 22a 4a a 2a

2

4ac b ． ＝当 x＞ b 时， 随着 的增大而减小；当 ＝ b 时，函数取最大值

x y x y

24

2a a a 2．2－3 和图 2．2－4 直观地表示出 上述二次函数的性质可以分别通过图

来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合

4a

b c b2 的思想方法来解决问题．

y y A ( , ) b 24 x＝－ a a 2a y

---

y＝ 2x2

y＝ x 2

O

x b

4ac b2

A ( ,

)

2a 4a

图 2.2- 3

---

-

O

x

b x＝－

2a 图 2.2-4

O x

图 2.2-1

21

-

初中升高中数学教材变化分析

例 1 求二次函数 y＝－3x2－6x＋1 图象的开口方向、 对称轴、顶点坐标、最大值（或最小

画出该函数的图象．

22

解： ∵y＝－3x－6x＋1＝－3(x＋1)＋4，

∴函数图象的开口向下； B ( 2 3

3

这五点画出图象（如图

对称轴是直线 x＝－ 1； 顶点坐标为 (－1，4)；

当 x＝－ 1 时，函数 y 取最大值 y＝4；

当 x＜－ 1 时，y 随着 x 的增大而增大； 当 x＞－1 时，

采用描点法画图，选顶点 A(－1，4))，与 x 轴交于点C

3

值），并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（或减小）？并

A(－ 1,4) y

D (0,1)

O B x

y 随着 x 的增大而减小；

,0) 和 C(

2 3 3 ,0) ，与 y 轴的交点为 D(0，1)，过 3

2－5 所示）．

说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画

函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图

象更精确．

x＝－ 1 图 2.2－ 5

2

函数 y＝ax＋bx＋c 图象作图要领：

（ 1）确定开口方向：由二次项系数 a 决定

b （ 2）确定对称轴：对称轴方程为 x

2a

（ 3）确定图象与 x 轴的交点情况， ①若△ >0 则与 x 轴有两个交点，可由方程 x2 ＋bx

＋c=0 求出 ②①若△ =0 则与 x 轴有一个交点，可由方程

x 2＋bx＋c=0 求出 ③①若△ <0 则与 x 轴有无交点。

（ 4）确定图象与 y 轴的交点情况 ,令 x=0 得出 y=c，所以交点坐标为（ 0，

c）

（ 5）由以上各要素出草图。练习：作出以下二次函数的草图

（1） y

x2 x 6 ( 2) y

x2 2x 1 (3)

y

x2 1

例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y （件）之间关系如下表所示：

130 x /元

y/件

70

150 50

165 35

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销 售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

分析：由于每天的利润＝日销售量 y×(销售价 x－120)，日销售量 y 又是销售

---

-

价 x 的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价

x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利

22

---

-

初中升高中数学教材变化分析

y＝kx＋（B）

润的最大值．

解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设

解得

70 130k b, 50 150k b, k＝－ 1，b＝200．∴

z（元），则

将 x＝130，y＝70；x＝150，y＝50 代入方程，有

y＝－ x＋200．

设每天的利润为

z＝(－x+200)(x－120)＝－ x2＋320x－24000＝－ (x－160)2＋1600，∴当 x＝160 时， z 取最大值 1600．

答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 ＝x2 的图像，求 b， c 的值．

c b2 ，把它的图像向上平移 解法一： y＝x2＋bx＋c＝(x+ b )2

2 4 ( b左平移 4 个单位，得到 y x b 4) 2 c 2 2 的图像，也就是函数 2 4

所以， b

4 0 ,

2

2

2 0 , b c

4

1600 元．

例 3 把二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 y

2 个单位，再向

2

的图像， ＝

y x

解得 b＝－ 8，c＝14．

解法二： 把二次函数

＝ 2＋bx＋c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4

y x

个单位，得到函数 y＝x2 的图像，等价于把二次函数 y＝x2 的图像向下平移 2 个单位，再向右平移

2

4 个单位，得到函数 y＝x＋bx＋c 的图像．

由于把二次函数 y＝x2 的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y＝(x－4)2

＋2 的图像，即为 y＝x2－8x＋14 的图像，∴函数 y＝x2－8x＋

2

14 与函数 y＝x＋bx＋c 表示同一个函数，∴ b＝－ 8，c＝14．

说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题， 所以，

同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律．

这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．

例 4 已知函数 y＝x2，－2≤x≤a，其中 a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函

数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值．

a 的取值进行讨 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对

论．

2＝ 的图象仅仅对应着一个点 (－2，4)，所以， ＝－ 时，函数 解：（ ）当

2 y x 1a

4，此时 x＝－ 2； 函数的最大值和最小值都是

（2）当－ 2＜a＜0 时，由图 2．2－6①可知，当 x＝－ 2 时，函数取最大值 y

---

-

＝4；当 x＝a 时，函数取最小值 y＝a2；

（3）当 0≤a＜2

时，由图 2．2－6②可知，当 x＝－ 2 时，函数取最大值 y

23

---

-

初中升高中数学教材变化分析

＝4；当 x＝0 时，函数取最小值 y＝0；

（4）当 a≥2时，由图 当 x＝0 时，函数取最小值

y

4

4

2 a

aOx －2 －2

2．2－6③可知，当 x＝a 时，函数取最大值 y＝a2； y＝0．

y

a2

O a 2 x－2

y 2 a 4

③

说明：在本例 讨论的方法，对 a 的所有可能情形 进行讨论．此外， 本例中所研究的

Oa x中，利用了分类

①

② 图 2.2－ 6

二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题． 练习

（

（C）y＝2x2－1

） （D） （

）

1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） ＝ 2 （ ） ＝ 2－4x＋2 A y 2x B y 2x

2 ＝ －4x y 2x

（2）函数 y＝2(x－1)2＋2 是将函数 y＝2x2

（ A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的

（ B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 （ C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 （ D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的

2．填空题

（1）二次函数 y＝2x2－mx＋n 图象的顶点坐标为 (1，－ 2)，则 m＝ ，n

＝ ．

－ － ，当 ＝ 时，函数图象的顶点在 （2）已知二次函数 y＝x2

+(m 2)x 2m m y 轴上；当 m＝ x 轴上；当 m＝ 时，函数图象的顶点在 时， 函数图象经过原点． （3）函数 y＝－ 3(x＋2)2＋5 的图象的开口向

---

，对称轴为

时，函数取最

顶点坐标为 ＝

；当 x＝

， 值 y

y 随 x

；当 x

时， y 随着 x 的增大而减小．

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及

的变化情况，并画出其图象．

（1）y＝x2－2x－3； ．已知函数

＝－

（2）y＝1＋6 x－x2．

2

－2x＋3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函

-

4 y x

数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量

（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－ 2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

24

x 的值：

---

-

初中升高中数学教材变化分析

2.2.2

二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式： y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式： y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是 (－h，k)． 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种 表示方式，我们先来研究二次函数

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数．

ax2＋bx

当抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴相交时，其函数值为零，于是有 ＋c＝0．

①

并且方程①的解就是抛物线 标为零），于是，不难发现，抛物线

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标（纵坐

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程

＝b2－4ac

①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式

有关，由此可知，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 ＝b2－4ac 存在下

列关系：

（1）当

＞0 时，抛物线 y＝ ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有两个交点；反过来，

＞0 也成立．

若抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有两个交点，则

（2）当

＝0 时，抛物线 y＝ ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有一个交点（抛物线的

＝0 也成

顶点）；反过来，若抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有一个交点， 则 立．

（3）当

＜0 时，抛物线 y＝ ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴没有交点；反过来，若

＜0 也成立．

抛物线 y＝ax2＋bx＋ c(a≠0)与 x 轴没有交点，则

于是，若抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有两个交点 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，所以

x1＋x2＝

b

，x1x2＝ c ，即 a a

b

＝－ (x1＋x2)， c ＝x1x2．

a a

b

所以， y＝ax2＋bx＋c＝a( x2

x c ) = a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－

a a

x2)．

由上面的推导过程可以得到下面结论：

若抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以 表示为 y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．

这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：

3．交点式： y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中 x1，x2 是二次函数图象与

25

---

x 轴交

-

初中升高中数学教材变化分析

点的横坐标．

今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一 般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．

例 1 已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 y＝x＋1 上，并且图象经过点（ 3，

－ 1），求二次函数的解析式．

分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件 —— 最大值、顶点位置，

从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a．解： ∵二次函数

的最大值为 2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，

∴顶点的纵坐标为 2．

又顶点在直线 y＝x＋1 上，所以， 2＝x＋1，∴ x＝1．∴顶点坐标

是（ 1，2）．

设该二次函数的解析式为 y a(x 2)2 1(a 0) ，∵二次函数的图像经过点（ 3，－ 1）， ∴ 1 a(3 2)2 1，解得 a＝－ 2． ∴二次函数的解析式为

y

2( x 2)2 1，即 y＝－ 2x2＋8x－7．

说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件， 并巧妙地利用条件简捷地解决问题．

例 2 已知二次函数的图象过点 (－3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于2，求此二次函 数的表达式．

分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图 象与 x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．

解法一： ∵二次函数的图象过点 (－3， 0)，(1，0)，

∴可设二次函数为 y＝ a(x＋3) (x－1) (a≠0)， y＝ax2＋2ax－3a，

12 a2 2 4a

顶点的纵坐标为 4a ， 4a 展开，得

由于二次函数图象的顶点到 ∴|－4a|＝2，即 a＝ 1 ． 2 所以，二次函数的表达式为

y＝ 1 x2

2 x 轴的距离 2，

x 3 ，或 ＝－ 1 x2 x 3 ．

y

2 2 2

分析二： 由于二次函数的图象过点 (－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线 x ＝－ 1，又由顶点到 x 轴的距离为 2，可知顶点的纵坐标为 2，或－ 2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点 式来解， 然后再利用图象过点 (－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．

解法二： ∵二次函数的图象过点 (－3， 0)，(1，0)，

---

∴对称轴为直线 x＝－ 1．

-

又顶点到 x 轴的距离为 2，

26

---

-

初中升高中数学教材变化分析

∴顶点的纵坐标为 象过点 (1，0)，

∴ 0＝a(1＋1)2＋2，或 0＝a(1＋1)2－2． ∴ a＝－ 1 ，或 a＝ 1 ．

2 2 所以，所求的二次函数为

y＝－ 1 ＋ 2

(x 1) 2

＋2，或 y＝ 1 ＋ 2 －2．

(x 1)

2

2，或－ 2．

于是可设二次函数为 y＝a(x＋1)2＋2，或 y＝a(x＋1)2－2，由于函数图

说明：上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和

顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰

当的方法来解决问题．

例 3 已知二次函数的图象过点 (－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函

数的表达式．

2

解：设该二次函数为 y＝ax＋bx＋c(a≠0)．

由函数图象过点 (－1，－ 22)，(0，－ 8)，(2，8)，可得

22 a b c, 8 c, 8 4a 2b c,

解得 a＝－ 2， b＝12，c＝－ 8． 所以，所求的二次函数为

y＝－ 2x2＋12x－8．

通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？

习 练

1．选择题 : （ 1 ） 函 数

） （

（A）0 个

定 （ －2)

x 轴交于点 (－1，0)和(2，0)，则该二次函数

(a≠0) ．

3x＋ 1 的函数图象与

x 轴两交点之间的距离

）

（ A）(1，2)

（ B）(1，－ 2)

（C）(－1，2)

（D） (－1，

y ＝ － x2 ＋ x － 1

（B）1 个 y ＝ －

1

图 象 与 x 轴 的 交 点 个 数 是

（D）无法确

（C）2 个

（ 2 ） 函 数

2

(x ＋ 1) ＋ 2 的 顶 点 坐 标 是 2

2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与 为

的解析式可设为

．

（ 2）二次函数

y＝－ x2+2

y＝a

3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

---

-

（1）图象经过点 (1，－ 2)，(0，－ 3)，(－1，－ 6)；（2）当 x＝

3 时，函数有最小值 5，且经过点 (1，11)；

27

---

-

初中升高中数学教材变化分析

（3）函数图象与 x 轴交于两点 (1－ － 2)．

2，0)和(1＋

2，0)，并与 y 轴交于 (0，

2.2.3 二次函数的简单应用

一、函数图象的平移变换与对称变换 1．平移变换

问题 1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点 —— 只改变函数图象的位置、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式

