第54讲 条件概率与事件的独立性、正态分布-新高考数学一轮专题复习(新高考专版)

一、 考情分析

1.理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系；

2.了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算； 3.理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则； 4.会用频率估计概率.

二、 知识梳理

1.条件概率及其性质

条件概率的定义 对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号“P(B|A)”表示 2.事件的独立性 (1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B).这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件. (2)概率公式

条件 A，B相互独立 A1，A2，…，An相互独立 3.全概率公式 (1)完备事件组：

设Ω是试验E的样本空间，事件A1，A2，…，An是样本空间的一个划分，满足： ①A1∪A2∪…∪An＝Ω.

②A1，A2，…，An两两互不相容，则称事件A1，A2，…，An组成样本空间Ω的一个完备事件组. (2)全概率公式

公式 P(A∩B)＝P(A)×P(B) P(A1∩A2∩…∩An) ＝P(A1)×P(A2)×…×P(An) P(B|A)＝条件概率公式 P（A∩B），其中P(A)>0，A∩P（A）B称为事件A与B的交(或积) 设S为随机试验的样本空间，A1，A2，…，An是两两互斥的事件，且有P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，∪A＝S，则对任一事件B，有P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)称满足上述条件的A1，A2，…，An为完备i＝1i

i＝1

n

n

事件组.

4.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验

①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.

②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k

kn－k次的概率为Pn(k)＝Ck(k＝0，1，2，…，n). np(1－p)(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q＝1

kn－k－p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Ck，其中k＝0，1，2，…，npqn.于是X的分布列：

X P 0 0nC0npq 1 n－1C1 npq… … k kn－kCk npq… … n n0Cnnpq 此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B(n，p). 5.正态分布

(1)正态曲线：正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝

（x－μ）2

1－

e2π·σ

2σ2

，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞).

(2)正态曲线的性质

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交，与x轴之间的面积为1； ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ③曲线在x＝μ处达到峰值

1

； σ2π

④当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散. (3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 ①P(μ－σ②P(μ－2σ1.相互独立事件与互斥事件的区别

相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B).

2.若X服从正态分布，即X～N(μ，σ2)，要充分利用正态曲线的关于直线X＝μ对称和曲线与x轴之间的面积为1.

三、 经典例题

考点一 条件概率与事件独立性

【例1】 (1)(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( ) 1A.8

1B.4

2C.5

1D.2

2C3＋C242C2122

解析 法一 P(A)＝2＝＝，P(AB)＝P(B)＝2＝.由条件概率计算公式，得P(B|A)＝C5105C510

1

P（AB）101

＝2＝4. P（A）

5

法二 事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1. n(AB)1

故由古典概型概率P(B|A)＝n(A)＝4. 答案 B

23

(2)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为3和5.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立. ①求至少有一种新产品研发成功的概率；

②若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.

－

21

解 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)＝3，P(E)＝3，

－－－－－

32

P(F)＝5，P(F)＝5，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互独立.

－

－

－

①记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H＝E F， 122

于是P(H)＝P(E)P(F)＝3×5＝15，

－

－

－

213

故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－15＝15.

－

1

②设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X＝0)＝P(EF)＝3

－－

－

221331×5＝15，P(X＝100)＝P(EF)＝3×5＝15＝5，

－

224

P(X＝120)＝P(EF)＝3×5＝15，

2362

P(X＝220)＝P(EF)＝3×5＝15＝5. 故所求的分布列为

X P 规律方法 1.求条件概率的两种方法

P(AB)

(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P(A)，这是求条件概率的通法.

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件n(AB)

中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝n(A). 2.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.

(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 考点二 全概率公式

【例2】 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，已知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？

解 设事件A为“任取一件为次品”，

事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3. B1∪B2∪B3＝S，

0 215 100 15 120 415 220 25

由全概率公式得

P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3). P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2， P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，

故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013. 规律方法 全概率公式是计算概率的一个很有用的公式，通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中. (1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生.

(2)如何用全概率公式：将事件分解成两两不相容的完备事件组. (3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合. 考点三 独立重复试验与二项分布

【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).

(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列. 解 (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).

(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，

X服从超几何分布.

