高等数学复习计划

本复习计划总共分为五个阶段： 第一阶段（7月——9月中旬） 第二阶段（9月中旬——10月底） 第三阶段（11月初——11月底） 第四阶段（12月初——12月底） 第五阶段（元旦后——考研前）

第一阶段（7月——9月中旬）：重点复习以下内容，能够将课本内容和对应的课后练习至少过一遍，最好能认真过两遍。做到心中有数。

第一部分 函数、连续与极限

一、理论要求 1.函数概念与性质

函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限

极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理

会用等价无穷小和罗必达法则求极限 二、题型与解法

A.极限的求法 （1）用定义求

（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法

（4）两个重要极限法

（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法

（7）洛必达法则与Taylor级数法

（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.limarctanxxln(12x)3x0limarctanxx2x3x016（等价小量与洛必达）

2.已知limsin6xxf(x)x3x00，求lim6f(x)x2

x0解：x0limsin6xxf(x)x3lim6cos6xf(x)xy'3x2x0

lim36sin6x2y'xy''6x6x0lim216cos6x3y''xy'''6x02163y''(0)

0y''(0)72y'2xy''2722lim6f(x)x2x0limx0limx036 （洛必达）

3.lim(x12xx12x)x1 （重要极限）

4.已知a、b为正常数，求lim(x03ab2xx3)x

解：令t(ab2xx)x,lnt3x[ln(ab)ln2]

xxlimlntlimx03abxxx03/2(alnablnb)xx32ln(ab)（变量替换）

t(ab)15.lim(cosx)x0ln(1x)2

1解：令t(cosx)ln(1x)2,lnt1ln(1x)12te2ln(cosx)

limlntlimx0tanx2xx01/2（变量替换）

6.设f'(x)连续，f(0)0,f'(0)0，求limxx02f(t)dtx0x01

f(t)dt2（洛必达与微积分性质）

ln(cosx)x2,x07.已知f(x)在x=0连续，求a

a,x0解：令alimln(cosx)/x1/2 （连续性的概念）

x02第二部分 导数、微分及其应用

一、理论要求

1.导数与微分

导数与微分的概念、几何意义、物理意义

会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程

理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理

会用定理证明相关问题

会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）

2.微分中值定理 3.应用

二、题型与解法

A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导

B.曲线切法线问题C.导数应用问题

1.yy(x)由xarctantdy2yty2et5决定，求dx 2.yy(x)由ln(x2y)x3ysinx决定，求

dydx|x01

解：两边微分得x=0时y'ycosxy，将x=0代入等式得y=1 3.yy(x)由2xyxy决定，则dy|x0(ln21)dx

4.求对数螺线e在（，）（e/2,/2)处切线的直角坐标方程。

解：xecos,(esinx,y)|/2/2(0,e),y'|/21

yye/2x

5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求f(6),f'(6)或f(1),f'(1)，等式取x->0的极限有：f(1)=0

limf(1sinx)3f(1sinx)x0sinxsinxtlim[f(1t)f(1)t0t3f(1t)f(1)t]

4f'(1)8f'(1)2y2(x6)6.已知yf(x)对一切x满足xf''(x)2x[f'(x)]21ex，

若f'(x0)0(x00)，求(x0,y0)点的性质。

解：令xxex010,x0代入，f''(x0)ex0x000x，故为极小值点。 0,007.yx3(x1)2，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。

D.幂级数展开问题E.不等式的证明

解：定义域x(,1)(1,)

y'0驻点x0及x3y''0拐点x0；x1：铅垂；yx2：斜

8.求函数y(x1)e/2arctanx的单调性与极值、渐进线。

x2解：

y'x1x2e/2arctanx驻点x0与x1，

渐：ye(x2)与yx2

9.

d22dxx0sin(xt)dtsinx

n1)sin(xt)2(xt)216n(xt)2(23!(xt)(1)(2n1)!t)2dt1317n1(xt)4n1sin(x3(xt)3!7(xt)(1)(4n1)(2n1)!xsin(xt)21317n03x3!7x(1)x4n1(4n1)(2n1)!dx2(2n1))2dtx21x6(1)nx2dx0sin(xt3!(2n1)!sinx

