高中概率复习二项分布等

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两个注意 在记忆D(aX＋b)＝aD(X)时要注意：D(aX＋b)≠aD(X)＋b，D(aX＋b)≠aD(X) 三种分布 (1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)； (2)X～B(n，p)，则 2E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)； (3)若X服从超几何分布， M则E(X)＝n. N六条性质 (1)E(C)＝C(C为常数) (2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a、b为常数) (3)E(X1＋X2)＝EX1＋EX2 (4)如果X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)E(X2) (5)D(X)＝E(X2)－(E(X))2 (6)D(aX＋b)＝a2·D(X) 双基自测 1．(2010·山东)样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )． A. 66 B. C.2 D．2 552．已知X的分布列为 X P 设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )． －1 1 20 1 31 1 67 A. B．4 C．－1 D．1 3 3．(2010·湖北)某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 7 8 9 10 2

P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，则y的值为________． A．0.4 B．0.6 C．0.7 D．0.9 4．设随机变量X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则( )． A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45 5．(2010·上海)随机变量ξ的概率分布列由下表给出： ξ 7 8 9 10 P 0.3 0.35 0.2 0.15 该随机变量ξ的均值是________． 考点一：离散型随机变量分布列的均值和方差 【例1】2013年高考北京卷（理））下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染,某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天. (Ⅰ)求此人到达当日空气重度污染的概率; (Ⅱ)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 方法总结：(1)求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算． (2)由X的期望、方差求aX＋b的期望、方差是常考题之一，常根据期望和方差的性质求解． 变式练习：2013年高考陕西卷（理）

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在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. (Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; (Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望. 作业1： (2011四川)本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时1111还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超4224过四小时． (1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； (2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)． 考点二：均值与方差性质的应用 1【例2】设随机变量X具有分布P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2，D(2X－1)，D5

X－1. 4

方法总结： 若X是随机变量，则η＝f(X)一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算． 【训练2】 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，X表示所取球的标号． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若η＝aX＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值． 考向三：均值与方差的实际应用 【例3】（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））甲、乙两支排球队进行1比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是外,其余每局2

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2,假设各局比赛结果相互独立. 3(Ⅰ)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率; (Ⅱ)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分.求乙队得分X的分布列及数学期望. 比赛甲队获胜的概率都是 规范解答：离散型随机变量的均值与方差的计算 【问题研究】 期望和方差是离散型随机变量的两个重要数学特征，是高考概率考查的重要知识点，常与排列组合、导数等知识相结合，对考查生的数学应用能力、数学表达能力、创新能力都进行了考查．

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【解决方案】 (1)掌握好期望与方差的性质．(2)记住或理解一些特殊分布的均值与方差，如两点分布、二项分布等．(3)注意运算技巧，随机变量的均值与方差计算比较复杂，在运算时要注意一些运算技巧，如把问题归结为二项分布的期望与方差，运用期望与方差的性质简化运算，运算时注意一些项的合并． 【示例】►(本小题满分12分)甲、乙两架轰炸机对同一地面目标进行轰炸，甲机投弹一次命中目标的21概率为，乙机投弹一次命中目标的概率为，两机投弹互不影响，每机各投弹两次，两次投弹之间互32不影响． (1)若至少两次投弹命中才能摧毁这个地面目标，求目标被摧毁的概率； (2)记目标被命中的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望． 分析：对于第(1)问，甲、乙两机的投弹都是独立重复试验概型，根据至少两次命中分类求解，或使用间接法求解，注意运用相互独立事件同时发生的概率乘法公式；对于第(2)问，根据题意，随机变量ξ＝0,1,2,3,4，根据独立重复试验概型及事件之间的相互关系，计算其概率即可求出分布列，根据数学期望的计算公式求解数学期望． [解答示范] 设Ak表示甲机命中目标k次，k＝0,1,2，Bl表示乙机命中目标l次，l＝0,1,2，则Ak，Bl独立．由独立重复试验中事件发生的概率公式有 k2－kl2－lP(Ak)＝Ck，P(Bl)＝Cl. 2221331122144据此算得P(A0)＝，P(A1)＝，P(A2)＝. 999111P(B0)＝，P(B1)＝，P(B2)＝.(2分) 424(1)所求概率为 1－P(A0B0＋A0B1＋A1B0)＝ 7291111411－×＋×＋×＝1－＝.(4分) 3636949294(2)ξ的所有可能值为0,1,2,3,4，且 P(ξ＝0)＝P(A0B0)＝P(A0)·P(B0)＝×＝， P(ξ＝1)＝P(A0B1)＋P(A1B0)＝×＋×＝， 19124911461911436 7

P(ξ＝2)＝P(A0B2)＋P(A1B1)＋P(A2B0)＝×＋×＋×＝，(8分) P(ξ＝3)＝P(A1B2)＋P(A2B1)＝×＋×＝， P(ξ＝4)＝P(A2B2)＝×＝.(10分) 综上知，ξ的分布列如下： 49141949144911231194491249141336ξ P 从而ξ的期望为E(ξ)＝0×0 1 361 1 62 13 363 1 34 1 91113117＋1×＋2×＋3×＋4×＝.(12分) 36636393反思总结： 概率问题的核心就是互斥事件、相互独立事件的概率计算、随机变量的分布以及均值等问题，并且都是以概率计算为前提的，在复习时要切实把握好概率计算方法．若本题第(2)问是单纯求随机变量ξ的数学期望，则可以直接根据二项分布的数学期望公式和数学期望的性质解答：令ξ1，ξ22124分别表示甲、乙两机命中的次数，则ξ1～B2，，ξ2～B2，，故有E(ξ1)＝2×＝，E(ξ2) 3233 8