数学解题技巧方法谈
第一集
1、三角恒等变换的基础、应用及技巧（1） 2、关于简单三角变换的问题（21） 3、三角恒等变换易错题剖析（28）
4、知识大盘点基本初等函数及三角恒等变换（31） 5、应试答题技巧（33） 6、考前状态调整（36）
7、数学(理)：2009年命题预测及名师指导（38） 8、第二章 数学科考试大纲导读（40） 9、必考内容与要求：函数概念（44） 10、必考内容与要求：立体几何初步（50） 11、平面解析几何初步（54） 12、算法初步（57）
13、高考数学知识网络图（58） 古人云：工欲善其事，必先利其器。 方法对头，百事不愁。解题之道，技巧先行。
1
-
一. 教学内容：
暑假专题——三角恒等变换的基础、应用及技巧 二. 教学目的
1、复习三角恒等变换的基本公式及相互关系 2、分析三角恒等变换的常见形式、问题及解题技巧 三. 教学重点、难点
三角恒等变换的常见形式、问题及解题技巧 四. 知识分析
1. 三角函数恒等变形公式 （1）两角和与差公式
（2）二倍角公式
（3）三倍角公式
（4）半角公式
（5）万能公式
，
2
，
-
（6）积化和差
， ， ，
（7）和差化积
， ， ，
2. 网络结构
3
-
3. 基础知识疑点辨析
（1）正弦、余弦的和差角公式能否统一成一个三角公式？
实际上，正弦、余弦的和角公式包括它们的差角公式，因为在和角公式中，是一个任意角，可正可负。另外，公式
虽然形式不同，结构不同，但本质相同：
。
4
-
（2）怎样正确理解正切的和差角公式？ 正确理解正切的和差角公式需要把握以下三点：
①推导正切和角公式的关键步骤是把公式都除以
②公式等于
③用
。 代替，可把
转化为
，其限制条件同②。
，从而“化弦为切”，导出了
都适用于
。
，右边的“分子”、“分母”
为任意角，但运用公式时，必须限定，都不
（3）正弦、余弦、正切的和差角公式有哪些应用？
①不用计算器或查表，只通过笔算求得某些特殊角（例如15°，75°，105°角等）的三角函数值。
②能由两个单角
的三角函数值，求得它们和差角的三角函数值；能由两个单角
的
三角函数值与这两个角的范围，求得两角和的大小（注意这两个条件缺一不可）。
③能运用这些和（差）角公式以及其它有关公式证明三角恒等式或条件等式，化简三角函数式，要注意公式可以正用，逆用和变用。运用这些公式可求得简单三角函数式的最大值或最小值。
（4）利用单角的三角函数表示半角的三角函数时应注意什么？ 先用二倍角公式导出
，再把两式的左边、右边分别相除，
得到，由此得到的三个公式：， ，
分别叫做正弦、余弦、正切的半角公式。公式中根号前的符号，由所在
的象限来确定，如果没有给出限制符号的条件，根号前面应保持正、负两个符号。另外，容易证明
4. 三角函数变换的方法总结
三角学中，有关求值、化简、证明以及解三角方程与解几何问题等，都经常涉及到运用三角变换的解题方法与技巧，而三角变换主要为三角恒等变换。三角恒等变换在整个初等数学中
5
。
-
涉及面广，是常用的解题工具，而且由于三角公式众多，方法灵活多变，若能熟练掌握三角恒等变换的技巧，不但能加深对三角公式的记忆与内在联系的理解，而且对发展数学逻辑思维能力，提高数学知识的综合运用能力都大有益处。下面通过例题的解题说明，对三角恒等变换的解题技巧作初步的探讨研究。
（1）变换函数名
对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。
【例1】已知θ同时满足a、b的关系。
和
,且a、b均不为0，求
解析：已知显然有：
由①×cos2θ＋②×cosθ，得：2acos2θ＋2bcosθ=0 即有：acosθ＋b=0 又 a≠0
所以，cosθ＝－b/a ③
将③代入①得：a（－a/b）2－b（－b/a）＝2a 即a4＋b4＝2a2b2
∴ （a2－b2）2＝0即｜a｜＝｜b｜
点评：本例是“化弦”方法在解有关问题时的具体运用，主要利用切割弦之间的基本关系式。
（2）变换角的形式
对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。
【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－
6
cos（θ＋15°）的值。
-
解析：设θ＋15°＝α，则
原式＝sin（α＋60°）＋cos （α+30°）－
cosα
cosα
＝（sinαcos60°＋cosαsin60° ）＋（cosαcos30°－sinαsin30°）－
＝sinα＋＝0
cosα＋cosα－sinα－cosα
点评：本例选择一个适当的角为“基本量”，将其余的角变成某特殊角与这个“基本量”的和差关系，这也是角的拆变技巧之一。
【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β） （其中cosβ≠A），试证明：tan（α＋β）＝证明：已知条件可变为：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β）
所以有：sin （α＋β） cosβ－cos （α＋β） sinβ＝Ａsin （α＋β） ∴ sin （α＋β）（ cosβ－Ａ）＝cos （α＋β） sinβ
∴ tan（α＋β）＝
点评：在变换中通常用到视“复角”为“单角”的整体思想方法，它往往是寻找解题突破的关键。
（3）以式代值
利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。
【例4】化简：
解析：原式＝
＝
7
-
＝
＝点评：1＝“
”的正用、逆用在三角变换中应用十分广泛。
（4）和积互化
积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。
【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x 解析：原方程变形为：
（1－cos2x）＋（1－cos4x）＝（1－cos6x） 即： 1＋cos6x ＝cos2x＋cos4x
2cos23x ＝2cos3x cosx
得： cos3x sin2x sinx ＝0
解得： x＝＋ 或 x＝
＋
（
,
）
｝
∴ 原方程的解集为｛x| x＝ 或 x＝
点评：题中先降次后升幂，这种交错使用的方法在解三角方程中时有出现，其目的是为了提取公因式。
（5）添补法
与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂项会使某些问题很便利地得以解决。将原式“配”上一个因子，同时除以这个式子也是添补法的一种特殊情形。
【例6】求证：
＝
证明：左边＝
8
-
＝
＝
＝ ＝∴ 原式成立。
＝右边
点评：本例中采用“加一项再减去一项”，“乘一项再除以一项”的方法，其技巧性较强，目的都是为了便于分解因式进行约分化简。
（6）代数方法
三角问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置换等的变形，从而将三角问题转换成代数问题来解，而且更加简捷。这其中有设元转化、利用不等式等方法。
【例7】锐角α、β满足条件，则下列结论中正确的是（ ）
A.α+β≠C. α+β＞
B. α+β＜ D. α+β＝
解析：令sin,则有
整理得： （a－b）2＝0 即a＝b
即： sin2α＝cos2β （α，β同为锐角） ∴ sinα＝cosβ ∴ α＋β＝