研究其顶点的位置即可．

例 1 求把二次函数 y＝x2－4x＋3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解 析式：

（1）向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位；（2）向上

平移 3 个单位，向左平移 2 个单位．

分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次

项系数），所以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项） ，所以，首先将二

次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后的二 次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对应的解析式．

2

解：二次函数 y＝2x－4x－3 的解析式可变为

y＝2(x－1)2－1，

其顶点坐标为 (1，－ 1)．

（1）把函数 y＝2(x－1)2－1 的图象向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位后，其函数图象的 顶点坐标是 (3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为

2

y＝2(x－3)－2．

（2）把函数 y＝2(x－1)2－1 的图象向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位后，其函数图象的

顶点坐标是 (－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y＝2(x＋1)2＋2．

2．对称变换

问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依

据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？

我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点 —— 只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图

象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶点

28

---

-

位置和开口方向来解决问题．

例 2 求把二次函数 y＝2x2－4x＋1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：

（1）直线 x＝－ 1；

（2）直线 y＝1．

解：（1）如图 2．2－7，把二次函数 y＝2x2－4x＋1 的图象关于直线 x＝－ 1 作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状．

由于 ＝ 2－4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数 y y 2x

初中升高中数学教材变化分析

x＝－ 1

y

O x

A1(－ 3,－ 1) A(1,－ 1) 图 2.2－7

＝2x2－4x＋1 图象的顶点为 A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为 A1(－3，

，所以，二次函数 ＝ 2－4x＋1 的图象关于直线 x＝－ 1 对称后所得到图象

1) y 2x y＝2(x＋3)2－1，即 y＝2x2＋12x＋17． 的函数解析式为

2 （ ）如图 ． － ，把二次函数 ＝ －4x＋1 的图象关于

2 2 2 8 y 2x

直线 x＝－ 1 作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开口方

向，不改变其形状．

由于 ＝ 2 －4x＋1＝2(x－1)2－1，可知，函数 y＝2x2－4x y 2x ＋1 图象的顶点为 A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的顶点为 ， ，且开口向下，所以，二次函数 B(1 3) 关于直线 y＝1

1)2＋3，即 y＝－ 2x2＋4x＋1． 练

习

＝

y 2x

对称后所得到图象的函数解析式为

的

y

B(1，3)

2

－4x＋1 的图象

y＝－ 2(x－

解

析

y ＝

O x

A(1,－1)

图 2.2－8

3 个单位，所 式

为

1．选择题：

把函数 y＝－ (x－1)2＋4 的图象向左平移 得 图 象 对 应 （

）

（ ） ＝ ＋ 2＋ 1 A y (x 1)

2

（ ） ＝－ － ＋4 C y (x 3)

2 个单位，向下平移

（B） y＝－ (x＋1)2＋1 （D）y＝－ (x－3)2＋1

20 件，每件盈利 40 元，为了扩大 2 某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出

销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降 价 1 元， 商场平均每天可多售出 2 件：

(1) 若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫要降价多少元，

---

(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多 ?

-

2.3.1 二元二次方程组、简单的二元二次方程组的解法

29

---

-

初中升高中数学教材变化分析

一、知识概述 1、二元二次方程

2 的整式方程叫二元

含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是

二次方程．

关于 x、y 的二元二次方程的一般形式为

ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f=0(a、b、

c 至少有一个不为 0)，其中 ax2、bxy、 cy2 叫做二次项， a、b、c 分别是二次项的系数； dx、

ey 叫做一次项， d、e 分别是一次项的系数； f 叫做常数项．

例， xy=1，x2－y=0，x－y－2xy=－3 都是二元二次方程； x－y=1，x2y=0

都不是二元二次方程．

2、二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组组成的方程组，或者由两个二元二次方程

组成的方程组叫二元二次方程组． 3、解二元二次方程组的思想和方法

解二元二次方程组的基本思想是 “转化 ”，将二元转化为一元， 将二次转化为一次，转化的基本方法是 “消元 ”和“降次 ”．因此，掌握好消元和降次的一些方法和技巧是解二元二次

方程组的关键．

二、重点、难点和疑点突破

1、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法 (简称 “二 ·一”型方程组 )

(1)代入消元法 (即代入法 )

代入法是解 “二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：

①先将方程组中的二元一次方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另 一个未知数；

②把所得的代数式代入另一个方程中，使其转化为一个一元二次方程或一元一次方程； ③解所得的一元二次方程或一元一次方程，求出一个未知数的值；④把所求的未知数的值代入第一步所得的关系中求出另一个未知数的值；⑤写出方程组的解． (2)逆用根与系数关系定理法

对“二·一”型二元二次方程组成的形如

的方程组，可以根据一元二次

方程根与系数的关系，把 x、y 看成一元二次方程 z2-az＋b=0 的两个根，解这个方程，求得的 z1 和 z2 的值，就是 x，y 的值，当 x1=z1 时， y1=z2；当 x2=z2 时， y2=z1，所以原方程组的解是两 组 “对称解 ”．

2、对 “二·一”型的二元二次方程组的解的情况的判别

“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把一元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次

方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．

30

---

-

初中升高中数学教材变化分析

3、“二·二”型方程组的解法

解“二·二”型方程组的基本思想仍是 “转化 ”，转化的方法是 “降次 ”、“消元 ”．它

的一般解法是：

(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个

“二 ·一”型方程组，解这两个 “二·一 ”型方程组，所得的解都是原方程组的解．

(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是 原方程组的解．

4、“二·二”型方程组的解的情况

由同一个二元二次方程化成的两个二元一次方程一般不能组成方程组．

值得注意的是 “二 ·一”型方程组最多有两个解； “二·二”型方程组最多有四个解．解方 程组时，既不要漏解，也不要增解． 三、解题方法技巧点拨

1、“二·一”型二元二次方程组的解

例 1、解方程组分析：

此方程组含有一个二元一次方程，所以可用代入法解，这是第一种解法； 如果把①变形为 (x＋y)2=4，得 x＋ y=2 或 x＋y=－2，则原方程组可变形为两个

．解这两个二元一次方程组所得的解都是原

二元一次方程组

方程组的解，这是第二种解法． 解法 1：

由②得 x=2y＋5

③

将③代入①，得 (2y＋5)2＋2y(2y＋5)＋y2=4． 整理，得 3y2＋10y＋7=0．

31

---

-

初中升高中数学教材变化分析

点评：解 “二·一”型二元二次方程组，一般常采用前一种解法，即先代入消元，再分解降次 (或用公式法 )求解．本例的第二种解法是一种特殊解法，它只适合一些特殊形式的方程 组．

分解：

仔细观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可联系通过构造一个以 x，y 为根的一元二次方程来求解．解法 1：

由①得 y=8－x．③ 把③代入②，整理得 解得 x1=2，x2=6．

把 x1=2 代入③，得 y1=6．把 x1=6 代入③，得 y2 =2．

x2－8x＋12=0．

解法 2：

根据韦达定理可知， x，y 是一元二次方程 z2－8z＋12=0 的两个根，解这个方程，得

z1=2，z2=6．

点悟：“代入法 ”是解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的一般方法， 适用范围广； “逆用韦达定理法 ”虽然简便， 但它只适用于以两数和与两根积的形 式给出的方程组，适用范围比较小．

2、只有一个方程可分解降次的方程组的解法

例 3、解方程组

分析：

观察方程②，把 (x －y)看成整体，那么方程②就可以看作是关于 (x－y)的一元二次方程，且

可分解为 (x－y－3)(x－y＋1)=0，由此可得到两个二元一次方程 x－y－3=0 和 x－y＋1=0．

这两个二元一次方程分别和方程①组成两个方程组：

32

---

-

解：

初中升高中数学教材变化分析

分别解这两个方程组，就可得到原方程组的解． 由②得 (x－y－3)(x －y＋1)=0． ∴x－y－3=0 或 x－y＋1=0． ∴原方程组可化为两个方程组：

3、两个方程都可以分解降次的方程组的解法

例 4、解方程组

分析： 方程①的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目的，方程②左边是完全平

方式， 右边是 1，将其两边开平方， 也可以达到降次的目的．

由①得 (x－4y)(x ＋y)=0 解：

∴x－4y=0 或 x＋y=0 由②得 (x＋2y)2=1 ∴x＋2y=1 或 x＋2y=－1．

原方程可化为以下四个方程组

点评：不要把同一个二元二次方程分解出来的两个二元一次方程组成方程组，这样会

出现增解问题，同时也要注意防止漏解现象． 4、已知解的情况，确定字母系数

例 5、k 为何值时，方程组

(1)有一个实数解，并求出此解；

33

---

-

初中升高中数学教材变化分析

(2)有两个实数解； (3)没有实数解． 分析：

所考知识点：二元二次方程组的解法及根的判别式，先用代入法消去未知

数 y，可得到关于 x 的一元二次方程，再根据根的判别式来讨论．

解： 将①代入②，整理得 k2x2＋(2k－4)x＋1=0③ △=(2k－4)2－4×k2×1=－16(k－1)．

点悟：解这种题型的规律是一般将方程组转化为一元二次方程后，利用△ =0，△＞ △＜ 0 来讨论的．

解题易错点是一元二次方程中

x2 的系数 k2 不等于 0 容易被忽略． 练习

解方程组

（1） 3x2

2 xy y2 0 ； ( x y) 2 3( x y) 18 0

（2） x2 2xy y 2 4 ( x y) 2 5x 5 y 6

34

---

0，

-

初中升高中数学教材变化分析

2.3.2 一元二次不等式的解法

1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

2、一元二次不等式的解法步骤

bx c 0或ax2 bx c 0 a 0 的解集： 一元二次不等式 ax2 设相应的一元二次方程 ax2 则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

例 1

y ax 2

bx c

y

bx c

0 0 a

4ac b2 ，

0 的两根为 x1、 x2 且 x1 x2 ，

0

0

ax2 bx c

y ax2 bx c

y ax2 bx c

（ a 0 ）的图象

一元二次方程

ax 2 bx c 0

a 0 的根 ax 2 bx c 0 (a 0)的解集 ax 2 bx c 0

0)的解 (a 集 解不等式： （1）x2＋2x－3≤0； （3）4x2＋4x＋1≥0；

有两相等实根

有两相异实根

b

x1 , x2 (x1 x2 )

x x

x1或 x x2

x1 x2

2a b

x x

2a

无实根

R

x x1

x x2

（2）x－x2＋6＜0； （4）x2－6x＋9≤0；

（ ）－ ＋ － 2 ＜0． 5 4 x x

例 2

---

解关于 x 的不等式 x2

x a( a 1) 0

-

解：原不等式可以化为： (x a 若 a ( a 1) 即 a 1 则 x a 或 x 2

1)( x a) 0 1 a

35

---

-

初中升高中数学教材变化分析

1

若 a ( a 1) 即 a 则 ( x 2

1 )2 2

0

x

1

, x R

2

若 a (a 1) 即 a 则 x

2

1a 或 x 1 a

例 3 已知不等式 ax2 bx c 0(a 0) 的解是 x

2, 或 x 3 求不等式 bx 2

ax c

0 的

解．

解：由不等式 ax2 bx c 0(a 0) 的解为 x 2, 或 x 3 ，可知 a 0，且方程 ax2 bx c 0 的两根分别为

2 和 3，

∴ b 5 , c 6 ， a

a b c 即

6 ．

a

5 , a a

由于 a 0 ，所以不等式 bx2 x c 0 可变为

b x2 x c 0 ，

a a 即

－ 5x2

x 6 0 , 整理，得

5x2

x 6 0 ,

所以，不等式 bx2

ax c 0 的解是

6

x＜－ 1，或 x＞5 ．

说明： 本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．

练

习

1．解下列不等式：

（1）3x2－x－4＞ 0； （2）x2－x－12≤0； （3）x2＋3x－4＞ 0；

（4）16－8x＋x2≤0． 2.解关于 x 的不等式 x2＋2x＋1－a2≤0（a 为常数）．

作业：

1.若 0A. a的解是 a

B. 1 a

C.x> 1a

或 xD.x< 1 a

或 x>a

---

)

( -

2.如果方程 ax2＋bx＋b＝0 中， a＜0，它的两根

36

x1，x2 满足 x1＜x2，那么不等式

---

-

初中升高中数学教材变化分析

2ax＋bx＋b＜0 的解是 ______.

