等额本息还款的解题策略

季 斌 江苏省海门中学 （226100） 分期付款与每个家庭、每个人的日常生活密切相关，分期付款方式在今天的商业活动中应用十分广泛，尤其是购房贷款这一消费方式已被越来越多的市民所接受。其中原因有两个：一方面很多人一次性地支付售价较高的商品的款额有一定的困难，另一方面是因为不少商家也在不断地改进营销策略，方便顾客购物和付款。

就贷款购房这一问题，由于购房者所贷的款一般数额较大，绝大部分购房者都是利用等额本息还款的方式（指贷款人在还款期内每期偿还的贷款本金及利息之和不变的一种还款方式）.这类问题的解题策略大致有三种。

例如：从房产公司购买住宅一套，价值22万元，首次付款2万元后，其余按年分期付款，且每年付款数相同，如果年利率为3%，利息按复利计算，并要求经15年付清购房款的本利和，问每年应付多少元（精确到1元）？实际付款总额比一次性付款多付多少元？ 策略一、从特殊到一般

先考虑第一次、第二次、……付款后还欠多少元，再推出第n次付款后还欠多少元 解：设每年应付款x元

第一次分期付款后还欠：a12000001.03x

第二次分期付款后还欠：a2a11.03x(2000001.03x)1.03x

2000001.0321.03xx

2第三次分期付款后还欠：a3a21.03x(2000001.031.03xx)1.03x

2000001.0331.032x1.03xx

— — — — — — — — — — — — —

第15次分期付款后还欠：

a15a141.03x2000001.03151.0314x1.0313x1.03xx

由题意a150

2000001.03151.0314x1.0313x1.03xx0

1.03151x2000001.0315 即

1.03 x16753

（元）实际付款约为167531520000271295

（元）实际付款比一次性付款多27129522000051295

策略二、整体考虑

将借款与还款分开考虑，都到还清之日结算应相等。借归借，还归还。 解：到还清之日，即第15次还款后，所有借款的本利和为：2000001.03

到还清之日，即第15次还款后，所有借款的本利和为：

1.03x1.03x1.03xx0

（这里第一次还款要计算14年利息，第二次还款要计算13年利息，————，最后一次还款后不记利息）

由题意可知：1.03x1.03x1.03xx2000001.03 以下同上。

141315151413

策略三、利用递推数列

根据题意找出每一年还款后与前一年还款后的函数关系，即递推关系。 解：设每年还款x元，并假设第k年还款后还欠款ak元.

则a12000001.03x akak11.03x,(k2)

100x100x1.03(ak1) 33100x100x100x数列{an为首项，1.03为公比的等}是以a12000001.03x333利用代定系数法解得：ak比数列。

100x100x(2000001.03x)1.03k1 33100x100xa152000001.03151.0314x1.03140

33 x16753（以下同上） ak

(一)教学知识点：1. 理解分期付款中的有关知识；2. 掌握复利计算利息的方法. （二）能力训练要求：培养学生发现问题、探究问题和解决问题的能力。 （三）德育渗透目标：养成学数学用数学的习惯。. [教学重点] 分期付款和利息的概念 [教学难点] 分期付款和利息的计算 [教学方法]启发引导式

1． 计算储蓄所得利息的基本公式是：利息=本金×存期×利率. 根据国家规定，储蓄存款利息应依法纳税，计

算公式为：应纳税额=利息金额×税率，其中的税率为20﹪. （1）整存整取定期储蓄

某段时间内规定的这种储蓄的年利率如下： 存期 年利率（﹪） 1年 2.25 2年 2.43 3年 2.70 5年 2.88 例如，按这种方式存入5000元，存期3年，那么3年到期时所得利息为 ；应纳税 ；实际取出 . （2）活期储蓄

是指存期不定、可以随时存取的一种储蓄，计算利息时，每年按360天，每月按30天计算存期.

例如，7月15日存入500元，同年8月25日全部取出，日利率是0.00275﹪，由于存期是40天（算头不算尾），所以应得利息为 .应纳税 .实际取出 . （3）分期存入后一次取出的一种储蓄的利息计算

设每期期初存入金额A，连存n次，每期的利率为p，那么到第n期期末时，本金为nA，各期存款的利息如下：第1期存款利息： ；第2期存款利息： ；……；第n1期存款利息： ；第n期存款利息： 各期利息之和： .应纳税： .实际取出： . 2．复利计算

复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息。复利计算公式：本金a，每期利率r，存期x，本利和y，则y= 。

例1．某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案，一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案，每年初贷款1万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千

元，两种方案实施期限都是十年，到期一次性归还本息，若银行贷款利息按年息10%的复利计算，比较两个方案，哪个获利更多？（计算数据精确到千元，参考数据：1.110=2.594，1.310=13.768）

解析：方案甲：十年获利中，每年获利数构成 数列，首项为 ，公比为 ，前10项和为：S10= 贷款的本利和为 ，所以，甲方案净获利

方案乙：十年获利中，每年获利数构成 数列，首项为 ，公差为 ，前10项和为：T10= 所以，两个方案中 方案获利多。 3．分期付款

某顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将款全部付清的前提下，商店有提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。 方案 类别 1 2 分几次 付款 3次 6次 付款方法 购买后4个月第一次付款，再过4个月第2次付款，再过4个月第3次付款。 每次所 付款额 付款 总额 与一次性 付款差额 贷款的本利和为 ，所以，乙方案净获利

购买后2个月第一次付款，再过2个月第2次付款，……购买后12个月第6次付款。 购买后1个月第一次付款，再过1个月第2次付款，……3 12次 购买后12个月第12次付款。 注：规定月利率为0.8%,每月利息按复利计算。 若采用方案2，每期中应付款多少？总共应付款多少？与一次性付款差额为多少？

班级 姓名 学号

第一步：在商品购买后1年贷款全部付清时，其商品售价增值到了多少？

(1)在购买商品后1个月，该商品售价增值为： ；(2)在购买商品后2个月，该商品售价增值为： (3)在购买商品后3个月，该商品售价增值为： ……

(12)购买商品后12个月，该商品售价增值为： 第二步：在贷款全部付清时，各期所付款额的增值情况。 为讨论方便，假定每期付款x元

(1)到贷款全部付清时，第6期付款额连同利息之和为： (2)到贷款全部付清时，第5期付款额连同利息之和为： (3)到贷款全部付清时，第4、3、2、1期付款额连同利息之和为： 、 、 、 第三步：如何根据上述结果来求每期所付款额x呢？ 第四步：如何求总共应付款额及与一次性付款差额？

若采用方案1和方案3，每期中应付款多少？总共应付款多少？与一次性付款差额为多少？ 作业：

1．某商品降价10%之后，欲恢复原价，则提价率为 。

2．小林每个月的第一天都要支付购车贷款100元。如果她没有买这辆车（既没贷这笔款）的话，那么到一年底的时候，她可以多多少钱（银行月利率为1%，且每月按复利计算）？

3．某人贷款5万元，分5年还清，贷款年利率为5%，按复利计算，问每年需还款多少元？（精确到1元）？

4.某人想贷一笔款，年利率为5%，按复利计算利息，计划每年偿还1万元，经5年还清本利，问应贷给他多少万元？

3.购买一件售价为12000元的商品，采用分期付款的办法。每期付款数相同，购买后1个月付款一次，过1个月再付一次，如此下去，到第4次付款后全部付清。如果月利率为0.5%，按复利计息，那么每期应付款多少元（精确到1元）？

4.某人年末贷款10万元，分5年等额偿还，每年还款日期为年末。年利率为6%，按复利计息，问每年