，故应选D。
点评：本例用设元转化法将三角问题转化为代数问题。换元法这种数学思想应用十分广泛，往往能收到简捷解题的效果．
（7）数形结合
9
-
有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时若能以数思形，数形渗透，两者交融，则可开辟解题捷径。利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的方程等方法都是数形结合的思想。
【例9】已知：解析：∵点Ａ
，Ｂ
，
，求均在单位圆上。
的值。
由已知条件知：AB的中点坐标为Ｃ（1/6,1/8），即直线ＡＢ过 定点C 如下图所示
∠xOC＝
∴
∴据万能公式得：
点评：本题用和差化积公式也不难求得，但在三角问题中利用单位圆是常见的研究方法。数形结合方法在三角变换中应用类型颇多，篇幅所限，仅举一例，本文不赘。从六、七两种方法可以看出，将代数、几何与三角有机联系起来，综合运用，在解三角变换题中，不仅构思精巧，过程简易，趣味横生，而且还沟通数学知识的纵横关系，也有利于多向探求，广泛渗透，提高和发展学生的创造性思维能力。
以上探讨了三角变换中的七种变换思想和解题方法，在实际解题中这些方法是交织在一起的，混合于同一问题中灵活使用。掌握这些变换方法的前提是熟悉公式，善于公式的变形运用，同时注意纵横联系数学知识用发散性的思维考虑问题。三角变换的技巧除了以上七个方面外，还有平方消元，万能置换，利用正余弦定理进行边角转换，利用辅助角，借用复数表示等方法我们以后有机会再介绍。
5. 非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究
10
-
非特殊角的化简求值是给角求值中一类常见的三角求值类型，对于此类求值问题，由于涉及到的三角公式及其变形灵活多样，因而如何利用三角公式迅速准确的求值应是解决这类问题的重点，现在我们通过一个题目的解法探寻，体会非特殊角三角函数的求法。 【题目】求
的值。
分析1：这是一道给角求值中非特殊角的化简求值问题，仔细观察可看出在所求式子中有一项是正切函数、一项是正弦函数，因此通常运用切割化弦，然后通过通分化简，使其化为特殊的三角函数值。
解法1：
点评：通分以后，要将和式转化为积式，需将
拆项为
，这是将和式
转化为积式中常用的变形手段，在将和差化积后要尽可能的出现特殊角特殊值，这样才有可能使化简得以进行下去。
分析2：运用切割化弦，通过通分化简后，若不考虑将和式转化为积式，而是对角进行变换，观察到运算的式子中出现的两角为20°，40°，与特殊角比较则会有60°－40°＝20°，变角后再应用两角差的正弦公式展开进行化简。
解法2：
11
-
分析3：我们在运用“切割化弦”时，若不利用商数关系
，而是将 tan200利用
半角公式
解法3：
进行化弦，也能进行求值。
分析4：从以上路径可以看出
，而
是一个特殊的三角函数值，考
，这样问题就转
虑它等于什么呢？化为等式的验证。
解法4：
，因而考虑可否会有
12
-
∴有
点评：本路径采用了综合法，只进行等式 解决。
分析5：利用倍角公式可得到
的验证，问题就得以
，能否再对角进行适当的变换，出现
特殊角，我们发现40°＝60°一20°，这样变角后利用两角差的正弦公式展开化简，也能求值。
解法5：
将等式可写成
两边同除以
得
点评：本题利用综合法求得了
的值，在这里首先进行角的变换，然后利用
两角差的正弦公式展开，合并同类项后，再进行弦化切割，从而得到所要求的值。
以上我们探寻了不查表求非特珠角的三角函数的值的问题，对于这类问题，要从多方面考虑解决的方法，在这里我们是从三角函数的“变名”“变角”“变式”“切割化弦”弦化切割”等方面而进行了三角恒等变形，这在以后的学习训练中要逐步体会掌握。
【典型例题】 例1. 化简cos（
13
π＋α）＋cos（π－α），其中k∈Z。
-
解析：解法一： 原式＝cos［kπ＋（
＋α）］＋cos［kπ－（
＋α）］＝coskπcos（
＋α）－sink
πsin（＋α）＋coskπcos（＋α）＋sinkπsin（＋α）＝2coskπcos（＋α），（k∈Z）
当k为偶数时，原式＝2cos（当k为奇数时，原式＝－2cos（总之，原式＝（－1）k（cosα－解法二：由（kπ＋cos（kπ－
＋α）＝cosα－＋α）＝
sinα
sinα－cosα
sinα），k∈Z
－α）＝2kπ，知
＋α＋kπ）］＝cos［－（kπ＋
＋α）］＝cos
＋α）＋（kπ－
－α）＝cos［2kπ－（
（kπ＋＋α）
∴原式＝2cos（kπ＋其中k∈Z
点评：原式＝cos（kπ＋－（
例2. 已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求解析：解法一：由已知条件及正弦的和（差）角公式，
的值。
＋α）＋cos（kπ－－α）＝cos［kπ＋（＋α）］＋cos［kπ＋α）＝2×（－1）kcos（
＋α）＝（－1）k（cosα－
sinα），
＋α）］这就启发我们用余弦的和（差）角公式。
14
-
解法二：（设未知数）令x＝
解之得
例3. 在中，求的值和的面积。
解析：解法一：解方程组
。
得，故
。
解法二：由
，可得
因为
，所以
及
，故
得
，即
15
-
解方程组
（以下同解法一）
得，故。
解法三：因为，
所以又故
（以下同解法一） 例4.
，
。
，
解析：解法一：此题可利用降幂、积化和差、和差化积等公式进行恒等变形化简。 原式
解法二：利用“整体配对”思想，构造对偶式来解题 设
则
16
-
两式相加得
即
例5. （第5届IMO试题）证明解析：设
则
∴
∴
或（舍去）
【模拟试题】 一、选择题： 1. 已知
的值为（ ）
A. 2.
B. C. D.
的值为（ ）
A. 0 B. 3.
C. D.
的值为（ ）
17
-
A. 1 B. 4.
C. － D.
的两内角A,B满足，则此三角形的形状为（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 5. 已知A.
B.
，则
C.
的值为（ ） D.
6. ,则的值为（ ）
A. 7. 若A. C. 8. 函数
B. －1 C.
，则
D.
的值为（ ）
B. D.
的值域是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于，则这个三角形底角的正弦值为（ ）
A. 10.
B. C. 等于（ ）
D.
A. －1 B. 1 C. 2 D. －2
二、填空题 11. 在12. 已知
中，已知tanA ,tanB是方程
，则
的值为
的两个实根，则
18
-
13. 观察下列各等，
式：，
，根据其共同特
点，写出能反映一般规律的等式 。 14. 已知直线上一动点，作AC 。
三、解答题： 15. 化简16. 已知
，求
的值
，A是
之间的一定点，并且A点到
的距离分别为面积的最小值为
，B是直线
AB，且使AC与直线交于点C，则
17. 证明：18. 知函数
，求
（1）函数的最小值及此时的的集合 （2）函数的单调减区间 （3）此函数的图像可以由函数19. 已知向量（1）当（2）当【试题答案】 一、选择题：
1. C 2. B 3. D 4. C 5. A 6. C 7. B 8. D 9. C 10. A 二、填空题：
，且，且
，
∥时，求
时，求
的值 的值
的图像经过怎样变换而得到 。
19
-
11. －7 12. 14.
13.