3．解下列不等式：

（1）3x2－2x＋1＜0； （ 2）3x2－4＜0；

（3）2x－x2≥－1； （4）4－x2≤0．

(5)4+3x－2x2≥0; (6)9x2－12x>－4;

4．解关于 x 的不等式 x2－(1＋a)x＋a＜0（a 为常数）．

5．关于 x 的不等式 ax2

求关于 x 的不等式 ax 2

bx c 0的解为 x

bx c 0的解．

2或 x

1 2

3．1 相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理

在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长度比的问题 .在数学学习与研究中，我们发现平行线常能产生一些重要的长度比 .

在一张方格纸上，我们作平行线 （如图 3.1-1），直线 a 交 l1 , l 2 , l3

l1, l2 ,l 3

于点 A, B, C ，

AB 2, BC 3 ， 另 作 直 线 b 交 l1 ,l 2 ,l 3 于 点 A ' , B ' ,C，'不难发现 A ' B ' AB 2 .

B 'C ' BC 3

我们将这个结论一般化， 归纳出平行线分线段

成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比图例3.1-1

// 如图 3.1-2，l1 // l2 l3 ，有 AB = DE .当然， BC EF .在运用该定理解决问题的过程 DF

DE

.

也 可 以 得 出

中，我们一定要

AB A---

-

C

37

---

-

初中升高中数学教材变化分析

“对应 ”线段成比例 . 注意线段之间的对应关系，是

例 1 如图 3.1-2， l1 // l2 // l3 ，

且 AB = 2, BC = 3, DF = 4, 求 DE , EF . , 解 Q l1 / / l 2 / /l3 ,A B = D E=2

B C E F 3

2

DE 3 DF 12 . DF 8 , EF

2 3 5 2 3 5

图 3.1-2

例 2 在 ABC 中， D , E 为边 AB , AC 上的点， DE // BC ，

求证： AD

AB

AE

DE .

AC BC

ADE 证明（1） DE // BC , ADE ∽ ABC ，

ABC , AEDACB ,

AD AE DE .

AB AC BC

证明（ 2） 如图 3.1-3，过 A 作直线 l // BC ，

l // DE // BC, AD AE .

AB AC

过 E 作 EF // AB 交 AB 于 D ，得 BDEF ， 因而 DE BF .

图 3.1- 3

EF // AB , AE BF DE .

AC BC BC AD AE DE . AB AC BC 从上例可以得出如下结论：

平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线） ，所得的对应线段成比例 .

平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角

形的三边对应成比例 . 例 3 解

已知 ABC ， D 在 AC 上， AD : DC 2 :1 ，能否在 AB 上找到一点

EG 1 , AD 2

假设能找到，如图 3.1-4，设 EC 交 BD 于 F ，则 F 为 EC

E ，使得线

图 3.1-4

段 EC 的中点在 BD 上.

的中点，作 EG // AC 交 BD 于 G . EG // AC , EF FC ，

EGF CDF ，且 EG DC ， EG // 1 AD , BEG BAD ，且 BE 2 BA E 为 AB 的中点 .

可见，当 E 为 AB 的中点时， EC 的中点在 BD 上.

我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其 存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则不存在 . 例 4

---

在 V ABC 中， AD 为 D BAC 的平分线，求证：

-

38

---

-

AB = BD . AC DC

证明 过 C 作 CE//AD，交 BA 延长线于 E， Q AD // CE , BA = BD .

AE DC

Q

初中升高中数学教材变化分析

AD 平分 衆BAC, ? BAD ? DAC ,

AB

? E ? ACE,即AE

BD

图 3.1- 5

由 AD // CE 知 ? BAD 行E, DAC = ? ACE ,

AC,

. =

AC DC

例 4 的结论也称为 角平分线性质定理 ，可叙述为 角平分线分对边成比例 （等于该角的两边之比） .

练习 1

1．如图 3.1-6，l1 // l2 // l3 ，下列比例式正确的 是（ A ． C．

）

B．

AD = CE DF BC CE = AD DF BC

AD = BC

BE AF AF = BE DF CE

图 3.1-6

图 3.1-7

D.

2．如图 3.1-7， DE // BC , EF // AB, AD = 5cm, DB = 3cm, FC = 2cm, 求 BF .

3．如图，在 V ABC 中，AD 是角 BAC 的平分线， AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求 BD 的长 .

图 3.1-8

4．如图，在 V ABC 中， D BAC 的外角平分线 AD 交 BC 的延长线于点 D ，求证： AB = BD .（三角形外角平分线定理）

AC DC

5．如图，在 V ABC 的边 AB、AC 上分别取 D、E 两点，使 BD=CE，DE 延长线交 BC 的延长线于 F.求证： DF = AC .

EF

AB

图 3.1-9

图 3.1-10

39

---

-

初中升高中数学教材变化分析

3.12．相似形

我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角 形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？

例 5 如图 3.1-11，四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，? BAC ? CDB ，求证： ? DAC ? CBD .

在 VOAB 与 VODC 中， 证明

行

? AOB DOC , OAB = ? ODC ,

VOAB ∽V ODC ， OA = OB ，即 OA = OD . OD OC OB OC 又 VOAD 与 VOBC 中， ? AOD VOAD ∽ VOBC ， ? DAC ? CBD .

? BOC ，

图 3.1-11

例 6 如图 3.1-12,在直角三角形 ABC 中， D BAC 为直角， AD ^ BC于 D .

求 证 ：（ 1 ） AB 2 = BD ?BC ，

AC 2 = CD ?CB ；

（2） AD 2 = BD ?CD

图 3.1-12? B

? BAD ，

DC

? B ，

（1）在 RtV BAC 与 RtV BDA 中， 证明 V BAC V BDA ∽ ， BA = BC ,即 AB 2 = BD ?BC. BD BA 同理可证得 AC2 = CD ?CB . RtV ABD ∽ RtVCAD ，

AD = BD

（2）在 RtV ABD 与 RtVCAD 中， ? C 90o - ? CAD

,即 AD 2 = BD ?DC .

AD

例 7 证明

我们把这个例题的结论称为 射影定理 ，该定理对直角三角形的运算很有用 .

在V ABC 中，AD ^ BC于D , DE ^ AB于E, DF

^ AC于F ，求证： AE ?AB AF ?AC .

，

Q A D^ B C

V ADB 为直角三角形，又 DE ^ AB ， 由射影定理，知 AD 2 = AE ?AB .

同理可得 AD 2 = AF ?AC .

AE ?AB AF ?AC .

图 3.1- 13

例 8 如图 3.1-14，在 V ABC 中， D 为边 BC 的中点， E 为边 AC 上的任意一点， BE 交 AD 于点 O .某学生在研究这一问 题 时 ， 发 现 了

---

如 下 的 事 实 ：

-

40

---

-

初中升高中数学教材变化分析

图 3.1-14

（1）当 AE = 1 = 1 时，有 AO = 2 = 2 （如图 ） 2 + . 3.1-14a AC 2 1+ 1 AD 3 1 （2）当 AE = 1 = 1 时，有 AO = 2 = 2 （如图 ）

. 3.1-14b 2 + 2

（3）当 AE = 1 = 1 时，有 AO = 2 = 2 （如图 ） . 3.1-14c AC 4 1+ 3 AD 5 2 + 3

在图 3.1-14d 中，当 AE =

1 时，参照上述研究结论， 请你猜想用 n 表示 AO

2

AD

AC 3 1+ 2 AD 4

AC 1+ n AE =

AC

1 1+ n

的一般结论，并给出证明（其中 解：依题意可以猜想：当

Q

n 为正整数） .

时，有 AO =

AD

成立 .

2+ n

证明 过点 D 作 DF//BE 交 AC 于点 F， D 是 BC 的中点，

F 是 EC 的中点，

AE = 2 , AE = EF n AF

1

1 可知 AE = 1 ， 由 AE =

AC 1+ n EC n AO = AE = 2 . AD AF 2 + n 想一想，图

2 .. 2 + n

3.1-14d 中，若 AO = AD ，则 AE = ?

n AC

本题中采用了从特殊到一般的思维方法 .我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作

出一般性的猜想， 然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史 .

练习 2

）

.这两条线

图 3.1-15

1．如图 3.1-15，D 是 V ABC 的边 AB 上的一点，过 D 点作 DE//BC 交 AC 于 E.已知 AD：DB=2：3，则 SV ADE : S四边形 BCDE 等于（ A ． 2 : 3

B． 4 : 9C． 4 : 5D． 4 : 21

2．若一个梯形的中位线长为 15，一条对角线把中位线分成两条线段

段的比是 3: 2 ，则梯形的上、下底长分别是 __________.

3．已知： V ABC 的三边长分别是 3，4，5，与其相似的 V A ' B 'C ' 的最大边长是 15，

---

求

A ' B ' C '

的面积 SV A ' B 'C ' .

-

4．已知：如图 3.1-16，在四边形 ABCD 中， E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、

DA 的中点 .

41

---

-

初中升高中数学教材变化分析

（ 1）请判断四边形 EFGH 是什么四边形，试说明理由；

（ 2）若四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC、BD 满足什么条件时， EFGH

是菱形？是正方形？

5．如图 3.1-17,点 C、D 在线段 AB 上， V PCD 是等边三角形， （1）当 AC、CD、DB 满足怎样的关系时， V ACP ∽V PDB ？ （2）当 V ACP ∽ V PDB 时，求 DAPB 的度数 .

图 3.1-17

图 3.1- 16

习题 3.1 A 组

1． 如图 3.1-18， V ABC 中， AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ）

B．DE=2，BC=6 A ．DE=1，BC=7

C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8

如图 3.1-19，BD、CE 是 V ABC 的中线， P、Q 分别是 BD、CE 的中点， 2．

则 PQ : BC 等于（ A ．1：3

C．1：5

D．1：6

）

B． 1：4

图 3.1-18

图 3.1-19

如图 3.1-20， Y ABCD 中， E 是 AB 延长线上一点， DE 交 BC 于点 F，已 3．

知 BE：AB=2： 3， SV BEF = 4 ，求 SV CDF .

4． 如图 3.1-21，在矩形 ABCD 中， E 是 CD 的中点， BE ^ AC 交 AC 于 F，

---

过 F 作 FG//AB 交 AE 于 G，求证： AG 2 = AF ?FC .

图 3.1-20

图 3.1-21

-

42

---

-

1． A ． 1

2

初中升高中数学教材变化分析

B 组

）

如图 3.1-22，已知 V ABC 中， AE：EB=1：3，BD：DC=2：1，

FC FD

B．1C． 3

2

D．2

AD 与 CE 相交于 F，则 EF + AF 的值为（

图 3.1-22

2． 如图

3.1-23，已知 V ABC 周长为

1，连结

三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个

三边中点构成第三个三角形，依此类推，第 三角形周长为（ ）

200A ． 1 B． 1 C． 20021

D． 31

2

2002

2003

2

图 3.1-23

3． 如图 3.1-24，已知 M 为 Y ABCD 的边 AB

中点， CM 交 BD 于点 E，则图中阴影部分 面积与 Y ABCD 面积的比是（ ） A ． 1

B． 1

C． 1

D． 5

3 4

6

12

图 3.1-24

4．

如图 3.1-25，梯形 ABCD 中，AD//BC，EF 经过梯形对角线的交点

EF//AD. （ 1）求证： OE=OF； （ 2）求 OE + OE 的值；

AD BC （ 3）求证： 1 + 1 = 2 .

AD BC

EF

C 组

1．

如图 3.1-26，V ABC 中，P 是边 AB 上一点，连 （1）要使 V ACP ∽ V ABC ，还要补充的一个条件是

____________.

（ 2）若 V ACP ∽ V ABC ，且 AP : PB = 2 :1 ，则 BC : PC =_____. ---

V ABC 对角线 2003个

的 的

O，且

-

图 3.1-25

结 CP.

43

---

-

初中升高中数学教材变化分析

如图 3.1-27，点 E 是四边形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 2．

? BAC ? BDC ? DAE .

