2020年数学中考重难点突破之二次函数的实际应用题

1.某企业推销自己的品牌，设计了一款篮球工艺品投放市场进行试销.根据市场调查，这种工艺品一段时间内每周的销售量y（个）与销售单价x（元）之间的对应关系如图所示（x为大于6的整数）.

（1）试判断y与x的函数关系，并求出y关于x的函数表达式；

（2）已知篮球工艺品的进价为10元/个，按照上述销售规律，当销售单价x定为多少时，试销该工艺品每周获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？

（3）某体育超市每周购进该款篮球工艺品的进货成本不超过1000元，要想每周获得的利润最大，试确定该工艺品的单价（规定取整数），并求出此时每周所获得的最大利润.

第1题图

解：（1）由题图可知，y是x的一次函数. 设此一次函数表达式为y=kx+b， 把点（10，300），（12，240）代入，

10kb300k30 得，解得，

12kb240b600 ∴y关于x的函数表达式为y=-30x+600； （2）由题意可得：

w=(x-10)(-30x+600)=-30x2+900x-6000=-30(x-15)2+750， ∵-30<0，

∴当x=15时，w有最大值750，

即当销售单价定为15元时，试销该工艺品每周获得的利润最大，最大利润为750元；

1

（3）由题意得：10(-30x+600)≤1000，

50

解得x≥3，

由（2）知，w=-30(x-15)2+750的函数图象开口向下，对称轴为直线x=15， 50

∴当x≥3时，w随x的增大而减小， 又∵x取整数，

∴当x=17时，w最大，且w最大=-30(17-15)2+750=630，

即该工艺品的单价定为17元时，每周获得的利润最大，最大利润为630元.

2.某公司销售一种进价为20元/个的计算器，销售过程中的其他开支（不含进价）总计40万元，其销售量y（万个）与销售价格x（元/个）的变化如下表： 销售价格x（元/个） 30≤x≤60 60（2）求出该公司销售这种计算器的净得利润w（万元）与销售价格（元/个）的函数关系式； （3）销售价格定为多少元时，该公司获得的利润最大？最大利润是多少？ 1

解：（1）根据表格中数据可得，当y=2.5时，代入y=- 10x+8，得x=55， 120

当y=2.5时，代入y=x，得x=48（不合题意，舍去）， ∴当销售量为2.5万个时，销售价格为55元/个； 1

（2）根据题意得，当30≤x≤60时，y=- 10x+8，

111

∴w=(x-20)y-40=(x-20)(- 10x+8)-40=- 10x2+10x-200=- 10(x-50)2+50； 120

当601202400

∴w=(x-20)y-40=(x-20)·x -40=- x+80.

2

12（x50）50(30x60)10综上可得，w=；

240080(60x80)x1

（3）当30≤x≤60时，w=- 10(x-50)2+50， ∴当x=50时，w最大=50； 2400

当60综上可得，当销售价格定为50元/个或80元/个时，该公司获得的利润最大，最大利润为50万元.

3..广西某特产批发商场销售罗汉果，若每斤盈利10元，每天可售出500斤，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每斤涨价1元，日销售量将减少20斤.

（1）现该商场要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到优惠，那么每斤罗汉果应涨价多少元？

（2）若该商场单纯从经济角度考虑，当每斤罗汉果涨价多少元时，商场每天获得的利润最大？最大利润是多少？

解:（1）设每斤罗汉果应涨价x元，由题意得， （10＋x）（500－20x）=6000， 解得x=5或x=10， 又∵要使顾客得到优惠， ∴x=5，

答:每斤罗汉果应涨价5元；

（2）设每斤罗汉果涨价x元时，商场每天获得的利润为y元，由题意得， y=（10＋x）（500－20x）=－20x2＋300x＋5000=－20（x－7.5）2＋6125，

3

∴当x=7.5时，y取得最大值，最大值为6125元.

答:若该商场单纯从经济角度考虑，每斤罗汉果涨价7.5元时，商场每天获得利润最大，最大利润为6125元

类型二 几何图形问题

4.某市准备在一公园门口做装饰:如图，在一块正方形装饰盘ABCD上摆三种不同类型的花，即在正方形EFCG部分摆甲型花，在△ABE部分摆乙型花，其余部分摆丙型花，已知甲、乙、丙三种类型的花每平方米的价格分别为60元、80元、40元.

（1）如果装饰盘的边长为2米，FC=1米，则按要求完成该装饰盘的费用为多少元； （2）如果装饰盘的边长为1米，求按要求完成该装饰盘的最少费用

第4题图

解:（1）由题意可知，S正方形EFCG=12=1平方米，S△ABE=×2×1=1平方米， S其余部分=S正方形ABCDS正方形EFCGS△ABE=2211=2平方米. 故按要求完成该装饰的费用为1×60＋1×80＋2×40=220（元）； （2）如解图，延长GE交AB于点M，则EM⊥AB. 设EG=x米，则EM=（1－x）米，

∴S正方形EFGE=x2平方米，S△ABE=（1－x）平方米，

4

S其余部分=1－x2－（1－x）=（－x2＋x＋）平方米， 设按要求完成该装饰盘的费用为y元，

1111则y=60x2＋80×（1－x）＋40（－x2＋x＋）=20x2－20x＋60=20（x－）2＋55，

2222∵20>0 ∴当x=

1 时，y有最小值，最小值为55， 2答:按要求完成该装饰盘的最少费用为55元.