三、解答题：
15. 解：原式
16. 解：
（2）＋（1）得（2）－（1）得17. 略 18. 解：由
（4）（3）得
（1）当时，，此时，由得
（2）由（3）其图像可由
得减区间为的图像向左平移
个单位，再向上平移2个单位而得到。
19.（1）由
，得
，
（2）由
20
-
得
而
所以
关于简单三角变换的问题
1、同角的三角函数有三种关系： 平方关系：sinα＋cosα=1；
2
2
商式关系：；
倒数关系：tanαcotα=1． 它们的主要应用有：
（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切中的一个，求其他两个； （2）化简三角函数式； （3）证明简单三角恒等式等．
同角三角函数变换，要突出弦、切互化，同时要注意各种变换技巧，如“1”可以用“sinα＋cosα”代换等．
2
2
2、诱导公式有两组，可概括为对k·90°±α(α∈Z)的各三角函数值满足规律“奇变偶不变，符号看象限”，即当k为偶数时，得α的同名函数；当k为奇数时，得α的余名函数；然后在前面加一个把α看成锐角时原函数的符号．在利用诱导公式求任意角的三角函数值时，不必拘泥于课本上列出的几个步骤，可以结合三角函数的性质，灵活使用． 3、三角函数的恒等变换中最基本、最常见的变换有：
21
-
（1）公式变换：要注意正确理解公式中和、差、倍的相对性，抓住公式中角、函数、结构的特点，灵活地对公式进行正向、逆向及变形使用；
（2）角度变换：要善于分析角之间的和、差、倍、半的关系，要特别注意能否产生特殊角，正确使用诱导公式及辅助角公式； （3）函数变换：弦切互化；
（4）1的变换：如1= sinα＋cosα，1= tanαcotα，
2
2等；
（5）幂的变换：用公式
4、三角恒等变换的基本题型有三种． （1）求值：
来升、降幂．
①给角求值，其关键是正确分析角间的关系，准确地选用公式，将非特殊角转化为特殊角或将非特殊角的三角函数值相约或相消；
②给值求值，其关键是分析已知和待求式之间的角、函数、结构的差异，有目的地消化； ③给值求角，其关键是先求出该角某一三角函数值，在对应函数的单调区间内求解． （2）化简：
①未指明答案的恒等变形，应把结果化为最简形式；
②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式，如一角一函数形式，以便研究函数的各种性质． （3）证明：
主要有两种：无条件恒等式证明和条件恒等式证明． 5、在求值、化简、证明中应注意的问题有：
22
-
（1）三角式化简的目标． ①项数尽可能少；
②三角函数种类尽可能少； ③角尽可能少、小； ④次数尽可能低；
⑤分母尽可能不含三角式； ⑥尽可能不带根号； ⑦能求出值的要求出值． （2）三角运算的基本原则．
③异角化同角；（角分析法）
⑦常数的处理（特别注意“1”的代换）． （3）几个重要的三角变换思想 ①sinα·cosα→凑倍角公式； ②1±cosα→升幂公式；
③1±sinα→配方或化为1±cos(π/2－α)再升幂； ④asinα＋bcosα→辅助角公式；
23
-
⑤tgα±tgβ→两角和与差的正切公式逆用． 三、例题讲解：
例1、求证：tan3A－tan2A－tanA=tan3A·tan2A·tanA． 证明：欲证等式即为tan3A(1－tan2A·tanA)=tan2A＋tanA，
即
根据正切的和角公式，
．
结论成立．
小结：1、分析法“执果索因”，便于寻找解题途径，也是三角恒等式证明中的一种常用方法；
2、本题可以推广如下：若α=β＋γ，则tanα－tanβ－tanγ=tanα·tanβ·tanγ．特殊地，若△ABC是非直角三角形，则
（1）tanA＋tanB＋tanC=tanA·tanB·tanC， （2）tannA＋tannB＋tannC=tannA·tannB·tannC．
例2、已知
求常数a、b的值．
(a≠0)的定义域为[0，]，值域为[－5，1]，
分析：观察函数的特征，需将它化归为形如y=Asin(ωx＋φ)＋B型三角函数求值域，特别注意此时x∈[0，
]，故首先要求出ωx＋φ的范围并进而求出sin(ωx＋φ)的取值范围，
同时注意系数A的符号．
解：
24
-
（1）
求得a=2，b=－5．
（2）
求得a=－2，b=1．
例3、已知sinα是sinθ和cosθ的等差中项，sinβ是sinθ和cosθ的等比中项，求证：cos4β－4cos4α=3．
证明：由已知条件得： 2sinα=sinθ＋cosθ，① sin2β=sinθ·cosθ．②
①式平方得：4sin2α=1＋2sinθcosθ，③ ②式代入③得：4 sin2α=1＋2sin2β， 即2cos2α=cos2β．④
④式平方得：4cos22α=cos22β，
25
-
再降幂：2(1＋cos4α)=(1＋cos4β)， ∴cos4β－4cos4α=3．
小结：在三角变换中，为了达到化繁为简的目的，降幂应该是最主要的手段，但在某些情况下，升幂也是必要的．
例4、已知 ，求：
（1）x＋2xy＋y的最大值与最小值；
2
2
（2）求3x＋4y的最大值与最小值．
分析：由已知条件的结构特征：两数的平方和为1，联想到sin2θ＋cos2θ=1，由此可作三角代换，将上述问题转化成三角函数的最值问题．因而本题考查三角函数作为工具被应用的能力．
解：
（2）
26
-
例5、如图所示，一条河宽1千米，两岸各有一座城市A和B，A和B的直线距离是4千米，今需铺设一条电缆线连结A与B．已知地下电缆的修建费是2万元/千米，水下电缆的修建费是4万元/千米．假定河两岸是平行直线，问应如何铺设电缆方可使总施工费用最少．
分析：解决实际应用问题，关键是建立数学模型．此处有两种选择：一是建立函数模型，可以考虑以AD或DB为自变量，函数式易立，但最值难求；二是建立三角模型，转化为求三角函数最值，处理稍容易些．
解：设∠CAD=θ，由AC=1，AB=4，则
．
依题意，设由A到B铺设电缆的总费用为y，则
27
-
答：水下电缆应从距B城（）千米处向A城铺设．
三角恒等变换易错题剖析
2011-02-21 09:28 来源： 文字大小：【大】【中】【小】
三角函数是高中数学的重要内容，是高考考查的重点，热点.不论是三角函数的求值、化简、证明，还是其它与三角函数有关的考题，都涉及到利用三角恒等变换.三角变换的方法很多，如切割化弦，异角化同角，异名化同名等.在解题中，常需要对角的范围及三角函数值的符号情况进行讨论，甚至是一些变换技巧的应用，若审题不严不细，很容易出错.下面就学生在解三角恒等变换题目时常出现的几类错误进行剖析. 1. 变异为同，意识不强 已知
错解：故
，则
，
.
的解析式在必修1教学时学过，是一大难点,本题
=___________．
分析 本题考查函数解析式及函数值的求解，求题目同时出现了正解 28
需要用换元法求解析式.学生错误的原因首先是特殊角的三角函数值没有记准，其次考虑问题不到位，因为
等信息，肯定要用“切割化弦”，“1”的代换等将问题简化.
．
-
令故
，则
．
，
2．未知化已知，衔接不当 例2已知
错解 又解方程组，得 再将原式展开，把
，
，
．
，则
=_____________．
，
值代入.(学生往往做到这，就做不下去了)
分析：上述解法是用常规思路求值，但计算过程比较麻烦，计算量大.本题只须先找准所求式子中的角与已知角的关系，即
弦值，采用整体代入思想即可.