（1）求证： BE ?AD

CD ?AE ；

（2）根据图形的特点， 猜想 BC 可能等于那两条线段的比（只须写

DE

出图中已有线段的一组比即可）？并证明你的猜想 .

图 3.1-27

o

3． 如图 3.1-28，在 RtV ABC 中， AB=AC， ? A 90 ，点 D 为 BC

上任一点， DF ^ AB 于 F， DE ^ AC 于 E，M 为 BC 的中点，试判断 V MEF

是什么形状的三角形，并证明你的结论 .

图 3.1-28

4． 如图 3.1-29a， AB ^ BD , CD ^ BD , 垂足分别为 B、D，AD 和 BC 相交于 E，

EF ^ BD 于 F，我们可以证明

1 + 1 = 1 成立 . AB CD EF

图 3.1-29

若将图 3.1-29a 中的垂直改为斜交， 如图 3.1-29 b，AB // CD , AD、 BC 相交于 E， EF//AB 交 BD 于 F，则：

1

（1） 1 + = 1 还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说

AB CD EF 明理由；

（2）请找出 SV ABD , SV BCD 和 SV EBD 之间的关系，并给出证明 .

---

-

44

---

-

初中升高中数学教材变化分析

3.2 三角形 3.2.1 三角形的 “五心 ”

三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角

形的问题 .

如图 3.2-1 ，在三角形△ ABC 中，有三条边 AB, BC ,CA ，三个顶点 A, B, C ，在三角形中，

角平分线、中线、高（如图 3.2-2）是三角形中的三种重要线段 .

三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的 重心 .三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点 .

图 3.2-1

图 3.2-2

例 1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比 为 2：1.

已知 D、E、F 分别为△ ABC 三边 BC、CA、AB 的中点，求证 AD、BE、 CF 交于一点，且都被该点分成 2：1.

连结 DE，设 AD、 BE 交于点 G， 证明

图 3.2-3

图 3.2-4

---

Q D、E 分别为 BC、AE 的中点，则 DE//AB，且 DE = AB ，

2 VGDE ∽ VGAB ，且相似比为 1：2，

AG = 2GD , BG = 2GE .

1

设 AD、CF 交于点 G ' ，同理可得，AG ' = 2G ' D , CG ' = 2G ' F . 则 G 与 G ' 重合，

AD、BE、CF 交于一点，且都被该点分成

2 :1 .

三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的 内心 . 三

角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等 . （如图 3.2-5）

图 3.2-5

例 2 已知 V ABC 的三边长分别为 BC = a, AC = b, AB = c ，I 为 V ABC 的内心，且 I

-

45

---

-

初中升高中数学教材变化分析

在 V ABC 的边 BC、 AC、 AB 上的射影分别为 证明

作 V ABC 的内切圆，则 D、 E、 F 分别

图 3.2-6

切圆在三边上的切点，

Q AE , AF 为圆的从同一点作的两条切 A E=A ， 例 3 已知 求证 证明

同理， BD=BF，CD=CE.

b + c - a = AF + BF + AE + CE - BD - CD = AF + AE = 2AF = 2AE 即 AE = AF = b + c - a . 2

O 为三角形 ABC 的重心和内心 . 三角形 ABC 为等边三角形 . 如图，连 AO 并延长交 BC 于 D. Q O 为三角形的内心，故 AD 平分 AB = BD （角平分线性质定理） AC DC

D、 E、 F ，求证： AE = AF = b + c - a .

2

为 内

线 ，

D BAC ，

点 ， 即

若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.

Q O 为三角形的重心， D 为 BC 的中

BD=DC. AB = 1 ，即 AB = AC . AC

同理可得， AB=BC. 图 3.2-7

V ABC 为等边三角形 .

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的 垂心 .锐角三角形的垂心一定在三8）

角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部 .（如图 3.2-

图 3.2-8

例 4 求证：三角形的三条高交于一点 .

V ABC 中， AD ^ BC于D, BE ^ AC于 E，AD 与 BE 交于 H 点. 已知 求证

C H ^ A .B

证明 以 CH 为直径作圆，

Q AD ^ BC, BE ^ AC, ? HDC ? HEC

D、 E 在以 CH 为直径的圆上，

? FCB ? DEH .

---

90o ,

-

同理， E、 D 在以 AB 为直径的圆上，可得

46

---

-

? BED ? BAD . ? BCH ? BAD ，

初中升高中数学教材变化分析

图 3.2-9

? ADB 90 o ，即 CH ^ AB .

ABC 的外接圆，

又 V ABD 与 VCBF 有公共角 D B ， ? CFB

过不共线的三点 A、B、C 有且只有一个圆，该圆是三角形

圆心 O 为三角形的 外心 .三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点 .

练习 1

1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形

.

2． （1） 若三角形 ABC 的面积为 S，且三边长分别为 a、 b、 c ，则三角形的内切圆的半径是 ___________;

（2）若直角三角形的三边长分别为 a、 b、 c（其中 c 为斜边长），则三角形的内切圆的

半径是 ___________. 并请说明理由 .

3.2.2 解斜三角形

一、回顾直角三角形的四个锐角三角函数的概念； 1 正弦、余弦、正切、余切 2 、特殊角的三角函数值

二、直角三角形的边角公式：平方和关系、商的关系、倒数关系

22sinacosa

sin a+cosa=1 tga= ctga=

tg

cosa sin a

分别写出变形式：

2

a·ctg 2a=1

三、讲授在坐标系内的钝角三角函数。 （A 为钝角）

00

sinA=sin(180 -A) cosA=-cos(180 -A)

0 -A) ctgA=-ctg (180

画图像举例说明：正弦值为“﹢” ，其余为“﹣”四、正弦

---

0

tgA=-tg(180

-A)

定理和余弦定理

-

47

---

-

初中升高中数学教材变化分析

正弦定理

三角形各边的长度与其对角的正弦值的比相等，且等于它的外

ABC当中：

2R

sin C c

接圆的直径

证明（传统证法）在任意斜△

1

1

1

ab sin C ac sin B bc sin A

2 2 S△ABC=2

1

两边同除以

abc 2

a

b

即得：

sin A sin B

余弦定理 三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦

的积的两倍。

a2 =b 2 +c 2-2bccosA 变形式：

b2 =c 2 +a 2-2accosB

c2 =a 2 +b 2-2abcosC 五．例题分析

例 1 在△ ABC 中，已知 a=3，c=3 3 ，∠ A=30°，求∠ C 及 b

分析 已知两边及一边的对角，求另一边的对角，用正弦定理．注意已知两边和一边的

对角所对应的三角形是不确定的，所以要讨论．

3 3

解 ∵∠ A=30 °， a＜c，c·sinA= 1

csinA sinC= a

=

3 3×2 3

=

2 ＜a， ∴此题有两解．

3

2 ， ∴∠ C=60°，或∠ C=120°．

变形式： 变形式：

∴当∠ C=60°时，∠ B=90°， b= a2+b2 =6． 当∠ C=120°时，∠ B=30°， b=a=3．

点评 已知两边和一边的对角的三角形是不确定的，解答时要注意讨论． 例 2 在△ ABC 中，已知 acosA=bcosB，判断△ ABC 的形状．

分析 欲判断△ ABC 的形状，需将已知式变形． 式中既含有边也含有角， 直接变形难以进行，若将三角函数换成边，则可进行代数变形，或将边换成三角 函数，则可进行三角变换．

解 方法一：由余弦定理，得

∴a 2c 2－a 4－b 2c 2+b 4=0 ．

2 2—a2

a·（b +c

2bc

2 2—b2

）=b·（a +c ），

2ac

∴ (a2－b2)(c 2－a2－b2)=0 ． ∴ a2－b2=0，或 c2－a2－b2=0． ∴ a=b，或 c2=a2+b2．

∴△ ABC 是等腰三角形或直角三角形． 方法二：由 acosA=bcosB，得

2RsinAcosA=2RsinBcosB．∴sin2A=sin2B． ∴2A=2B ，或 2A=1800－2B． 0

∴△ ABC 为等腰三角形或直角三角形．

---

-

点评 若已知式中既含有边又含有角，往往运用余弦定理或正弦定理，将

48

---

-

初中升高中数学教材变化分析

角换成边或将边换成角，然后进行代数或三角恒等变换．

例 3 已知圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2 ，BC=6， CD=DA=4 ，求四边形 ABCD 的面积．

四边形 ABCD 的面积等于△ ABD 和△ BCD 的A 分析

面积之和，由三角形面积公式及∠ A+ ∠C=π可知，只需 求出∠ A 即可．所以，只需寻找∠ A 的方程． B

解

连结 BD，则有四边形 ABCD 的面积

1

·

OD

1

S=S△ABD +S△ CDB =2AB ·AD ·sinA+2BC·CD·sinC ．

C ∵A+C=180°， ∴sinA=sinC．

1 故 S=2（2×4+6×4）sinA=16sinA ．

在△ ABD 中，由余弦定理，得 BD2=AB 2+AD 2－2AB ·ADcosA=20 －16cosA ． 在△ CDB 中，由余弦定理，得 BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC．

1

∵cosC=－cosA， ∴cosA=－32，cosA=－ 2 ． 又∵ 0°＜ A＜180°，∴ A=120°． 故 S=16sin120°=8 3 ．

点评 注意两个三角形的公用边在解题中的运用．

b

例 4 墙壁上一幅图画，上端距观察者水平视线 B 下端距水平视线 a 米，问观察者距墙壁多少米时，才能使 a

C 观察者上、下视角最大．

分析

如图，使观察者上下视角最大，即使∠ APB

最大，所以需寻找∠ APB 的目标函数．由于已知有关边长， 所以考虑运用三角函数解之．

解

则∠ APB=θ为视角．

y=tanθ =tan(∠APC－∠ BPC)=

b—a b—a =

ab

A b 米，

P =

设观察者距墙壁 x 米的 P 处观察， PC⊥AB ，AC=b，BC=a(0＜a＜b)，

b a x

x

tan∠APC—tan∠BPC

1+ tan∠APC·tan∠BPC ab

x

b a

1 x x

≤2 ab ， 当且仅当 x= π

, 即 x=

ab 时， y 最大．

x+ x

π

由θ ∈（0， 2 ）且 y=tanθ在（0， 2 ）上为增函数，故当且仅当 x=

---

ab 时

-

视角最大．

点评 练习

注意运用直角三角形中三角函数的定决解三角形的有关问题．

49

---

-

A．等边三角形 C．直角三角形

初中升高中数学教材变化分析

3

1．△ ABC 中， tanA+tanB+

3 =

3 tanAtanB，sinAcosA=

4

，则该三角形是

（ ）

B．钝角三角形

D．等边三角形或直角三角形

为 （

2．在△ ABC 中，已知（ b+c）∶(c+a)∶(a+b)=4∶5∶6，则此三角形的最大内角

）

A．120° B．150° C．60° D．90° 3．若 A、B 是锐角△ ABC 的两个内角，则点 P（cosB－sinA ，sinB－cosA）在

） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

．

．

（

4．在△ ABC 中，若 sinA∶sinB∶sinC=5∶12∶13，则 cosA=

5．在△ ABC 中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠ C 的大小为

a=4，b=5，s=5 3 ，求 c 的长度．

222

7．在△ ABC 中，sinA－sinB+sinC=sinAsinC，试求角 B 的大小． 8．半圆 O 的直径为 2，A 为直径延长线上一点，且

B 为半圆上任意一点，以

点在什么位置时，四边形

1. 大面积．

6．已知 a、b、c 是△ ABC 中∠ A、∠ B、∠ C 的对边， S 是△ ABC 的面积，若

B

C

OA=2 ， O ‘A

AB 为边向外作等边△ ABC ，问 B

A

OACB 的面积最大，并求出这个最

3.3 圆

3.3.1 圆幂定理及其应用

教学目标

使学生理解相交弦定理、切割线定理及其推论间的相互关系，并能综合运用它们解

决有关问题；

2. 通过对例题的分析，提高学生分析问题和解决问题的能力，并领悟添加辅助线的方 法； 3.

从运动的观点来统一认识圆幂定理 . 对学生进行事物之间是相互联系和运动变化的

50

---

-

初中升高中数学教材变化分析

观点的教育 .

