第4章 根轨迹分析法 参考答案

已知下列负反馈的开环传递函数，应画零度根轨迹的是：(A)

K*K*(1s)K*(2s)K*A B C 2 D

s(s1)(s5)s(2s)s(s1)s(s3s1) 若两个系统的根轨迹相同，则有相同的：(A)

A 闭环零点和极点 B 开环零点 C 闭环极点 D 阶跃响应

己知单位负反馈控制系统的开环传递函数为

K* G(s)H(s)s(s6)(s3)(1) 绘制系统的根轨迹图(0K*)；

(2) 求系统临界稳定时的K*值与系统的闭环极点。

解：系统有三个开环极点分别为p10、p23、p36。

系统有3条根轨迹分支，分别起始于开环极点，并沿渐进线终止于无穷远。 实轴上的根轨迹区段为,6、3,0。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为

3 (k0)362k1 a3， a (k1)

33 (k2)3求分离点方程为

1110 dd3d62经整理得d6d60，解方程得到d14.732、d21.268。显然分离点位于实轴上

3,0间，故取d21.268。

求根轨迹与虚轴交点，系统闭环特征方程为

D(s)s39s218sK*0

令sj，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有

2*ReG(j)H(j)19K0 3ImG(j)H(j)1180032解之得 *、* K0K162显然第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为sj32，对应的根轨迹增益K*162为临界根轨迹增益。根轨迹与虚轴的交点为临界稳定的2个闭环极点，第

三个闭环极点可由根之和法则求得

0361233j32j32

2j32、解之得39。即当K*162时，闭环系统的3个特征根分别为1j32、

39。系统根轨迹如图所示。

jK*1621j32-6-302j32图 题所示系统根轨迹图

系统结构如下图所示

R(s)9s (s2)C(s)Ks

绘制系统的根轨迹(0K)，并确定系统欠阻尼状态下的K值。

9ss29解：系统闭环传递函数为 (s)。 29Ks9s2s9Ks91ss2ss2特征方程为s22s9Ks90。 等效开环传递函数为 G(s)H(s)9Ks。 2s2s9系统有2条根轨迹分支，起始于开环极点p1,21j22，1条终止于开环零点z0，另一条沿渐进线终止于无穷远。

实轴上的根轨迹区段为,0。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为

a1j221j222， 1a2k120,

ds22s9实轴上分离点方程为0。解方程得到d13、d23(弃去)，对应

ds9KsK4。根轨迹与虚轴在有限范围内无交点，根轨迹如图所示。 9j-30图 题所示系统根轨迹图

由根轨迹可知当0K4时，系统有两个闭环极点，为欠阻尼响应。 9 已知负反馈控制系统的闭环特征方程为

K*(s14)(s22s2)0

(1) 绘制系统的根轨迹(0K*)；

(2) 确定使复数闭环主导极点的阻尼系数0.5的K*值。 解：系统开环传递函数为

K*G(s)H(s)

(s14)(s22s2) 开环极点为p114、p2,31j。 实轴上根轨迹区段为,14。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为

3 (k0)141j1j2k1 a5.3， a (k1)

33 (k2)3实轴上分离点方程为

1110，解之得d9.63。 d14d1jd1j求与虚轴交点，闭环特征方程为D(S)K*(s14)(s22s2)。令sj，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有

2*5.4ReG(j)H(j)11628K0，解得 。 *3K438.6ImG(j)H(j)1300因cos0.5，故60，作过原点与负实轴夹角为60的直线，在s上半平面交P、Q两点，如图所示。P点坐标为s0.94j1.62，则对应

K*(s14)(s0.94j1.62)(s0.94j1.62)1js0.94j1.6221.6

K*438.6j5.4P-140Q图 题所示系统根轨迹图

已知单位反馈系统的开环传递函数为

sss(1)(1)2.56(1) 绘出K由0变化时系统的根轨迹 (根轨迹的分离点、渐近线、与虚轴交点的数值要求精确算出)。

(2) 用根轨迹法分析：能否通过调整K使系统的阶跃响应超调量%25%，为什么 (3) 能否通过调整K使系统的静态误差系数K15，为什么 解：系统开环传递函数为G(s)H(s)K*sss(1)(1)2.56G(s)H(s)K*

K*化成根轨迹形式为G(s)H(s)，其中K*15K。

s(s2.5)(s6)(1) 开环极点为p10、p22.5、p26。 实轴上根轨迹区段为2.5,0、,6。 根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角分别为

3 (k0)2.562k1 a2.83， a (k1)

