一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分. 在每小题给出的四
个选项中,只有一项是符合题目要求的。
221. 设集合Sx|x2x0,xR,Tx|x2x0,xR,则ST( )
A. 0 B. 0,2 C. 2,0 D. 2,0,2【答案】A;
【解析】由题意知S0,2,T0,2,故ST0;
2. 函数ylgx1的定义域是( )
x1A. 1, B. 1, C. 1,1【答案】C; 【解析】由题意知1, D. 1,11,
1,;
x10,解得x1且x1,所以定义域为1,1x103. 若ixyi34i,x,yR,则复数xyi的模是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D;
【解析】因为ixyi34i,所以xiy34i,根据两个复数相等的条件得:y3即y3,x4,所以xyi43i,xyi的模42(3)25;
4. 已知sinA. 51,那么cos( ) 252112 B. C. D. 5555
【答案】C; 【解析】sin15sin()cos()cos()cos;
225225. 执行如图1所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 7 【答案】D;
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i1时,i2时,i3时,【解析】s1(11)1;s1(21)2;s2(31)4;
i4时,s4(41)7;
图1 图2
6. 某三棱锥的三视图如图2所示,则该三棱锥的体积是( )
A.
112 B. C. D. 1 633【答案】B;
【解析】由三视图可看出该三棱锥的底面为直角边为1的等腰直角三角形,高为2, 所以该三棱锥的体积V111112; 323227. 垂直于直线yx1且与圆xy1相切于第Ⅰ象限的直线方程是( )
A. xy20 B. xy10 C. xy10 D. xy20 【答案】A;
【解析】设所求直线为l,因为l垂直直线yx1,故l的斜率为1,设直线l的方程为
22yxb,化为一般式为xyb0;因为l与圆相切xy1相切,所以圆心(0,0)到直线l的距离b2所以b2,又因为相切与第一象限,所以b0,故b2,1,
所以l的方程为xy20;
8. 设l为直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A. 若l//,l//,则// B. 若l,l,则// C. 若l,l//,则// D. 若,l//,则l 【答案】B;
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【解析】若与相交,且l平行于交线,则也符合A,显然A错;若l,l//,则,故C错;,l//,若l平行交线,则l//,故D错; 9. 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F1,0,离心率等于
1,则C的方程是( ) 2x2y2x2y2x2y2x2y21 B. 1 D. 1A. 1 C. 34424343
【答案】D;
【解析】由焦点可知F1,0可知椭圆焦点在x轴上,由题意知c1,c1,所以a2x2y21; a2,b213,故椭圆标准方程为432210. 设a是已知的平面向量且a0,关于向量a的分解,有如下四个命题:
① 给定向量b,总存在向量c,使abc;
② 给定向量b和c,总存在实数和,使abc;
③ 给定单位向量b和正数,总存在单位向量c和实数,使abc; ④ 给定正数和,总存在单位向量b和单位向量c,使abc.
上述命题中的向量b,c和a在同一平面内且两两不共线,则真命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】D;
【解析】因为单位向量(模为1的向量,方向不确定)和一个不为零的实数可以表示任何一个向量,由题意可知A,B,C,D均正确;
二、 填空题:本大题共5小题,考生作答4小题,每小题5分,满分20分.
(一)必做题(11~13题)
11. 设数列an是首项为1,公比为2的等比数列,则a1a2a3a4____________; 【答案】15;
【解析】由题意知a11,a22,a34,a48,所以;a1a2a3a4
124815;
12. 若曲线yaxlnx在点1,a处的切线平行于x轴,则a=_____________;
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【答案】
1; 21,因为曲线yax2lnx在点1,a处的x1切线平行于x轴,所以yx12a10,所以a;
2【解析】因为yax2lnx,所以y2axxy3013. 已知变量x,y满足约束条件1x1,则zxy的最大值是_____________;
y1【答案】5;
【解析】作出可行域可得直角梯形的四个顶点分别为(1,1),(1,2),(1,1),(1,4),代入可知z的最大值为z145;
(二)选做题(14~15题,考生只能从中选做一题)
14. (坐标系与参数方程选做题)已知曲线C的极坐标方程为2cos,以极点为原点,
极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线C的参数方程为___________________;
【答案】(x1)2y21;
【解析】因为曲线C的极坐标方程为2cos;所以xcos2cos21cos2① ,ysin2sincossin2②;①可变形得:cos2x1③,②可变形得:
sin2y;由sin22cos221得:(x1)2y21;
15. (几何证明选讲选做题)如图3,在矩形ABCD中,AB3,BC3,BEAC,
垂足为E,则ED=___________; 【答案】21; 20【解析】因为在矩形ABCD中,AB3,BC3,BEAC,所以BCA30,
0所以CECBcos3033;在CDE中,因为ECD600,由余弦定理得: 2233DE2CE2CD22CECDcos6002以CD32233121,所322421; 24 / 10
三、 解答题:本大题共6小题,满分80分. 解答须写出文字说明和演算步骤.
16. (本小题满分12分)
已知函数fx2cosx,xR.
12(1) 求f的值; 333,,2,求52(2) 若cos【答案与解析】 (1)ff.
622cos2cos21; 33124224333(2)因为cos,,2,所以sin1;
5552f2cos2cos2coscossinsin6612333 314332462;
52521017. (本小题满分12分)
从一批苹果中,随机抽取50个,其重量(单位:克)的频数分布表如下: 分组(重量) 频数(个) 80,85 5 85,90 10 90,95 20 95,100 15 (1) 根据频数分布表计算苹果的重量在90,95的频率;
(2) 用分层抽样的方法从重量在80,85和95,100的苹果抽取4个,其中重
量在80,85的有几个?
