【配套K12】[学习]2018年秋九年级数学上册 第二十二章 二次函数 22.3.1 实际问题与二次

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2.3.1 实际问题与二次函数

一、学习目标：

1、分析实际问题中变量之间的二次函数关系；

2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；

3、能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.

二、学习重难点：

重点：能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题；

难点：分析实际问题中变量之间的二次函数关系

探究案

三、教学过程

（一）复习巩固

写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.

（1）y=x2-4x-5; (配方法) (2)y=-x2-3x+4.(公式法)

（二）情境导入

从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是：h30t5t（0t6）.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运

2动中的最大高度是多少？

小组内探究分析：

分析：

h30t5t20t6画出的图象，借助函数图象解决实际问题：

从函数的图象看是一条抛物线的一部分可以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象的

点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最 值

解：当 = = 时，

4acb2h有最大值4a = . ∴小球运动的时间是 时，小球运动到最大高度是 . 活动2：探究归纳

一般地，

当a＞0（a ）时，抛物线 (a≠0)的顶点是最低( )点，也就是说，当x=（ ） 时，y有最小（ ）值是 。

例题解析

例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？

变式训练

1、如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

2、如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

归纳：

一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，所以

当 时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值 。

例2 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高于宽各位多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）

随堂检测

1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是

2.如图2，在△ABC中， ∠B=90 °,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过______秒，四边形APQC的面积最小.

3.已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形的面积最大？最大值是多少？

4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym2．

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？

5. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).

(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.

课堂小结

通过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：

我的收获

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

参考答案

（一）复习巩固

解：（1）开口方向：向上；对称轴：x=2；顶点坐标：（2，-9）；最小值：-9；

（2）开口方向：向下；对称轴：x=；顶点坐标：（ ， ）；最大值：（二）情境导入

大

3s 45 m

＜ y = ax 2 + bx + c 高

.

大

例题解析

例1解:根据题意得S=l(30-l),

即 S=-l2+30l (0因此，当时时， S有最大值

也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.

变式训练

1、解：设垂直于墙的边长为x米，S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.

0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.

最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.

所以此时宽为15m，长为60－2x=30m，最大面积为：450m2

2、解：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则

S=

当x=30时，S取最大值

由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.

所以当x=18时，S有最大值是378.

例2 解：设矩形窗框的宽为x m，则高为m.这里应有x＞0， ＞0

故0＜x＜2.

矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：

即

配方得

所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.

x=1满足0＜x＜2，这时

因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2.

随堂检测

1.

2. 3

3. 解：设一直角边长为x，则另一直角边长为，依题意得：

4、

5、解： （1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),

∴S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.

(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;

这时设计费最多，为9×1000=9000（元）

∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2. 费用9000元