第３８卷增刊（１１） ２００８年１ １月 东南大学学报（自然科学版） ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＯＵＴＨＥＡＳＴ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） ＶＯ１．３８ Ｓｕｐ（１１） Ｎｏｖ． ２００８ Ｔ—Ｓ模糊系统的 一域性能约束鲁棒输出反馈控制 陶洪峰 胡寿松 李志宇 （南京航空航天大学自动化学院，南京２１００１６） 摘要：研究了一类具有输入及输出端扰动的Ｔ—Ｓ模糊系统在性能约束下的鲁棒控制问题．在Ｄ 域内定义非线性系统性能指标的条件下，基于线性矩阵不等式技术提出了鲁棒输出反馈控制器 存在的充分条件，保证闭环系统具有一定的稳态和动态性能．该方法利用投射引理分离耦合变 量，通过引入附加矩阵增加自由度，降低结论的保守性．Ｆ．１６歼击机纵向通道的控制仿真结果表 明了方法的有效性． 关键词：Ｔ—Ｓ模糊系统；性能约束；鲁棒控制；线性矩阵不等式（ＬＭＩ） 中图分类号：ＴＰ２７３ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—０５０５（２００８）增刊（１１）－０００９－４ Ｒｏｂｕｓｔ ｏｕｔｐｕｔ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ Ｔ・Ｓ ｆｕｚｚｙ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｄ－ｒｅｇｉｏｎ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ Ｔａｏ Ｈｏｎｇｆｅｎｇ Ｈｕ Ｓｈｏｕｓｏｎｇ Ｌｉ Ｚｈｉｙｕ （Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆ Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｎｊｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ａｅｒｏｎａｕｔｉｃｓ ａｎｄ Ａｓｔｒｏｎａｕｔｉｃｓ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００１６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ ｐｒｏｂｌｅｍ ｏｆ ｒｏｂｕｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｗｉｔｈ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ Ｔ・Ｓ ｆｕｚｚｙ ｓｙｓ－ ｔｅｒｎｓ ｗｉｔｈ ｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｉｎｐｕｔｓ ａｎｄ ｏｕｔｐｕｔｓ ｉＳ ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｏｎ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｉｎｄｉ— ｃｅｓ ｏｆ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｒｅ ｄｅｆｉｎｅｄ ｉｎ ｔｈｅ Ｄ—ｒｅｇｉｏｎ，ｔｈｅ ｓｕｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ｆｆｏｒ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｒｏｂｕｓｔ ｏｕｔｐｕｔ ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ ａｒｅ ｄｅｒｉｖｅｄ ｉｎ ｔｅｒｍｓ ｏｆ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ．ＳＯ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｃｌｏｓｅｄ—ｌｏｏｐ ｓｙｓｔｅｍｓ Ｃａｎ ｍａｉｎｔａｉｎ ｓｏｍｅ ｓｔｅａｄｙ ａｎｄ ｄｙｎａｍｉｃ ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅｓ．Ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｅｄ ｖａｒｉａｂｌｅｓ ａｒｅ ｓｅｐａｒａｔｅｄ ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｌｅｍｍａ ｉｎ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ，ｗｈｉｃｈ ｃｏｎｔｒｉｂｕｔｅｓ ｈｅ ｅｘｔｔｒａ ｄｅｇｒｅｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｒｅｅｄｏｍ ｂｙ ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ ｔｈｅ ａｄｄｉｔｉｏｎａｌ ｍａｔｒｉｘ．ａｎｄ ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ｃｏｎｓｅｒｖａｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ ｉＳ ｒｅｄｕｃｅｄ．Ｔｈｅ ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｌｏｎｇｉｔｕｄｅ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ Ｆ一１ ６ ｆｉｇｈｔｅｒ ｆｌｉｇｈｔ ｓｙｓｔｅｍ ｓｈｏｗｓ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｎｅｓｓ ｏｆ ｈｅ ｐｒｏｐｏｓｅｄ ｍｅｔｔｈｏｄ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：Ｔ—Ｓ ｆｕｚｚｙ ｓｙｓｔｅｍ；ｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅ ｃｏｎｓ￣ａｉｎｔ；ｒｏｂｕｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ；ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ （ＬＭＩ） 虽然现代工业系统的复杂度日益提高，但系统的稳定性却仍然是控制研究的首要问题．控制过程的 动态特性，包括收敛率和表征系统状态变化的阻尼等指标，及其对外扰的鲁棒性，是衡量控制方案是否优 越的重要考量．众所周知，线性系统的稳态及动态性能是用极点来描述的，而对于更普遍的非线性系统， 如何约束其稳态和动态性能，目前涉及的文献还甚少．自Ｔ—Ｓ模糊模型提出以来，其已成为模糊控制领域 的研究热点¨ ］．由于系统状态一般不可测量且极易受扰，因此，有扰输出反馈控制的研究更具有应用价 值．目前多数文献主要讨论系统的稳态和基于￡ 范数的Ｈ 鲁棒性能，忽略了动态性能要求，而且由于基 于Ｌ 范数的鲁棒控制方法并不要求扰动能量有界，更适合应用于外扰客观持续存在的工程实际 ． 本文针对一类具有扰动的Ｔ．