21C2863C112C2828

P(X＝0)＝C2＝130，P(X＝1)＝C2＝65，

40402C1211

P(X＝2)＝C2＝130，

40

∴X的分布列为

X P 0 63130 1 2865 2 11130 123

(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为40＝10. 从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y32，的可能取值为0，1，2，且Y～B， 103

P(Y＝k)＝Ck21－10

2－k

310， 

2

k

497所以P(Y＝0)＝C0·＝， 2

101003721

P(Y＝1)＝C12··＝， 10105093P(Y＝2)＝C2·＝. 2

10100∴Y的分布列为

Y P 0 49100 1 2150 2 9100 2

规律方法 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是

kn－k

否满足公式P(X＝k)＝Ck的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常np(1－p)

数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率. 考点四 正态分布

【例4】 (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<4)＝( ) A.0.6

B.0.4

C.0.3

D.0.2

(2)设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )

(注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σA.7 539 B.6 038 C.7 028

D.6 587

解析 (1)因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，μ＝2，得对称轴为x＝2，P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6. (2)∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1. ∵P(μ－σ∴P(0∴向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587. 答案 (1)A (2)D

规律方法 (1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个. (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ).

[方法技巧]

P(AB)n(AB)

1.古典概型中，A发生的条件下B发生的条件概率公式为P(B|A)＝P(A)＝n(A)，其中，在实际

n(AB)

应用中P(B|A)＝n(A)是一种重要的求条件概率的方法. 2.全概率公式的理论和实用意义在于：

在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算.

3.二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.

(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概

kn－k率是P(X＝k)＝Ck.其中k＝0，1，…，n，q＝1－p. npq

四、 课时作业

1．（2020·湖南高三其他（理））已知随机变量X2N1,，且PX0PXa，则1axx2x235的展开式中x4的系数为（ ） A．680 【答案】A 【详解】 因为随机变量XB．640

C．180

D．40

N1,2，PX0PXa，

532所以a2，代入可得12xx2，

x2故12xx2展开式中包含x4的项为：

x35C52x2332032223CCxC2x40x4640x4680x4，系数为680， 353xx232．（2020·江苏南京·高三开学考试）某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布

1N(105,2)(0)，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则

5此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A．150 【答案】C

【解析】∵PX90PX120所以P90X105B．200

C．300

D．400

123，P90X1201， 5553， 103300． 10所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为10003．（2020·湖南益阳·高三月考）已知随机变量服从正态分布N1,2，若P(4)0.9，则

P(24)（ ）

A．0.2 【答案】D

【解析】因为随机变量服从正态分布N1,所以正态曲线的对称轴为x1， 因为P(4)0.9，

所以P(4)P(2)0.1，

所以P(24)1P2P410.10.10.8，

4．（2020·福建高三其他）某校在一次月考中共有800人参加考试，其数学考试成绩X近似服从正态分布

B．0.4

C．0.6

D．0.8

2，

N(105,2)，试卷满分150分．现已知同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720，同学乙的数学成绩为120

分，那么他的学校排名约为（ ） A．60 【答案】C

【解析】因为同学甲的数学成绩为90分，学校排名为720， 则数学成绩小于等于90分对应的概率约为PX90又数学考试成绩X近似服从正态分布N(105,)， 所以PX120PX902B．70 C．80 D．90

8007201，

800101，则成绩数学成绩大于等于120分的学生约为80人， 10因此若同学乙的数学成绩为120分，那么他的学校排名约为80名.

5．（2020·山东高三开学考试）已知参加2020年某省夏季高考的53万名考生的成绩Z近似地服从正态分布

N453,992，估计这些考生成绩落在552,651的人数约为（ ）

(附：ZN,A．36014 【答案】B 【解析】

2，则PZ0.6827，P2Z20.9545)

B．72027

C．108041

D．168222

ZN453,992，453,99，

P354Z5520.6827，P255Z6510.9545，

P255Z651P354Z5520.95450.68270.1359， P552Z65122这些考生成绩落在552,651的人数约为5300000.135972027.

6．（2020·四川仁寿一中高三月考（理））在某市高二期末质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布

X~N98,100，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的

数学成绩在该市的排名大约是（ ） （参考数据：若X~N,A．1500 【答案】A 【解析】

考试的成绩X服从正态分布N(98,100)

2，则PX0.6826，P2X20.9544）

C．2800

D．6230

B．2180

98,10，1089810，

P(108)10.68260.1587 2即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%.

946015.87%1500

7．（2020·广东湛江二十一中高三月考）新型冠状病毒肺炎的潜伏期X（单位：日）近似服从正态分布：

X~N7,2，若P(X3)0.872，则可以估计潜伏期大于等于11天的概率为（ ）

A．0.372 【答案】C

【解析】因为7，所以根据正态曲线的对称性知，

B．0.256

C．0.128

D．0.744

P(X11)P(X3)1P(X3)10.8720.128.