或：xtud02d2dxxsinu(du)dxx0sinudusinx2

10.求f(x)x2ln(1x)在x0处的n阶导数f(n)(0)

3n2解：x2ln(1x)x2(xx21x2x3(1)nn2o(xn2)

5=

x3x42x3(1)n1xnn2o(xn)

f(n)(0)(1)n1n!n2

11.设x(0,1)，

求证（1x)ln2(1x)x2，1111ln21ln(1x)x2

证：1）令g(x)(1x)ln2(1x)x2,g(0)0

g'(x),g''(x),g'''(x)2ln(1x)(1x)20,g'(0)g''(0)0 x(0,1)时g''(x)单调下降，g''(x)0,g'(x)单调下降

g'(x)0,g(x)单调下降，g(x)0；得证。 2）令h(x)F.中值定理问题

1ln(1x)1x,x(0,1),h'(x)0,单调下降，得证。

12.设函数f(x)在[1，1]具有三阶连续导数，且f(1)0,f(1)1，

f'(0)0，求证：在（-1，1）上存在一点，使f'''()3

证：f(x)f(0)f'(0)x12!f''(0)x213!f'''()x

3其中(0,x),x[1,1]

12160f(1)f(0)f''(0)16f'''(1)将x=1，x=-1代入有

1f(1)f(0)12

f''(0)f'''(2)两式相减：f'''(1)f'''(2)6

[1，2]，f'''()212[f'''(1)f'''(2)]3

213.eabe2，求证：lnblna证：Lagrange:f(b)f(a)ba24e2(ba)

f'()

2令f(x)lnx,lnblnba2a2ln

令(t)lntt2,'(t)4e21lntt20()(e)2ln2e2

ln2blna(ba) （关键：构造函数）

第三部分 不定积分与定积分

一、理论要求 1.不定积分 2.定积分

掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）

会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 理解定积分的概念与性质

理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分

会用定积分求几何问题（长、面、体）

会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值

二、题型与解法 A.积分计算

B.积分性质(基本

考)

C.积分的应用

1.dxx(4x)dxarcsinx24(x2)22C

2.e2x(tanx1)2dxe2xsec2xdx2e2xtanxdxe2xtanxC

3.设f(lnx)ln(1x)x，求f(x)dx

ex解：f(x)dxln(1)exdx

xexln(1ex)(1ex1ex)dxx(1ex)ln(1e)C

4.arctanx1b11x2dxxarctanx|1limb1(1xx1x2)dx42ln2

5.连续，(x)1f(x)A，求(x)并讨论'(x)0f(xt)dt,且limf(x)x0x在x0的连续性。

x解：f(0)(0)0,yxt(x)0f(y)dyx

xf(x)xdy'(x)0f(y)x2'(0)A2lim'(0)A/2'(0)

x06.

d22dtdx2222dxx0tf(xt)2dx0f(xt)d(tx)

2 d22dxx0f(y)d(y)xf(x)

考在现实生活中的应用,解决物理实际问题。

第四部分 向量代数、多元函数微分与空间解析几何

一、理论要求 1.向量代数 2.多元函数微分

了解,基本不

理解二元函数的几何意义、连续、极限概念，闭域性质 理解偏导数、全微分概念 能熟练求偏导数、全微分

3.多元微分应用

熟练掌握复合函数与隐函数求导法

理解多元函数极值的求法，会用Lagrange乘数法求极值

4.空间解析几何 基本不

二、题型与解法 A.求偏导、全微分 ''''2x1.f(x)有二阶连续偏导，zf(exsiny)满足zxxzyyez，求

f(x)