ｓ模糊系统，引入基于混合Ｌ ／Ｌ 范数的鲁棒性能指标，提出了基于ＬＭＩ 的鲁棒输出反馈控制器的设计方法，保证整个系统在Ｄ域内满足一定的稳态、动态及鲁棒性能指标，并利 用投射引理给出了函数变量与控制器变量解耦求解的分离方法．仿真示例验证了该方法的有效性． １ 系统描述及预备知识 考虑如下一类Ｔ—Ｓ模糊系统 收稿日期：２００８－０６—１６． 基金项目：国家自然科学基金重点资助项目（６０２３４０１０）、航空科学基金资助项目（０５Ｅ５２０３１）． 作者简介：陶洪峰（１９７９一），男，博士生；胡寿松（联系人），男，教授，博士生导师，ｈｕｓｈｏｕｓｏｎｇ—ｎｕａａ＠１６３．ｃｏｍ ｌ０ 东南大学学报（自然科学版） 第３８卷 Ｒｕｌｅ ｉ：ＩＦ ｚｌ（ｔ）ｉｓ Ｆ ＡＮＤ…Ｚ （ｆ）ｉｓ Ｆ ＴＨＥＮ （ｔ）＝Ａ Ｘ（ｔ）＋ＢｆＵ（ｔ）＋Ｅ Ｗ（ｔ），Ｙ（ｔ）＝Ｃ （Ｘ（ｔ）＋Ｖ（ｔ））ｉ＝１，２，…，口 （１） 式中，ｑ为模糊规则数，ｚ（ｔ）＝｛Ｚ。（ｔ）， …， Ｚ （ｔ）｝ ∈Ｒ 为模糊推理前件，Ｆ；为模糊集合． （ｔ）∈Ｒ ， Ｙ（ｔ）∈Ｒ 分别表示系统的状态和输出向量；Ｕ（ｔ）∈Ｒ 表示控制输入；ｗ（ｔ），ｖ（ｔ）∈Ｒ”分别表示系统输入 和输出端的扰动向量．Ａ ，Ｂ ，ｃ 和Ｅ 是维数适当的实矩阵，其中Ｂ 列满秩． 在相同规则前件下，采用并行补偿输出反馈控制器Ｕ（ｔ）＝Ｋ Ｙ（ｔ），代人式（１）后可得闭环系统为 （ｔ）＝｛Ａ（ｈ）＋Ｂ（ｈ）Ｋ（ｈ）Ｃ（ｈ）｝ （ｔ）＋［Ｂ（ｈ）Ｋ（ｈ）Ｃ（ｈ）Ｅ（ｈ）］ｄ（ｔ） ．—，．．Ｔ１Ａ Ｐ＋ＰＡ（２） ＋式中， （ｆ）：［ （ｆ） ｗ （ｆ）］Ｔ Ｍｅ（ｈ）表示∑ｑ （ｚ（ｆ）） 的缩写ｈｉ（ｚ（ｆ））： ，∞ （ｚ（ｆ）） ∑ （Ｚ（ｔ）） ＝８Ｃ＋ＴＣ１－Ｉ （ （ｆ）），其中， （ （ｆ））表示 （ｆ）属于 的隶属度，￣－ｏｉ（ｚ（ｆ））表示第ｉ条规则的权重． 定义１ 对于如式（２）所示系统，当ｄ（ｔ）＝０时，令Ｚ （ｔ）＝ｌ Ｐ （ｔ）Ｉ ，ｚ （ｔ）＝Ｉ尸 （ｔ）Ｉ，其中Ｐ ， 艿＋Ｐ 为对称正定阵，若满足 （ｔ）＜一ｏｔｚ。（ｔ）， ｚ （ｔ）ｄｔ≤卢，其中０表示系统运行时间， ＞０， 和 为正 Ｐ常数，｛．１为欧式范数，则系统至少以收敛率Ｏｔ到达稳态值， 为系统的动态变化率约束量． 定义２ 对于如式（２）所示系统，若满足ｌＩ （ｔ）ＩＩ ≤ ｌ ｘ（Ｏ）ｌ＋ｐ Ｉｌ ｄ（ｔ）ｌ ，Ｖ ｌｄ（ｔ）∈Ｌ ，则称该 系统具有混合Ｌ：／Ｌ 范数的鲁棒性能，其中ｌ１．）ｃ（ｆ） 垒ｓｕｐＩ．］ｃ（ｆ）ｌ，ｔ∈［０，∞）． 引理ｌ＿６ （投射引理） 对于对称阵Ｈ，当且仅当 删 ＜０，ⅣＴＱ ＨＮＱ＜０时，存在矩阵 ，使得日＋ Ｐ ＸＴａ ４－Ｏ ． ＜０，其中Ｐ和Ｑ是适维矩阵， 和 分别用核空间ｋｅｒ（Ｐ）和ｋｅｒ（ａ）的任意～组基向 量作为列向量而构成的矩阵．若ｋｅｒ（Ｐ）和ｋｅｒ（ａ）中有一个是零空间，则可忽略相应的不等式条件． ２ 系统性能分析及鲁棒输出反馈控制器设计 定理ｌ 在中心为（一ｑ，０），半径为ｒ的ＬＭＩ区域Ｄ内，若存在对称正定阵Ｐ和矩阵 使得系统（２） 在ｗ（ｆ）＝０，ｖ（ ）＝０时渐近稳定，则 Ｅ（２ｇ一２ｒ，２ｑ＋２ｒ）， ＝ ． 证明 定义Ｖ（ （ｔ））＝Ｘ （ｔ）Ｐｘ（ｔ），根据文献［７］的稳定性条件进行Ｓｃｈｕｒ变换，即可得结论，过程 略． 定理２ 对于给定的 和 ，如果存在对称正定阵Ｐ和非奇异矩阵Ｍ和Ⅳ，（ｉ＝１，２，…，ｑ），使得 Ｂ Ｃｆ ＰＥ ］ 一 ０ ｌ＜０ ｆ， ，ｌ＝１，２，…，ｑ （３） 一ｆｌｌＪ ：ｌ： 成立．其中Ｂ Ｍ：ＰＢ ，则存在控制器 ，＝Ｍ ，使得系统（２）稳定，并满足定义２的鲁棒指标． 证明 取定理１中的Ｖ（ （ｔ）），由Ｌ 范数性质和矩阵变化得式（３）成立，且满足鲁棒指标，过程略． 定理３ 对于给定的 和卢，如果存在对称正定阵Ｐ和非奇异矩阵Ｍ，矩阵Ｇ， （ｉ＝１，２，…，ｇ）和正 实变量 （ｉ＝１，２，３）使得以下不等式成立： ．