8．（2020·江西景德镇一中高三月考（理））理查德·赫恩斯坦（Richard J.Herrn stein），美国比较心理学家和默瑞（Charles Murray）合著《正态曲线》一书而闻名，在该书中他们指出人们的智力呈正态分布.假设犹太人的智力X服从正态分布N(120,5)，从犹太人中任选一个人智力落在130以上的概率为(附：若随机变量服

22从正态分布N(,)，则P(x)0.6826，P(2x2)0.9544（ ）

A．2.28% 【答案】A

B．4.56% C．15.87% D．5.65%

【解析】解：根据正态分布的对称性与3原则得：

Px130Px21P2x210.95440.0228.

22所以从犹太人中任选一个人智力落在130以上的概率为2.28%.

9．（2020·江西上高二中高二期末（理））已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N0,3从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ） （附：若随机变量ξ服从正态分布N2，

, ，则P68.26% ，

2P2295.44%．）

A．4.56% 【答案】B 【解析】由题意

B．13.59%

C．27.18%

D．31.74%

1P（3＜＜3）68.26%，（P6＜＜6）95.44%，P（3＜＜6）（95.44%68.26%）13.59%．10．（2020·山

2东省泰安第二中学高三月考）设随机变量XA．3，D(X)7 C．3，D(X)【答案】A

【解析】因为随机变量X所以由对称性知由正态分布XN,7，若PX2PX4，则（ ）

B．6，D(X)7 7 D．6，D(X)7

N,7，且PX2PX4，

243， 2N,7知方差D(X)7.

11．（2020·湖南师大附中高三月考（理））某校在一次月考中有1200人参加考试，数学考试的成绩服从正态分布X人数的

N90,a2（a0，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数为总

3，则此次月考中数学考试成绩不低于110分的学生人数为（ ） 5B．480

C．240

D．120

A．960 【答案】C

【解析】由已知P(70X110)11313，∴P(X110)1P(70X110)1，

22555所求人数为12001240． 512．（2020·灵丘县豪洋中学高二期末（理））设随机变量服从正态分布N(0,1)，P(1)p，则

P(10)（ ）

A．

1p 2B．1p C．12p

D．

1p 2【答案】D 【解析】

随机变量服从正态分布N0,1

正态曲线关于0对称

P(1)p

 P(10)1p 213．（2020·江西南昌二中高三其他（理））已知某公司生产的一种产品的质量X(单位：千克)服从正态分布

N(90,64).现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在区间(82,106)内的产品估计有( )

附:若XN(,2)，则P(X)0.6826，P(2X2)0.9544.

B．6826件

C．4772件

D．2718件

A．8185件 【答案】A

【解析】依题意，产品的质量X（单位：千克）服从正态分布N（90，64），得90,8，

P(82X106)0.95440.95440.68260.8185，

2质量在区间(82,106)内的产品估计有100000.81858185件.

214．（2020·高邮市第一中学高三月考）若随机变量X~N(,)(0)，则有如下结论：

P(X)0.6856，P(2X2)0.9544，

P(3X≤3)0.9974，X～N（120，100），高二（1）班有40名同学，一次数学考试的成绩，

理论上说在130分～140分之间人数约为（ ） A．7 【答案】B 【解析】

X~N(120,100)，

B．5 C．10 D．12

P(110X130)0.6826，P(100X140)0.9544， 1P(130X140)(0.95440.6826)0.1359，

2130分~140分之间的人数约为400.13595．

15．（2020·辽宁辽阳·高三三模（理））已知随机变量X服从正态分布N2,2，且P0X20.3，则

PX4（ ）

A．0.6 【答案】B

【解析】∵随机变量X服从正态分布N2,∴正态曲线的对称轴是x2， ∵P0X20.3， ∴PX40.50.30.2.