教学重点和难点

相交弦定理、切割线定理及其推论之间的关系以及应用是重点；灵活运用圆幂定理解题 是难点 .

教学过程设计

一、从学生原有的认知结构提出问题 1.

根据图 7-162(1) 、(2) 、(3) ，让学生结合图形，说出相交弦定理、切割

线定理、割 线定理的内容 .

2. 然后提出问题 . 相交弦定理、切割线定理及其推论这三者之间是否有联 系 ?

提出问题让学生思考，在学生回答的基础上，教师用电脑或投影演示图形

的变化过程，

从相交弦定理出发，用运动的观点来统一认识定理 .

(1) 如图 7-163 ，⊙ O的两条弦 AB，CD相交于点 P，则 PA·PB＝PC·PD.这便是我们学 过的相交弦定理 . 对于这个定理有两个特例：

一是如果圆内的两条弦交于圆心 O，则有 PA＝PB＝PC＝PD＝圆的半径 R，此

时 AB，CD是直径，相交弦定理当然成立 .( 如图 7-1)

二是当 P 点逐渐远离圆心 O，运动到圆上时，点 P 和 B，D重合，这时 PB＝PD＝O，仍然

有 PA·PB＝PC·PD＝O，相交弦定理仍然成立 .( 图 7-165)

(2) 点 P继续运动，运动到圆外时，两弦的延长线交于圆外一点 P，

成为两条割线，则有 PA·PB＝PC·PD，这就是我们学过的切割线定

理的推论 ( 割线定理 ).( 图 7-166) (3)

在图 7-166 中，如果将割线 PDC按箭头所示方向绕 P 点旋

转，使 C，D两点在圆上逐渐靠

近，以至合为一点 C，割线 PCD变成切线 PC.这时有 PA·PB

＝ PC·PD＝PC2，这就是我们学过的切割线定理 .( 图 7-167)

(4) 如果割线 PAB也绕 P 点向外旋转的话，也会成为一条切线 PA.这时应有

51

---

-

初中升高中数学教材变化分析

PA2＝PB2，可

得 PA＝PB，这就是我们学过的切线长定理 .( 图 7-168)

至此，通过点的运动及线的运动变化，我们发现，相交弦定理、切割线定理及其推论 和

切线长定理之间有着密切的联系

3.

.

7-169.

启发学生理解定理的实质 .

经过一定点 P作圆的弦或割线或切线，如图 观察图 7-169，可以得出： ( 设⊙ O半径为 R) 在图 (1) 中， PA·PB＝PC·PD＝PE·PF

＝(R-OP)(R+OP) ＝R2-OP2；

2 2

2

在图 (2) 中， PA·PB＝PT＝OP-OT

2 2

＝OP-R

在图 (3) 中， PA·PB＝PC·PD＝PT2

2 2

＝OP-R .

2 2

P 关于⊙ O的 教师指出，由于 PA·PB均等于｜ OP-R ｜，为一常数，叫做点

( 割线定理 ) 统称为圆幂定理 . 幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论

二、例题分析 ( 采用师生共同探索、讲练结合的方式进行 )

例 1 如图 7-170 ，两个以 O为圆心的同心圆， AB切大圆于 B，AC切小圆于C，交大圆

于 D，E，AB＝12，AO＝15，AD＝8，求两圆的半径 .

分析：结合图形和已知条件，根据勾股定理容易求出大圆的半径

OB.求 OC AE，再利用

AC未知，此时则可根据切割线定理先求出 也可考虑用上述方法，但

AC，于是问题得解 . 垂径定理便可求出

( 由学生讨论、分析，得出解决

)

例 2 如图 7-171 ，在以 O为圆心的两个同心圆中， A， B 是大圆上

任意两点，过 A，B 作小圆的割线 AXY和 BPQ.

---

-

求证： AX·AY=BP·BQ

分析：在平面几何比较复杂的图形中， 往往都是由几个

52

---

-

初中升高中数学教材变化分析

简单的图形组合而成的

. 但本题

不直接含有这样的图形，我们应考虑通过添加适当的辅助线来构造出这样的图形，以此为 出

发点，师生共同探索，得出以下几种不同的辅助线的添法 . 方法 1 在图 7-172 中，过点 A，B 分别作小圆的切线 AC，BD，C，D为切点 . 这时就出现了 切割线定理的基本图形，于是有 AC2 ＝AX·AY，BD2＝BP·BQ. 再连结 CO，AO，DO，BO，

易证 Rt△AOC≌△ Rt△BOD，得出 AC＝BD 所以 AX·AY＝BP·BQ.

方法 2

在图 7-173 中，作直线 XP交大圆于 E，F，分

别延长 AY，BQ，交大圆于 C，D.这样就出现了相交弦定理的基本图形

. 于是有

AX ·XC＝EX·XF， 易证 AX＝CY，BP＝DQ，EX＝FP.

所以 AX·XC＝AX·AY，BP·PD＝BP·BQ，EX·XF＝FP·PE.

所以 AX·AY＝BP·BQ.

方法 3 如图 7-174 ，由于点 O 是圆内的特殊点，考虑过 O 点的特殊割线，作直线 AO交小

圆于 E，F，作直线 BO交小圆于 C，D，则出现了割线定理的基本图形 . 于是有

AX ·AY＝AE·AF，BP·BQ＝BC·BD. 易证 AE＝BC，AF＝BD， 所以 AE·AF＝BC·BD. 从而 AX·AY＝BP·BQ.

通过对以上方法的分析，将 “和圆有关的比例线段 ”这一节的几个定理紧密结合起来，

沟通了知识间的联系，最后可启发学生联想基本图形，思考还有哪些辅助线的作法来证明 此 题 ?

三、练习 练习 1 已知 P为⊙ O外一点， OP与⊙ O交于点 A，割线 PBC 与⊙ O交

于点 B，C，且 PB＝BC.如果 OA＝7，PA＝2，求 PC的长 . 练习 2 如图 7-175 ，⊙ O和⊙ O′都经过点 A 和 B，PQ切⊙ O

53

---

·P

BP-

初中升高中数学教材变化分析

于 P，交⊙ O′于 Q，M，交 AB的延长线于 N.求证： PN2＝NM·NQ.

四、小结

用投影重新打出圆幂定理的基本图形 ( 如图 7-176) ，让学生观察并说出相应的定理 .

教师指出：以上定理形式虽然不同，但实质相同，它们是相互统一的 . 五、习题

1、求证：相交两圆的公共弦的延长线上任一点到两圆所作的切线长相等。

已知：如图 5，⊙ O1 和⊙ O2 相交于点 A、B，P 为 BA延长线上任意一点，且 PC、PD与⊙ O1

和⊙ O2 分别切于 C、D两点。求证： PC=PD。

2、如图 6，过点 P 作⊙ O的切线 PA，A 为切点，过 PA中点 B 作割线交⊙ O于 C、D，连结 PC

并延长交⊙ O于 E，连结 PD，交⊙ O于 F。求证： EF∥PA。

---

-

初中升高中数学教材变化分析

3、如图 7，已知 PBD是⊙ O的割线， PA、PC是⊙ O的切线， A、C为切点，求证：

（ 1）PA·AB=PB·AD；

（2） ；

（ 3）AD·BC=AB·DC。

提示：（ 1）要证 PA·AB=PB·AD，只要证得 就可以了。而 PA、AD、PB、AB分别是△ PAD和 △PBA的两条边，因此只根证得这两个三角形相似即可。 显然 ∠ APD=∠BPA，∠ ADP=∠BAP，因此△ PAD∽△ PBA。

（2）由问题（ 1）可知 ，因此要证 ，只需证

PA2=PB·PD，故有 。

（3）要证 AD·BC=AB·DC，只需证得 即可。由问题（ 1）可知

类似问题（ 1）可证得 。因 PA=PC，故 。因此有

55

---

。而

， 。

-

初中升高中数学教材变化分析

3.3.2

点的轨迹： 三点的轨迹

［教学目标］ 1. 2. 3. 4.

了解点的轨迹的定义。

掌握五种基本轨迹（即轨迹定理 1、2、3、4、5）。 学会利用定理 1、2、3、4、5 求简单轨迹。 初步学会交轨法作图。

二 . 重点、难点： 1. 2.

重点：有关轨迹的 5 个定理及轨迹在研究点的运动和作图方面的应用。 难点：

（1）如何利用轨迹作图，轨迹的探求方法。

（2）如何把运动问题，作图问题归结为点的轨迹问题来解决。

例 1. 求下列点的轨迹。 （1）当

的斜边 AB固定时，求直角顶点

C的轨迹。

（2）已知⊙ O及弦 AB，求与 AB平行的弦的中点的轨迹。 解：（1）如图，设 O为 AB的中点，连结 CO，则

。因为 AB固定，

所以 O为定点， CO为定长。由定理“到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，

定长为半径的圆” ，得所求轨迹是以 AB为直径的圆。

由于圆上 A，B 两点不能作为以 AB 为斜边的直角三角形的直角顶点，故应除去。

（2）如图，动点是与 AB平行的弦的中点，不变量是⊙ O 的弦 AB，根据垂径定理，弦中点

到 A、B 的距离相等，由定理 2，所求中点的轨迹是与弦 AB垂直

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---

-

初中升高中数学教材变化分析

的直径（除去两端点及

AB的中点）

精析：求适合某个条件的点的轨迹的基本思路是把题设中的条件转化为课本中某一个轨迹定理的条件，从而根据轨迹定理的结论得出所求轨迹。在求出轨迹后，要检查所得的图 形中是否包含了某些不合题意的点，如果有，则应当将它们除去。

例 2. 求下列点的轨迹，并画出图。

（1）在半径为 5cm的圆中，长为 6cm的动弦的中点的轨迹。 （2）与相交于 A、B 两点的等圆都外切的动圆圆心的轨迹。

解：（1）如图，连结 OC、OA，其中 C为弦 AB的中点，根据垂径定理得： ⊥ AB。

所以 ，所以

所以以长为 6cm 的已知线段为弦，且在半径为 5cm 的圆中运动所得的弦的 中点的轨迹是以点

O为圆心、半径为

4cm的一个圆。

（2）设 P 是所求轨迹上的任意一点，连结 ，则

又因为

，所以 AB垂直平分

而线段 AB上的任意一点都不可能是和⊙ O1，⊙ O2 都外切的动圆圆心

所以所求轨迹是

的中垂线 AB，并除去线段 AB，如图所示。

57

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OC

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初中升高中数学教材变化分析

精析：在分析求点的轨迹的思路时，可以设出一种有代表性的情况，并画

出图形（如本例第（ 1）小题中，设 AB是半径为 5cm的⊙ O中的一条长为 6cm的弦， C是 AB的中点，然后分析当 AB运动时，中点 C如何变化。）这样便于借助图形，找出能反映动点运

动特征的位置关系和数量关系，并使之转化为某个轨

迹定理中的条件。在检验求出的轨迹时，有时要剔除的不只是某几个点，而可能是一条线

段，或一段圆弧等。如本例中第（ 2）小题。

例 3. 求以 4cm长的已知线段 点 C的轨迹。

AB为一边，且面积为 的三角形的第三个顶

解：因为 AB的长为 4cm，三角形面积为 ，则三角形 AB边上的高线长

所以三角形的第三个顶点 C到对边 AB所在直线的距离为 6cm

因此所求轨迹是与线段 AB所在直线平行，且到这条直线的距离等于 6cm的两条平行直线

（如图所示）

精析：求点的轨迹的一般步骤： （1）描出一些适合的点（画出草图） ；

（2）研究并总结这些点具有的共同特点与已知条件的关系，从而根据五个轨迹定理中

的一个确定所求的轨迹是什么图形；

（3）根据题意考虑是否有需要排除的特殊点（或线段、圆弧）

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，然后用文

---

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初中升高中数学教材变化分析

字叙述完整。

例 4. 如图所示，已知∠ EOF，点 A 和点 B，求作一点 P，使点 P 同时满足：（1）到∠ EOF

的两边距离相等；

（2）到点 A、B的距离相等。

解：点 P 到∠ EOF两边的距离相等， 则点 P在∠ EOF的平分线上，故作∠ EOF 的平分线。 点 P 到 A、B 两点的距离相等，则点 P 在线段 AB的中垂线上，故作线段 AB 的中垂线。 两线的交点为 P，则点 P即为所求。

精析：当所求作的点同时满足两个（或多个）条件时，应单一地考虑每一

个条件，确定所求作点各是什么轨迹上的点， 并作出每一个轨迹， 则这两个（或多个）轨迹的交

点就是所求作的点，这种作图方法称为交轨法作图。

例 5. 已知⊙ O和定长 r ，点 A 是圆内的一点，求作一个半径为 r 的圆，使它

经过点 A，并且与⊙ O内切。

解：以 O为圆心，以⊙ O的半径减去定长 以点 A为圆心，以定长 则以 （如图所示）

或

r 的差为半径画圆

r 为半径画圆，两圆相交于点

或⊙

就是所求作的圆。

为圆心，定长 r 为半径画圆，所得⊙

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初中升高中数学教材变化分析

精析：本例用交轨法作图，由于所求作圆的半径为已知线段 r ，故作图的关

键是找圆心 ，由已知条件， 就是到定点 O的距离为定长（⊙ O的半径与 r 之差）的点的轨迹和到定点 A的距离为定长 r 的点的轨迹的交点。练习 1. 2. 3.

