新课标立体几何常考平行证明题汇总

新课标立体几何常考平行证明题汇总

立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法：

(1)通过“平移”。(2)利用三角形中位线的性质。(3)利用平行四边形的性质。(4)利用对应线段成比例。(5)利用面面平行，等等。

3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点， 求证： A1C//平面BDE。

证明：连接AC交BD于O，连接EO， ∵E为AA1的中点，O为AC的中点 ∴EO为三角形A1AC的中位线 ∴EO//AC1 又EO在平面BDE内，A1C在平面BDE外

B ∴A1C//平面BDE。 考点：线面平行的判定

5、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.

C

B1

A

D1

E C

A D

D1A1DOABB1C1面AB1D1． 求证：(１) C1O∥面AB1D1；(2)AC1证明：（1）连结A1C1，设

A1C1B1D1O1，连结AO1

∵ ABCDA1B1C1D1是正方体 A1ACC1是平行四边形

∴A1C1∥AC且 A1C1AC 又O1,O分别是A1C1,AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1AO

CAOC1O1是平行四边形

C1O∥AO1,AO1面AB1D1，C1O面AB1D1 ∴C1O∥面AB1D1

（2）QCC1面A1B1C1D1 CC1B1D! 又

∵A1C1B1D1同理可证

A1CAD1B1D1 ， B1D1面AC11C 即AC1， 又

D1B1AD1D1

A1C面AB1D1

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定

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7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C； (2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，

又BD 平面B1D1C，B1D1平面B1D1C， ∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．

而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．

A A1 E D1 B1 C1 F

D G B C

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．

从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面

EB1D1∥平面FBD．

考点：线面平行的判定（利用平行四边形）

10、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.

证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，EF∥BD 又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG ∵D1GEB四边形D1GBE为平行四边形，D1E∥GB

又D1E平面BDG，GB平面BDGD1E∥平面BDG

EFD1EE，平面D1EF∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）

11、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点. （1）求证：A1C//平面BDE； （2）求证：平面A1AC平面BDE. 证明：（1）设ACBDO，

∵E、O分别是AA1、AC的中点，A1C∥EO

平面BDE，EO平面BDE，A1C∥平面BDE 又AC1（2）∵AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD

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又BDAC，平面A1AC

ACAA1A，BD平面A1AC，BD平面BDE，平面BDE考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定

(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，点E、F 分 别为棱AB、 PD的中点．求证：AF∥平面PCE；

分析：取PC的中点G，连EG.，FG，则易证AEGF是平行四边P形 F

AE

CB

（第1题图）

2、如图，已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝1＋3， 过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC.

（Ⅰ）求证：BC⊥面CDE； （Ⅱ）求证：FG∥面BCD；

分析：取DB的中点H，连GH,HC则易证FGHC是平行四边形

D EFDC

GF CGE

BAAB

3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，D, E, F分别为AA1, CC1, AB的中点， M为BE的中点, AC⊥BE. 求证：

（Ⅰ）C1D⊥BC； （Ⅱ）C1D∥平面B1FM. C1

B1A1E分析：连EA，易证C1EAD是平行四边形，于是MF//EA

MD

C

ABF

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D .

4、如图所示, 四棱锥PABCD底面是直角梯形, BAAD,CDAD,CD=2AB, E为PC的中点, 证明: EB//平面PAD;

分析:：取PD的中点F，连EF,AF则易证ABEF是平行四边形

(2) 利用三角形中位线的性质

5、如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱AD、CD、BD、BC的中点，求证：

AM∥平面EFG。

分析：连MD交GF于H，易证EH是△AMD的中位线

6、如图，ABCD是正方形，O是正方形的中心，E是PC的中点。 求证： PA ∥平面BDE

A

E

B

G M

F C

D

7．如图，三棱柱ABC—A1B1C1中， D为AC的中点. 求证：AB1//面BDC1；

分析：连B1C交BC1于点E，易证ED是

△B1AC的中位线

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（.3） 利用平行四边形的性质

9．正方体ABCD—A1B1C1D1中O为正方形ABCD的中心，M为BB1的中点， 求证： D1O//平面A1BC1;

分析：连D1B1交A1C1于O1点，易证四边形OBB1O1 是平行四边形

10、在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB=求证：AE∥平面PBC；

分析：取PC的中点F，连EF则易证ABFE 是平行四边形

1DC，E为PD中点. A 2E B P D C 11、在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=90，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ. （Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;

