人教A版高中数学必修1《二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.2 对数函数 阅读与思考 对数的发明》赛课导学案_29

课题：对数的发明

aN(a0,且a1)xlogaN

x

执教学科：高中数学 教材版本：新课标人教A版 授课教师： 教师单位： 授课地点：

《对数的发明》教学设计

一、内容分析

对数及对数运算是继指数运算及指数函数之后引入的一种全新的数及运算，是基于学习的需要，也是为对数函数打基础。对数的概念与运算对学生来说是难点、易错点，也是高考中的热点内容，常与其他知识综合出题。教材在这一部分的内容设置蕴涵了许多重要的思想方法，也体现了数学的应用价值。 二、学情分析

学生初次接触对数这一全新的概念，认识及应用需要一个过程，另外，借指数式演化得到对数式，认清各部分关系是学生学好对数内容的一个有效途径。学生对于对数的由来及符号的引入非常不清楚，所以教师通过问题情境的设置与数学史的介绍让学生能较好地理解引入对数的必要性。 三、教学目标 1． 知识与技能 （1）理解对数的概念； （2）了解对数与指数的关系；

（3）理解和掌握对数的基本性质，掌握对数式与指数式的关系。 2． 过程与方法

（1）经历从数学史中引入对数的过程，让学生理解引入对数的必要性； （2）通过对数的简单运算，培养他们耐心、细心、严谨的学习习惯； （3）在相互交流的过程中，养成学生表述、抽象、概括的思维习惯，培养学生自主探究的能力。 3． 情感态度与价值观

（1）通过数学史融入课堂教学让学生体验数学学习活动中的成功与快乐，增强他们的求知欲和学好数学的自信心；

（2）经历对数式与指数式的互化，培养学生的类比分析、归纳能力； （3）在学习过程中培养学生探究的意识，理解指数与对数之间的内在联系，培

养分析、解决问题的能力。 四、教学重点与难点 1．教学重点:

对数的发现和指数式与对数式的互化，对数的基本性质探究。 2．教学难点:

对数概念的产生及对数的简单运算。

五、教学方法：探究式教学，启发诱导学生为主。

六、教具准备：多媒体PPT课件，几何画板，教学用尺，各种粉笔。 七、教学过程

（一）创设情境，引入新课

1.计算引入：（教师出示四道计算题，学生自主完成） 计算：（1）32256_______ （2）4096128＝_______

（3）164＝_______ （4）532768＝_______

问：通过这组计算，大家有什么感觉？

设计意图：让学生体验大数乘除计算的繁杂性，为引入对数概念埋下伏笔。 (板书本节课课题) 对数（第一课时） 2.对数发明的背景：

介绍：16世纪前半叶，欧洲人热衷于地理探险和海洋贸易。特别是地理探险需要更为准确的天文知识，对计算速度和准确性的要求与日俱增，那时候天文学家在进行天文学研究时，需要进行很多非常繁琐的计算，工作量大得让他们苦不堪言，伤透脑筋。人们希望寻求更为简捷的运算方法，将乘除法归结为简单的加减法，由此拉开了对数运算发现的序幕。

设计意图：通过数学史的引入，引起学生的有意注意，诱发探求新知识的兴趣，调动他们的学习积极性，使学生直接进入学习状态。 3.对数产生的前奏：

思考：让学生观察两个数列，并找出规律： 0 1 2 3 1 2 4 8 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096 8192 16384 32768 归纳：前一排数设为n，则后一排数可以表示为2n。

介绍数学史：德国数学家史提非在观察上述两个数列时，称上排的数为“指数”，下排的数为“原数”。史提非发现，上一排数之间的加、减运算结果与下一排数之间的乘、除运算结果有一种对应关系，即假定我们想求下一排任两个数之积，只要计算与这两个数对应的上一排的数之和就行了。

根据以上叙述，我们一起来尝试把开始的四道计算题做一点改写，使运算简化。

（1）32256＝2528＝258＝213； （2）4096128＝21227＝212-7＝25；

4444416（3）16＝(2)＝2＝2；

15（4）32768＝(2)＝25151515＝23．

问：这四道问题的改写，其数学本质是什么？

答：简化运算。化乘除为加减；乘方、开方为乘除运算。

设计意图：教师提供历史背景和原始问题，增强真实感，让学生体会运算级别的降低使得运算更为简便。

故意提问：那么36×365呢，能否用上述表格来进行简化运算？ 追问：36和365能否表示成2的若干次幂的形式？

教师利用《几何画板》的测算功能，显示后，师生共同发现 3625.16993，

36528.51175，计算5.1669，通过计算器功能求得 ＋38.51173.5＝61861213.68618＝13140.02，而36365＝13140。

说明：数据的差异取决于近似计算的精确度，与运算的本质无关。

按照这样的思路我们只需制作一张包含足够多数字的表格，就能算出各种各样数字的乘除和开方、乘方运算了。

经过刚才的探讨，可以断定这种方法是可行的．我们可以不断地完善表格中的数据，实际上在17世纪许多人为了制作这样一张精确的表格而奉献了自己毕生的精力。

教师归纳：此法可推广到任何二个数的乘除运算，并不仅仅限于以2为底．

yx aaa比如计算 36365，设36＝a，365＝a，则36365＝设计意图：通过具体演算，使学生体会引进对数的必要性。

xyxy。.

