2019-2020学年河北省唐山市第一中学高一上学期期末数学试题(解析版)

试题

一、单选题

1．设全集UR，Axx3x10，Bxx2，则CUAB（ ）A．x1x2 【答案】A

【解析】化简集合Axx3或x1，根据集合的交集、补集运算即可求解. 【详解】

B．x1x2

C．xx2

D．xx1

Qx3x10, x3或x1

即Axx3或x1，

CUA[1,3]，

CUABx1x2

故选：A 【点睛】

本题主要考查了解一元二次不等式，集合的交集，补集，属于容易题.

x2．函数fx2log2x3的零点所在区间( )

A．0,1 【答案】B

B．1,2 C．2,3 D．3,4

【解析】通过计算x1，x2的函数，并判断符号，由零点存在性定理，即可得到答案． 【详解】

由题意，可得函数在定义域上为增函数，f12log21310，

f222log2235320，

所以f1f20，根据零点存在性定理，fx的零点所在区间为1,2 故选B．

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【点睛】

本题考查了函数零点的判定定理的应用，其中解答中准去计算f1,f2的值，合理利用零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 3．函数yx2(a2)x在区间(4,)上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A．a2 【答案】D

【解析】求出抛物线的对称轴，由题意需区间在对称轴的右侧，列出关于a的不等式，即可求出结论. 【详解】

B．a2

C．a6

D．a6

2a， 22a4， 函数在区间(4,)上是增函数，所以2函数yx2(a2)x的对称轴方程为x解得a6. 故选:D. 【点睛】

本题考查二次函数的单调性，对于常用的简单函数单调性要熟练掌握，属于基础题. 4．若扇形的圆心角120，弦长AB12cm，则弧长l（ ）cm A．43 3B．83 3C．

4 3D．

8 3【答案】B

【解析】由弦长和圆心角，求出扇形半径，根据扇形弧长公式，即可求解. 【详解】

设扇形的半径为r，依题意r643，

sin600弧长l故选:B.

283r. 33【点睛】

本题考查扇形的弧长，要注意圆心角要化为弧度角，属于基础题. 5．将函数ysin2x的图象沿轴向左平移则的一个可能取值为( )

个单位后，得到一个偶函数的图象，8第 2 页 共 18 页

A． B． C．0

D． 4【答案】B

【解析】得到的偶函数解析式为ysin2xsin2x，显然844.

【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，

sin2x选择合适的值通过诱导公式把sin2x转化为余弦

44函数是考查的最终目的. 6．已知函数fxlog2xx,x0若fa＝3，则f(a－2)＝( ) x241,x0B．3 D．－

15 1663C．－或3

64A．－【答案】A

15或3 16【解析】根据分段函数，对a进行分类讨论，求出a的值，最后求出f(a-2)的值. 【详解】

当a0时，若fa＝3，则log2aa3a2；当a0时，若fa＝3，则

4a213a3，不满足a0舍去．于是，可得a2.

故f(a-2)＝f04【点睛】

本题考查了已知分段函数的函数值求自变量问题，考查了数学运算能力

02115.故本题选A. 16uuuruuuruuuruuuruuur 7．在VABC中，，为的中点，若，则（ ）AOABACOAD3CDBDA．3 4B．3 16C．

3 4D．

3 16【答案】B

uuur1uuuruuuruuuruuur【解析】由已知得AOAD，3CDBD转化为以A为起点的向量关系，将AD用

2uuuruuurruuuruuuruuu向量AB,AC表示，进而AO用AB,AC表示，求出,，即可求出结论.

【详解】

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uuur1uuurr3uuur1uuuO为AD的中点，AOAD=ABAC，

244133,,.