到定点 P 的距离等于 6cm的点的轨迹是 _____________。

以线段 AB为底边的等腰三角形 ABC的顶点 C的轨迹是 _____________。 已知⊙ O' 与半径是 4cm的⊙ O外切，且⊙ O'的半径为 2cm，则点 O'的轨迹

是 __________。 4. 5. 6. 知

____________。

已知动点 P到直线 的距离为 5cm，则点 P 的轨迹是 ____________。 半径等于 2cm，与直线 相切的圆的圆心的轨迹是 ______________。 如图所示，

中，∠ C＝Rt∠， BC边在 进行平 行移动，那 么

上，点 A 在 AB 边 的中点

上，

。已

Q 的轨迹 是

7. 与正方形 ABCD的 AB、 AD 两边（不延长）都相切的圆的圆心的轨迹是

________。 8. 9.

到半径为 r 的定圆 O的切线长等于定长 a 的点的轨迹是 ___________。

一动点 P 绕定点 O，且到定点 O的距离为 4cm旋转半周，那么点 P 运动所经过的路程是

_________cm。 10.

如图所示，半径为 3cm的弹子沿着半径为 8 cm的圆形钢圈内壁滚动 3 周，

60

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-

初中升高中数学教材变化分析

那么弹子圆心 P 随之运动所经过的路程是

________ cm。

二. 选择题。 11. 到已知角两边所在直线的距离相等的点的轨迹是（ ）

A. 这个角的平分线 B. 这个角的平分线所在直线

C. 这个角和它的邻补角的平分线所在的直线 D. 这个角和它的邻补角的平分线

12. 已知线段 AB，切 AB中点 E的动圆圆心的轨迹是（ ） A.

线段 AB的中垂线

B. AB 的垂线（除去 E点） C. 线段 AB的垂线

D. 线段 AB的中垂线（除去 E 点）

13.

已知两条平行线之间的距离为 6 cm，和这两条平行线都相切的动圆圆心

的轨迹是（） A. 和这两条直线平行，且距离等于 6cm的一条直线 B. 和这两条直线平行，且距离等于 3cm的两条直线 C. 和这两条直线平行，且距离都等于 3cm的一条直线 D. 和这两条直线平行，且距离等于 3cm的三条直线 14. 点 P（x，y）在直角坐标系内运动， 且满足 ，则点 P 的轨迹是（ A. 平分第 I 象限角的一条射线 B. 平分第 II 象限角的一条射线 C.

平分第 III 象限角的一条射线

61

---

）

-

初中升高中数学教材变化分析

D. 15.

平分第 I 、第 III 象限角的一条直线 已知抛物线

b 的值是（ B. 4

的对称轴是到 A（-3 ，0）和 B（5，0）的距离相

） C. -2

D. 2

等的点的轨迹，则 A. -4

三 . 解答题。 16.

如图所示，已知⊙ O和⊙ O上一点 A，求以点 A 为一端点的弦的中点的轨迹，并画出

图形。

17. 如图所示，已知∠ EAF，B是 AE上一点，求作一个 ，使 AB边上高线

A、B 两端紧靠与 A' 重合，且P随

为 2 cm，点 C到 AE，AF的距离相等。

18. 如图所示，一根小木棒两端 A、B 紧靠钢圈上，现小木棒

A'B' 位置上，使得

A 与 B' 重合， B

钢圈按逆时针方向滑动到

AB//A'B' ，已知小木棒长为 8cm，钢圈半径为 5cm，求木棒中点过的路程。之运动所经

19、在三角形 ABC 中 BC=6 AC=5 AB=4

62

过点 A 且与 BC 边相切的圆分别

---

-

初中升高中数学教材变化分析

与 AB、AC 交于点 DE 求线段 DE 长度的最小值

3.3.3 证明四点共圆的基本方法

1、利用圆的定义

根据圆的定义可以知道，平面上到一个定点个点在C

等 距离的几定 同一个圆上，这个圆是以定点为圆心，以个点中任一点D

的距离为半径。

D 点到这几 2、利用三角形的关系 A O

B

(1) 同斜边的直角三角形的各顶点共圆；

(2) 同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆。

已知 C、D在线段 AB的同侧，且∠ ACB=∠ADB。求证：

图7-39

A，B，C，D 四点共圆。

证明：如图 7-39 ，过 A，

D D

B，C三点 作⊙ O。 D

D C

C

C

O

O B E

O

A A

B

A B

图7-41

图7-42

图 7-40 (1) 如果 D点在⊙ O内部，则延长 BD交⊙ O于 D ，连 AD 。

∵∠ D =∠C，且∠ ADB＞∠ D 。∴∠ ADB＜∠ C，这与∠ ADB=∠ACB矛盾。

因此 D点不可能在⊙ O的内部。

(2) 如图 7-40 ，如果 D点在⊙ O的外部，连 AD，BD。则必有一条线段与⊙相交，设 BD与⊙ O交于 D ，连 AD 。

∵∠ A B=∠ACB，且∠ D

D ＜∠ A BD 。 D

B ∴∠ D＜∠ ACB，这与∠ ADB=∠ACB矛盾。

P

因此， D点不可能在⊙ O的外部。 A 综上所述， D点必在⊙ O上。

O

---

3、利

(1) 如

O C

( 图 7-41)

---

-

； 63

-

初中升高中数学教材变化分析

(2) 如果四边形的一个外角等于它的内对角，

那么它的四个顶点共圆 (7-42)

4、利用线段的乘积式的关系

A，B，C，D四点共圆。 (1) 线段 AB，CD相交于 P，且 PA·PB=PC·PD，则证明：

如图 7-43 ，连 AD，BC，AC。 A 在△ APD和△ BPC中，∵ PA·PB=PC·PD，∴ PA

PD 。

PB

又∠ APD=∠BPC，∴△APD∽△ BPC。∴∠B=∠D，又 B，D在线段

PC

B

O

P C

AC同侧。

因此， A，C，B，D 四点共圆。

D

图 7-44

(2) 两线段 AB，CD的延长线相交于 P，且 PA·PB=PC·PD，则四点共圆

A，B，C，D ( 图 7-44) 。

例 1、过正方形 ABCD对角线 BD上任一点 P 作边的平行线。其交点分别为

D GE，F，G，H，证明这些交点在以对角线的交点 O为圆心

C 的圆上。 分析：由于 P 点选取的任意性及正方形 ABCD顶点，对角线交

O

H PF 点的固定性，应通过三角形全等证明 OE=OF=OG=OH，根据圆的定义证明四点

B

A E 共圆。

图7-45 证明：如图 7-45 ，连 OE、OF、OG、OH。 ∵OA=OB=OC，∠ OAH=∠OBE=∠OBF=∠OCG=45o，AH=BE=BF=CG。

∴△ OAH≌△ OBE≌△ OBF≌△ OCG。

∴OH=OE=OF=OG。

因此， E，F，G，H 四点共圆。

例 2、从一定点 P 向各同心圆作切线，求证各切点共圆。 分析：由于切线垂直于过切点的半径，因此条件中存在较多的

O

A A

B 垂直关系。可以考虑使用“同斜边的直角三角形的各顶点共圆”进

B 行证明。 图 7-

46 证明：如图 7-46 ，连 OA,OA , OB,OB , OP 。

∵∠ OAP=∠O P=∠OBP=∠O P=90o，且都以 OP为斜边，

A B

∴A，B， B ， A 共圆。 E， 例 3、已知 AB，CD是⊙ O的弦，且 AB∥CD，M为 AB的中点， DM交⊙ O于

求证 E，M，O，C四点共圆。 E

A M B

O

C N D

图 7-47

---

P

-

分析：注意“同斜边的直角三角形的各顶点共圆”与“同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆”的区别与联系。前者的直角可在斜边两侧，而后者的等角必须在同底的同侧。本

题应使用后者进行证明。

---

-

初中升高中数学教材变化分析

证明：连 OE，OM，OC，MC，反向延长 OM与 CD交于 N，如图 7-47 所示。 ∵AB∥CD，AM=BM，∴ MC=MD，∠ MCD=∠MDC。

又∠ CME=∠MCD+∠MDC=2∠MDC，而∠ COE=2∠MDC，∴∠ CME=∠COE，且 M，

C在线段 CE同侧。

因此 E，M，O，C四点共圆。

例 4、两圆交于 A，B 过 B 的直线交两圆于 C，E，在 BA的延长线上任取一 分析：涉及到四边形时，可以考虑使用“如果四边形的

P

D A F

点 P，连 PC，PE，交两圆于 D，F。求证： P，D，A，F 四点共圆。

一组对角互补，那么它的四个顶点共圆” ，也可以考虑使用“如 果四边的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共 圆”。

证法 1：如图 7-48 ，由∠ PDA=∠ABC，∠ PFA=∠ABE，并 且∠ ABC+∠ABE=180o，所以∠ PDA+∠PFA=180o。

因此 P，D，A，F 四点共圆。

证法 2：由∠ PDA=∠ABC，∠ ABC=∠AFE，所以∠ AFE=∠PDA。

因此 P，D，A，F 四点共圆。

例 5、从⊙ O外一点 A作切线 AB，AC过 BC的中点 M作弦PQ。

求证： Q，P，A，Q四点共圆。

分析：使用相交弦定理的逆定理及割线定理的逆定理证 A 明四点共圆较 为困难。本题可以使用相交弦定理的逆定理进 行证明。

证明：如图 7-49 连 OB，则 OB⊥AB，又 BC⊥OA，所以根据射影

2

定理，有 BM AM·OM。

2

根据相交弦定理，有 PM·QM=BM·CM=BM 。

∴AM·OM=PM·QM。

C

B 图 7-48

E

P

B M

O

根据相交弦定理的逆定理，有 O，P，A，Q四点共圆。

E

C G

图 7-49

D

A M N

90

B

P C F

例 1、两个角的边交于点 A、B、C、D(如图 5-18) ，已知这 两角的平分线互相垂直。求证： A、B、C、D四点共圆。

证明：由题意可设∠ AEM=∠MEB= ，∠ NMF=∠AME= ，∠ DAB是△ EAM的外角，所以∠ DAB= NFM=90－ =∠PFC。

。

A

90

图 5-18

。因为 EN⊥NF，所以∠ EPN=90o－ ，∠

。∠BCD是△ PCF的外

又∠ EPN与∠ CPF是对顶角，∴∠ CPF=∠EPN=90o－ 角，∴∠ BCD=∠PEC+∠CPF=(90o－ )+(90 o－ )= 180

于是∠ DAB+∠BCD= () (180

∴A、B、C、D 四点共圆。

---

=180。 )

