湖南省娄底市涟源市2023届中考数学四模试卷含解析

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．如图,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小聪想用绳子测量A,B间的距离,但绳子不够长,一位同学帮他想了一个主意:先在地上取一个可以直接到达A,B的点C,找到AC,BC的中点D,E,并且测出DE的长为10m,则A,B间的距离为（ ）

A．15m B．25m C．30m D．20m

2．关于x的方程3x+2a=x﹣5的解是负数，则a的取值范围是（ ）

5A．a＜2 5B．a＞2 55C．a＜﹣2 D．a＞﹣2

3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED=∠CED；②OE=OD；③BH=HF；④BC﹣CF=2HE；⑤AB=HF，其中正确的有（ ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．用尺现作图的方法在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法错误的是 （ ）

A． B． C． D．

5．如果(x－2)(x＋3)=x2＋px＋q，那么p、q的值是（ ） A．p=5，q=6 B．p=1，q=－6 C．p=1，q=6 D．p=5，q=－6 6．如图所示的几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

7．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为( )

A．8 B．10 C．12 D．14

8．如图，网格中的每个小正方形的边长是1，点M，N，O均为格点，点N在⊙O上，若过点M作⊙O的一条切线MK，切点为K，则MK＝（ ）

A．32 B．25 C．5

D．34 9．下列运算中，计算结果正确的是（ ） A．a2•a3=a6 B．a2+a3=a5 C．（a2）3=a6 D．a12÷a6=a2

10．在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（ ）

1412A．9 B．3 C．9 D．9

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11．阅读下面材料：

在数学课上，老师提出如下问题：

小亮的作法如下：

老师说：“小亮的作法正确”

请回答：小亮的作图依据是______．

12．已知a、b满足a2+b2﹣8a﹣4b+20=0，则a2﹣b2=_____．

13．计算：sin30°﹣（﹣3）0=_____．

2x+1x{14．不等式组4x3x+2的解集是 ▲ ．

15．为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示，按照这样的规律，摆第n个图，需用火柴棒的根数为_______________．

16．某种商品每件进价为10元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（10≤x≤20且x为整数）出售，可卖出（20﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为_____元． 17．一个几何体的三视图如左图所示，则这个几何体是( )

A． B． C． D．

三、解答题（共7小题，满分69分） 18．（10分）为提高城市清雪能力，某区增加了机械清雪设备，现在平均每天比原来多清雪300立方米，现在清雪4 000立方米所需时间与原来清雪3 000立方米所需时间相同，求现在平均每天清雪量． 19．（5分）已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球． （1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？

（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式． 20．（8分）兴发服装店老板用4500元购进一批某款T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元．第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？

4老板以每件120元的价格销售该款式T恤衫，当第二批T恤衫售出5时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第

二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？（利润=售价﹣进价） 21．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2﹣3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围；

（2）若m为非负整数，且该方程的根都是无理数，求m的值． 22．（10分）雅安地震，某地驻军对道路进行清理．该地驻军在清理道路的工程中出色完成了任务．这是记者与驻军工程指挥部的一段对话：记者：你们是用9天完成4800米长的道路清理任务的？

指挥部：我们清理600米后，采用新的清理方式，这样每天清理长度是原来的2倍． 通过这段对话，请你求出该地驻军原来每天清理道路的米数． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数

y1axb(a0)的图象与y轴相交于点A，与反比例函数

y2k(k0)x的图象相交于点B(3,2)，C(1,n)．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象，直接写出

y1y2时，x的取值范围；

（3）在y轴上是否存在点P，使△PAB为等腰三角形，如果存在，请求点P的坐标，若不存在，请说明理由．

1x12x1x1，再请你选择一个合适的数作为x的值代入求值． 24．（14分）先化简：

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1、D 【解析】

根据三角形的中位线定理即可得到结果. 【详解】

解:由题意得AB=2DE=20cm， 故选D. 【点睛】

本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 2、D 【解析】

先解方程求出x，再根据解是负数得到关于a的不等式，解不等式即可得. 【详解】

解方程3x+2a=x﹣5得

52a2， x=

因为方程的解为负数，

52a2<0， 所以

5解得：a＞﹣2.