：『一 ｑＧ ＋Ａ ＋ｃ １＜０ ：ｌ： 一ｒ（Ｇ ＋Ｇ—Ｐ） １ 一２一，ｑ （４） （５） ０２＝ｆ ，：ｒ一３ｒＰ ３，．（Ｇ‘＋Ｇ—Ｐ）Ｊ Ｉ＜０ ｉ，ｊ＝１，２，…，ｑ；Ｊ≠ｉ 『 ］＜０ 一，ｑ＿２； ：ｆ＋１’…，鼋 ｆ＿ ＋１，…， ） 增－ｔｌＪ（Ⅱ） 陶洪峰，等：Ｔ—Ｓ模糊系统的Ｄ一域性能约束鲁棒输出反馈控制 一Ｇ ＋Ｇ ：ｌ： １２ 一２ｒＰ Ｂ ＮｉＣｆ Ｇ Ｅ ０ ０ 厂 ＝ ＜０ ｉ＝１，２，…，ｑ （７） ≈ ，－ｇ —Ｂ１ ０ ：ｌ： 一３Ｉ 『Ｉ３ 十３Ｇ Ｑ ｚ Ｑ－ Ｑ ］ ：ｆｌ －６ｒＰ ０一 ０ ｆ＜０ ｆ， ：ｌ，２，…，ｇ； ≠ｆ ］ （８） 『一６Ｇ ＋６Ｇ ：。： 一， ｌＩ Ｌ 一１２ｒＰ ０ ０ ｆ＜０ ：ｌ： ６３ ０ ｌ 一６３ＩＡ 一，ｑ一２，； ：ｆ＋ 一，ｇ一 ｆ＿ ＋ 一，ｑ （９） 其中， ＝３ｑＧ ＋２Ａ Ｇ ＋ａｆ Ｇ ＋ Ｎ７ Ｂ ＋Ｃ Ｂ ＋Ｃ ＋Ｃ Ｂ ＋ ＮＴ Ｂ ＋Ｃ ＋ ＋ Ｎ７ Ｂ ＋Ｃ ， ：＝６ｑＧ ＋２（Ａ ＋ａｆ＋ＡＴ１）Ｇ ； ：＝Ｇ Ａ ＋ＢｉＮｉＣ ＋Ｐ＋（０．５ｏｌ ＋７－）ＧＴ， ｌ２＝２ＧＴＡ ＋ＧＴＡ』＋ＢｉＮｉＣｊ＋Ｂ，ＮｊＣｆ＋ＢｊＮｉＣ ＋３Ｐ＋３（０．５ ＋丁）ＧＴ， ｌ３＝ＢｉＮｉＣｊ＋Ｂ，Ｎ：Ｃｆ ＋ＢｉＮｉＣｆ， １４＝２Ｇ Ｅ ＋Ｇ ； １２＝２Ｇ （Ａ ＋Ａ ＋Ａｆ）＋ＢｉＮｊＣｆ＋ＢｉＮＩＣｊ＋ＢｊＮｔＣｆ＋ＢｉＮｉＣ，＋ ｆＮｉＣｊ＋ Ｂ，ＮｉＣｆ＋６Ｐ＋（３ ＋６丁）Ｇ ， ｌ３＝ＢｉＮｊＣｆ＋ＢｉＮｆｃ ＋ＢｊＮｆＣｆ＋ＢｉＮｆＣｆ＋ＢｆⅣｆｃ ＋ＢｆⅣＪｃｆ， １４＝２Ｇ （Ｅｆ＋ Ｅ，＋Ｅ，）；ＧＢ ＝Ｂ Ｍ， 为可调参数，则在中心为（一日，０），半径为ｒ的ＬＭＩ区域Ｄ内，存在控制器 ＝ Ｍ一 使得闭环系统（２）稳定，且 ∈（２ｑ一２ｒ，２ｑ＋２ｒ）， ＝ ，同时满足定义２中的鲁棒指标． 证明 在定理１和定理２的基础匕，根据投射引理解除耦合变量，增加自由度，即可得结论，过程略． ３ 仿真示例 考虑Ｆ．１６歼击机纵向通道的标准短周期运动方程 ］，其中歼击机的俯仰角 ，（ｔ）和俯仰角速度ｑ，（ｔ） 均可由陀螺仪测得为输出量．假设飞机在１５０００英尺（４５７２ｍ）高度飞行，取马赫数为模糊量，按照马赫数 ０．４和０．８划分得到如式（１）所示的局部模型，并由定理３解得联动控制器的局部增益矩阵 ：『９・５６８０ ５・６５２ １， Ｌ９５６８０ １５．６５２１ Ｊ ．： ９ ３２ ７・５６４８１ Ｌ １０．９１３２ １７．５６４８ Ｊ 系统的仿真初始状态为Ｘ （０）＝｛一５，４，３｝ ，外部扰动均取为白噪声信号．图１和图２分别表示俯 仰姿态角和角速度的响应曲线．实线和虚线分别表明动态性能受约束和无约束时情形．由仿真可知，若考 虑动态性能约束和鲁棒性能指标，则Ｆ一１６歼击机纵向俯仰角的振荡减少且运行平稳，更符合飞行要求． ｔ／ｓ ｔ／ｓ 图１纵向通道闭环系统的俯仰角响应曲线 图２纵向通道闭环系统的俯仰角速度响应曲线 １２ ｌ １ｊ２ 东南大学学报（自然科学版） ３ ４ ５ ６ ７ ８ ］Ｊ １● １』］Ｊ］Ｊ 第３８卷 ４ 结语 本文研究了一类Ｔ．ｓ模糊系统在Ｄ域内的稳态及动态性能指标下的鲁棒输出反馈控制问题，并利用 投射引理降低了控制器设计的保守性．仿真结果表明了本方法的可行性． 参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ） Ｈｕ Ｓｈｏｕｓｏｎｇ，Ｌｉｕ Ｙａ．Ｒｏｂｕｓｔ Ｈ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆ ｍｕｌｔｉｐｌｅ ｔｉｍｅ—ｄｅｌａｙ ｕｎｃｅｒｔａｉｎ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｕｓｉｎｇ ｆｕｚｚｙ ｍｏｄｅｌ ａｎｄ ａｄａｐｔｉｖｅ ｎｅｕｒａｌ ｎｅｔｗｏｒｋ『Ｊ１．Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００４，１４６（３）：４０３～４２０． Ｌｅｅ Ｔ Ｓ。Ｃｈｅｎ Ｙ Ｈ，Ｃｈｕａｎｇ Ｊ Ｃ．Ｒｏｂｕｓｔ ｃｏｎｔｒｏｌ ｄｅｓｉｇｎ ｏｆ ｆｕｚｚｙ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｒｎ ｐｕｔａｔｉｏｎ，２００５，１６４（２）：５５５—５７２． Ｆａｎｇ Ｃ Ｈ．Ｌｉｕ Ｙ Ｓ，Ｋａｕ Ｓ Ｗ，ｅｔ ａ１．Ａ ｎｅｗ ＬＭＩ—ｂａｓｅｄ ａｐｐｒｏａｃｈ ｔｏ ｒｅｌａｘｅｄ ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｓｔａｂｉｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ Ｔ・Ｓ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｓｙｓｔｅｍｓ『Ｊ１．ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ ｏｎ Ｆｕｚｚｙ Ｓｙｓｔｅｍｓ，２００６，１４（３）：３８６—３９７． Ｌｉｎ Ｃｈｏｎｇ．Ｗａｎｇ Ｑｉｎｇｇｕｏ，Ｌｅｅ Ｔ Ｈ．Ｉｍｐｒｏｖｅｍｅｎｔ ｏｎ ｏｂｓｅｒｖｅｒ—ｂａｓｅｄ Ｈ ｃｏｎｔｒｏｌ ｆｏｒ Ｔ—Ｓ ｆｕｚｚｙ ｓｙｓｔｅｍｓ ｌ Ｊ ｊ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃａ， ２００５，４１（９）：１６５１—１６５６． Ｔｓｅｎｇ Ｃ Ｓ，Ｈｗａｎｇ Ｃ Ｋ．Ｆｕｚｚｙ ｏｂｓｅｒｖｅｒ—ｂａｓｅｄ ｆｕｚｚｙ ｃｏｎｔｒｏｌ ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｔ ｂｏｕｎｄｅｄ ｄｉｓｔｕｒｂ’ ａｎｃｅｓ ｆＪ］．Ｆｕｚｚｙ Ｓｅｔｓ ａｎｄＳｙｓｔｅｍｓ，２００７，１５８（２）：１６４—１７９． Ｂｏｙｄ Ｓ Ｐ．Ｇｈａｏｕｉ Ｌ Ｅ，Ｆｅｒｏｎ Ｅ，ｅｔ ａ１．Ｌｉｎｅａｒ ｍａｔｒｉｘ ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ ｉｎ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｃｏｎｔｒｏｌ ｔｈｅｏｒｙ［Ｍ］．Ｐｈｉｌａｄｅｌｐｈｉａ：ＳＩＡＭ， １９９４． Ａｓｓａｗｉｎｃｈａｉｃｈｏｔｅ Ｗ，Ｎｇｕａｎｇ Ｓ Ｋ，Ｓｈｉ Ｐ，ｅｔ ａ１．Ｈ ｆｕｚｚｙ ｓｔａｔｅ—ｆｅｅｄｂａｃｋ ｃｏｎｔｒｏｌ ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｓｙｓｔｅｍｓ ｗｉｔｈ Ｄ—ｓｔａ－ ｂｉｌｉｔｙ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ：ａｎ ＬＭＩ ａｐｐｒｏａｃｈ［Ｊ］．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ ｉｎ Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，２００８，７８（４）：５１４—５３１． Ｂ１ａｋｅｌｏｃｋ Ｊ Ｈ．Ａｕｔｏｍａｔｉｃ ｃｏｎｔｒｏｌ ｏｆａｉｒｃｒａｆｔａｎｄｍｉｓｓｉｌｅｓ『Ｍ］＿２ｎｄ ｅｄ．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｊｏｈｎ Ｗｉｌｅｙ ａｎｄ Ｓｏｎｓ，Ｉｎｃ．，１９９１．