正解
，则原式可整理如下：
，
，再利用诱导公式转化为求已知角的余
3．定义域优先原则，容易忽视 例3分别求函数
的奇偶性和周期.
错解 又
是奇函数．
，
又 故的周期是.
29
-
分析 利用公式将化简，是本题的突破口，得到的结果是
，即须满足
，且此定义域不关于原点对称，从而
.但在求奇偶性时，忽略了
定义域优先的原则，要使函数有意义，
是非奇非偶函数.而
的周期性需要从图象来判断. 正解：要使函数有意义，则有即故
的定义域是是非奇非偶函数．
，
不关于原点对称，
又
由其图象特征知，
是周期函数，且．
时，此函数即是奇函数.
说明 此题若指出函数的定义域为
4．产生增根，不易排除 例4 设错解
，
又
是第四象限的角，故
，
故
可能在第三，四象限，
．
分析 例题利用拆项
时，
弦值可以避开错误,所以灵活选用公式很重要. 30
，
是第四象限的角，若
，则=__________． ，
， ， ，
，所求问题得以求解.但是
，并不是有两个值.
，
可能在第三，四象限，求
的余
-
正解 由，
，
， 故
，
．
．
可能在第三，四象限． ．
5.考虑不周，范围扩大 例5已知错解 由
，得 ，
故
． ，暗示学生用
论，学生很容易放松警惕而考虑不全面. 正解：（前面同上） 又由
，得 ，
综上所述,
．
，
.但由于使用部分公式就可以很快得出结
，求
的范围.
．
分析 本题看似简单但很容易出错，错解选用公式正确，但考虑欠周.题目同时出现了
知识大盘点：基本初等函数及三角恒等变换
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8.基本初等函数(Ⅱ)及三角恒等变换
同角三角函数关系式： 31
-
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1,1＋tan2α＝sec2α，1＋cot2α＝csc2α； (2)倒数关系：sinαcscα＝1，cosαsecα＝1，tanαcotα＝1； (3)商数关系：tanα＝sinα/cosα，cotα＝cosα/sinα.
①诱导公式的规律可简记为：奇变偶不变，符号看象限。此外在应用时，不论α取什么值，我们始终视α为锐角。否则，将导致错误。诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：a.负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α＜2π；b.转化为锐角。
②求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值). ③三角函数的图象与性质：
三角函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx y＝cotx 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) (nπ－，nπ＋) (nπ，nπ＋π) 值域 [－1,1] [－1,1] (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 当x＝2kπ＋ 当x＝2kπ时， 最大(小) 值(k∈Z) 时，ymax＝1； ymax＝－1； 当x当x＝2kπ－ ＝2kπ＋π 时，时，ymin＝－1 无 无 ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 周期性 T＝2π T＝2π T＝π T＝π 有界性 有界 有界 无界 无界 在[2kπ－， 2kπ＋] 上都是单调性 (k∈Z) 增函数， 在[2kπ＋， 2kπ＋] 上都是减函数 在[(2k－1)π，2kπ] 上都是增函在(kπ－， kπ数， 在[2kπ，(2k＋) 内都是增函＋1)π] 上都是减函数 数 在(kπ，kπ＋π) 内都是减函数 32
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(ⅰ)公式间的关系 相除相除相除
(ⅱ)辅助角公式：asinα＋bcosα＝√a*a+b*bsin(α＋φ)(辅助角φ所在象限由点(a，b)的象限决定，tanφ＝b/a).
(ⅲ)三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有：
a.巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β/2，α＋β/2＝α－β/2－α/2－β等). b.三角函数名互化(切割化弦).
c.公式变形使用如：tanα±tanβ＝tan(α＋β)(1∓tanαtanβ).
d.三角函数次数的降升(降幂公式：cos2α＝1＋cos2α/2，sin2α＝1－cos2α/2；升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α).
e.式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同).
f.常值变换主要指“1”的变换(1＝sin2x＋cos2x＝sec2x－tan2x＝tanxcotx＝tanπ/4＝sinπ/2＝…).
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应试答题技巧
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第四章 应试答题技巧
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最易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段，此时保持心态平衡是非常重要的。刚拿到试卷，一般心情比较紧张，不要匆匆作答，可先通览全卷，尽量从卷面上获取最多的信息，为实施正确的解题策略作全面调查，一般可在10分钟之内做完下面三件事。 1.解答那些一眼看得出结论的简单题(一旦解出，情绪会立即稳定).
2.其他不能立即作答的题目，可一边通览，一边粗略分为A、B两类：A类指题型比较熟悉、预计上手比较容易的题目；B类是题型比较陌生、自我感觉比较困难的题目。
3.做到三个心中有数：对全卷一共有几道大小题有数，防止漏做题；对每道题各占几分心中有数，大致区分一下哪些属于代数题，哪些属于三角题，哪些属于综合型的题。
通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”.对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅，有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。
“分段得分”的基本精神是：会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。
1.对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、思维的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣点分”.经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”.
2.对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。 (1)缺步解答。如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”.
(2)跳步答题。解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”.由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。
(3)退步解答.“以退求进”是一个重要的解题策略。如果不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”.这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。
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(4)辅助解答。一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。
答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高准确率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，在确信万无一失后方可交卷。
考前状态调整
2009年02月16日 18:53
第五章 考前状态调整
第一节 调整心态，突破“心理围城” 一、考试一半是靠心态