-

例 2、O为△ ABC内一点， BO、CO分别交 AC、AB于 D、E。 如果 BE·BA+CD·CA=BC 2 。求证： 、 、 、

共圆。

A D O E

2

证明：∵ BE·BA+CD·CA=BC ，∴ · ∠ BC 2 。①

BE BA

故在线段 BC上存在一点 F( 如图 5-19) ，使 BE·BA=BF·BC。

65

E 1 3 D

O 2 4 C

F

B

图5-19

---

-

②

由①，得 CD·CA=BC 2 －BE·BA=(BF+FC)·BC－BF·BC，

即 CD·CA=FC·BC。③ 连 AF，由②知 A、C、F、E 四点共圆。∴∠ 1=∠2。又由③知

A、B、F、D 四点共圆。∴∠ 3=∠4。

∴∠ BAC=∠1+∠3=∠2+∠4=COD。∴ A、D、O、E 四点共圆。例 3、

如图 5-20 ，设 AD、BE、CF为△ ABC的高，垂心为

A H，N、S、P 分别为三边中点， G、T、M分别为 AH、BH、CH的

E

P 中点。求证： D、E、F、G、T、M、N、S、P九点共圆。

S F

H 分析：对于多点共圆问题，要归结为四点共圆问题加以

T M

B N D 解决。所以，欲证九点共圆，可先证其中四点共圆。再证余

图 5-20

下五点都在此圆周上。

1 1

证明：∵ PS∥TM∥ BC(PS=TM=BC)，

2 2

1 1

PT∥SM∥ AH(PT=SM= AH)，又 AD⊥BC，∴ PTMS的矩形。

2 2 同理证 TNSG也为矩形。故 TS、NG、PM是同一个圆的

三条直径。

又∠ GDN=90o，∴D在此圆上。同理，E、F 也在此圆上。 B 故结论

C

D F

初中升高中数学教材变化分析

C

E

成立。

说明：本题是著名的“九点圆定理” ，即：任意三角形 三条高的垂足、三边的中点、以及垂心与三顶点连线的中点，

这九个点共圆。 其证明方法很多， 上述是用四点共圆给以证明的。

图 5-21

A

例 4、如果在凸五边形 ABCDE中，∠ ABC=∠ADE且∠ AEC=∠ADB。求证：∠

BAC=∠DAE。

分析：欲证∠ BAC=∠DAE，如图 5-21 ，在△ ABC与△ ADE中，已知∠ CBA=∠ ADE， 故只须证明∠ BCA=∠DEA即可。

证明：∵∠ AEC=∠ADB，∴ A、F、D、E 四点共圆。 圆。

∴∠ AFE=∠ADE，而∠ ADE=∠ABC。∴∠ AFE=∠ABC。∴ A、B、C、F 四点共 于是，得∠ BCA=∠BFA=∠DEA。

在△ BCA与△ DEA中，∵∠ ABC=∠ADE，∠ BCA=∠DEA，∴∠ BAC=∠DAE。

例 5、设⊙ O1 、⊙ O2 、⊙ O3 两两外切， M是⊙ O1 、⊙ O2 的切点， R、S 分别是⊙ O1 、

⊙ O2 与⊙ O3 的切点，连心线 O1 O2 交⊙ O1 于 P，交⊙ O2 于 Q。求证： P、

Q、R、S 四点共圆。分析：如图 5-22 ，连结 MR、PR，则∠ PRM=90o，欲证 P、Q、R、S 四点共 圆，设法证明∠ PRS与∠ Q互补即可。

证明：连结 RM、PR、RS、SQ，并作切线 RN，则在四边 P

1

---

O1

M

O2

-

形 PQSR中，∠ Q= ∠ O1

O2 O3 ，

N R

S O3 图 5-22

2

∠PRS=∠PRM+∠MRN+∠NRS=90o+∠P+1 ∠ O3

66

2

Q

---

-

初中升高中数学教材变化分析

=90o+ 1 ∠ O2 O1 O3 + 1 ∠ O3 ，

2 2 ∴∠ Q+∠PRS=90o+ 1 ( ∠ O O

2

O ∠ O O O ∠ O

3

12 21 3 + +

3里所

A

2 1

E 3 B

∽△ ， EAD

说的多点共圆是指四点及四点以上的诸多点共圆问题，而其中四点共圆是基本技能，应立于善于

)=90o+90o=180o

∴P、Q、R、S 四点共圆。

例 5、若凸四边形两组对边乘积的和等于对角线的乘积， 试证：

该四边形四个顶点共圆。

分析：若题目中直接指明需证某四点共圆，则一般采用直接寻

找共圆条件，以证得结果。

证：如图 7－5，在四边形 ABCD中引 AE，BE使得∠ 1=∠2，∠

3=∠4。

BE 则△ ABE∽△ ACD，所以 AC CD

即 AB CD AC BE ①

AB

BAC

AE 得△ 连结 ED，由∠ BAC=∠EAD及 AB

AC AD 因此 AC

AD 即 AD BD

BC ED

AC ED ②

AD BC AD BC

①+②得 AB CD 但由题设 AB CD

AC ( BE ED )

AC BD 可知 EF ED BD ，故 B，E，D三点共线，

所以∠ ABD=∠ACD。于是 A，B，C，D四点共圆。

例 2 设△ ADE内接于圆 O，弦 BC分别交 AD，AE边于 F，G，且 AB AC ( 图 3-35) 。求

证： F , D , E , G 四点共圆。

分析欲证 F，D，E，G四点共圆，由于已知条件中交弦较多，因此，用圆幂定理的逆定 理，若能证出 AF·AD=AG·AE成立，则 F，D，E， G必共圆．

证：作 AM BC 交圆 O于 N，因为 AB AC ，则 AN 必为⊙ O的

直径，所以

∠FDN=∠FMN=90°，

所以 F，D，N，M四点共圆，所以 AD·AF=AN·AM． 同理， AG·AE=AN·AM，所以 AD·AF=AG·AE， 所以 F，D，E，G四点共圆．

多点共圆问题

B F C M O

E N 3-55 A

D

---

-

将其灵活运用于解题实践之中；后者也很重要，其方法主要是先证其中四点共圆，然后证明 其余各点均在这个圆上，另外，定义有时也能起到很大的作用。

例 1、如图 14-5 所示，在△ ABC的边 AB、BC、CA上分别用黑点标出 C1，A1 和 B1，它们都不是这些边的端点，现知有 AC1 BA1 CB1及∠ BAC=∠B1A1C1，

C1B A1C B1A 证明：黑点为顶点的三角形相似于△ ABC。

---

D 4 C

-

67

---

-

初中升高中数学教材变化分析

分析、要证两三角形相似，已有∠ BAC=∠B1A1C1，再设法找出另一对角相等即可。 证明：过 C1作 C1M∥AC，如图，连 B1M，则 CM

从而 B1M∥AB。故四边形 AC1MB1为平行四边形，∠ B1A1C1=∠

P A=∠B1MC1。于是 A1，C1、B、M四点共圆， ∠A1B1C1=∠A1MC1。 O B D Q C

又 C1M∥AC，故∠ C=∠A1MC1=∠A1B1C1。因此△ A1B1C1∽△ ABC。 O1

E

G F 图 14-6 例 2、如图 14-6 所示， ABCD是⊙ O的内接四边形，延长

AB和 DC相交于 E，延长 AD和 BC相交于 F，EP和 FQ分别切⊙

2 2 2

O于 P、Q。求证： EP+FQ=EF。

分析、对于在解题中需证明某四点共圆的问题，是一个较难掌握的问题，一般只能按结论逐步推理。 此例所要证明的结论中 EP、FQ均在切线，

B GR 此我们不妨从割线定理着手。证明：过 B、C、E作⊙ O1，交 EF 于 G，

M 连 CG，因为∠ FDC=∠ABC=∠CGE，故 F、D、C、G 四点共圆。于是可 A

P O

反复使用切割线定理，有

2

C EP=(EG+GF)·EF=EG·EF+GF·EF=EC·ED+FC·FB

图14-22 222 7

=EP+FQ，即 EF=EP+FQ。

例 3、如图 14-7 所示，设 A为⊙ O外一点， AB、AC和⊙ O分别切于 B、C，APQ为⊙ O的一条割线。过 B 作 BR∥AQ交⊙ O于 R，连 CR交 AQ于 M，试证： A、B、C、O、M五点 共圆。

分析、将五点共圆问题转化为四点共圆问题。

DI B O MI CI A

图 14-8

MB

AC1 CB1 ， C1B B1A

A

证明：连接 OB、OC、BC，则 OB⊥AB，OC⊥AC，故 A、B、O、C 四点共圆。由于 BR∥AQ，故∠ GRB=∠BAQ。而∠ GBR=∠BCR，故∠ BAQ= ∠BCR。即∠ BAM=∠BCM。于是 A、B、M、C四点共圆。

但过 A、B、C 三点只能作一个圆，因此

，A、B、C、O、M五点

共圆。

例 4、AB为一圆 O中的定弦，作⊙ O的弦 C1D1， C2D2，⋯， C1998D1998，对其中 PI 。求证： P1，P2，⋯， P1998在同一个圆周上。

分析、如图 14-8 所示，这是证明 1998 个点的共圆问题，不便考察，先取定一点 PI ，看 它与三个定点 A、B、O存在什么关系。

证明：先取一条弦 CIDI(I=1 ，2，⋯， 1998) 来研究。 故有

---

每个 i ( i =1，2，⋯， 1998)Ci Di 都被弦 AB平分于 M，过 Ci，Di 作⊙ O的切线，两切线交于点

因 A、B、CI、DI 在⊙ O上，且 MI 为 AB与 CIDI 的交点，故有 CIMI·DIMI=AMI·BMI，①

又因 PICI 、PIDI 为⊙ O的切线，易证 O，CI，PI ，DI 四点共圆，且 OPI 与 CIDI 也交于 MI，

-

OMI·PIMI。

于是 PI ，O，A、B四点共圆，即 PI 在△ OAB的外接圆上，亦即点 P1，P2，⋯，P1998在 △ OAB的外接圆上。

---

68

Q PI

-

初中升高中数学教材变化分析

AC、 BD交于 P。求证：△PAB

与△ PCD的外心，垂心四点共圆。

分析：易知△ PAB∽△ PDC。设△ PAB的垂心为 H 1 ， A

C 外心为 O1 ，△ PCD的垂心为 H 2 ，外心为 O2 ，于是有

H PH ∶ H O ∶ O ，因此只需证明 、 O 、 H 共线

O2 1 1 P 2 =P 1 P 2 1 2 P

及 P、 O2 、 H 1 共线，命题就可获证。 H 2 O1

B

D

图 5-24

的外心。

。 ∴∠ ∠ ，∠ O 1 ∠CO

H 1 PA+ BAP=90o 2 PC+ 2 P=90o 2 1

∠

，∴∠ O 。又∵ ，∴ H O 而∠ CDP= CO

2 P CDP=BAP 2 PC+CDP=90o 1 PA= 2

证明：如上所设 H 1 是△ PAB 的垂心， O2

是△ DPC

∴ H 1 、 O2 、P 三点共线。同理， O1 、 H 2 、P 三点共线。

又∵△ PAB∽△ PDC，∴ PH 1 PO1 ， PH 1 PO2 PH 2 PO1 。

PH 2 PO2

∴ O1 、 O2 、 H 1 、 H 2 四点共圆。

C例 7、如图 5-24 ，AB、CD是圆的两条弦，延长

P

。 2 PC

1988 ，对其中每

Di O

Mi B A

C i 图 5-25

Pi

例 8、设 AB为定⊙ O中的定弦，作⊙ O的弦 C1 D 2 , C2 D2 , 一 i ( i =1，2，⋯， 1988) ， Ci

D1988

Di 都被 AB 平分于 M i ，过 Ci , Di 分

别作⊙ O的切线，两切线交于点 Pi 。求证： P1, P2 , ,P1988 共圆。 证明：对每个 i ( i =1，2，⋯， 1988) ，连结 OCi ,ODi 。如图 5-25 。