4416故选:B. 【点睛】

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr3uuur1uuu3CDBD,3AD3ACADAB,ADABAC，

22本题考查向量基本定理，向量的线性运算，属于基础题. 8．已知定义在R上的奇函数fx满足

f(x2)fx0，且当x[0,1]时，

fx=log2(x1)，则下列不等式正确的是( )

A．C．

flog27f(5)f6 f(5)flog27f6

B．D．

flog27f6f(5) f(5)f6flog27

【答案】C

【解析】先通过已知条件推出函数的最小正周期T4，然后利用函数fx的性质计

算或估计flog27、f6、f(5)的值或范围即可比较大小. 【详解】 由

f(x+2)+fx=0，得f(x+2)=fx，所以f(x+4)fx，fx的周期

T4.又f(x)fx，且有f2=f0=0，

所以

f(5)=f5=f1=log22=1，f6f20.

71， 4又2log273，所以0log2721，即0log2因为x[0,1]时，

fxlog2(x1)[0,1]，

777)log2(log21)log2(log2) 442777又1log22，所以0log2(log2)1，所以1log2(log2)0，

222所以flog27f(log272)f(log2所以

f(5)f(log27)f(6).

故选：C. 【点睛】

本题主要考查根据已知条件推导抽象函数的周期性并利用函数的奇偶性、周期性等性质，再结合函数在指定区间的解析式比较函数值的大小问题，试题综合性强

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9．若sin2值是（） A．

3510]，则的，sin()，且[,]，[,421059 4B．

7 4C．

57 或44D．

95 或

44【答案】B

【解析】依题意，可求得[，]，2[，]，进一步可知[，]，

2242于是可求得

cos()与cos2的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答

案． 【详解】 Q[4，]，[，

3]， 22[，2]，

2又0sin22(51， 5255，)，即(，)，

1262(2，

13)， 12cos21sin2225； 5又sin()(10， 102，)，

310， 1025310510()510510cos()1sin2()cos()cos[2()]cos2cos()sin2sin()2 2又(53，)，[，]， 122217()(，2)，

127. 4第 5 页 共 18 页

故选B 【点睛】

本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转

化思想与综合运算能力，属于难题．

x 10．已知函数f(x)ex2,且f(3a2)f(a1)，则实数a的取值范围是（ ）

A．,U13,

24D．0,B．1, 2C．,12

【答案】A

13U, 24【解析】分析：先确定函数奇偶性与单调性，再利用奇偶性与单调性解不等式.

2fx为偶函数， 详解：因为fxex，所以f(x)f(x), x因为当x0时，fx单调递增，所以f3a2fa1等价于

f3a2fa1，即3a2a1，9a212a4a22a1,8a210a30a选A.

点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为同一单调区间上

13或a， 42f(g(x))f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式

(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内.

2cos2311．若，则sin2（ ） cos()4A．

1 3B．

1 4C．1 4D．

13【答案】C

2cos22(cossin)【解析】用二倍角和两角和余弦定理化简，，可得cos()4cossin3，两边平方,即可求解. 2【详解】

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2cos22(cos2sin2)2(cossin)3， 2cos()(cossin)42cossin33，两边平方可得1+sin2， 241sin2.

4故选:C. 【点睛】

本题考查三角函数化简求值，涉及到二倍角公式、两角差余弦公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.

12．已知函数f(x)2cos(x)1(0,||)，其图象与直线y3相邻两个交点

22，若f(x)1对任意x(,)恒成立，则的取值范围是（ ）

1263A．[,] B．[,0] C．[,] D．[0,]

4663124的距离为【答案】B

【解析】函数f(x)的最大值为3，相邻两个最高点的距离等于周期，可得函数周期为

2，求出3，f(x)1，化为cos(3x)0，x(,)恒成立，求出3x，

1263结合余弦函数的图像，即可求解. 【详解】

函数f(x)图象与直线y3相邻两个交点的距离为所以周期T2， 322,3， 3,)恒成立， 126,)恒成立， 126f(x)1对任意x(即cos(3x)0，x(126422233x, 442x,3x,,

24，解得0.

422故选:B. 【点睛】

本题考查三角函数的性质，考查整体转换思想，将问题化归为研究熟悉函数的性质，属

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于中档题.