一年一度的高考，对广大考生是一次极其严峻的考验。它不仅是对考生的知识、智力、技能的考查，也是对考生情感、意志、体力的挑战。无论心理学的研究，还是高考的实践都表明，考生的应考心理如何，临场发挥的好坏，在很大程度上影响着高考的结果。中科院心理研究所王极盛教授对20个影响高考成功因素的研究结果表明，考试中心态排第1位。 1.不良应考心理的外部表现
“应考心理”作为一种心理现象，多数时候主要反映在思维活动中，但有时会在人的言行、神态中表现出来。比如在考试前感到紧张不安、焦虑失眠，学习效率下降，甚至食欲不振，精神体力都有极度疲惫的感觉；在考试中有人心情激动，难以平静，不能很快进入角色；有人碰到一些问题就惊慌失措、悲观失望，甚至想退场；有人感到头昏目眩，心慌烦躁，身心不适等等。这一切其实都是不良应考心理的外部表现。有一些医学工作者称这种现象叫考试综合症。据最近几年的实际观察，有以上这些现象的考生不是少数，而占到相当的比例。现代科学研究证明：适度的压力，适当的紧张，可以提高人的工作和学习效率，无论是对人的身体健康，还是对人的心理锻炼都有益处。但是，如果压力过大，长期精神紧张，就会出现适得其反的效果，情绪不安、焦虑紧张、悲观失望等不良心理现象会直接影响到考生的临场发挥。 2.应考心理对临场发挥的影响
应考心理与临场发挥之间的关系是紧密联系不可分割的。应考心理的好坏，在相当程度上影响到临场发挥的好坏。应考心理越好的考生，一般来说，临场发挥就越好。反之，则越差。经常有这种现象：有的考生平时成绩并不怎么好，甚至较差，但是高考中却发挥得相当出色，甚至超水平发挥；而有的考生平时成绩还不差，但考试结果却令人失望。这样的例子比比皆是。究其原因，很重要的一个方面还是应考心理在作怪。可以这样说：应考心理与临场发挥之间存在着因果关系，“临场发挥”是对“应考心理”的最好检验。
3.树立正确的考试观
应该教育考生，使他们认识到：高考固然是一条成功之路，但并不是“唯一”的成功之路。金榜题名诚然可喜，但“榜上无名”也未必就是穷途末路。当今社会，正处在改革发展的时代，需要各方面人才。35
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只要树立了远大的志向，正确的理想，并为之奋斗，就一定能有所作为。考生应树立正确的考试观，排除一切不利因素的干扰，正确对待高考。
有一点非常重要，就是考生一定不能迷信，有的考生考前看到了乌鸦，就觉得自己完了，看到喜鹊则认定对自己是个好兆头。还有许多考生考前爱扔硬币来判定自己的成功几率。这些都是要不得的，只会扰乱你的情绪，打击你的自信。 二、考试情绪的自我调适
考生当听到入场铃声时，难免心理紧张，特别是第一天的第一科考试。所以提前准备很关键，首先是物质准备，而心理准备更为重要。考生一迈入考场，可能会出现突如其来的紧张。考前的知识储备和身心调适越充分，这种紧张发生的可能性越小。
如果在考场上已经出现这种状况，这时再去懊悔是没有益处的，只能积极地采用一些调控措施消除这些情况带来的影响。 1.突然慌乱
有时，考生可能因为在作答时遇到了难题，或是遇到钢笔坏了之类的意外情况，或是冷不防从脑海里迸出“我要失败了”等消极的想法，便突然慌乱起来。这种情况发生后，可采取以下几种方法：第一种方法是放松，一旦出现突然慌乱的最初征兆，最好暂停作答，闭合双眼，轻轻地对自己说“放松”，重复六次，并注意体验全身松弛的感觉；也可以全身高度绷紧十秒钟，然后突然放松。第二种方法是深呼吸，在突然慌乱时，呼吸会变得急促，这时应该有意调节呼吸，在吸气时绵长、缓慢、深沉，呼气时也这样。第三个办法是中断思路，一旦产生容易引起慌乱的想法，可以果断地对自己说“停”，同时握紧一下拳头，这样能中断原来的思路。当自觉情况好转后，应迅速转入正常考试状态。 2.瓶颈效应
瓶颈效应是指在考试过程中，心里觉得似乎容易解决而一时又解决不了的心理现象。这时考生答题一会儿感到似乎已经茅塞顿开，一会儿又觉得毫无办法，欲行不能，欲罢不忍，时间不知不觉溜过去了。瓶颈效应常伴随突然慌乱发生，并加剧慌乱程度。遇到这种情况时，首先要保持镇静，注意放松，调整呼吸；然后，通过情境、结构联想，回忆与该问题有关的内容，发掘出有用的材料和线索。另外，还可以暂时放下当前的题目，先做别的题，过会儿再回头思考，说不定会从其他题目中得到启发而豁然开朗呢！ 3.身体疲劳
高考时，连续数小时处于注意力高度集中、思想持续活跃、书写量较大的状态中，考生很容易产生身体疲劳现象。在高考前，考生要注意保证充足的睡眠、适度的锻炼和良好的营养，从而为高考储备足够的精力。在考试当中，要不时给自己一些调整状态的短暂间歇，伸展四肢和腰背，活动手腕和头颈，摇摇手指关节，这样，才不至于过分紧张或疲劳，维持良好的机能状态。有些考生在考试过程中感到手指非常紧张，严重时感到握笔和写字非常困难，这是手部疲劳的一种表现。出现这种情况时，先放下笔，活动活动手腕，手臂自然下垂轻轻地摇一摇；也可以双手交叉按压指关节，双手举至面部自上而下做干洗脸五至六次，手便会放松许多。 4.作弊冲突 36
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高考，要求严格、组织严密，与每个考生的前途有着重大关系。由于社会不正之风的影响，以及个人准备不充分、成功欲望过强、道德水准较低等原因，有的考生在高考中还可能陷于作弊冲突之中。作弊是与社会道德相背离、与科学精神相对立、与考试规则相冲突的，应该坚决抵制。然而，高考关系重大，一分之差可能引起天壤之别，所以有些考生在高考中偶尔会萌发作弊念头。有了这种念头的考生应立即设法排除，以免影响考试。对于那些试图把意向变成行动的考生朋友，不要冒险做那些会令你窘迫，甚至断送你前程的傻事，因为监考老师和考场纪律都是严格无私的。 第二节 考前一周整装待发 一、决战前的部署至关重要
1.一般来说，高考前几天复习，总的原则是回归教材，通过知识网络，把查漏补缺、解决前面复习中出现的问题放在第一位。没必要也不可能再把每一科详细地复习一遍。因此，最后七天的复习更应收缩到教材上来。通过看书上的目录、标题、重点等，一科一科地进行回忆，发现生疏的地方，及时重点补习一下，已经熟练掌握了的内容，可以一带而过。还可以看自己整理的提纲、图表、考卷，重温重要的公式、定理等。这七天的复习，就像运动员在比赛前的准备活动或适应性练习一样。通过这七天的收缩复习、强化记忆，可以进一步为高考打下坚实的知识基础。心理学界有一个普遍的共识，早起后半小时和晚睡前半小时，这两段时间是最佳的记忆时间，所以，这一个小时要充分利用。
2.进入全真模拟状态。全真模拟复习要与高考时间程序表一致，这样才能在高考的那天，顺利进入状态。每天做一套卷子，这样在几天后真正拿到高考试卷时不会感到手生，能尽快找到感觉。
3.要保持自己平时学习和生活的节奏，适当减小复习密度和难度，可以得到“退一步，进两步”的效果。保持大脑皮层的中度兴奋(既不过分放松也不过分紧张)，要避免和他人进行无谓的辩论和争吵。可以适当地看电视、听音乐、做自己喜欢的事，不过最好别玩电脑，因为电脑游戏、网络容易令人沉迷。这样，就能在考试前夕，创造一个良好的心境。
4.高质量的睡眠永远是最有效的休息方式。考前有的考生可能会因兴奋而失眠。所以，睡前不应喝咖啡、茶之类的刺激性饮料，也不应看紧张、扣人心弦的故事片。到了正常睡觉时间或是稍早一点(大可不必早早上床等着入睡)，躺到床上，全身放松，争取迅速入睡。若一时睡不着，千万不能着急，不要责备自己或胡思乱想，只管保持平和心情，采取重复放松技术。其实只要全身非常放松，大脑不兴奋，完全可以获得身心的休息。
“猫头鹰”式的考生如何应付上午的考试？有些考生习惯于夜间用功学习，夜越深精力越好；还有些考生为争取时间，拼命熬夜，以致养成习惯。这两种情况，都会使考生在白天，特别是上午精力不佳，但考试又都是在白天进行。为了解决这一矛盾，必须事先进行人体生物钟调整，逐步改变生活习惯，以适应考试的时间安排。调整生物钟，从临考前两周就要开始矫正作息时间，坚持晚上9点30分睡觉，早晨6点起床。开始时可能怎么也睡不着，不过没关系，睡不着就看书，但第二天早6点一定要起床。因为头天晚间没睡好，起床后昏昏沉沉。这时一定不可赖在床上，可以到附近公园、街道上跑跑步，边跑边背些单词。几天过后，就会慢慢适应早睡早起的习惯了。考前一周应按考试时间安排作息，早6点起床、运动、吃饭，8点钟准时开始复习，中间休息20分钟。最好按考试科目时间复习。这样经过一段适应训练，临场考试就不会有异常感觉了。
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5.在高考前一两天，考生应该熟悉考场。在通常情况下，一个学校的考生可能要到另一个学校去考试，所以，熟悉考场尤为重要。所要熟悉的内容有：所在考场离居住地点有多远；用什么方式抵达比较迅速和安全；在路上要花多少时间；自己在哪个教室；坐哪个座位；座位是靠近门窗还是贴近墙角；教室是向阳还是背阳；厕所及其他服务设施在哪儿；附近有无可以休息和饮食的地方，这些问题在准备时都应该弄清楚。否则，临到考试时由于没有准备，一些意外情况可能会让你陷入混乱和迷茫，影响注意力和思维的灵活性。譬如出发过晚，气喘吁吁地赶到考场再匆匆忙忙找自己的座位，这样会影响情绪，耽误做题时间；如果开始考试时才发现窗户透进的阳光直射你的座位，这时抱怨着急只会起消极作用。还有在教室门口附近就坐的考生，易受到巡视员进出的影响。若对这些事情早有准备的话，就能把这些所引起的心理冲击减小到最低程度。熟悉考场，早作准备，会给考生带来信心和安全感。 二、必要的物质准备是高考成功的先决条件
