判断周期函数

1. 函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。

2. 当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现

3. 假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期.

4. 1.概念的提出：

5. 将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。

6. 出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

7. “当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达.

8. 2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)

9. 概念的具体化：

10. 当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。

11. T=2kπ(k∈Z且k≠0)

12. 所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0)

13. 展示正、余弦函数的图象。

14. 周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。）

15. 强调定义中的“当x取定义域内的每一个值”

16. 令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2

17. 所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0

18. 所以T=0或T=-2x

19. 强调定义中的“非零”和“常数”。

20. 例:三角函数sin(x+T)=sinx

21. cos(x+T)=cosx中的T取2π

22. 3. 最小正周期的概念：

23. 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。

24. 对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。）

25. 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。

26. 4.例：求下列函数的周期：

27. （1）y=3cosx

28. 分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。）

29. （2）y=sin(x+π/4)

30. 分析略，说明在x后面的角也不影响周期。

31. （3）y=sin2x

32. 分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。）

33. （4） y=cos(x/2+π/4) （分析略）

34. （5）y=sin(ωx+φ) （分析略）

35. 结论：形如y=Asin(ωx+φ) R) 的函数的周期为T=(2π-φ)/ω0, x或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A

36. 周期函数性质：

37. （1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。

38. （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。

39. （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。

40. （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

41. （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）

42. （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。

43. （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。

44. 周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。

45. 性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周

期。

46. 性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。

47. 性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。

48. 2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。

49. 性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则 Z -（非零整数）。

50. 性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。

51. 注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期

52. ,函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。, 当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现 , 假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期., 1.概念的提出： , 将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。 , 出

示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 , “当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达. , 2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x) , 概念的具体化： , 当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。 , T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 展示正、余弦函数的图象。 , 周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。） , 强调定义中的“当x取定义域内的每一个值” , 令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2 , 所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0 , 所以T=0或T=-2x , 强调定义中的“非零”和“常数”。 , 例:三角函数sin(x+T)=sinx , cos(x+T)=cosx中的T取2π , 3. 最小正周期的概念： , 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。 , 对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。） , 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。 , 4.例：求下列函数的周期： , （1）y=3cosx , 分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。） , （2）y=sin(x+π/4) , 分析略，说明在x后面的角也不影响周期。 , （3）y=sin2x , 分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。） , （4） y=cos(x/2+π/4) 0,（分析略） , （5）y=sin(ωx+φ) （分析略） , 结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A R) 的函数的周期为T=(2π-φ)/ω, 周期函数性质：x , （1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。, （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为

任意非零整数）也是f(X)的周期。, （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。, （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。, （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）, （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。, （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。,周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。 ,性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。 ,性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。 ,性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。 ,2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。 ,性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则 Z -（非零整数）。 ,性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。 ,注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期,,函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。, 当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现 , 假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期., 1.概念的提出： , 将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。 , 出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 , “当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达. , 2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x) , 概念的具体化： , 当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。 , T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 所以正弦函

数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 展示正、余弦函数的图象。 , 周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。） , 强调定义中的“当x取定义域内的每一个值” , 令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2 , 所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0 , 所以T=0或T=-2x , 强调定义中的“非零”和“常数”。 , 例:三角函数sin(x+T)=sinx , cos(x+T)=cosx中的T取2π , 3. 最小正周期的概念： , 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。 , 对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。） , 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。 , 4.例：求下列函数的周期： , （1）y=3cosx , 分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。） , （2）y=sin(x+π/4) , 分析略，说明在x后面的角也不影响周期。 , （3）y=sin2x , 分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。） , （4） y=cos(x/2+π/4) 0,（分析略） , （5）y=sin(ωx+φ) （分析略） , 结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A R) 的函数的周期为T=(2π-φ)/ω, 周期函数性质：x , （1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。, （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。, （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。, （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。, （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）, （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。, （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。,周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T

称为此函数的周期。 ,性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。 ,性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。 ,性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。 ,2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。 ,性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则 Z -（非零整数）。 ,性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。 ,注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期,,函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。, 当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现 , 假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期., 1.概念的提出： , 将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。 , 出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 , “当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达. , 2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x) , 概念的具体化： , 当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。 , T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 展示正、余弦函数的图象。 , 周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。） , 强调定义中的“当x取定义域内的每一个值” , 令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2 , 所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0 , 所以T=0或T=-2x , 强调定义中的“非零”和“常数”。 , 例:三角函数sin(x+T)=sinx , cos(x+T)=cosx中的T取2π , 3. 最小正周期的概念： , 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么