二、填空题

x22x313．函数y的定义域为________.

lg(x1)【答案】(1,0)U(0,3]

【解析】由解析式满足的条件，列出关于x的不等式组，即可求解. 【详解】

x22x30函数有意义需x10，

x11解得1x0或0x3； 函数的定义域为(1,0)U(0,3]. 故答案为:(1,0)U(0,3]. 【点睛】

本题考查函数的定义域，对于函数有意义的限制条件要熟记，属于基础题. 14．已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,||π)的部分图象如图所示，则2________.

【答案】

 4T，求出44【解析】由图像与x轴交点的坐标和相邻最低点的坐标，可求出

1,A2，再由最低点的坐标，结合||【详解】 由图像可得

，即可求解. 2T2,T,2， 44第 8 页 共 18 页

5函数取得最小值， 8532k(kZ),2k(kZ)， 所以424xQ||2,4.

故答案为:【点睛】

. 4本题考查由三角函数图像求解析式，熟练掌握函数的性质是解题的关键，属于基础题. 15．设2a5bm，若【答案】

112，则m_____． ab【解析】试题分析：

2a5bmalog2m,blog5m11logm2logm5logm102m210 abm10．

【考点】指数式与对数式的综合运算．

(sinx1)216．设函数f(x)的最大值为M，最小值为m，则Mm________. 2sinx1【答案】2

2sinx2sinx(sinx1)2f(x)1g(x)【解析】f(x)化为，令，

sin2x1sin2x1sin2x1M1g(x)max，

m1g(x)min，g(x)为奇函数，根据奇函数的对称性，g(x)maxg(x)min0，即

可求解. 【详解】

(sinx1)2sin2x12sinx2sinx, f(x)1sin2x1sin2x1sin2x12sinx2sinxg(x)2g(x)， ，g(x)2sinx1sinx1g(x)为奇函数，g(x)maxg(x)min0，

Mm1g(x)max1g(x)min2.

故答案为:2

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【点睛】

本题考查函数最值的和，解题的关键是分离常数，将问题转化为奇函数的最值和，属于中档题.

三、解答题

17．已知角的终边在直线y3x上.

（1）求tan，并写出与终边相同的角的集合S；

3sin()5cos(2). （2）求值33cos()cos()2【答案】（1）3，{|k2,kZ}；（2）4. 3【解析】（1）根据题意可得tan3，由特殊角的函数值结合终边相同角的关系，即可求出结论；

（2）利用诱导公式化简，将所求式子化为关于sin,cos齐一次分式，化弦为切，即可求解. 【详解】

（1）∵角的终边在直线y3x上， ∴tan3，与终边相同的角的集合

S{|2k2或2k,kZ}， 332,kZ}； 3即S{|k3sin()5cos(2)3sin5cos （2）33cos()cos()3sincos23tan53tan13tan53tan14

【点睛】

本题考查三角函数的定义，以及终边相同角的集合，考查关于sin,cos齐次分式的求值，属于基础题.

18．已知函数f(x)123sinxcosx2sin2x,xR， （1）求函数f(x)的单调增区间；

（2）用“五点作图法”作出f(x)在[0,]上的图象；（要求先列表后作图）

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（3）若把f(x)向右平移和最大值. 【答案】（1）[k为1.

个单位得到函数g(x)，求g(x)在区间[,0]上的最小值623,k6]，kZ；（2）图象见解析；（3）最小值为2，最大值

【解析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式，将f(x)化简为f(x)2sin(2x)，用整体思想结合正弦函数的递增区间，即可求解； （2）由x[0,]，2x骤做出图像；

（3）根据函数图像平移的关系，求出g(x)，利用整体思想转化为正弦函数最值，即可求解. 【详解】

2（1）f(x)123sinxcosx2sinx3sin2xcos2x2sin(2x)，

6613[,]，确定起始值和终止值，按照“五点作图法”步666由22k2x622k(kZ)，

解得3kx6k(kZ)