1.备齐考试用品。考试前一两天，要仔细检查一下高考时必备的文化用品(如手表、钢笔、三角板、圆规、铅笔、橡皮等)，如果用品不齐或有故障，一定要及时解决。高考的前一天晚上，临睡前要将包括准考证在内的所有必备品装在一个袋子里(最好是厚而透明的小塑料袋)，放在容易看到的地方。每次考试出发前，一定要检查一下。这些看起来是小事，但小事弄不好，有时也会误大事。如每年高考都会有人忘记带准考证，从而无法进入考场，延误了考试时间，凭添一番烦恼；有时，手表未及时更换电池，在考试中途手表停了，很长时间自己也未发现，造成考生不能合理地分配答题时间；还有的考生，只带了一支钢笔，答卷不久，钢笔又不下水了，也十分狼狈…….总之，高考也应像打仗一样，要“兵马未动，粮草先行”，不打无准备之仗。
2.注意养精蓄锐。考生经过高中三年的学习，特别是最后的复习，目的就是迎接高考，接受国家的考核和选拔，可谓“养兵千日，用在一时”.所以，考前要注意“养精蓄锐”，注意饮食起居，预防突发感冒、腹泻等疾病，多补充一些优质蛋白质食品，如鸡蛋、瘦肉、肝、牛奶和豆制品等，多吃蔬菜和水果。这些食品营养丰富，有助于增强体力和记忆力。为了防止意外情况发生，考试前几天不要参加较为激烈、体能消耗过大的文体活动，同时不要到离家太远的地方。适当的放松和休息应是考前一周的主旋律。 3.女生在高考前应充分估计，高考那几天是否是月经期。如果是，应和家长、医生商量一个妥帖的处理方法。尤其是平时月经期身体不适，有痛经或其他不良反应的考生更应该考虑周到一些，以免到时手足无措，影响考试。
数学(理)：2009年命题预测及名师指导
2009年02月16日 18:53
第一章 2009年命题预测及名师指导 2009年高考命题变化趋势及考前指导 江苏省淮阴中学 韩晓东 一、命题展望
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1.集合和逻辑部分考查重点是集合之间的关系，集合的运算，充分与必要条件，全称量词与存在量词，这些知识点在高考试题中一定会出现。这一部分命题应以选择题填空题形式为主，但也不排除解答题中运用到相关知识，例如：充要条件的证明。
2.函数是高中数学最重要的内容，是贯穿于整个中学数学的一条主线，因而是高考的必考内容和热点内容。考查函数主要是从函数的性质和函数的应用两个层面来进行。函数性质的考查大多以基本函数为主，但由于近年来函数与导数结合是高考的热门话题，因此其他新颖函数也将是高考命题的设计点。考生应会运用所学的数学知识、思想、方法，构造数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决。考查函数的应用主要有两种形式：一是以选择题填空题的形式考查几种常见函数模型在实际问题中的应用、函数以及函数的零点、函数与方程的关系等，一般为容易题；二是以解答题的形式考查实际问题以及函数与其他知识的综合应用，如方程、不等式、数列、解析几何等，综合性强，难度较大。
3.三角函数部分内容的考查有逐步强化的趋势，主要表现在对三角函数图象与性质的考查上有所加强。大致可以分为如下几类问题：与三角函数单调性有关的问题(这一类问题中要注意与导数的结合，这是学生知识的一个薄弱环节)，与三角函数图象有关的问题，应用同角变换和诱导公式，求三角函数的值及化简，等式的证明问题，与周期性和对称性有关的问题，三角形中的问题等。
4.数列是特殊的函数，而不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合求解题对基础和能力实现了双重检验，三者的综合求证题所显示的代数推理是近年来数学高考命题的新的热点。等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和的公式，对基本的运算技能要求比较高.Sn与an之间的关系经常是考查的重点，需要灵活应用。递推数列是近年高考命题的一个热点内容之一，常考常新。
5.不等式的考查重点是一元二次不等式和基本不等式与函数、方程、数列等知识综合应用能力。高考命题会注重突出不等式的知识在解决实际问题中的应用价值，借助不等式来考查学生的应用意识。 6.立体几何的考查以直线与平面、平面与平面的平行与垂直的性质与判定为主，尤其是以多面体为载体的线面的位置关系的论证，一般以解答题的形式出现。但也不要忽视与三视图知识有关的考查，因为三视图是新课标的特有内容，一般会重点考查，所以在三视图这一知识点出题的可能性很大，但限于知识的局限性，出现解答题和画图题的可能性不大，或只作为解答题的辅助工具，一般会在选择题填空题中考查，一是给出空间图形，选择其三视图，二是给出三视图，判断其空间图形，也有可能与面积和体积的计算问题结合在一起考查。
7.直线包括倾斜角、斜率、距离、平行与垂直、线性规划等基本问题；对称问题(包括点对称、直线对称)要熟记解答的具体方法；与圆的位置有关的问题，其常规的解答方法是研究圆心到直线的距离。圆锥曲线主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质。
8.向量作为一种工具将广泛应用于数学各分支当中。特别是与解析几何、函数、立体几何的有机结合将成为一种趋势，向量将不再停留在问题的表述语言水平上，其综合程度将会逐渐增强。向量和平面几何结合将是高考命题的一个亮点。
9.概率考查的主要内容是古典概型、几何概型、互斥事件的概率。统计主要是以频率分布直方图的认识、均值与方差的计算为主。算法考查的内容是流程图和算法语句。 二、备考建议 39
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眼下高三已进入冲刺复习阶段，要以挖掘和提升高三学生潜能为中心，以综合运用和心理优化为基本点，以造就最佳竞技状态为主要目标。其指导思想就是巩固与完善、综合与提高，即巩固复习成果，通过冲刺阶段复习，进一步完善和深化知识体系；按照知识交汇点和数学思想方法上的整体观点对高中数学进行逻辑上的重组，通过训练和反思等活动，促进数学应用能力的提升。
1.强化“三基”的回顾与完善每位同学应有计划地、有针对性地翻看已考过的试卷，回顾并记忆基本概念、性质、法则、公式、公理、定理，回顾基本的数学方法和数学思想的应用，典型问题的正确解法，一些重要结论及其用法，要从方法上串联知识，让知识由厚至薄，有意识地培养多题一解、一题多解的能力.2.强化“主知”的应用与提高 高中数学的主干知识为：两数(函数、数列)、两式(三角式、不等式)、两线(直线与平面、直线与曲线)、两率(概率、导数)和一量(向量)，它们就是高考命题的重点。因此，我们要加强主干知识的复习。一是通过专题复习或把模拟试卷中的同类问题集中起来进行复习和整理，从中归纳和总结出主干知识所涉及的基本题型和解法，比如：处理函数的基本性质时常常从性质的定义和图象入手，函数奇偶性、周期性和对称性的定义是都关于x的恒等式，而函数单调性的定义和判断往往转化为恒成立的不等式；二是通过主干知识的横向综合来提高综合运用数学知识的能力，比如：通过函数、导数与数列、不等式的综合复习提高代数论证能力，通过向量与解析几何、向量与函数(尤其是三角函数)的复习体现向量的工具性；三是通过数学思想方法来逻辑地深化主干知识。比如：要树立“由数思形，据形建数”的意识；对于含参数的讨论，其中分类标准的确定是解题关键；将数列问题进行特殊化或一般化的处理有利于解决问题；要深刻理解存在性、唯一性、不变性、充要性的涵义，熟悉命题的等价性，保证判断有据、推理严谨、条理清楚、表达规范.3.强化“应试”的训练与调适要答好一份高考数学试卷需要具备三个要素：知识、逻辑和策略(包括经验).复习中还要科学地进行应试策略的训练优化。一是坚守客观题的作答速度和正确率，每份模拟试卷中的选择题填空题力争在40分钟左右答完，尽量小题小做，解一题要立即复查一题，读不懂或无思路的题暂不作答(但至多有两道小题).二是提升解答题中前三个大题的通法训练和规范答题，要用最基本、最朴素但最有效的思路来解答。比如：运用分离参数法处理恒成立不等式(含单调数列、已知函数的单调性)、不等式或方程有无实数解等问题；运用基本量处理等差数列和等比数列的问题等。
另外，对复习中的疑点要多请教老师，多与同学交流，及时订正错解，不断反思，适当做一些综合题(新题型或新方法)，熟化情境。最后三周，要把课本中典型题及变形题再做一遍，重要定理、性质、法则再演证一次，以最佳状态迎战高考。 第二章 数学科考试大纲导读 Ⅰ.考试性质
普通高等学校招生全国统一考试是合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试。高等学校根据考生成绩，按已确定的招生计划，德、智、体全面衡量，择优录取。因此，高考应具有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度。 Ⅱ.考试内容
根据普通高等学校对新生文化素质的要求，依据中华人民共和国教育部2003年颁布的《普通高中课程方案(实验)》和《普通高中数学课程标准(实验)》的必修课程、选修课程系列2和系列4的内容，确定理工类高考数学科考试内容。