【点睛】

本题考查了一元一次方程的解，以及一元一次不等式的解法，解一元一次不等式时，要注意的是：若在不等式左右两边同时乘以或除以同一个负数时，不等号方向要改变． 3、C 【解析】

试题分析：∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD， ∴∠BAE=∠DAE=45°，

∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE=2AB， ∵AD=2AB，

∴AE=AD，

又∠ABE=∠AHD=90°

∴△ABE≌△AHD（AAS）， ∴BE=DH，

∴AB=BE=AH=HD，

1∴∠ADE=∠AED=2（180°﹣45°）=67.5°，

∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°， ∴∠AED=∠CED，故①正确；

1∵∠AHB=2（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），

∴∠OHE=∠AED， ∴OE=OH， ∵∠OHD=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°， ∴∠OHD=∠ODH， ∴OH=OD，

∴OE=OD=OH，故②正确； ∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°， ∴∠EBH=∠OHD，

又BE=DH，∠AEB=∠HDF=45° ∴△BEH≌△HDF（ASA）， ∴BH=HF，HE=DF，故③正确；

由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD-DF， ∴BC-CF=（CD+HE）-（CD-HE）=2HE，所以④正确； ∵AB=AH，∠BAE=45°， ∴△ABH不是等边三角形，

∴AB≠BH，

∴即AB≠HF，故⑤错误；

综上所述，结论正确的是①②③④共4个． 故选C． 【点睛】

考点：1、矩形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、角平分线的性质；4、等腰三角形的判定与性质 4、A 【解析】

根据菱形的判定方法一一判定即可 【详解】

作的是角平分线，只能说明四边形ABCD是平行四边形，故A符合题意

B、作的是连接AC，分别做两个角与已知角∠CAD、∠ACB相等的角，即∠BAC=∠DAC，∠ACB=∠ACD，能得到AB=BC,AD=CD,又AB∥CD，所以四边形ABCD为菱形，B不符合题意

C、由辅助线可知AD=AB=BC，又AD∥BC，所以四边形ABCD为菱形，C不符合题意

D、作的是BD垂直平分线，由平行四边形中心对称性质可知AC与BD互相平分且垂直，得到四边形ABCD是菱形，D不符合题意 故选A 【点睛】

本题考查平行四边形的判定，能理解每个图的作法是本题解题关键 5、B 【解析】

先根据多项式乘以多项式的法则，将（x-2）（x+3）展开，再根据两个多项式相等的条件即可确定p、q的值． 【详解】

解：∵（x-2）（x+3）=x2+x-1， 又∵（x-2）（x+3）=x2+px+q， ∴x2+px+q=x2+x-1， ∴p=1，q=-1． 故选：B． 【点睛】

本题主要考查多项式乘以多项式的法则及两个多项式相等的条件．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．两个多项式相等时，它们同类项的系数对应相等． 6、A 【解析】

找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】

解：从正面可看到从左往右2列一个长方形和一个小正方形， 故选A． 【点睛】

本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 7、B 【解析】

试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10. 故选B.

点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.

8、B 【解析】

以OM为直径作圆交⊙O于K，利用圆周角定理得到∠MKO＝90°．从而得到KM⊥OK，进而利用勾股定理求解． 【详解】 如图所示：

MK＝2425.

故选：B． 【点睛】

考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系． 9、C 【解析】

根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相减；同底数幂相除，底数不变指数相减对各选项分析判断即可得解． 【详解】

A、a2•a3=a2+3=a5，故本选项错误；

B、a2+a3不能进行运算，故本选项错误； C、（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确； D、a12÷a6=a12﹣6=a6，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】

本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10、A 【解析】

首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验． 【详解】

画树状图如下：

22

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，

4∴两次都摸到黄球的概率为9，

故选A． 【点睛】

此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11、两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等 【解析】