解：f''f0f(u)c1euc2eu 2.z1xf(xy)y(xy)，求zxy2

3.yy(x),zz(x)由zxf(xy),F(x,y,z)0决定，求dz/dx

B.极值问题

6.设zz(x,y)是由x26xy10y22yzz2180确定的函数，求zz(x,y)的极值点与极值。

第五部分 多元函数的积分

一、理论要求 1.重积分（重点）

熟悉二、三重积分的计算方法（直角、极、柱、球）

bdxy2(x)f(x,y)dyy1(x)a f(x,y)dxdy2r2()f(r,)rdrdr1()1by2(x)z2(x,y)adxy1(x)dyz1(x,y)f(x,y,z)dzz22(z)r2(z,)f(x,y,z)dxdydzdzdz11(z)r1(z,)f(r,,z)rdr

2()r2(,)2df(r,,)rsindrd1()r1(,)DV会用重积分解决简单几何物理问题（体积、曲面面积、重心、转动惯量）

zf(x,y)AD1z'xz'ydxdy

222.曲线积分（重点） 理解两类曲线积分的概念、性质、关系，掌握两类曲线积分的计算方法

b2L:yy(x)f(x,y(x))1y'xdxaxx(t)22f(x,y)dlL:f(x(t),y(t))x'ty'tdt

yy(t)L:rr()f(rcos,rsin)r2r'2dL熟悉Green公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件

3.曲面积分（重点） 理解两类曲面积分的概念（质量、通量）、关系

二、题型与解法 A.重积分计算（重点）

B.曲线、曲面积分 （重点）

熟悉Gauss与Stokes公式，会计算两类曲面积分

S:zz(x,y)f(x,y,z)dSDxyf(x,y,z(x,y))1z'22xz'ydxdyGauss:EdSSEdV(通量，散度）

Stokes:FVdrS(F)dS(旋度）L1.I(x2y2)dV,为平面曲线y22z绕z轴旋转一周与z=8

x0的围域。 解：I8220dzx2y22z(xy)dxdy8z20dz20d20rrdr10243

222.IxyD222dxdy,D为yaa2x2(a0)与

4axy2yx围域。（Ia2(1162)

3.f(x,y)x2y,1x2,0yx，

0,其他求f(x,y)dxdy,D:x2y2D2x (49/20)

4.I(exsinyb(xy))dx(excosyax)dy

L L从A(2a,0)沿y2axx2至O(0,0)

解：令L1从O沿y0至A

I(ba)dxdy2a20(bx)dx(LL1L1D22)ab32a

5.Ixdyydx4xy22L,L为以(1,0)为中心，R(1)为半径的圆周正向。

解：取包含(0,0)的正向L1:

2xrcosyrsin，

LL1LL10L2xL1

6.对空间x>0内任意光滑有向闭曲面S，

Sxf(x)dydzxyf(x)dzdxe且f(x)在x>0有连续一zdxdy0，

阶导数，limf(x)1,求f(x)。

x0解：01xsFdS1eFdVex(f(x)xf'(x)xf(x)e2x)dV

y'(1)y2xxyx(e1)

x

第六部分重积分

第七部分 常微分方程

一、理论要求 1.一阶方程 2.高阶方程

熟练掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利方程求法 会求y(n)f(x),y''f(x,y')(y'p(x)),y''f(y,y')(y'p(y))

3.二阶线性常系数

y''py'q0pq012y1c1e1xc2e2x(齐次) x12y1(c1c2x)exiy1e(c1cosxc2sinx)2f(x)Pn(x)exy2Qn(x)exx1or2y2Qn(x)xe(非齐次) 2xandyQ(x)xe122nf(x)ex(pi(x)cosxpj(x)sinx)x(非齐iy2e(qn(x)cosxrn(x)sinxxiy2xe(qn(x)cosxrn(x)sinx(nmax(i,j)次)

二、题型与解法 A.微分方程求解

1.求(3x2xyy)dx(x2xy)dy0222通解。

（xy2x2yx3c) 2.利用代换yucosx化简y''cosx2y'sinx3ycosxex并求通解。cos2xcosxex（u''4ue,yc1x2c2sinx5cosx） 13.设yy(x)是上凸连续曲线，(x,y)处曲率为，且过(0,1)处