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数学科的考试，按照“考查基础知识的同时，注重考查能力”的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养。
数学科考试，要发挥数学作为主要基础学科的作用，要考查考生对中学的基础知识、基本技能的掌握程度，要考查考生对数学思想方法和数学本质的理解水平，要考查考生进入高等学校继续学习的潜能。 一、考核目标与要求 1.知识要求
知识是指《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称《课程标准》)中所规定的必修课程、选修课程系列2和系列4中的数学概念、性质、法则、公式、公理、定理以及由其内容反映的数学思想方法，还包括按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、绘制图表等基本技能。 各部分知识的整体要求及其定位参照《课程标准》相应模块的有关说明。 对知识的要求依次是了解、理解、掌握三个层次。
(1)了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，知道这一知识内容是什么，按照一定的程序和步骤照样模仿，并能(或会)在有关的问题中识别和认识它。
这一层次所涉及的主要行为动词有：了解，知道，识别，模仿，会求，会解等。
(2)理解：要求对所列知识内容有较深刻的理性认识，知道知识间的逻辑关系，能够对所列知识作正确的描述说明并用数学语言表达，能够利用所学的知识内容对有关问题进行比较、判别、讨论，具备利用所学知识解决简单问题的能力。
这一层次所涉及的主要行为动词有：描述，说明，表达，推测，想象，比较，判别，初步应用等。 (3)掌握：要求能够对所列的知识内容进行推导证明，能够利用所学知识对问题进行分析、研究、讨论，并且加以解决。
这一层次所涉及的主要行为动词有：掌握，导出，分析，推导，证明，研究，讨论，运用，解决问题等。
【导读】数学科考试内容以高中阶段的数学内容为主，对知识的要求由低到高分为三个层次，依次是了解、理解和掌握、灵活和综合运用，且高一级层次要求包含低一级的层次要求。
在命题范围内，常用的数学技能和方法，如配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法和数形结合法等，以及常用的逻辑推理方法，如分析法、综合法、归纳法、演绎法和反证法等，都是考查的主要内容。考查中，重在通性通法的正确与灵活的运用。对于处理问题的重要的数学思想方法，如函数与方程、变换与转化、分类与归纳、数形的结合与分离、定常与变化的对立与统一等思想观点和方法，也将通过具体问题，测试考生掌握的程度。 2.能力要求
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能力是指空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识。
(1)空间想象能力：能根据条件作出正确的图形，根据图形想象出直观形象；能正确地分析出图形中的基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质。 空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力，主要表现为识图、画图和对图形的想象能力。识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系；画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换；对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想象能力高层次的标志。
【导读】空间想象能力是重要的数学能力之一，也是一种基本的数学能力。对这一能力的上述考查要求，强调的是对图形的认识、理解和应用，既会用图形表现空间形体，又会由图形想象出直观的形象；既会观察、分析各种几何要素(点、线、面、体)的相互位置关系，又能对图形进行变换分解和组合。为了增强和发展空间想象能力，必须强化空间观念，培养直觉思维的习惯，把抽象思维与形象思维紧密结合起来。 (2)抽象概括能力：抽象是指舍弃事物非本质的属性，揭示其本质的属性；概括是指把仅仅属于某一类对象的共同属性区分出来的思维过程。抽象和概括是相互联系的，没有抽象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某种观点或某个结论。
抽象概括能力是对具体的、生动的实例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中概括出一些结论，并能将其应用于解决问题或作出新的判断。
(3)推理论证能力：推理是思维的基本形式之一，它由前提和结论两部分组成；论证是由已有的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理过程。推理既包括演绎推理，也包括合情推理；论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法。一般运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明。
中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力。
(4)运算求解能力：会根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理，能根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径，能根据要求对数据进行估计和近似计算。
运算求解能力是思维能力和运算技能的结合。运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等。运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力。
【导读】在数学科考试中，数值计算、字符运算和各种式子的变换运算，都是重要的考查内容。上述对运算能力的要求可概括为“准确、熟练、快捷、合理”八个字，而且反映出重在算理和算法的考查，并对计算和运算的灵活性与实用性也有一定的要求，应懂得恰当地应用估算、图算、近似计算和精确计算进行解题。
在高考复习备考过程中，考生处理好以下几个关系将有助于提高运算能力和减少在运算过程中的错误： 42
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①正确处理好“知识”与“能力”的关系。两者皆不可偏废。 ②正确处理好计算器的使用度。 ③正确处理好学习与考试心理的关系。
(5)数据处理能力：会收集、整理、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。
数据处理能力主要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题。 (6)应用意识：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决相关学科、生产、生活中简单的数学问题；能理解对问题陈述的材料，并对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题；能应用相关的数学方法解决问题进而加以验证，并能用数学语言正确地表达和说明。应用的主要过程是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，将现实问题转化为数学问题，构造数学模型，并加以解决。
【导读】这里所说的问题，不是泛指的一般问题，而是能用中学数学知识和高中毕业生应当具备的基本常识所能解决的相关实际问题(可以归化为数学问题的相关学科问题、生产问题或生活问题).其次，问题给出的方式采用的是材料的陈述，而不是客体的展示。也就是说，考查时，所提出的问题，通常已进行过初步的加工，并通过语言文字、符号或图形，展现在考生眼前，要求考生读懂、看懂。因此，对阅读数学材料的能力有较高的要求。再次，试题是以问题为中心，而不是以知识为中心，解答起来，从分析、思考到求解，往往要用到多项知识和技能，带有明显的综合性质，对处理问题的灵活性和机敏性有一定的考查要求。此外，在熟练运用数学术语、符号、图表、图形表述解题过程和解答结果方面，也有相当的考查要求。总之，在分析问题和解决问题的能力考查中，不仅仅是要求解答几个应用题，而是有着更深一层的意义，核心是：应用数学的意识和能力。
(7)创新意识：能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题。 创新意识是理性思维的高层次表现。对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融会的程度越高，显示出的创新意识也就越强。 3.个性品质要求