（I）证法一：

因为EF//AB，FG//BC，EG//AC，ACB90， 所以EGF90,ABC∽EFG. 由于AB=2EF，因此，BC=2FC， 连接AF，由于FG//BC，FG1BC 21BC 2在YABCD中，M是线段AD的中点，则AM//BC，且AM因此FG//AM且FG=AM，所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM//FA。

GM平面ABFE，又FA平面ABFE，所以GM//平面AB。 (4)利用对应线段成比例

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12、如图：S是平行四边形ABCD平面外一点，M、N分别是SA、BD上的点，且求证：MN∥平面SDC

分析：过M作ME//AD，过N作NF//AD 利用相似比易证MNFE是平行四边形

AMBN=， SMND

13、如图正方形ABCD与ABEF交于AB，M，N分别为AC和BF上的点且AM=FN求证：MN∥平面BEC

C

分析：过M作MG//AB，过N作NH/AB 利用相似比易证MNHG是平行四边形

DMNBEA F(5)利用面面平行

14、如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PB=BC=CA，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在PA上，且AF2FP. （1）求证：BE平面PAC； （2）求证：CM//平面BEF；

分析: 取AF的中点N，连CN、MN，易证平面CMN//EFB

o

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B1C//10.如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长是2，侧棱长是3，D是AC的中点.求证：

平面A1BD.

C1A1B1CDAB.证明：设AB1与A1B相交于点P，连接PD，则P为AB1中点，

D为AC中点，PD//B1C.

又PD平面A1BD，B1C//平面A1BD

11.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，M，N，G分别是AA1，CD，CB，CC1的中点， 求证：（1）MN//B1D1 ；（2）AC1//平面EB1D1 ；（3）平面EB1D1//平面BDG.

11.证明：（1） M、N分别是CD、CB的中点，MN//BD 又BB1//DD1,四边形BB1D1D是平行四边形. 所以BD//B1D1.又MN//BD，从而MN//B1D1 （2）（法1）连A1C1，A1C1交B1D1与O点

四边形A1B1C1D1为平行四边形，则O点是A1C1的中点

E是AA1的中点，EO是AA1C1的中位线，EO//AC1.

AC1面EB1D1 ，EO面EB1D1，所以AC1//面EB1D1 （法2）作BB1中点为H点，连接AH、C1H，E、H点为AA1、BB1中点， 所以EH//C1D1，则四边形EHC1D1是平行四边形，所以ED1//HC1 又因为EA//B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1//AH

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 AHHC1=H，面AHC1//面EB1D1.而AC1面AHC1，所以AC1//面EB1D1

（3）因为EA//B1H，则四边形EAHB1是平行四边形，所以EB1//AH

因为AD//HG，则四边形ADGH是平行四边形，所以DG//AH，所以EB1//DG 又BB1//DD1,四边形BB1D1D是平行四边形. 所以BD//B1D1.

BDDG=G，面EB1D1//面BDG

4、如图，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF‖平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

1．运用中点作平行线

例1．已知四棱锥PABCD的底面是距形，Ｍ、Ｎ分别是ＡＤ、ＰＢ的中点，求证ＭＮ∥平面PCD．

P

(第16题图)

G D N

M

A B 图1

2．运用比例作平行线

例2．四边形ＡＢＣＤ与ＡＢＥＦ是两个全等正方形，且ＡＭ=ＦＮ，其中MAC，NBF，求证：ＭＮ∥平面BCE

C

D B M H N F A 3. 运用传递性作平行线

例3．求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线和它们的交线平行 k



nl

C

E

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图4

 .

４.运用特殊位置作平行线

例4．正三棱柱ＡＢＣ－Ａ1Ｂ1Ｃ1的底面边长为2，点Ｅ、Ｆ分别是Ｃ1Ｃ、Ｂ1Ｂ上的点，点Ｍ是线段ＡＣ上的动点，ＥＣ＝2ＦＢ＝2．问当点Ｍ在何位置时ＭＢ∥平面ＡＥＦ？ C1

E A１ B1

N C F M

A B

图5

2. （2012•山东）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD． （Ⅰ）求证：BE=DE；

（Ⅱ）若∠BCD=120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC

．

3. ．（2012•辽宁）如图，直三棱柱ABC-A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC= 2，AA′=1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

（Ⅰ）证明：MN∥平面A′ACC′； （Ⅱ）求三棱锥A′-MNC的体积．

4. （2011•上城区）如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．

（1）若点G在AB上，试确定G点位置，使FG∥平面ADE，并加以证明；

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