这个最小正数叫f(x)的最小正周期。 , 对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。） , 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。 , 4.例：求下列函数的周期： , （1）y=3cosx , 分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。） , （2）y=sin(x+π/4) , 分析略，说明在x后面的角也不影响周期。 , （3）y=sin2x , 分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。） , （4） y=cos(x/2+π/4) 0,（分析略） , （5）y=sin(ωx+φ) （分析略） , 结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A R) 的函数的周期为T=(2π-φ)/ω, 周期函数性质：x , （1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。, （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。, （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。, （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。, （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）, （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。, （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。,周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。 ,性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。 ,性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。 ,性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。 ,2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。 ,性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意

一个周期，则 Z -（非零整数）。 ,性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。 ,注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期,,函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。, 当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现 , 假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期., 1.概念的提出： , 将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。 , 出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 , “当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达. , 2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x) , 概念的具体化： , 当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。 , T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 展示正、余弦函数的图象。 , 周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。） , 强调定义中的“当x取定义域内的每一个值” , 令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2 , 所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0 , 所以T=0或T=-2x , 强调定义中的“非零”和“常数”。 , 例:三角函数sin(x+T)=sinx , cos(x+T)=cosx中的T取2π , 3. 最小正周期的概念： , 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。 , 对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。） , 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。 , 4.例：求下列函数的周期： , （1）y=3cosx , 分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面

的系数和周期无关。） , （2）y=sin(x+π/4) , 分析略，说明在x后面的角也不影响周期。 , （3）y=sin2x , 分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。） , （4） y=cos(x/2+π/4) 0,（分析略） , （5）y=sin(ωx+φ) （分析略） , 结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A R) 的函数的周期为T=(2π-φ)/ω, 周期函数性质：x , （1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。, （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。, （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。, （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。, （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）, （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。, （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。,周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。 ,性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。 ,性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。 ,性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。 ,2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。 ,性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则 Z -（非零整数）。 ,性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。 ,注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期,,函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。, 当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现 , 假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期., 1.概念的提出： , 将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻

求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。 , 出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 , “当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达. , 2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x) , 概念的具体化： , 当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。 , T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 展示正、余弦函数的图象。 , 周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。） , 强调定义中的“当x取定义域内的每一个值” , 令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2 , 所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0 , 所以T=0或T=-2x , 强调定义中的“非零”和“常数”。 , 例:三角函数sin(x+T)=sinx , cos(x+T)=cosx中的T取2π , 3. 最小正周期的概念： , 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。 , 对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。） , 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。 , 4.例：求下列函数的周期： , （1）y=3cosx , 分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。） , （2）y=sin(x+π/4) , 分析略，说明在x后面的角也不影响周期。 , （3）y=sin2x , 分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。） , （4） y=cos(x/2+π/4) 0,（分析略） , （5）y=sin(ωx+φ) （分析略） , 结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A R) 的函数的周期为T=(2π-φ)/ω, 周期函数性质：x , （1）若T（≠0）是f

(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。, （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。, （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。, （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。, （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）, （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。, （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。,周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。 ,性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。 ,性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。 ,性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。 ,2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。 ,性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则 Z -（非零整数）。 ,性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。 ,注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期,,函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。, 当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现 , 假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期., 1.概念的提出： , 将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。 , 出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 , “当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达. , 2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x) , 概念的具体化： , 当定义

中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。 , T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 展示正、余弦函数的图象。 , 周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。） , 强调定义中的“当x取定义域内的每一个值” , 令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2 , 所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0 , 所以T=0或T=-2x , 强调定义中的“非零”和“常数”。 , 例:三角函数sin(x+T)=sinx , cos(x+T)=cosx中的T取2π , 3. 最小正周期的概念： , 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。 , 对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。） , 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。 , 4.例：求下列函数的周期： , （1）y=3cosx , 分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。） , （2）y=sin(x+π/4) , 分析略，说明在x后面的角也不影响周期。 , （3）y=sin2x , 分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。） , （4） y=cos(x/2+π/4) 0,（分析略） , （5）y=sin(ωx+φ) （分析略） , 结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A R) 的函数的周期为T=(2π-φ)/ω, 周期函数性质：x , （1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。, （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。, （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。, （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。, （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）, （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。, （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。,周期函数的定义：对

