专题07 圆锥曲线的最值(范围)问题(原卷版)

圆锥曲线的最值（范围）问题，因考查知识容量比较大，分析能力要求高，区分度高成为高考命题老师青睐的一个热点。

1利用圆锥曲线的定义和几何关系解决；○2利关于圆锥曲线最值（范围）问题处理常见有两种方法：○用基本不等式或函数最值问题解决。

方法1、利用定义法和几何关系求最值

解题技巧:遇见椭圆和双曲线中的最值问题常把到左焦点的距离转化为右焦点，反之也可以；遇见抛物线中的最值常把到焦点的距离转化为到准线的距离，反之也可以。 经典例题：

例1.（2020年广东省深圳四校联考）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足1的2阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q

1在直线x=-1上的射影为H，则PBPQQH的最小值为___________.

2

x2y2例2、（2020年成都市外国语实验学校高三二诊模拟12题）已知点P在离心率为2的双曲线221的

ab左支上，A(0,43)，F是双曲线的右焦点，若PAF周长的最小值是20，则此时PAF的面积为（ ）

A．63

B．103 C．143 D．18

x2y23）B0）P为椭圆上一点，1内有两点A例3、（2021江苏高三期中）已知椭圆（1，，（3，，则PAPB2516的最大值为______.

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x22例4.（2018年成都市高三模拟16题）已知F是双曲线C:24y1a0的右顶点到其一条渐近线的

a距离等于

3，抛物线E:y22px(p0)焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线上的动点M到直线:4l1:4x3y60,l2:x1的距离之和的最小值为 ．

方法2、利用均值不等式或函数最值求最值(范围)

方法技巧:合理引入变量（长度，角度，斜率等）根据已知条件建立函数关系求最值（范围）或利用均值不等式求最值（范围）。

例1．（2017新课标Ⅰ12题 ）已知F为抛物线C：y4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，

2直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB||DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10

例2、(山东省日照市2019届高三三模)在等腰梯形ABCD 中，ABCD且AB2,AD1,CD2x，其中x0,1，以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对任意x0,1，不等式te1e2恒成立，则t的最大值为（ ） A．3 B．5 C．2 D．2

x2y2x2y2例3、已知椭圆C1:221a1b10与双曲线C2:221a20,b20有相同的焦点F1，F2，点

a1b1a2b22e1，e2分别是C1和C2的离心率，若PF1PF2，则4e12e2的最小值为（ ） P是曲线C1与C2的一个公共点，

9A．

2

B．4

5C．

2D．9

2 / 9

例4．（2018年衡水中学12题）已知过抛物线y22pxp0的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且AF3FB，抛物线的准线l与x轴交于C，AA1l于点A1，且四边形AA1CF的面积为63，过K1,0的直线l'交抛物线于M，N两点，且KMKN1,2，点G为线段MN的垂直平分线与x轴的交点，则点G的横坐标x0的取值范围为（ ） 13．3, 49B．2,

49C．3,

211D．,72

x2y21交于两个不同的点A例5．（2019成都七中二诊模拟12题）已知过点P（0，2）的直线l与椭圆2PA21（x1，y1）、B（x2，y2），记，则的取值范围是（ ）

PBA.（2，+∞） B.（2，

例6．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2线的离心率乘积的最小值为___________.

1010） C.（2，4） D. （2，] 334，则椭圆和双曲

方法3、其他类型

技巧方法：利用题中的代数和几何关系（如角度、向量、斜率等）或判别式等，建立不等式构建最值或范

围。

x2y21长轴的两个端点，若C上存在点M满足例1、（2017新课标1卷12题）设A，B是椭圆C:3mAMB120，则m的取值范围是（ ）. A.

0,19, B.0,39, C.0,14, D.0,34,

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y2例2．（2018衡水中学12题）已知双曲线C:x21b0的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线Cb2上的任意一点，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，若四边形PAOB（O为坐标原点）的面积为2，且PF1PF20，则点P的横坐标的取值范围为（ ） 17,．3171717217,,, B． C．3333217217217, D．33,3 

例3．（2020年绵阳市南山中学高三二诊模拟12题）已知点A(3,62)是抛物线C：y2px(p0)准2线上的一点，点F是C的焦点，点P在C上且满足PFmPA，当m取最小值时，点P恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为 A．3

例4．（2020·全国高三月考）已知抛物线yB．

3 2C．21

D．

21 212x的焦点F，直线l过点F且与抛物线相交于M，N两点，4M，N两点在y轴上的投影分别为C，D，若|CD|83，则直线l斜率的最大值是（ ）

A．3

例5．（2020·全国高三专题练习）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是

B．2

C．3

D．33 y2x21,y1,10,在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则

清洁钢球的最大半径为（

）

A．1 B．2 C．3 D．2.5

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例6．（2020·四川成都市·树德中学高三月考）已知圆C:(x3)(y4)4和两点A(m,0)，B(m,0).若圆C上存在点P，使得APB90，则m的最大值为（ ） A．8

玩转练习

1.（2020年河北省高三模拟10题）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为

B．7

C．6

D．5

22x2y21，若将军从点A3,0处出发，河岸线所在直线方程为xy4，并假定将军只要到达军营所

在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ A.171

B.172

C.17

）

D.32

x2y22、（2019年衡水中学高三模拟）已知双曲线221(ab0)的右焦点为F，虚轴的上端点为B，Pab为左支上的一个动点，若△PBF周长的最小值等于实轴长的3倍，则该双曲线的离心率为（ ）