33 (k2)3实轴上分离点方程为

111，解出d11.1、d24.56(弃去)。 dd2.5d6求与虚轴交点，闭环特征方程为

D(S)K*s(s2.5)(s6)

令sj，然后代入特征方程中，令实部与虚部方程为零，则有

2*3.87ReG(j)H(j)18.5K0 解得 。 *3K127.5ImG(j)H(j)1150 做出根轨迹如图所示。

jj3.87K*127.53P-2.83-6-2.5-1.10Q-3图 题所示系统根轨迹图

(2) 当%e12%25%时，即0.403，或arcos66.2。作过原点与负

实轴夹角为66.2的直线，与根轨迹有交点为P、Q两点，如图所示。P点坐标为s0.8j1.7，使用幅值条件计算此点对应的K*，即

K*s(s2.5)(s6)s8j1.724.6 KK*151.64

(3) 从根轨迹曲线可知，当K*127.5即K8.54，系统是不稳定的，故无法通过调整

K使系统的静态误差系数K15。

应用根轨迹法确定下图所示系统在阶跃信号作用下无超调响应的K值范围。

R(s)K(0.25s1)s(0.5s1)C(s)解:系统开环传递函数为G(s)H(s)K*(s4)，其中K*0.5K。 G(s)H(s)s(s2)K(0.25s1)，化成根轨迹形式为

s(0.5s1)

系统开环极点为p10、p22，开环零点为z4。 实轴上根轨迹区段为2,0、,4。 渐近线与实轴的夹角为a实轴上分离点方程为示。

j2k121

111，解出d11.172、d26.828，根轨迹如图所dd2d46.828-4-2-1.172图 题所示系统根轨迹图

系统无超调即特征根全部为负实数，从根轨迹图中看出，分离点d11.172与会和点d26.828为临界点，需求出此两点所对应的K值。系统的特征方程为

0.5s2(10.25K)sK0

分别将sd11.172、sd26.828代入上式可解得K10.686、K223.31。由此求得系统无超调响应的K值范围是

0K0.686、23.31K

设正反馈系统的开环传递函数为

G(s)H(s)K(s2) 2(s3)(s2s2)画出K变化时系统的根轨迹.

解：开环极点为p1,21j、p33，开环零点为z2。

实轴上根轨迹区段为2,、,3。 渐近线与实轴的夹角为 a2k0, 312ds3s2s20，解出d10.8、d2,32.35j0.77。实轴上分离点方程为dss2其中d10.8是根轨迹上的分离点。

出射角方程为

10p1z1p1p2p1p3 =0459027 =72272

d1处的分离角方程为

1122当k0,d10；当k1,d1，即d1处的分离角为0、。

d1处的会合角方程为

d12kd1z1d1s3=(2k00)

d12k1d1p1d1p2d1s3121 =2k111002

当k0,d12；当k1,d12，即d1处的会合角为2。

根轨迹与虚轴交点为0，根轨迹如图所示。

jp1p3z1721-3-2p2-1072-1图 题所示系统根轨迹图

设单位反馈系统的开环传递函数为

G(s)10(1s)

(0.5s1)(Ts1)画出T变化时系统的根轨迹。

解：系统的特征方程为(0.5s1)(Ts1)10(1s)0。

对上式变换为Ts(0.5s1)9.5s110。 T*s(s2)等效闭环传递函数为 (s)1。

11s9.5T*s(s2)T等效开环传递函数为G(s)H(s)，其中T*。可知该系统根轨迹应使

1129.5s9.5用0根轨迹绘制方法。

渐近线与实轴的夹角为 a2k，解之得 a0,。 12实轴上的根轨迹为2,0、1.16,。

11sd9.5分离点为方程为 *0，解之得d10.75、d23.07，代入到特征方程dsTs(s2)中得到T1.71与T38.76。

由劳斯判据得到与虚轴交点为s1,2j1.5，对应T*0.5，T29.5T*9.5。根轨迹如图所示。

jT9.5T1.71-2-0.75T38.7601.163.07图 题所示系统根轨迹图

由题所示的根轨迹求出系统处于临界稳定和临界阻尼时的T值；以及当T20时，闭环系统的单位阶跃响应。

临界稳定点，即为根轨迹与虚轴交点，对应T*0.5，T9.5。

临界阻尼点，即为根轨迹的分离点与会和点，将d10.75、d23.07代入等效开环传递函数后，使用幅值条件得T1*0.09、T2*2.04，对应T11.71、T238.76。

T20时，系统的闭环传递函数为

(s)10(1s)