]，kZ；

613]，列表如下： （2）x[0,]，2x[,6663f(x)的单调增区间[k,kx 0  65 122 33 211 12 13 61 22x6  6 21  0 2 0 f(x) 1 21

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（3）f(x)向右平移

个单位得到函数g(x)， 6所以g(x)2sin(2x当2x当2x6)，2x0,132x， 666,x时，g(x)取得最小值为2，

62613,x时，g(x)取得最大值为1， 626所以函数g(x)的最小值为2，最大值为1. 【点睛】

本题考查三角函数化简，以及三角函数的单调性、图像，考查图像平移变换后函数的最值，属于中档题.

2xb19．已知定义域为R的函数，f(x)x1是奇函数.

2a（1）求a，b的值，并用定义证明其单调性；

（2）若对任意的tR，不等式f(t2t)f(2tk)0恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1）a2，b1，证明见解析；（2）(,).

【解析】（1）根据奇函数的必要条件得出f(0)0，f(1)f(1)求出b1，a2，再验证f(x) 为奇函数；将f(x)分离常数化为f(x)证明f(x)在R为减函数；

2222（2）由f(x)是奇函数f(t2t)f(2tk)0化为f(t2t)f(2tk)，结合

221311x，按照单调函数定义，221第 12 页 共 18 页

f(x)在R上是单调递减，不等式等价转化为3t22tk0，对一切tR恒成立，根

据二次函数图像，可得0，求解，即可得出结论. 【详解】

（1）因为f(x)是奇函数，所以f(0)0，即

1b0b1， 2a11b2x∴f(x)，又由f(1)f(1)知122a2， x1a222aa12x1所以a2，b1，经检验a2，b1时，f(x)x1是奇函数，

2212x11， f(x)22x122x1112x22x1 则x1,x2R，且x1x2，则f(x1)f(x2)x1212x21(2x11)(2x21)∵x1x2，∴2x12x2，∴f(x1)f(x2)， ∴f(x)在R上是单调递减； （2）因为f(x)是奇函数，

所以f(t2t)f(2tk)0等价于

22f(t22t)f(2t2k)f(k2t2)，

因为f(x)为减函数，由上式可得：t22tk2t2， 即对一切tR有：3t22tk0， 从而判别式412k0k， 所以k的取值范围是(,). 【点睛】

本题考查函数的奇偶性求参数，用奇偶性的必要条件求参数后要跟上验证，考查函数的单调性证明，要注意分离常数简化计算，考查利用函数的性质解不等式，属于中档题, 20．美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y（千万元）与投入的资金x（千万元）的函数关系为ykx(x0)，其图像如图所示.

a1313第 13 页 共 18 页

（1）试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y（千万元）与投入资金x（千万元）的函数关系式；

（2）如果公司只生产一种芯片，生产哪种芯片毛收入更大？

（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所过利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润.（利润A芯片毛收入B芯片毛收入研发耗费资金） 【答案】（1）y（2）详见解析；（3）x4千万元时，公司所获利润最x(x0)；

大.最大利润9千万元.

a【解析】（1）将1,1 4,2代入ykx，求得k,的值，即可得到函数的解析式；

（2）由题意，根据

x和x的大小关系，可进行判定，得到答案. 4（3）设投入x千万元生产B芯片，则投入40x千万元资金生产A芯片，列出公司获利的函数关系式，利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】

（1）设投入资金x千万元，则生产A芯片的毛收入y4(x0)；

k1,k1,a 将1,1 4,2代入ykx，得1 ak42,a,2所以，生产B芯片的毛收入y（2）由由

x(x0).

xxx，得x16；由x，得x16； 44xx，得0x16. 4所以，当投入资金大于千16万元时，生产A芯片的毛收入大； 当投入资金等于16千万元时，生产A、B芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16千万元，生产B芯片的毛收入大.