A．10 2B．10 5C．10 D．2

x2y23、（2019年湖南省郴州市检测12题）已知椭圆M:221ab0的左、右焦点分别为F1、F2,

ab点A是椭圆M与圆C:xy22b22421m在第一象限的交点, 且点A到F2的距离等于m.若椭圆93M上一动点到点F1与到点C的距离之差的最大值为2am,则椭圆M的离心率为

A．

2311 B． C． D．

223224、已知点R0,2，曲线C:y4px，若△RMNp0，直线ym (m0且m2)与曲线C交于M,N两点

周长 的最小值为2，则p的值为( )

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A.8 B.6 C.4 D.2

是它们的一个公共点，且

5．（2018年成都市高三诊断改编）已知是椭圆和双曲线的公共焦点，

，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）

A． B． C． D．

6、（2016年四川省凉山州高三二诊12题）已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2A．3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）

43 3B．23 3C．43 D．23 y21的右焦点，过点F2的直线交E的7．（2019届重庆市第一中学月考12题）已知F2是双曲线E:x22右支于不同两点A,B，过点F2且垂直于直线AB的直线交y轴于点P，则

PF2的取值范围是（ ） ABA．0,23230,,1 B． C． D． ,14444

228、（2014年新课标16题）设点Mx0,1，若在圆O：xy1上存在点N，使得OMN45，则

x0的取值范围是 .

x2y2

9．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)和圆C′：x2＋y2＝b2，M是椭圆C上一动点，过M向圆作的两条切线MA，

abπ

MB，切点为A，B.若存在点M使∠AMB＝，则椭圆C的离心率e的取值范围是( )

3A.0，



313313 B．， C.，1 D．， 222222

x2y29．设A1，A2是椭圆221上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点P，使得tanA1PA226，ab则椭圆离心率的取值范围是（ ）.

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（A）0,3 (B) 2333 (C) (D) 0,,1,13

23

x2y210．已知椭圆C：221ab0的左、右焦点分别为F1,F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，

ab使得△F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）. A. ,12 B. 331,1 C. 22,1 D. 3111,,1 32222xy11、在直角坐标系xOy中，F1、F2分别是双曲线C:21a0,b0的左、右焦点，点Px0,y02ab是双曲线右支上的一点，满足PF1PF2离心率取值范围为（ ）

0，若点P的横坐标取值范围是x0a,a，则双曲线C的

43A．,

43169B．,

724732C．7,2

4552D．5,3

12、阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值(0,1)的动点的轨迹.已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA2sinB，acosBbcosA2，则ABC面积的最大值为（ ） A．2

B．3 C．

4 3D．

5 3x2y21的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任意一点，若13．直线x2与双曲线

169OPaOAbOB（a,bR，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）

22A. ab2 B. ab4 C. ab2

D. ab2

14．（2020·广东高三月考）已知圆C1:x3y222221和焦点为F的抛物线C2:y8x,N是C1上一点，M是C2上，当点M在M1时，MFMN取得最小值，当点M在M2时，MFMN取得最大值，则M1M2

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A．22 B．32 C．42 D．17

x215．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆的方程为2y21a1，上顶点为A，左顶点为B，设P为

a椭圆上一点，则PAB面积的最大值为21.若已知M3,0,N3,0，点Q为椭圆上任意一点，

14则的最小值为（ ） QNQMA．2

B．322 C．3

D．

9 4x2y216．（2020·辽宁抚顺市·高三二模（理））已知双曲线C:221a0,b0的虚轴的一个顶点为

abN0,1，左顶点为M，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，点P为线段MN上的动点，当PF1PF2取得最小值和最大值时，△PF1F2的面积分别为S1，S2，若S22S1，则双曲线C的离心率为（ ）． A．2

B．22 C．23 D．25 22217．（2020·四川泸州市·泸县五中高三月考）已知抛物线C1:y8x，圆C2:(x2)y1，若点P,Q分别在C1,C2上运动，且设点M(4,0)，则

|PM|

的最小值为（ ） |PQ|

C．4

D．-4

A．

3 5B．

4 522x2y21上，F(3,0)，则PMPF的最小18、已知点M在圆(x6)(y4)1上，点P在椭圆2516值为__________．

x2y219、已知双曲线C:221a0,b0的左、右焦点分别为F1、F2，实轴长为4，渐近线方程为

ab1yx,MF1MF24，点N在圆x2y24y0上，则MNMF1的最小值为( )

2A．27 B．5

C．6

D．7

20．（2019年成都树德中学半期12题）如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，且过点(2,4)，圆C2：x2＋y2－4x＋3＝0，过圆心C2的直线l与抛物线分别交于P，Q，与圆分别交于M，N，则|PN|＋4|QM|

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的最小值为( )

A．23 B．42 C．12 D．52

21．（2020年湖南沙郡中学5月模拟）已知y4x抛物线，焦点记为F，过点F作直线l交抛物线于A,B两点，则AF22的最小值为（ ） BFA．222 B．

53 C．32 D．232 622222．过曲线y2|xa|xa上的点P向圆O：xy1作两条切线PA,PB，切点为A,B,且

APB600，若这样的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是 ．

x2y21（ab0）的一个焦点是F1,0， O23. （2020年云南省昆明市高三模拟）已知椭圆C:43为坐标原点，过点H3,0的直线交椭圆C于点A,B.设P为椭圆上一点，且满足OAOBtOP，当

PAPB3，则实数t2的取值范围 .

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