16．（2020·黑山县黑山中学月考（理））下列说法中正确的是（ ） A．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 B．若正态分布X~NB．0.2

C．0.4

D．0.35

2，

,，则Px1Px

2C．把某中学的高三年级560名学生编号：1到560，再从编号为1到10的10名学生中随机抽取1名学生，其编号为a，然后抽取编号为a10，a20，a30，…的学生，这样的抽样方法是分层抽样 D．若一组数据0，a，3，4的平均数是2，则该组数据的方差是【答案】D

【解析】对于A，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故A错误； 对于B，由正态分布X~N5 2,，则正态分布密度曲线关于x对称，

2即Px1Px，故B错误；

对于C，1到560，再从编号为1到10的10名学生中随机抽取1名学生，

其编号为a，然后等间距抽取编号为a10，a20，a30，…的学生，属于系统抽样， 故C错误；

对于D，一组数据0，a，3，4的平均数是2，即

0a342，解得a1，

420212324所以方差为

422225，故D正确. 217．（多选题）（2020·扬州市邗江区蒋王中学高三月考）下列判断正确的是（ ） A．已知直线l平面，直线m//平面，则“//”是“lm”的必要不充分条件； B．若随机变量服从正态分布N1,2，P40.79，则P20.21；

1，则E1； 4C．若随机变量服从二项分布：~B4,D．am2bm2是ab的充分不必要条件. 【答案】BCD

【解析】对于A. 直线l平面，直线m//平面， 若//，则l，由直线m//平面，所以lm. 若lm，不能推出//，可能相交.

所以“//”是“lm”的充分不必要条件，故A不正确. 对于B. 随机变量服从正态分布N1,所以P410.790.21，则P2，其图象的对称轴为1，P40.79

11，故C正确. 42P40.21，故B正确.

对于C. 由二项分布的期望公式可得E4对于D. 若am2bm2，则 ab是真命题; 若ab，则am2bm2是假命题.

所以am2bm2是ab的充分不必要条件，故D正确.

18．（多选题）（2020·福建厦门双十中学高二期中）已知三个正态分布密度函数

i(x)1e2(xi)22i2(xR,i1,2,3)的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．12 【答案】AD

B．13 C．12 D．23

【解析】根据正态曲线关于x＝μ对称，且μ越大图象越靠近右边， 所以μ1＜μ2＝μ3，BC错误；

又σ越小数据越集中，图象越瘦长， 所以σ1＝σ2＜σ3，AD正确．

19．（多选题）（2020·重庆）下列命题中，正确的命题的是（ ）

A．已知随机变量服从二项分布Bn,p，若Ex30，Dx20，则pB．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；

C．设随机变量服从正态分布N0,1，若P1p，则P102； 31P； 2D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X~B10,0.8，则当x8时概率最大． 【答案】BCD

【解析】对于选项A：随机变量服从二项分布Bn,p，EX30，DX20，可得np30，

1np1p20，则p，故选项A错误；

3对于选项B：根据公式易知，将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变，一般地，

EabaEb，Daba2Da,b为常数，故选项B正确；

对于选项C：随机变量服从正态分布N0,1，则图象关于y轴对称，若P1p，则

P0111p，即P10p，故选项C正确； 22对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为X，X~B10,0,8，当xk时，对应的概率

PxkC0.2k10k10k，所以当kkPxk411kC100.8k0.210kk11时，，由

Pxk1C100.8k10.210k1kPxk411k441得，即1k，因为kN*，所以1k8且kN*，即k8444kk，

Pxk1k5时，概率Px8最大，故选项D正确．

20．（多选题）（2020·山东寿光现代中学高二期中）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布

2N1,12、N2,2，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（ ）



A．乙类水果的平均质量20.8kg

B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小0.8 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数21.99 【答案】AB

【解析】因为由图像可知，甲图像关于直线x0.4对称，乙图像关于直线x0.8对称， 所以10.4，20.8，故A正确，C错误， 因为甲图像比乙图像更“高瘦”，

所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确，

1因为乙图像的最大值为1.99，即2πσ2所以21.99，故D错误，

1.99，

21．（2020·河北高三月考）2020年初，新型冠状病毒肺炎爆发时，我国政府迅速采取强有力措施抗击疫情，赢得了国际社会的高度评价，在这期间，为保证抗疫物资的质量，我国也加大了质量检查的力度．某市2020年初新增加了甲、乙两家专门生产消毒液的工厂，质检部门现从这两家工厂中各随机抽取了100瓶消毒液，

检测其质量，得到甲厂所生产的消毒液的质量指标值的频率分布直方图如图所示，乙厂所生产的消毒液质量指标值的频数分布表如表所示（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，视频率为概率）

质量指标值 0,10 20 10,20 10 20,30 30 30,40 15 40,50 25 频数 （1）规定：消毒液的质量指标值越高，消毒液的质量越好．已求得甲厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数为262，乙厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为26.5，分别求甲厂所生产的消毒液的质量指标值的3平均数以及乙厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数，并针对这两家工厂所生产的消毒液的质量情况写出两条统计结论；