根据尺规作图的方法,两点之间确定一条直线的原理即可解题. 【详解】

解：∵两点之间确定一条直线,CD和AB都是圆的半径,

∴AB=CD,依据是两点确定一条直线；同圆或等圆中半径相等. 【点睛】

本题考查了尺规作图：一条线段等于已知线段,属于简单题,熟悉尺规作图方法是解题关键. 12、1 【解析】

利用配方法把原式化为平方和的形式，根据偶次方的非负性求出a、b，计算即可． 【详解】

a2+b2﹣8a﹣4b+20=0， a2﹣8a+16+b2﹣4b+4=0， （a﹣4）2+（b﹣2）2=0 a﹣4=0，b﹣2=0， a=4，b=2，

则a2﹣b2=16﹣4=1， 故答案为1． 【点睛】

本题考查了配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．

113、-2

【解析】

1sin30°=2,a0=1(a≠0)

【详解】

1解：原式=2-1 1=-2

1故答案为：-2.

【点睛】

本题考查了30°的角的正弦值和非零数的零次幂.熟记是关键. 14、﹣1＜x≤1 【解析】

解一元一次不等式组．

【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解）．因此， 解第一个不等式得，x＞﹣1， 解第二个不等式得，x≤1，

∴不等式组的解集是﹣1＜x≤1． 15、6n+1． 【解析】

寻找规律：不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，即： 第1个图形有8根火柴棒， 第1个图形有14＝6×1＋8根火柴棒， 第3个图形有10＝6×1＋8根火柴棒， ……，

第n个图形有6n+1根火柴棒． 16、1 【解析】

本题是营销问题，基本等量关系：利润＝每件利润×销售量，每件利润＝每件售价﹣每件进价．再根据所列二次函数求最大值． 【详解】

解：设利润为w元， 则w＝（20﹣x）（x﹣10）＝﹣（x﹣1）2+25， ∵10≤x≤20，

∴当x＝1时，二次函数有最大值25， 故答案是：1． 【点睛】

本题考查了二次函数的应用，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 17、A 【解析】

根据主视图和左视图可知该几何体是柱体，根据俯视图可知该几何体是竖立的三棱柱. 【详解】

根据主视图和左视图可知该几何体是柱体，根据俯视图可知该几何体是竖立的三棱柱.主视图中间的线是实线. 故选A. 【点睛】

考查简单几何体的三视图，掌握常见几何体的三视图是解题的关键.

三、解答题（共7小题，满分69分） 18、现在平均每天清雪量为1立方米． 【解析】

分析：设现在平均每天清雪量为x立方米，根据等量关系“现在清雪4 000立方米所需时间与原来清雪3 000立方米所

需时间相同”列分式方程求解.

详解：设现在平均每天清雪量为x立方米，

40003000x300 由题意，得x解得 x=1．

经检验x=1是原方程的解，并符合题意． 答：现在平均每天清雪量为1立方米．

点睛：此题主要考查了分式方程的应用，关键是确定问题的等量关系，注意解分式方程的时候要进行检验.

19、（1）.（2）.

【解析】 试题分析：（1）根据取出黑球的概率=黑球的数量÷球的总数量得出答案；（2）根据概率的计算方法得出方程，从求出函数关系式．

试题解析：（1）取出一个黑球的概率

（2）取出一个白球的概率

与的函数关系式为：

．

考点：概率 20、（1）第一批T恤衫每件的进价是90元；（2）剩余的T恤衫每件售价至少要80元. 【解析】

（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+9）元，再根据等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数可得方程；

（2）设剩余的T恤衫每件售价y元，由利润=售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于650元，可列不等式求解. 【详解】 解：（1）设第一批T恤衫每件进价是x元，由题意，得

45004950xx9，

解得x=90

经检验x=90是分式方程的解，符合题意. 答：第一批T恤衫每件的进价是90元. （2）设剩余的T恤衫每件售价y元．

4950由（1）知，第二批购进99=50件．

14由题意，得120×50×5+y×50×5﹣4950≥650，

解得y≥80.

