简单复合函数的导数

课 题：§1.2.3简单复合函数的导数

教学目的：

知识与技能：理解掌握复合函数的求导法则.

过程与方法：能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导

情感、态度与价值观：培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．

教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用

教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解

教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。

教学过程：

学生探究过程：

一、复习引入：

1. 常见函数的导数公式：

nn1C'0；(x)'nx；(sinx)'cosx；(cosx)'sinx

'''[u(x)v(x)]u(x)v(x)． 2.法则1

法则2 [u(x)v(x)]u'(x)v(x)u(x)v'(x), [Cu(x)]Cu'(x)

uu'vuv'(v0)2v法则3 v

'二、讲解新课：

1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数yf(u)与u(x)复合而成的函数一般形式是yf[(x)]，其中u称为中间变量．

2y(3x2)2.求函数的导数的两种方法与思路：

方法一：

22yx[(3x2)](9x12x4)18x12；

22y(3x2)yu方法二：将函数看作是函数和函数u3x2复合函数，并分别求对应

变量的导数如下：

(u2)2uyu，ux(3x2)3

两个导数相乘，得

 yuux2u32(3x2)318x12，

从而有 y'xy'uu'x

对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.

3.复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数u′x=′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且y'xy'uu'x 或

f′x( (x))=f′(u) ′(x).

证明：（教师参考不需要给学生讲）

设x有增量Δx，则对应的u，y分别有增量Δu，Δy，因为u=φ(x)在点x可导，所以

u= (x)在点x处连续.因此当Δx→0时，Δu→0.

yyuyylimlim当Δu≠0时，由xux. 且x0uu0x.

yyuyuyulimlimlimlimlim∴x0xx0uxx0ux0xu0ux0x lim即y'xy'uu'x (当Δu＝0时，也成立)

4.复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数

5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代．

三、讲解范例：

例1试说明下列函数是怎样复合而成的？

232y(2x)ysinx⑴； ⑵；

ycos(x)4⑶； ⑷ylnsin(3x1)．

2332y(2x)yu解：⑴函数由函数和u2x复合而成；

22ysinx⑵函数由函数ysinu和ux复合而成；

ycos(x)uxycosu44⑶函数由函数和复合而成；

⑷函数ylnsin(3x1)由函数ylnu、usinv和v3x1复合而成．

说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．

例2写出由下列函数复合而成的函数：

⑴ycosu，u1x； ⑵ylnu，ulnx．

22ycos(1x)； ⑵yln(lnx)． 解：⑴

5y(2x1)例3求的导数．

解：设yu，u2x1，则

5y'xy'uu'x(u5)'x(2x1)'

4345u25(2x1)210(2x1) ．

注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.

例4求f(x)=sinx2的导数.

解：令y=f(x)=sinu; u=x2

∴y'xy'uu'x=(sinu)′u·(x2)x′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2

∴f′(x)=2xcosx2

例5求y=sin2(2x+3)的导数.

分析: 设u=sin(2x+3)时，求u′x，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+3. 解：令y=u2，u=sin(2x+3)，再令u=sinv，v=2x+3

∴y'xy'uu'x=y′u(u′v·v′x)

∴y′x=y′u·u′v·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·(2x+3)′x =2u·cosv·2=2sin(2x+3)cos(2x+3)·2

2=4sin(2x+3)cos(2x+3)=2sin(4x+3)

2即y′x=2sin(4x+3)

23yaxbxc的导数. 例6求

解：令y=u，u=ax2+bx+c

312u33∴y'xy'uu'x=(u)′u·(ax2+bx+c)′x=3·(2ax+b)

2axb122233(axbxc)3=3(ax2+bx+c)(2ax+b)=

2axb即y′x=

33(ax2bxc)2

1x例7求y=x的导数.

5解：令

y5u,u1xx

1x5y'xy'uu'x∴=(u)′u·(x)′x

4415(1x)x(1x)x11x5x(1x)u()5x25xx2

11121465x1x5(1x)x455()5x5(xx2)4x

1即y′x=－

5x5(xx2)4

例8 求y=sin

12x的导数.

1x1x解：令y=u2，u=sin，再令u=sinv，v=

∴y'xy'uu'x·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·()′x

1211101222xxxx=2u·cosv·x=2sin·cos·x=－·sin

1x22x1x∴y′x=－sin

2例9 求函数y=(2x2－3)1x的导数.

22分析: y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，1x是复合函数，可以先算出1x对x的导数.

解：令y=uv，u=2x2－3，v=

 (1+x2)′x =()1x2, 令v=，ω=1+x2

vxvx112xx2(2x)21x21x2 =2∴y′x=(uv)′x=u′xv+uv′x

x=(2x2－3)′2221x1x+(2x－3)· x·

=4x1x22x33x1x26x3x1x2

6x3x2即y′x=1x

四、巩固练习：

1．求下列函数的导数(先设中间变量，再求导).

(1)y=(5x－3)4 (2)y=(2+3x)5 (3)y=(2－x2)3 (4)y=(2x3+x)2

解：(1)令y=u4，u=5x－3

∴y'xy'uu'x=(u4)′u·(5x－3)′x=4u3·5=4(5x－3)3·5=20(5x－3)3

(2)令y=u5，u=2+3x

∴y'xy'uu'x=(u5)′u·(2+3x)′x=5u4·3=5(2+3x)4·3=15(2+3x)4

(3)令y=u3，u=2－x2

∴y'xy'uu'x=(u3)′u·(2－x2)′x

=3u2·(－2x)=3(2－x2)2(－2x)=－6x(2－x2)2

(4)令y=u2，u=2x3+x

∴y'xy'uu'x=(u2)′u·(2x3+x)′x

=2u·(2·3x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x

2.求下列函数的导数(先设中间变量，再求导)(n∈N*)

(1)y=sinnx (2)y=cosnx (3)y=tannx (4)y=cotnx

解：(1)令y=sinu，u=nx

y'xy'uu'x=(sinu)′u·(nx)′x=cosu·n=ncosnx

(2)令y=cosu，u=nx

y'xy'uu'x=(cosu)′u·(nx)′x=－sinu·n=－nsinnx

(3)令y=tanu，u=nx

sinuy'xy'uu'x=(tanu)′u·(nx)′x=(cosu)′u·n

cosucosusinu(sinu)1nn222(cosu)cosucosnx=n·sec2nx =·n=

(4)令y=cotu，u=nx

cosuy'xy'uu'x=(cotu)′u·(nx)′x=(sinu)′u·n

sinusinucosucosu1n222(sinu)=·n=－sinu·n=－sinnx=－ncsc2nx

五、教学反思 ：⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代

六、课后作业：