于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。 ,性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。 ,性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。 ,性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。 ,2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。 ,性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则 Z -（非零整数）。 ,性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。 ,注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期,,函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。, 当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现 , 假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期., 1.概念的提出： , 将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。 , 出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 , “当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达. , 2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x) , 概念的具体化： , 当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。 , T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 展示正、余弦函数的图象。 , 周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。） , 强调定义中的“当x取定义域内的每一个值” , 令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2 , 所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0 , 所以T=0或T=-2x , 强调定义中的“非零”和“常数”。 , 例:三角函数sin(x+T)=sinx , cos(x+T)=cosx中的T取2π , 3. 最小

正周期的概念： , 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。 , 对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。） , 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。 , 4.例：求下列函数的周期： , （1）y=3cosx , 分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。） , （2）y=sin(x+π/4) , 分析略，说明在x后面的角也不影响周期。 , （3）y=sin2x , 分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。） , （4） y=cos(x/2+π/4) 0,（分析略） , （5）y=sin(ωx+φ) （分析略） , 结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A R) 的函数的周期为T=(2π-φ)/ω, 周期函数性质：x , （1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。, （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。, （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。, （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。, （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）, （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。, （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。,周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。 ,性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。 ,性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。 ,性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。 ,2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)

的最小正周期，记作T※。 ,性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则 Z -（非零整数）。 ,性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。 ,注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期,,函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。, 当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现 , 假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期., 1.概念的提出： , 将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。 , 出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 , “当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达. , 2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x) , 概念的具体化： , 当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。 , T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 展示正、余弦函数的图象。 , 周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。） , 强调定义中的“当x取定义域内的每一个值” , 令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2 , 所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0 , 所以T=0或T=-2x , 强调定义中的“非零”和“常数”。 , 例:三角函数sin(x+T)=sinx , cos(x+T)=cosx中的T取2π , 3. 最小正周期的概念： , 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。 , 对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。） , 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。 , 4.例：求下列函数的周期： , （1）y=3cosx , 分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复

出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。） , （2）y=sin(x+π/4) , 分析略，说明在x后面的角也不影响周期。 , （3）y=sin2x , 分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。） , （4） y=cos(x/2+π/4) 0,（分析略） , （5）y=sin(ωx+φ) （分析略） , 结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A R) 的函数的周期为T=(2π-φ)/ω, 周期函数性质：x , （1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。, （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。, （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。, （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。, （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）, （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。, （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。,周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。 ,性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。 ,性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。 ,性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。 ,2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。 ,性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则 Z -（非零整数）。 ,性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。 ,注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期,,函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。, 当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现 , 假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期., 1.概念的提出： , 将日历中

“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。 , 出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 , “当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达. , 2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x) , 概念的具体化： , 当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。 , T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 展示正、余弦函数的图象。 , 周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。） , 强调定义中的“当x取定义域内的每一个值” , 令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2 , 所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0 , 所以T=0或T=-2x , 强调定义中的“非零”和“常数”。 , 例:三角函数sin(x+T)=sinx , cos(x+T)=cosx中的T取2π , 3. 最小正周期的概念： , 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。 , 对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。） , 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。 , 4.例：求下列函数的周期： , （1）y=3cosx , 分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。） , （2）y=sin(x+π/4) , 分析略，说明在x后面的角也不影响周期。 , （3）y=sin2x , 分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。） , （4） y=cos(x/2+π/4) 0,（分析略） , （5）y=sin(ωx+φ) （分析略） , 结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常

数,A R) 的函数的周期为T=(2π-φ)/ω, 周期函数性质：x , （1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。, （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。, （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。, （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。, （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）, （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。, （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。,周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。 ,性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。 ,性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。 ,性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。 ,2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。 ,性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则 Z -（非零整数）。 ,性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。 ,注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期,,函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。, 当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现 , 假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期., 1.概念的提出： , 将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。 , 出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 , “当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达. , 2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的

常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x) , 概念的具体化： , 当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。 , T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 展示正、余弦函数的图象。 , 周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。） , 强调定义中的“当x取定义域内的每一个值” , 令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2 , 所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0 , 所以T=0或T=-2x , 强调定义中的“非零”和“常数”。 , 例:三角函数sin(x+T)=sinx , cos(x+T)=cosx中的T取2π , 3. 最小正周期的概念： , 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。 , 对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。） , 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。 , 4.例：求下列函数的周期： , （1）y=3cosx , 分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。） , （2）y=sin(x+π/4) , 分析略，说明在x后面的角也不影响周期。 , （3）y=sin2x , 分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。） , （4） y=cos(x/2+π/4) 0,（分析略） , （5）y=sin(ωx+φ) （分析略） , 结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A R) 的函数的周期为T=(2π-φ)/ω, 周期函数性质：x , （1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。, （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。, （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。, （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。, （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）, （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正