（2）甲厂生产的消毒液的质量指标值Z近似地服从正态分布N,，其中近似为样本平均数x，并已

2求得11.95．该厂决定将消毒液分为A，B，C级三个等级，其中质量指标值Z不高于2.6的为C级，高于38.45的为A级，其余为B级，请利用该正态分布模型解决下列问题： （ⅰ）甲厂近期生产了10万瓶消毒液，试估计其中B级消毒液的总瓶数； （ⅱ）已知每瓶消毒液的等级与出厂价X（单位：元/瓶）的关系如下表所示：

等级 出厂价X A 30 B 25 C 16 假定甲厂半年消毒液的生产量为1000万瓶，且消毒液全都能销售出去．若每瓶消毒液的成本为20元，工厂的总投资为4千万元（含引进生产线、兴建厂房等一切费用在内），问：甲厂能否在半年之内收回投资？试说明理由． 附：若ZN,2，则PZ0.6827，P2Z20.9545，

P3Z30.9973．

【解析】（1）甲厂所生产的消毒液的质量指标值的平均数为

x甲50.1150.2250.3350.25450.1526.5．

设乙厂生产的消毒液的质量指标值的中位数为n， 则0.20.1n200.030.5，解得n262． 3统计结论：（答案不唯一，任意两个即可，其他答案如果叙述正确也给分）

①两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相等，从这个角度看这两家工厂生产的消毒液质量基本相当； ②由数据波动的情况可知，乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，说明甲厂生产的消毒液比乙厂生产的消毒液的质量更稳定．

③两家工厂生产的消毒液质量指标值的平均数相同，但乙厂生产的消毒液质量的方差大于甲厂生产的消毒液质量的方差，所以甲厂生产的消毒液更好．

④两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的众数均等于25． ⑤两家工厂所生产的消毒液的质量指标值的中位数均为262． 3⑥甲厂生产的消毒液质量集中在平均数附近，乙厂生产的消毒液中质量指标值特别小和质量指标值特别大的较多．

（2）（ⅰ）P2.6Z38.45P2Z

1P2Z2PZ0.8186， 2因为1000000.818681860，所以可估计甲厂所生产的这10万瓶消毒液中，B级消毒液有81860瓶． （ⅱ）设每瓶消毒液的利润为Y元，则Y的可能取值为10，5，4，

PY10PZ38.45PZ1 1PZ2110.68270.15865， 2由（ⅰ）知PY5P2.6Z38.450.1816，

所以PY410.81860.158650.02275，故Y的分布列为

Y P 10 0.15865 5 0.8186 4 002275 所以每瓶消毒液的平均利润为EY100.1586550.818640.022755.5885（元）， 故生产半年消毒液所获利润为15.58855.5885（千万元），

而5．5885（千万元）4（千万元），所以甲厂能在半年之内收回投资．

22．（2020·扬州市江都区大桥高级中学高三开学考试）2018年年初，山东省人民政府印发了《山东省新旧动能转换重大工程实施规划》，全省上下解放思想，真抓实干，认真贯彻这一方案，并取得了初步成效．为了进一步了解新旧动能转换实施过程中存在的问题，山东省有关部门随机抽取东部和西部两个地区的200个乡镇，调查其2019年3月份的高科技企业投资额，得到如下数据： 投资额/万元 乡镇数 [30,40) [40,50) 36 [50,60) 44 [60,70) 50 [70,80) 40 [80,90) 10 20 将投资额不低于70万元的乡镇视为“优秀乡镇”，投资额低于70万元的乡镇视为“非优秀乡镇”，并将频率视为概率．已知西部地区的甲乡镇参与了本次调查，其髙科技企业投资额为35万元．

东部地区 西部地区 合计 非优秀乡镇 优秀乡镇 20 合计 110 （1）请根据上述表格中的数据填写下面22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关．

（2）经统计发现，这200个乡镇的高科技企业投资额X（单位：万元）近似地服从正态分布N(,190)，其中近似为样木平均数（每组数据取该组区间的中点值作代表）．若X落在区间(2,2)外的左侧，则认为该乡镇为“资金缺乏型乡镇”． ①试判断甲乡镇是否属于“资金缺乏型乡镇”；