(0.5s1)(20s1)10(1s)C(s)(s)R(s)110(1s)11s 2s(0.5s1)(20s1)10(1s)ss10.5s1.1 单位阶跃响应为

101.86e5.25tcos(0.908t240) 11 证明题所作出的根轨迹为正圆。

c(s)T*s(s2)证明：题所示系统的等效开环传递函数为 G(s)H(s)，使用0根轨迹绘制

11s9.5方法。

令sj代入相角条件有

j2j119.5j2k

变换为

arctanarctanarctan2k

1129.5得

2

21.1612整理为1.1621.912，即表示复平面上根轨迹是以极点s1.16为圆心，以

2r1.91为半径的圆。

可以证明：有两个极点(或零点)和一个实数零点(或极点)构成的开环系统，只要零点(或极点)不在这两个极点(或零点)之间，则复平面上的根轨迹是一个以零点(或极点)为圆心，零点(或极点)到分离点的距离为半径的圆或圆弧。

设单位反馈系统的开环传递函数为

20

s(s1)(s4)20Ks要求系统的闭环极点有一对共轭复极点，其阻尼比为，确定K值，并求出时域指标。

G(s)解 闭环系统特征方程为

D(s)s35s24s2020Ks0

等效开环传递函数为

开环极点为p1,220KsK*s G(s)3s5s24s20s35s24s20j2、p35，开环零点为z0。

实轴上根轨迹区段为5,0。

5渐近线与实轴的交点与夹角为a 、a。

22出射角方程为

1180p1p2p1p3p1z1 =1809021.890158.22158.2

因cos0.4，66.4，故作过原点与负实轴夹角为66.4的直线，在s上半平面交

P、Q两点，如图所示。P点坐标为s1.049j2.406，则对应

K*(sj2)(sj2)(s5)ss1.049j2.4068.9801

K*解之得K0.449。

20 由于mn2，根据sjpi，求出第三个闭环极点s32.9021。

j1i133闭环传递函数为

20

(s1.049j2.406)(s1.049j2.406)(s2.902)闭环主导极点为P点的一对复数极点，系统可以简化为二阶系统传递函数，闭环主导极

(s)点的传递函数为

(s)因为0.4，n2.62则

6.89

(s1.049j2.406)(s1.049j2.406)%e1%25% 33ts2.62s

n0.42.62Q点坐标为s2.1589j4.9652，则对应

K*2(sj2)(sj2)(s5)ss2.1589j4.9652K*28.260，K1.413

20第三个实数极点为s0.6823，系统的主导极点是实数极点，闭环传递函数为 20

(s2.1589j4.9652)(s2.1589j4.9652)(s0.6823)主导极点是s0.6823，于是

(s)(s)0.68231 s0.68231.46s1ts3T4.39s

图 题所示系统根轨迹图

jQP1-166.42-50图 题所示系统根轨迹图

已知控制系统的开环传递函数为

K

s5s2s27s用MATLAB绘制此系统的根轨迹和根轨迹的渐进线。

G(s)43解： 程序一

num=[1]; den=[1 5 2 7 0];

rlocus(num，den); %绘制系统的根轨迹图 title('Root-locus plot of G(s) '); xlabel('Re '); ylabel('Im ');

程序二

num=[1]; den=[1 5 2 7 0];

[r,K]=rlocus(num,den); %产生特征根矩阵 v=[-10 10 -10 10];axis(v); %设置坐标范围 plot(r,”); %画根轨迹图 grid on; %加网格线 title('Root-locus plot of G(s) '); xlabel('Re') ylabel('Im '); 系统的开环传递函数为

K*(s1) G(s)2s(s9)试用MATLAB绘制该系统的根轨迹。

num=[1 0]; den=[1 9 0 0];

[r,K]=rlocus(num,den); %产生特征根矩阵 v=[-10 10 -10 10];axis(v); %设置坐标范围 plot(r,”); %画根轨迹图 grid on; %加网格线 title('Root-locus plot of G(s) '); xlabel('Re') ylabel('Im ');

已知单位反馈控制系统的前向通道传递函数为

K*(s1) G(s)2s(s2)(s4)用MATLAB绘制系统根轨迹，并求系统根轨迹与虚轴交点处的频率和相应的增益。

num=[1 0]; den1=[1 0 0];

den2=[1 2]; den3=[1 4];

den=conv(den1,den2,den3) rlocus(num，den);

v=[-10 10 -10 10];axis(v); %设置坐标范围 plot(r,”); %画根轨迹图 grid on; %加网格线 title('Root-locus plot of G(s) '); xlabel('Re') ylabel('Im ');