（3）公司投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，则

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投入40x千万元资金生产A芯片.公司所获利润fx40xx2 414x29

2故当x2，即x4千万元时，公司所获利润最大.最大利润9千万元. 【点睛】

本题主要考查了函数的实际应用问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案.

21．已知函数f(x)log3(9x1)kx是偶函数. （1）求实数k的值；

（2）当x0时，函数g(x)f(x)xa存在零点，求实数a的取值范围；

3x2m)，若函数f(x)与h(x)的图像只有一个公共点，求（3）设函数h(x)log3(m?实数m的取值范围.

15mm1【答案】（1）1；（2）(0,log32]；（3）2

【解析】（1）函数fxlog391kx是偶函数, 所以f1f1得出k值检

x验即可；（2）fxlog391x因为x0时，gxlog3912xa存

xx在零点，即关于x的方程alog3912x有解，求出xlog3912x的

xx值域即可；（3）因为函数fx与hx的图像只有一个公共点，所以关于x的方程

log3m?3x2mlog39x1x有且只有一个解，所以m·换元，3x2m3x3x，

研究二次函数图象及性质即可得出实数m的取值范围. 【详解】

（1）因为fxlog391kx是R上的偶函数，

x所以f1f1，即log391klog391k

11解得k1，经检验：当k1时，满足题意. （2）因为k1，所以fxlog391x

x第 15 页 共 18 页

因为x0时，gxlog3912xa存在零点，

x即关于x的方程alog3912x有解，

x9x11log1令xlog3912x，则xlog33x9x9x 因为x0，所以111,2，所以x0,log32， x9所以，实数a的取值范围是0,log32.

（3）因为函数fx与hx的图像只有一个公共点，

32mlog391x有且只有一个解， 所以关于x的方程log3m?所以m·3x2m3x3x

x令t3(t0)，得m1t2mt10 L（），记tm1t2mt1，

xx22①当m1时，方程（）的解为t1，不满足题意，舍去； 2②当m1时，函数mt图像开口向上，又因为图像恒过点0,1，方程（）有一正一负两实根，所以m1符合题意；

③当m1时，2m4m10且22m0时，解得m15，

2m12方程（）有两个相等的正实根，所以m15满足题意. 215m综上，的取值范围是mm1.

2【点睛】

本题考查了函数的奇偶性，考查了函数与方程零点问题，通常采用变量分离，或者通过换元转化为熟悉的二次方程根的分布问题，属于难题. 22．如图，在半径为2，圆心角为

的扇形金属材料中剪出一个四边形MNQP，其中2M、N两点分别在半径OA、OB上，P、Q两点在弧AB上，且OMON，

MN//PQ.

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（1）若M、N分别是OA、OB中点，求四边形MNQP面积的最大值； （2）PQ2，求四边形MNQP面积的最大值.

【答案】（1）

723. ；（2）

42【解析】（1）连接OP、OQ，四边形MNQP为梯形，四边形MNQP面积为

SPOQSNOQSPOMSMON，设AOPBOQ(0,)，结合OMON1,即

可求出面积关于的表达式，进而求出最大值； （2）设OMONx(0,2)，POQ43，AOQBOP，四边形面积为 122xsin13x2，利用用两角差的正弦公式求出sin，即可求出122123412四边形面积的最大值. 【详解】

（1）连接OP、OQ，则四边形MNQP为梯形，

设AOPBOQ(0,)，则POQ2，

42且此时OMON1，四边形MNQP面积

11113S2sin2sin22sin(2)4sin22sin，

222222∴sin17，S取最大值； 44（2）设OMONx(0,2)， 由PQ2可知POQsin3，AOQBOP， 12321262 sin()123422224∴四边形MNQP面积 S62621162xx3x2x2x3， 44222第 17 页 共 18 页

∴x2362. ，S取最大值为

22【点睛】

本题考查四边形的面积，解题的关键要把四边形分割为若干三角形，转化为求三角形面积的和差，利用二次函数的性质解决实际问题，考查计算能力，属于中档题.

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