②某银行为本次参与调查的乡镇提供无息贷款支持，贷款方式为：投资额低于的每年给予两次贷款机会，投资额不低于的每年给予一次贷款机会．每次贷款金额及对应的概率如下：

贷款金额/万元 概率 400 0.2 600 0.5 800 0.3 求甲乡镇每年能够获得贷款总金额的数学期望．

n(adbc)2附：K，其中nabcd,19013.8

(ab)(ac)(cd)(bd)2PK2k0 k0 【详解】

0.10 0.025 0.005 2.706 5.024 7.879 （1）填写22列联表如下所示：

东部地区 西部地区 合计 非优秀乡镇 60 90 150 优秀乡镇 30 20 50 合计 90 110 200 200(60203090)2200k6.0615.024，

1505090110332所以能在犯误的概率不超过0.025的前提下认为“优秀乡镇”与其所在的地区有关． ①调查的200个乡镇的投资额频率分布表如下： 投资额/万元 乡镇数 频率 [30,40) [40,50) 36 0.18 [50,60) 44 0.22 [60,70) 50 0.25 [70,80) 40 0.2 [80,90) 10 0.05 20 0.1 则350.1450.18550.22650.25750.2850.0559.2， 因为200个乡镇的高科技企业投资额X近似地服从正态分布N(,190)，

2所以190,13.8，所以259.227.631.6，

因为甲乡锁的高科技企业投资额为35万元，大于31.6万元， 所以甲乡镇不属于“资金缺乏型乡镇”．

②由小问21可知这200个乡镇的投资额的平均数为59.2万元，甲乡镇的投资额为35万元，低于59.2万元，所以甲乡镇每年可以获得两次无息贷款，所得贷款总金额Y的取值可以是800，1000，1200，1400，1600，

P(Y800)0.20.20.04， P(Y1000)20.20.50.2，

P(Y1200)0.50.520.20.30.37， P(Y1400)20.30.50.3， P(Y1600)0.30.30.09，

贷款总金额Y的分布列为

Y P 800 0.04 1000 0.2 1200 0.37 1400 0.3 1600 0.09 E(Y)8000.0410000.212000.3714000.3168000.091240（元）．

23．（2020·广东广州·高三月考）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测120个

，，1.3,1.4，1.4,1.5，1.5,1.6，1.6,1.7，1.7,1.8这零件的长度（单位：分米），按数据分成1.21.36组，得到如图所示的频率分布直方图，其中长度大于或等于1.59分米的零件有20个，其长度分别为1.59，1.59，1.61，1.61，1.62，1.63，1.63，1.64，1.65，1.65，1.65，1.65，1.66，1.67，1.68，1.69，1.69，1.71，1.72，1.74，以这120个零件在各组的长度的频率估计整批零件在各组长度的概率.

（1）求这批零件的长度大于1.60分米的频率，并求频率分布直方图中m，n，t的值；

（2）若从这批零件中随机选取3个，记X为抽取的零件长度在1.4,1.6的个数，求X的分布列和数学期望； （3）若变量S满足PS0.68260.05且P2S20.95440.05，

则称变量S满足近似于正态分布N,2的概率分布.如果这批零件的长度Y（单位：分米）满足近似于正

态分布N1.5,0.01的概率分布，则认为这批零件是合格的将顺利被签收；否则，公司将拒绝签收.试问，该批零件能否被签收？

【详解】（1）由题意可知120件样本零件中长度大于1.60分米的共有18件， 则这批零件的长度大于1.60分米的频率为

180.15， 12030.025， 120记Y为零件的长度，则P1.2Y1.3P1.7Y1.8150.125， 1201P1.4Y1.5P1.5Y1.6120.02520.1250.35，

20.0250.1250.350.25，n1.25，t3.5. 故m0.10.10.1P1.3Y1.4P1.6Y1.7（2）由（1）可知从这批零件中随机选取1件，长度在1.4,1.6的概率P20.350.7. 且随机变量X服从二项分布X3B3,0.7，

201则PX0C310.70.027，PX1C310.70.70.189，

3PX3C30.730.343，

故随机变量X的分布列为

X P

0 0.027 1 0.189 2 0.441 3 0.343 EX00.02710.18920.44130.3432.1（或EX30.72.1）.

（3）由题意可知1.5，0.1，

则PYP1.4Y1.60.7；

P2Y2P1.3Y1.70.1250.350.350.1250.95，

因为0.70.68260.01740.05，0.950.95440.00440.05， 所以这批零件的长度满足近似于正态分布N1.5,0.01的概率分布. 应认为这批零件是合格的，将顺利被该公司签收.