答：剩余的T恤衫每件售价至少要80元. 21、（1）m＜2；（2）m=1． 【解析】

（1）利用方程有两个不相等的实数根，得△=[2（m-1）]2-4（m2-3）=-8m+2＞3，然后解不等式即可；

（2）先利用m的范围得到m=3或m=1，再分别求出m=3和m=1时方程的根，然后根据根的情况确定满足条件的m的值． 【详解】

（1）△=[2（m﹣1）]2﹣4（m2﹣3）=﹣8m+2． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴△＞3．

即﹣8m+2>3． 解得 m＜2；

（2）∵m＜2，且 m 为非负整数， ∴m=3 或 m=1，

当 m=3 时，原方程为 x2-2x-3=3，

解得 x1=3，x2=﹣1(不符合题意舍去)， 当 m=1 时，原方程为 x2﹣2=3， 解得 x1=2，x2=﹣2 ，

综上所述，m=1． 【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=3（a≠3）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞3时，方程有两个不相等的实数根；当△=3时，方程有两个相等的实数根；当△＜3时，方程无实数根． 22、1米． 【解析】

试题分析：根据题意可以列出相应的分式方程，然后解分式方程，即可得到结论． 试题解析：解：设原来每天清理道路x米，根据题意得：

60048006009x2x

解得，x=1．

检验：当x=1时，2x≠0，∴x=1是原方程的解． 答：该地驻军原来每天清理道路1米．

点睛：本题考查分式方程的应用，解题的关键是明确分式方程的解答方法，注意分式方程要验根． 23、（1）y2x4；

y6P(0,435)或P(0,435)或P(0,8)或x；（2）1x0或x3；（3）存在，

1P0,4． 【解析】

（1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点C坐标，最后用再用待定系数法求出一次函数解析式； （2）利用图象直接得出结论；

（3）分BPBA、BPBA、PAPB三种情况讨论，即可得出结论． 【详解】

（1）

一次函数y1axb与反比例函数

y

k

x，相交于点B(3,2)，C(1,n)，

∴把B(3,2)代入∴k6，

ykk2x得：3，

y∴反比例函数解析式为

6x，

把C(1,n)代入∴n6，

y

66

n1， x得：

∴点C的坐标为(1,6)，

23kbbkb， B(3,2)C(1,6)yaxb把，代入得：k2b4，

解得：∴一次函数解析式为y2x4； （2）根据函数图像可知：

当1x0或x3时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， ∴当1x0或x3时，

y1y2；

1P0,P(0,435)或P(0,435)或P(0,8)或4时，△PAB为等腰三角形，理由如下： （3）存在

过B作BDy轴，交y轴于D，

∵直线

y12x4与y轴交于点A，

∴令x0得，y4， ∴点A的坐标为(0,4)， ∵点B的坐标为B(3,2)， ∴点D的坐标为D(0,2)，

22AB(30)(24)326235， ∴

①当APAB时，则AP35，

A(0,4)，

∴点P的坐标为：

P1(0,435)、P2(0,435)；

②当BPBA时，

△BAP是等腰三角形，BDAP， BD平分AP，

DADP2(4)6，

∵点D的坐标为D(0,2)， ∴点P的坐标为(0,26)，即③当PAPB时，如图：

P3(0,8)；

设PAPBx，

则DPDAPA6x，

在Rt△BDO中，DB3，DP6x，PBx，

由勾股定理得：

PB2DB2DP2，

x232(6x)2，

解得：

x154，

A(0,4)，

1510,4P0,444， ∴点P的坐标为，即

1P0,P(0,435)或P(0,435)或P(0,8)或4时，△PAB为等腰三角形． 综上所述，当

【点睛】

本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，利用图象确定函数值满足条件的自变量的范围，等腰三角形的性质，勾股定理，解（1）的关键是待定系数法的应用，解（2）的关键是利用函数图象确定x的范围，解（3）的关键是分类讨论． 24、x﹣1，1． 【解析】

先通分计算括号里的，再计算括号外的，最后根据分式性质，找一个恰当的数2（此数不唯一）代入化简后的式子计算即可． 【详解】

x(x1)(x－1)x解：原式＝x1＝x﹣1，

根据分式的意义可知，x≠0，且x≠±1， 当x＝2时，原式＝2﹣1＝1． 【点睛】

本题主要考查分式的化简求值，化简过程中要注意运算顺序，化简结果是最简形式，难点在于当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式的各分式都有意义，且除数不能为零．