周期。, （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。,周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。 ,性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。 ,性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。 ,性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。 ,2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。 ,性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则 Z -（非零整数）。 ,性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。 ,注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期,,函数周期性的关键的几个字“有规律地重复出现”。, 当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现 , 假如函数f(x)=f(x+T)(或f(x+a)=f(x-b)其中a+b=T),则说T是函数的一个周期.T的整数倍也是函数的一个周期., 1.概念的提出： , 将日历中“星期”随日期变化的周期性的出现和正弦函数值随角的变化周期性的出现进行对比，寻求出两者实质：当“自变量”增大某一个值时，“函数值”有规律的重复出现。 , 出示函数周期性的定义：对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。 , “当自变量增大某一个值时，函数值有规律的重复出现”这句话用数学语言的表达. , 2.定义:对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x) , 概念的具体化： , 当定义中的f(x)=sinx或cosx时，思考T的取值。 , T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 所以正弦函数和余弦函数均为周期函数，且周期为 T=2kπ(k∈Z且k≠0) , 展示正、余弦函数的图象。 , 周期函数的图象的形状随x的变化周期性的变化。（用课件加以说明。） , 强调定义中的“当x取定义域内的每一个值” , 令(x+T)2=x2,则x2+2xT+T2=x2 , 所以2xT+T2=0, 即T(2x+T)=0 , 所以T=0或T=-2x , 强调定义中的“非零”和“常

数”。 , 例:三角函数sin(x+T)=sinx , cos(x+T)=cosx中的T取2π , 3. 最小正周期的概念： , 对于一个函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期。 , 对于正弦函数y=sinx, 自变量x只要并且至少增加到x+2π时，函数值才能重复取得。所以正弦函数和余弦函数的最小正周期是2π。（说明：如果以后无特殊说明，周期指的就是最小正周期。） , 在函数图象上，最小正周期是函数图象重复出现需要的最短距离。 , 4.例：求下列函数的周期： , （1）y=3cosx , 分析：只要cosx中的自变量只要且至少增加到x+2π时，函数cosx的值才重复出现，因而函数3cosx的值也才重复出现，因此y=3cosx的周期是2π．（说明cosx前面的系数和周期无关。） , （2）y=sin(x+π/4) , 分析略，说明在x后面的角也不影响周期。 , （3）y=sin2x , 分析：因为sin2(x+π)=sin(2x+2π)=sin2x, 所以自变量x只要且至少增加到x+π时,函数值就重复出现。所以原函数的周期为π。（说明x的系数对函数的周期有影响。） , （4） y=cos(x/2+π/4) 0,（分析略） , （5）y=sin(ωx+φ) （分析略） , 结论：形如y=Asin(ωx+φ) 或y=Acos(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A R) 的函数的周期为T=(2π-φ)/ω, 周期函数性质：x , （1）若T（≠0）是f(X)的周期，则-T也是f(X)的周期。, （2）若T（≠0）是f(X)的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X)的周期。, （3）若T1与T2都是f(X)的周期，则T1±T2也是f(X)的周期。, （4）若f(X)有最小正周期T*，那么f(X)的任何正周期T一定是T*的正整数倍。, （5）T*是f(X)的最小正周期，且T1、T2分别是f(X)的两个周期，则 （Q是有理数集）, （6）若T1、T2是f(X)的两个周期，且 是无理数，则f(X)不存在最小正周期。, （7）周期函数f(X)的定义域M必定是双方无界的集合。,周期函数的定义：对于函数y=f(x)，若存在常数T≠0，使得f(x+T) = f(x)，则函数y= f(x)称为周期函数，T称为此函数的周期。 ,性质1：若T是函数y=f(x)的任意一个周期，则T的相反数（-T）也是f(x)的周期。 ,性质2：若T是函数f(x)的周期，则对于任意的整数n(n≠0)，nT也是f(x)的周期。 ,性质3：若T1、T2都为函数f(x)的周期，且T1±T2≠0，则T1±T2也是f(x)的周期。 ,2、定义：在函数f(x)的周期的集合中，我们称其正数者为函数f(x)的正周期，

称其负数者为函数f(x)的负周期。若所有正周期中存在最小的一个，则我们称之为函数f(x)的最小正周期，记作T※。 ,性质4：若T※为函数f(x)的最小正周期，T为函数f(x)的任意一个周期，则 Z -（非零整数）。 ,性质5：若函数f(x)存在最小正周期T※，且T1、T2分别为函数f(x)的任意两个周期，则 为有理数。 ,注意：常值函数是周期函数，但没有最小正周期,