DiMi AMi MiB 。 ∵ CiDi 均被 AB平分于 Mi ，∴ CiMi

又 PiCi , Pi Di 分别切⊙ O于 Ci , Di ，∴O、Ci 、Pi 、Di 四点共圆，

且 OPi 过 Mi 。

∴ Ci M i Di M i Pi M i OM i 。故 OM i M i Pi M i A M i B 。

∴ Pi 和 O、A、B 共圆。

而 O、A、B 为定点，所以 Pi 在△ ABO的外接圆上，即 P1 , P2 , 多圆共点问题

, P1988 共圆。

所谓多圆共点问题，就是证几个圆同时过某一点。证明多圆共点问题通常有以下两种

方法：

(1) 先证两圆相交 ( 切) 于某点，然后证此点在其它圆上， 即把这类问题转化为多点共圆的 情形。

---

-

(2) 找出某一定点，然后证明该点在这多个圆上，这里定 点一般为特殊点。

E、F 两点，

B

求证：所成的四个三角形：△

ABF、△ ADE、△ CDF、△ BCE 的

E

图 14-

9

A C D P F

例 1、四边形 ABCD的两组对边延长线分别交于

外接圆共点。

分析、如图 14-9 所示，两个较大的三角形的外接圆交于 A、P 两点；显然两个较小的三角形的外接圆不能过点 A。故应 设法证明四个外接圆过点 P。

---

69

-

初中升高中数学教材变化分析

证明：设 P 是△ ABF与△ ADE外接圆的另一交点，连结 因 A、B、P、F 四点共圆，故∠ PBF=∠PAF。

又因 A、E、P、D四点共圆，故∠ DEP=∠PAF。从而∠ PBF=∠DEP，E、B、C、 P 四点共

PA、PB、PE。

圆，即 P 在△ BCE的外接圆上。同理， P 在△CDF的外接圆上。因此， △ ABF、△ ADE、△ CDF、△ BCE的外接圆共点 P。

证明若干个圆共点常用的方法主要有以下二个：

(1) 先证其中两圆相交 ( 或相切 ) 于某点，然后证明此点在其它圆上， 即把圆共点的问题转

化为共圆点问题。

(2) 找出某一定点，然后证明该点在诸所设圆上 ( 这定点一般为特殊点 ) 。例 8、如图 7－8，在△ ABC的各边上向外各作一个正三角形 BCD，CAE，ABF。 证明：这三个正三角形的外接圆共点。

F

证：设△ CAE与△ ABF的外接圆交于 O点，连接 AO，BO， CO。因为∠ AOC+∠E=180o，∠AOB+∠ F=180o，∠E=∠F=60o，所

O

以 ∠ AOC=360o－ ∠ AOC－ ∠ AOB=120o，∠ D=60o，故 ∠ BOC+∠

B

D=180o，

因此， O，B，D，C 四点共圆，即△ BCD的外接圆通过 O

C A

E

D 点。于是△ BCD，△ CAE，△ ABF的外接圆共点。

例 9、如图 7－ 9，I 为△ ABC的内心，过 B 作圆 O1 与直线 CI 相切于 I 点，又过 C作圆 O2 与直线 BI 相切于 I 点，求证：所作两圆与△ ABC的外接圆共点。

证：因为

1 90

A 180 2

BIC 180

1 ( B 2

C ) 180

(180A) ， 2

1

A

I

Q2 Q1

C

D

所以⊙ O1 和⊙ O2 的另一个交点 D 必在∠ BIC 内部。连

接 DI，DB，DC。

由于 BID 所以 BDC 360 2 90

ICD , CID 360 ( BIC

IBD

IBDICD ) 360 2 BIC A，

B

1 A 180 2

即 ABDC 180 。

因此， A，B，D，C 四点共圆。故△ ABC的外接圆通过 D 点，于是，所说的三圆共点。

练习

S

A F H

E

Q

---

-

P

1．设梯形 ABCD中，AB∥CD，E，F 分别在腰 AD和 BC上，若 A，

B，F，E四点共圆，则

C，D，E，F 也必四点共圆．

70

B

R

第 3 题

C

---

-

初中升高中数学教材变化分析

2．四边形 EFGH的顶点顺次在四边形 ABCD的各边上，并且 AE=AH，BE=BF，CF=CG，DG=DH．求证： E，F，G，H四点共圆．

1、设△ ABC为正三角形，BC、AC上分别有一点 D、E，且 BD=1 CD，

CE=1 AE，BE、AD相交于 P。求证： P、D、C、E 四点共圆，且 AP

2 ⊥CP。

2

A

C

A

O2 O3 O 1 B

D

第 5 题

2、设△ ABC的 BC边的垂直平分线与∠ BAC的平分线相交于 D，

求证： A、B、C、D四点共圆。

过 B、E 及 C、F 的直线交两圆于 P、Q、R、S。求证： P、S、Q、R四点共圆。

3、如图，两圆相交，过一交点 A 引两圆的直径 AB、AC，交两圆于 E、F， 4、在△ ABC中，过 B、C 分别作∠ BAC的平分线为垂线， E、F 的垂足， AD ⊥BC于 D，M为 BC中点。求证： M、E、D、F 四点共圆。

5、如图， D 是△ ABC的 BC边上的一点， O1 O2 和 O3 分别为△

P N ABC、△ADB和△ ADC外接圆的圆心。求证： A、 O2 、 O1 、 O3 四点共

Q M S 圆。

B C K H L 6、在 Rt△ABC中，∠BAC=90o，AH⊥BC于 H，S 为 AH的中点， 过 S 点作各边的平行线与三边交于 P、Q、K、L、M、N，如图。求 证： P、Q、K、L、M、N六点共圆。

7、设 ABCD为平行四边形，∠ ABC＞90o，O 为其对角线交点，自点 对角线 AC的垂线，垂足为 B ，自点 D作 AB边垂线，垂足为 C ，自点 D作 BC边 的垂线。垂足为 A 。求证： O、 A 、 B 、 C 共圆。

8、已知四边形 ABCD的对角线 AC⊥BD，且 2S四边形

第一章 数与式 1.1.1．绝对值 1．（1） 5 ； 4 1.1.2．乘法公式

1 1

．（ ） ab 1

1

2

A、B、C、D四点共圆。

教材部分答案

2．D

（3）

3．3x－18

（4） 5 ．

·· 。求证： =AB CD+BC AD ABCD

第 6题

D 作对

（2） 4 ； 1或 3 1 1 （ ） , 2 2 4

3．1

x 5 4．＞

3

4ab 2ac 4bc

2．（1）D 1.1.3．二次根式 1． （1） 3 2 2．C

---

（2）A

（2） 3 （3） 8 6

-

1.1.4．分式

1 1．2 1.2

2．B

1

99

因式分解

第二章 二次方程与二次不等式

2 3．

略

4． 100

71

---

-

初中升高中数学教材变化分析

略

三角形与圆 第三章

3.1 相似形 练习 1 1．D

510AD , x ，即 BF x, DE x 10 . 2．设 BF , AB x 2 8 BC 3 3

AB BD 5 35

, BD cm. 3．

AC DC 4 9

A B

4 ． 作 CF // AB 交 AD AC CF , AB BD . AC DC

于 F ， 则

C F

CEG CAB , EG CE , 即 AC 5．作 EG // AB 交 BC 于 G ，

AB ACAB 练习 2 1． C

B D

， 又 D C

A F C CE EG

F A E 得

DB , DF AC . EG EF AB

S A ' B' 1 3 4 6, C' 3． S ABC (15 )2 6 .

2 5

1

4．（1）因为 EH // BD // FG , 所以 EFGH 是平行四边形；（2）当 AC

2

BD , AC BD 时， EFGH 为正方形 . 为菱形；当 AC 5．（1）当 CD 2 习题 3.1 A 组 1．B 2.B

AC BD 时， ACP

9

PDB ；（2） APB 120o .

2．12，18

BD 时， EFGH

3. S CDF

4 ． BF 为 直 角 三 角 形 ABC

2 A GB, F A G A F . F C B 组 1．C

AE

2.C 3.A

AD //

EO 4．（1） BC ,

BC

1 1 由（ 2）知 1

B AD C OE C 组 1.(1) AC 2

AP AB 或 ACP

AEB

斜 边 上 的 高 ， BF 2

AF FC

， 又 可 证

DE OF , EO OF .（2） OE OE AE BE 1. （3）

BC BC AB AB AB DC AD 2 . EF

AE ；（2）

3 : 2 .

ADE

AB

AD .

B .(2) BC : PC

2．（1）先证

---

ADC ，可得 BE ACB, BC

-

CD

1

AD

1

EF ,

DE AE AC

3．连 AD 交 EF 于 O ，连 OM ， 为 Rt AMD 斜 边 的 中 线 ， OM

B M F

A M，E得 MF

AD 2

ABC 为等腰直角三角形， 且 AEDF 为矩形， OM 2 72

MEF 为 直 角 三 角形 . 又 可 证

ME ，故 MEF 为等腰直角三角形 .

---

-

初中升高中数学教材变化分析

4．（1）成立，

EF EF FD BF

1,

1

1

1

. （2） 1

S

1

ABD S BCD

S

1 ， EBD

AB CD BD BD

证略 .

3.2.2 解写三角形 练习答案

1． A2． A3． B

π 7． 3

8． 设∠ AOB= θ，θ= 点的轨迹 一 . 填空题。 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

二. 选择题。 11. C 三 . 解答题。 16. 17.

12. D

13. C

以点 P 为圆心， 6cm为半径的圆

参

5π 6

AB CD EF

12

4．

13

时， S 最大值 =2+

5 3 4

π 5． 6

6． 21 或 61

---

线段 AB的中垂线（除 AB中点外） 以 O为圆心，半径为 6 cm 的圆

与直线 平行，且到 的距离等于 5 cm 的两条直线 与直线 平行，且到 的距离等于 2 cm 的两条直线 与

平行，且到

的距离都等于

2 的一条直线

对角线 AC（不包括 A点） 以 O为圆心，

为半径的圆

14. D 15. A

所求轨迹是以 AO为直径的圆（ A 点除外）

作∠ EAF的平行线，再在∠ EAF内部作与 AE 平行，且到 AE的距离 2 cm

C。

的一条平行线，交点就是所求的点 18.

点 P的轨迹是以 O为圆心， 3 cm 为半径的半圆

73

-

初中升高中数学教材变化分析

∴经过的路程为 19 、根据余弦定理： cosA

2

2 2) =(b +c -a /2bc sinA=3

7 /8

根据正弦定理： DE=2RsinA

由此，只需使 R 取到最小值。

圆心到点 A 和线段 BC 的距离都等于 R 那么圆心的轨迹是以 A 为焦点，直线 BC 为准线的一段抛物线。

根据抛物线的性质，顶点到准线的距离最短 那么圆心位于 BC 边的高上时， R 取最小值。

·AC·sinA/BC=5 7 /4 2R=h=2S(ABC)/BC=AB

所以 DE=(5

7 /4)·3

7 /8=105/32 为最小值。

四点共圆答案

1、由△ ABD≌△ BCE，得∠ BAP=∠CBE；由∠ DPB=60o=∠DCE，得 P、D、C、

E 共圆，易证 AP⊥CP。

2、作△ ABC的外接圆⊙ O，则 BC的垂直平分线必过 O，且平分 BC 。设 BC 的垂直平分线与 BC 交于 D ，则 D 为 BC 的中点，连 AD ，所以 AD 平分∠ BAC。但是 AD是∠ BAC的平分 线，所以 AD与 AD 重合，又二直线相交只有一个交点，所以 D与 D 重合，故结论成立。

3、设 BE、CF相交于 H，由 B、C、E、F 共圆得 BH·HE=CH·HF，由相交弦定理，得 BH·HE=SH·HR，CH·HF=PH·HQ，∴ PH·HQ=SH·HR。故结论成立。

4、连结 ME、MF、DE，只须证∠ MEF=∠MDE。由 AF平分∠ BAC，CF⊥AF，由对称性知， 若延长 CF交 AB于 G，则 F 为 CG的中点。又 M为 BC的中点，故 FM

∥ GB，于是∠ MFE=∠BAE。因而只须证∠ BDE=∠BAF，即证 A、B、C、D四点共圆

即可。

5、连 AO2 、 O2 O1 、 O1 O3 、 O2 O3 ，得 O1 O2 、 O1 O3 、 O2 O3 分别垂直平分 AB、

AC、AD，故由∠ O1 +∠ O2 AO3 =180o得证结论。

6、连结 QK、ML、QL、KM，则 QKLM为矩形，故 Q、K、L、M共圆，且 KM、LQ为圆的直径，又∠ KNM=90o=∠KLM，故 K、L、M、N在以 KM为直径的圆周上，同理， Q、K、L、 P 在以 QL为直径的圆周上。

7、略。

四点共圆。

8、设 H为 AC、BD的交点，则证得 AC·BD=AB·CD+BC·AD，故 A、B、C、D

74

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