第4题解图

5.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的一个135°的角（如图，即∠MON=135°）两边为边，用总长为120 m的围网围成了①、②、③三块区域，其中区域①为直角三角形，区域②、③均为矩形.

（1）若①、②、③这三块区域的面积相等，求OB的长；

（2）设OB=x，四边形OBDG的面积为y m2，求y与x之间的函数关系式，并注明自变量的取值范围；

（3）x取何值时，y有最大值？最大值是多少？

第5题图

解：（1）由题意知，∠MON=135°，∠EOB=∠D=∠DBO=90°，

5

∴∠EGO=∠EOG=45°， ∴EG=EO=DB，DE=FC=OB，

12

设OB=CF=DE=x，则GE=OE=BD=3(120-2x)=40- 3x. ∵①②③这三块区域的面积相等，

1212

∴2(40- 3x)2=2×(40- 3x)x，解得x=24或60（舍去）， ∴OB=24 m；

2xx40x3(402x)=- 4x2+40x+800（093234404

（3）y=- 9x2+3x+800=- 9(x-15)2+900. ∴当x=15时，y有最大值，最大值为900 m2.

类型三 抛物线型问题

6.如图①，是安徽省著名的彩虹桥，桥面的截面图可近似地看成一条抛物线.（如图②）已知桥面在拱桥之间的长度 CD为40米，桥面CD距拱形支撑的最高点的距离AB为10米. （1）求该抛物线的解析式；

（2）小王准备在桥面M处竖直搭建一块广告牌，M为BC的中点，广告牌与拱形的交点为N，为了广告效果，规定广告牌的最高点P距离N点不得少于1.1米，求广告牌PM的最低高度.

图① 图②

第6题图

解：（1）如解图，以A为坐标原点，过点A的水平线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面

6

直角坐标系，

由题意知，点C（-20，-10），点D（20，-10）， 设该抛物线的解析式为y=ax2， 1

将点D的坐标代入，得a=- 40，

1

∴该抛物线的解析式为y=- 40x2（-20≤x≤20）；

第5题解图

第6题解图

（2）∵M为BC中点，∴设点N的坐标为（-10，k）， 1

则k=- 40×(-10)2=-2.5， ∴MN=10+k=7.5，

∴PM=MN+PN≥7.5+1.1=8.6， ∴广告牌PM的最低高度为8.6米.

7.某中学阳光体育跳大绳规定：2名同学甩绳，5名同学跳绳，甩绳的形状可看作抛物线.如图，以O为坐标原点，OA所在直线为y轴，OD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，正在甩绳的甲乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0.9米，点C为抛物线的最低点，且在x轴上，5名同学在OD之间站立. （1）求该抛物线的解析式；

（2）如果小华站在OD之间，且离原点O的距离为2米，他至少跳起多少米，才能顺利通过？ （3）若小刚的连续弹跳高度为0.4米，作为一名体育老师，应安排他在哪个位置才能顺利通过？

7

第7题图

解：（1）由题意，设抛物线的解析式为y=a(x-3)2， 将点A（0，0.9）代入，得0.9=a(x-3)2，解得a=0.1， ∴y=0.1(x-3)2，即y=0.1x2-0.6x+0.9； （2）当x=2时，y=0.1×(2-3)2=0.1， ∴小华至少跳起0.1米；

（3）当y=0.4时，0.1(x-3)2=0.4，解得x1=1，x2=5， ∴可安排他距离O点1米至5米范围内.

8.某官兵在一次演习中，在山脚下向山坡上的一据点进行打击，假设炮弹的运行路线为抛物线，且当炮口方向一定时，炮弹的飞行路线不变，即抛物线形状不变.经多次校正后发现炮弹水平飞行150m时达到最大高度为225m；斜坡的坡度i=1:2.

（1）若以水平地面所在直线为x轴，炮弹发射地为原点，竖直向上方向为y轴建立坐标系，如图所示，求炮弹飞行路线的抛物线解析式及斜坡所在的直线解析式； （2）求炮弹落地点A在山坡上的位置；

（3）现要想命中高出A点竖直方向3m的山坡上的B点，有人认为只需把炮沿竖直方向架高3m而炮口方向不变即可，这种说法正确吗？请说明理由.

第8题图

8

解:（1）由题意，抛物线顶点坐标为（150，225），可设抛物线解析式为:y=a（x－150）2＋225（a≠0），

把（0，0）代入得:0=a（0－150）2＋225， 解得:a= -

1， 1001

∴抛物线的解析式为:y=－100（x－150）2＋225.

设直线的解析式为y=kx（k≠0），由题意把（2m，m）代入得:2mk=m， 1∴k=2，

1

∴直线的解析式为:y=2x； （2）根据题意联立方程组得

1y－(x－150)2＋225100， y1x2x1=0解得 ，

y1=0x2=250 y2=125∴A点坐标为（250，125）； （3）这种说法不正确.

12

理由如下:设大炮向上升高b米，则由题意可得抛物线解析式为y＝－100（x－150）＋2251

＋b，点B在竖直方向上比A点高3m，即B点的纵坐标为128 m，将128代入y＝2x中，得点B的横坐标为256，即B点坐标为（256，128），

11x=25622

把代入y＝－100（x－150）＋225＋b得: 128＝－100（256－150）＋225＋b，b≈15.36≠3， y=128所以上述说法错误.

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