(3) 在(2)中抽出的4个苹果中,任取2个,求重量在80,85和95,100中各有
一个的概率;
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【答案与解析】
(1)重量在90,95的频率200.4; 50(2)若采用分层抽样的方法从重量在80,85和95,100的苹果抽取4个,则重量在80,85的个数51541;
(3)设在80,85中抽取的一个苹果为x,在95,100中抽取的三个苹果分别为a,b,c,从抽出的4个苹果中,任取2个共有(x,a),(x,b),(x,c),(a,b),(a,c),(b,c)6种情况,其中
5符合“重量在80,85和95,100中各有一个”的情况共有(x,a),(x,b),(x,c)种;设“抽
出的4个苹果中,任取2个,求重量在80,85和95,100中各有一个”为事件A,则事
件A的概率P(A)31; 6218. (本小题满分14分)
如图4,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,ADAE,
F是BC的中点,AF与DE交于点G. 将ABF沿AF折起,得到如图5所示的三棱锥
ABCF,其中BC2. 2(1) 证明:DE//平面BCF; (2) 证明:CF平面ABF; (3) 当AD
图4 图5
2时,求三棱锥FDEG的体积VFDEG. 3ADAEDE//BC;,
ABAC在图5中,因为DG//BF,GE//FC,所以平面DGE//平面BCF,所以DE//平面BCF;
(1)证明:在图4中,因为ABC是等边三角形,且ADAE,所以
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(2)证明:在图4中,因为因为ABC是等边三角形,且F是BC的中点,所以AFBC; 在图5中,因为在BFC中,BFFC12222,所以BFFCBC,,BC22BFCF,又因为AFCF,所以CF平面ABF;
(3)因为AFCF,AFBF,所以AF平面BCF,又因为平面DGE//平面BCF,所以AF平面DGE;所以
1VFDEGS311111133; FGDGGEFGDGE323233632419. (本小题满分14分)
2设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,满足4Snan,nN*,且14n1a2,a5,a14构成等比数列;
(1) 证明:a24a15;
(2) 求数列an的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n,有
11a1a2a2a311. anan12222*n1(1)证明:因为4Snan,令,则,即4Sa41a4n1,nN1224a15,1所以a24a15;
2222(2)当n2时,4an4Sn4Sn1an14n1 an4n11an1an4,
所以an12(an2)2,因为an各项均为正数,所以an1an2;
因为a2,a5,a14构成等比数列,所以a2a14a52,即a2(a224)(a26)2,解得a23,因为a24a15,所以a11, a2a12 ,符合an1an2,所以an1an2对
n1也符合,所以数列an是一个以a11为首项,d2为公差的等差数列,
an1(n1)22n1;
(3)因为
11111(),所以anan1(2n1)(2n1)22n12n17 / 10
11a1a2a2a31111111111()()() anan121323522n12n11111111111n1; 213352n12n1212n12n12所以对一切正整数n,有
11a1a2a2a311. anan1220. (本小题满分14分)
已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F0,cc0到直线l:xy20的距离为
32. 设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切2点.
(1) 求抛物线C的方程;
(2) 当点Px0,y0为直线l上的定点时,求直线AB的方程; (3) 当点P在直线l上移动时,求AFBF的最小值. 【答案与解析】
(1)因为抛物线焦点F0,cc0到直线l:xy20的距离为
322
所以dc2232,又因为c0,所以解得c1,抛物线的焦点坐标为(0,1),所2以抛物线C的方程为x24y;
(2)因为抛物线的方程为x24y,即y121x,所以yx,设过Px0,y0点的切线421y0m2114l与抛物线的切点坐标为(m,m2),所以直线l的斜率km,解得
42x0m1m1x0x024y0或m2x0x024y0;不妨设A点坐标为(m1,m12),B点坐标
412222为(m2,m2),因为x04y0x04(x02)x04x08 41212m1m21124(m1m2)x0; (x02)40,所以m1m2;kAB4m1m2428 / 10
1211m1x0(xm1),代入整理得:yx0; 4221212(3)A点坐标为(m1,m1),B点坐标为(m2,m2),F点坐标为0,1,因为
44所以直线AB的方程为yx0y020;所以m1x0x024y0x0(x02)24,
m2x0x024y0x0(x02)24,m1m22x0,m1m24x08;因此
1111AFBF=mm121m22m221m121m221 444421222211121112m121m221m12m22(m12m22)1m1m2(mm)2m1m211241441611392(4x08)22x02(4x08)12x026x092(x0)2,
12239所以当x0时,AFBF取最小值;
2221. 设函数fxxkxxkR.
32(1) 当k1时,求函数fx的单调区间;
(2) 当k0时,求函数在[k,k]上的最小值m和最大值M. 【答案与解析】
232(1) 因为fxxkxx,所以f(x)3x2kx1;当k1时,
12f(x)3x22x13(x)20,所以fx在R上单调递增;
33(2) 因为f(x)3x22kx1,(2k)24314(k23);
① 当0时,即3k0时,f(x)0,f(x)在R上单调递增,此时无最小
值和最大值;
2k2k23kk23② 当0时,即k3时,令f(x)0,解得x632k2k23kk23kk23或x;令f(x)0,解得x或633kk23kk23kk23;令f(x)0,解得;因为xx3339 / 10
kk23kk2kk23kk22k0k,k
33333作fx的最值表如下:
x k kk23kk23k,33 kk23kk23,33 kk23kk3,k332k f(x)
0 极大值 0 极小值 f(x)k 2k3k 10 / 10
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