21y'切线方程为y=x+1，求yy(x)及其极值。 解：y''y'10yln|cos(24x)|112ln2,ymax112ln2

第九部分 无穷级数

一、理论要求 1.收敛性判别

级数敛散性质与必要条件

常数项级数、几何级数、p级数敛散条件 正项级数的比较、比值、根式判别法 交错级数判别法

幂级数收敛半径、收敛区间与收敛域的求法

幂级数在收敛区间的基本性质（和函数连续、逐项微积分）

3.Fourier级数

Taylor与Maclaulin展开

了解Fourier级数概念与Dirichlet收敛定理 会求[l,l]的Fourier级数与[0,l]正余弦级数

再对上述知识点进行复习的时候一定要将相应知识点后面的习题认真求解

2.幂级数

补充

第十讲 总结

1.极限求解

变量替换（1作对数替换），洛必达法则，其他（重要极限，微积分性质，级数，等价小量替换） 1.lim数)

1nn[(xan)(x2an)...(x(n1)an)xa2 (几何级

22.导数与微分 3.一元函数积分2.lim(arccosx)1/xe/2 (对数替换)

x0x3.lim(2x)tan2

x14.lim(3xx1x6x)2

nnn15.lim(xa)na(xa)

xa(xa)21cos2xx2,x06.f(x)4,x0，求limf(x)

x0x0costdtx(x0)复合函数、隐函数、参数方程求导

1.[(a)x(b)a(xbbxa)]'

2.

yxarctanxsin(xy)0，求dy/dx

3.xetcost决定函数yy(x)，求dy

yetsint4.已知2x2ylny1，验证4xy2(2x2y1)y'0 5.ye2u,u133lnv,vxsinbx,求y'x

1.求函数I(x)x3t10t2t1dt在区间[0,1]上的最小值。（222.x12|x1|dx

3.（11x2)3/20dx

4.1x(1x)dx

5.dt

tt216.14x14x2dx

0）

4.多元函数微分

1.zf(x2y,exy)，求z'x,z'y

2.zz(x,y)由F(xzy,yzx)0给出，求证：xz'xyz'yzxy

3.求u(x,y)x2y22xy在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。

uxy24.usinxln(xy)，求6.证明zxnf(yx2

)满足xz'x2yz'ynz

7.求f(x,y)4x4yx2y2在D:x2y218内的最值。

5.多元函数积分

1.求证：div(ab)brotaarotb

2.I3.ID(4xy)dxdy,D:xy(xy)dxdy,D:xy2x222222y

D2y

4.改变积分次序dx10f(x,y)dy

5.I6.常微分方程

x2(Dy)dxdy,D:x2,y2x,xy1围域。

1.求1y2lnxdxdy1y2dx0通解。 2.求y''2y'5y2e3.求y''2y'5y6e23x通解。 通解。

x)dy0通解。

2x4.求(xyy)dx(xy5.求y''4y122(xcos2x),y'(0)y(0)0特解。

x6.求y''y4xe,y(0)0,,y'(0)1特解。

第二阶段（9月中旬——10月底）：本阶段重点突破真题，认真做每一道题，掌握考题的特点。针对真题再回到课本，将自己还没有彻底掌握的知识点再复习并掌握，在这个阶段最好能自己将真题做两遍，知道命题人要靠那些东西。

第三阶段（11月初——11月底）：本阶段主要讲我补充、整理的一些题认真

做几遍，要做的非常熟练；然后再将真题做一遍（即第三遍）。

第四阶段（12月初——12月底）：本阶段主要是查漏补缺。哪些知识点还不清楚重点突破，要对每一个知识点都熟透于心。做到胸有成竹；

第五阶段（元旦后——考试前）：本阶段主要有两个任务，1是要调整心态备战考试，而是要对基本概念和基本公式做一强化记忆，再放松的同时还要经常方悦课本和真题，以及其他的复习资料。可能越到最后就越感觉还有好多东西没有弄会，一定要放松调整心态。