例谈三角形面积的向量方法

例谈三角形面积的向量方法

向量是中学数学中的一个有力的工具,具有代数形式和几何形式的”双重身份”,向量在几何中以得到广泛应用．三角形是平面几何中最基本、最重要的图形，向量与三角形的交汇问题已成为近几年高考的热点问题．向量的模与数量积运算具有鲜明的几何背景，下面笔者用向量的模与数量积表示三角形的面积公式并例谈其应用．

公式 ABC中，若向量CBa，CAb，则

SABC12ab(ab)222．

证明

SABC11absina,b221ab(1cosa,b)2222ab(ab)222．

１．利用公式求三角形的面积．

例1．已知ABC，点A(1,1)，B(4,2)，C(3,5)，求ABC的面积．

解：∵AB(3,1)，AC(2,4)，∴

AB102，

AC202，ABAC10，

∴

SABC12ABAC(ABAC)2221102010052．

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0BA(cos23,cos67)BC(2cos68,2cos22)，求ABC的面积． ABC例2．已知中，向量，

0000000BA(cos23,sin23)BC(2sin22,2cos22)，∴BA1，BC2， 解：由已知，得，

0000BCBA2(sin22cos23cos22sin23)2sin4502． ∴

∴

SABC12BCBA(BCBA)22222．

２．利用公式和三角函数的性质求三角形面积最值．

,例3．平面直角坐标系内有点P(sinx,cosx)，Q(cosx,sinx)，积的最值．

x[2412，O为坐标原点，求OPQ面

]解：

SOPQ12OPOQ(OPOQ)2221111(2sinxcosx)21sin22xcos2x222．

∵

x[,2412， ∴当

]x3112时，OPQ面积的最小值为4；当x0时，OPQ面积的最大值为2．

３．利用公式和均值不等式求三角形面积最值．

例4.已知OAB中,OAa，OBb，且

ab3,ab2，求OAB面积的最大值．

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解：∵

ab3,ab2，∴a2abb9，a2abb4，解得

2222ab54，

113SOABab22，∴

22ab(ab)22212a2b212522252131632abab1622，当且仅当

2时，取“=”号．

例5.已知向量OAa(cos,sin)，OBb(cos,sin)，a与b之间有关系式

kab3akb，

（k0，且k23），O为坐标原点，求AOB面积的最大值，并求此时a与b的夹角．

解：将

kab3akb两边平方，得ka2kabb3(a2kabkb)

222222111ab(k)22ab1k2kab13(12kabk)k04k2， ∵，∴，又∵，∴

当且仅当k1时取“=”号．∴

SAOB12113121ab(ab)1(ab)244， ∴AOB面积2222ab1cos31abab200042的最大值为，此时，∴，∵0180，∴60．

新课程加强了平面向量的应用，教材中也设计了不少用向量方法研究平面图形性质的问题．以上，笔者用向量方法求解三角形面积问题，给人以耳目一新的感觉，体现了用向量方法解决问题的优越性．

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