第一部分 齐格勒-尼科尔斯法则介绍
PID控制器之所以受到当今人们的高度重视，在于它应用的广泛性和实用性。 对于受控对象的数学模型如果能用解析法获得，则根据对象模型的特点和系统性能的要求，我们可以选用PD或PI或PID对系统进行校正。但是，如果对象很复杂，其数学模型不能轻易得到时，就不能用解析法去设计PID控制器，而必须借助于实验的手段。齐格勒(Ziegler)和尼科尔斯(Nichols)基于大量的实验，提出了调整PID参数的两种规则。按照这两个规则，简单调整PID的有关参数，也能收到良好的控制效果。
图1
图1为具有PID控制器的控制系统。G(s) 是要控制对象(plant)的传递函数，其之前用到PID 校正器，传递函数记为：
) (1)
如果系统的被控制对象很复杂，难于用解析法建立其数学模型时，这样就不能用一般的方法去确定PID控制器的参数。对于这种系统，若用下述的齐格勒-尼科尔斯法则去调整PID控制器的参数，就显得非常实用、有效和方便。
齐格勒-尼科尔斯法则简称为Z-N法则，它有两种实施的方法。它们共同的目标都是使被控系统的阶跃响应具有25%的超调量，如图2所示。
图2 具有25%超调量的单位阶跃响应曲线 图3 受控对象的单位阶跃响应
第一种方法是在对象的输入端加一单位阶跃信号，测量其输出响应曲线，如图3所示。如果被测的对象中既无积分环节，又无复数主导极点，则相应的阶跃响应曲线可视为是S形曲线，如图所示。这种曲线的特征可用滞后时间t（τ）和时间常数T来表征。通过S形曲线的转折点做切线，使之分别与时间坐标轴和c(t)=K的直线相交，由所得的两个交点确定
延滞时间和时间常数T。具有S形阶跃响应曲线的对象，其传递函数可用下式近似地描述：
(2)
齐格勒和尼科尔斯给出表7-1的公式，用于确定Kp、Ti和Td的值。据此得出PID控制器的传递函数为：
(3)
由式（3）可见，这种PID控制器有一个极点在坐标原点，二个零点都在s=- 处。显然，第一种方法仅适用于对象的阶跃响应曲线为S形的系统。
表1 Z-N法则的第一法
控制器的类型
Kp
T 0.9T
Ti
0.32
Td
P
0 0
PI
PID
1.2T
0.5
图4 S形响应曲线
第二种方法是先假设Ti= ，Td=0，即只有比例控制，如图5所示。
图5 具有比例控制器的闭环系统
具体的做法是：将比例系数Kp值由零逐渐增大到系统的输出首次呈现持续的等幅振荡，此时对应的Kp值称为临界增益，用Kc表示，并记下振荡的周期Tc，如图6所示。
对于这种情况，齐格勒和尼科尔斯又提出表2所示的公式，以确定相应PID控制器的参数Kp、Ti和Td的值。 Kp 调节器的类型
0.5KcP
0.45Kc
PI
表2 Z-N法则的第二法
0.6Kc
PID
Ti
Td
1 Tc1.2 0
0
0.5Tc 0.125Tc
图6 具有周期Tc的持续振荡
由表2确定的PID控制器，其传递函数也是一个极点在坐标原点，两个零点均位于-4/Tc处。显然，这种方法只适用与图5所示的系统的输出能产生持续振荡的场合。
在控制对象动态特性不能精确确定的过程控制系统中，齐格勒-尼科尔斯法则被广泛用来调整PID控制器的参数。实践证明这种方法非常实用。当然，齐格勒-尼科尔斯法则也可应用于对象数学模型已知的系统。
必须指出，用上述法则确定PID控制器的参数，使系统的超调量在10%-60%之间，其平均值约为25%（通过对许多不同对象实验的结果）。
齐格勒-尼科尔斯法则仅仅是PID控制器参数调整的一个起点。若要进一步提高系统的动态性能，必须在此基础上对相关参数做进一步的调整。另外，PID参数的不同选取方式可以达到不同的效果，参考表3。
表3 Z-N法则的参数调整 Rule Name Classic Ziegler-Nichols Pessen Integral Rule Some Overshoot No Overshoot
Tuning Parameters Kp = 0.6 Ku Ti = 0.5 Tu Td = 0.125 Tu Kp = 0.7 Ku Ti = 0.4 Tu Td = 0.15 Tu Kp = 0.33 Ku Ti = 0.5 Tu Td = 0.33 Tu Kp = 0.2 Ku Ti = 0.5 Tu Td = 0.33 Tu 第二部分 实验
我们使用图7和图8所示的电路来仿真实际的受控对象。主要目的，是使output端能按要求变化，且只允许通过input端进行控制。比如，要求ouput端能给出一个幅值为1V的三角波信号。显然，可以通过施加给input端一个三角波信号，观察output，总结规律，选取一个较好的合适的控制电压得到需要的输出。试试看，你能否完成这项工作。当然，要求越精确越好，带宽越大越好。
可以使用上面讲到的Z-N法则来构造一个PID控制器完成这个任务。 1. 推导图8所示电路的传递函数，给出重点参数值
2. 使用经典Z-N法则测试系统，估计PID控制器的三个主要参数
3. 使用LM324运放等器件，构造一个所需要的PID控制器；
4. 加入PID控制器，测量：(1) 幅频响应；(2) 相频特性；(3) 阶跃响应。
图7 控制任务电路模拟1（I型）
图8 控制任务电路模拟2（II型）
第三部分 体验
使用前面部分给出的法则，来调整下面运动控制器的PID参数。实验报告给出： 1. Z-N判断过程及有关数据，包括运行波形
2. 再次调整PID参数，得到你认为比较好的效果，给出波形及数据。
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