（二）师生互动、探究新知 1.对数的概念：（对数的产生）

把我们的发现上升为一种全新的理论。

对于一般的axN（a0，且a1），若已知a和N需要求出指数x，则记为xlogaN，我们把x称作以a为底的N的对数，其中 a叫做底数,N叫做真数。如：2x36xlog236， 2y365ylog2365。 问题1：对数xlogaN的含义是什么？ 答:a的多少次方是N。

问题2：对数与指数有什么关系？ 答:axN(a0,a1)xlogaN

问题3：N有无范围的限制？（从函数角度认识）

答：N0，负数与零没有对数。

设计意图：通过原始问题引出对数的概念，激发学生的兴趣，三个问题的设置使学生更好地理解对数的概念与对数和指数之间的关系。 2.对数产生的历史：

（1）对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年-1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，完成这个发现过程花费了他整整20年的功夫。并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，阐明了对数原理，后人称为纳皮尔对数。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。

（2）1616年，他的好朋友亨利·布里格斯去拜访纳皮尔，建议将对数改良为以10作为底，可惜纳皮尔于隔年春天去世，令人遗憾。所以这项工作后来就由布里格斯以毕生精力完成。布里格斯以10为底列出一个很详细的对数表，这就是后来的常用对数表，对数表这一惊人发明很快传遍整个欧洲大陆。天文学家开普勒利用对数表简化了行星轨道的复杂计算。对数表曾在几个世纪内被数学家、会计师、航海家和科学家广泛使用。

（3）人们后来还发明了对数计算尺，300多年来一直是科学工作者必备的计算工具。直到20世纪70年代才让位给电子计算机，尽管对数表、对数计算尺都不再重要，但是对数的思想方法仍然具有生命力，源远流长。 （4）名人名言：

给我时间、空间和对数，我可以创造出一个宇宙来。

——伽利略 对数的发明简化了计算，使天文学家的寿命增加了一倍。

——拉普拉斯

思考：通过对数产生的历史介绍，你有何体会？

（1）数学家为对数的产生付出了毕生精力，精神令人钦佩。 （2）社会生产、科学技术的需要是数学发展的主要动力。

（3）使用较好的数学符号体系对于数学发展至关重要，好的数学符号能够大大地节省人的思维负担。

设计意图：通过数学史的引入，引起学生关注，教师利用前人为了研究对数的产生，花费了巨大的精力这一事例鼓励学生勇于探索，积极上进，调动他们的学习积极性，培养学生对数学的兴趣，让学生明白数学在生活中无处不在。 3.对数的基本性质：

探究1：将下列指数式化为对数式：

（1）301 （2）801 （3）0.501 （4）2.901 思考：有何发现？

答：1的对数等于零即：loga10。 探究2：求下列各式的值：

（1）log22? （2）log1616? （3）log0.50.5? （4）log99? 思考：有何发现？

答：底数的对数等于1即：logaa1。 探究3：求下列各式的值： （1）5log510? （2）0.2loglogaN0.25?

思考：有何发现？ 答：对数恒等式，即：aN。

设计意图：教师通过三个有效的探究活动与学生互动，由特殊上升到一般，使得学生较好地理解对数的基本性质，为后面的运算带来很大的方便。 4.关于对数的说明：

（1）在对数式中，N0，负数与零没有对数。

（2）对任意a0且a1，都有：a01，∴loga10，同样易知：logaa1。 （3）如果把abN中的b写成logaN，则有alogaNN（对数恒等式）。

设计意图：通过知识的归纳总结，加深学生对对数概念及基本性质的认识。 5.指数式与对数式的比较： 口答：

设计意图：通过指数式与对数式的比较，进一步巩固学生对对数概念的理解，能充分认识到知识之间是相互紧密联系的。 6.两个重要对数：

（1）常用对数：以10为底的对数log10N，简记为：lgN。

（2）自然对数：以无理数e2.71828为底的对数logeN，简记为：lnN。 在科学技术中，常常使用以e为底的对数。

设计意图：教师介绍两个特例，体现数学符号的简单记法可以为运算带来方便，也为学生以后学习换底公式打下基础。

（三）巩固所学，学以致用（对数的简单应用） 例1：将下列指数式写成对数式： （1）54625 （2）261 （3）3a27 64例2：将下列对数式写成指数式： （1）log1164 （2）log21287

2（3）lg0.012 （4）ln102.303 例3：求值：

（1）log927 （2）log354625 例4：求x的值：

2（1）log64x（求真数）（2）logx86（求底数）

3（3）lne2x（求对数） 备选题：计算：

（1）log23(23) （2）log(2x21)(3x22x1)1

（3）log2[log3(log4x)]0 （4）已知loga2m，loga3n，求a2mn的值；

112，求m。 ab设计意图：通过四组例题：例1，例2的互化问题，例3，例4的求值问题都是（5）设2a5bm，且

为了让学生体会对数的简单应用，提高学生知识的运用能力，渗透转化与化归思想。

（四）归纳小结，谈谈收获 本节课你学到了什么？ 1.一个概念：对数的概念

2.一个互化：指数式与对数式的互化 3.几条性质：对数的基本性质 4.数学背景：纳皮尔对数的发现 5.数学思想：对数思想、转化与化归思想

设计意图：通过学生回顾本节课的内容，加深对所学知识的理解，教师进行补充和强调，从而再次突出本节课的重点和难点。 （五）课后作业布置 1.必做题：

教材P74 习题2.2 A组 第1,2题 B组 第1题

2.选做题：

庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭。

（1）取5次，还有多长？ （2）取多少次，还有0.125尺？

设计意图：作业分为必做题和选做题两个部分，必做题旨在强化学生对知识掌握 程度，较为基础；选做题则旨在拓宽学生的视野，开阔眼界，培养学生应用意识， 让学生明白数学是有用的。 （七）板书设计 投 影 区 域 （板书课题） 对 数 1.对数的概念： ： 2.对数产生的历史： 3.对数的基本性质： 4.两个重要对数： （1）常用对数： （2）自然对数： 5.对数的简单应用： 例1： 例2： 例3： 例4： （备选） 八、教学反思（上课后撰写）