个性品质是指考生个体的情感、态度和价值观。要求考生具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎的思维习惯，体会数学的美学意义。
要求考生克服紧张情绪，以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神。 4.考查要求
数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构。
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(1)对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点。对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体。注重学科的内在联系和知识的综合性，不刻意追求知识的覆盖面。从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络的交汇点处设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度。
(2)对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过对数学知识的考查，反映考生对数学思想方法的掌握程度。
(3)对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，以此来检测考生将知识迁移到不同情境中去的能力，从而检测出考生个体理性思维的广度和深度以及进一步学习的潜能。
对能力的考查要全面，强调综合性、应用性，并要切合考生实际。对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷，是考查的重点，强调其科学性、严谨性、抽象性；对空间想象能力的考查主要体现在对文字语言、符号语言及图形语言的互相转化上；对运算求解能力的考查主要是对算法和推理的考查，考查以代数运算为主；对数据处理能力的考查主要是考查运用概率统计的基本方法和思想解决实际问题的能力。 (4)对应用意识的考查主要采用解决应用问题的形式。命题时要坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，试题设计要切合中学数学教学的实际和考生的年龄特点，并结合实践经验，使数学应用问题的难度符合考生的水平。
(5)对创新意识的考查是对高层次理性思维的考查。在考试中创设新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题时，要注重问题的多样化，体现思维的发散性；精心设计考查数学主体内容、体现数学素质的试题；也要有反映数、形运动变化的试题以及研究型、探索型、开放型等类型的试题。
数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。
必考内容与要求：函数概念
2009年02月16日 18:53
2.函数概念与基本初等函数Ⅰ(指数函数、对数函数、幂函数) (1)函数
①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数。 【试题举例】
已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
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则f[g(1)]的值是 ；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是 . 【答案】1；2
【解析】由表格中的函数关系可得f[g(1)]＝f(3)＝1. 函数f[g(x)]与g[f(x)]对应的函数关系如下表所示：
由上表函数关系式可得，当且仅当x＝2，f[g(x)]＞g[f(x)]成立， ∴满足f[g(x)]＞g[f(x)]的x的值为2.
③了解简单的分段函数，并能简单应用。 【试题举例】(2008·北京)
如图，动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N.设BP＝x，MN＝y，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
【答案】B 【解析】
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过点BD1作垂直于B1BDD1的垂面，即D1EBF，
∵P在MN上，故MN⊂面D1EBF，当M在BE上时，tan∠D1BE＝MP/BP＝1/2y/x，∵∠D1BE为定角，故y与x成线性关系，同时关于EF对称，正确答案B.此题属于难题，学生不易分析和求解。
④理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。 【试题举例】
已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则( ) (6)>f(7) (6)>f(9) (7)>f(9) (7)>f(10) 【答案】D
【解析】∵y＝f(x＋8)为偶函数， ∴f(－x＋8)＝f(x＋8)， ∴x＝8是函数f(x)的一条对称轴， 又∵f(x)在(8，＋∞)上为减函数，∴f(x)在(－∞，8)上为增函数，∴f(6)＝f(10)＜f(7)＝f(9)，故应选D. ⑤会运用函数图象理解和研究函数的性质。 【试题举例】
在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( ) A.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数 B.在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数 D.在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数 【答案】B
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【解析】考查函数性质，由f(x)＝f(2－x)得f(x)的对称轴为x＝1.又由偶函数得f(x)图象关于y轴也对称。在[1,2]上为减函数，画出示意图可得。
【导读】函数是高考数学中极为重要的内容，函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习高等数学的基础。纵观近几年来的高考试题，函数在选择、填空、解答三种题型中每年都有试题，约占全卷的30%左右，函数的性质及图象变换多以选择题形式出现，并且低难度和高难度的试题都有可能出现。函数的解答题，综合性较强，难度较大，要进行周密地分析、准确地计算来解决。关于这部分的应用题，不仅有解答题，还可能有选择题或填空题。高考正在逐步增加应用题的考查力度，并且应用问题多在知识网络交汇处命题。因此，在复习过程中应注意加强对分析问题、解决综合问题能力方面的训练。 近几年的高考真题对函数的考查常着重如下方面：
①对函数的概念、基本性质及图象的考查主要以小题的形式出现，在学习、复习函数时，要坚持“定义(概念)→解析式→图象→性质”这条主线。
②函数与不等式、数列、向量、解析几何等知识的综合问题会以解答题形式出现，属于理解、灵活运用层次，难度较大。解答上述问题时要注意数学思想方法的应用，函数这一章重要的数学思想方法有方程与函数的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想、数形结合的思想，数学方法有配方法、换元法、待定系数法、比较法等。
③通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，体现了新课标重视应用能力的考查，注意培养学生阅读、理解能力，提炼数学问题的能力，以及用数学语言表达的能力，要求学生仔细阅读，抓住信息，透彻理解，准确解题。
④新课标新增内容中与函数有关的内容——特别是函数的零点将是高考的热点，以函数为载体考查方程根的个数的判断，以及求参数的取值范围将是重点考查的问题。 (2)指数函数
①了解指数函数模型的实际背景。
②理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
③理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。 【试题举例】
若函数f(x) ＝√2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为 . 【答案】[－1,0]
【解析】由题意可得2x2＋2ax－a－1≥0恒成立， 即2x2＋2ax－a≥1，∴x2＋2ax－a≥0恒成立， ∴Δ＝4a2＋4a≤0，解之得a∈[－1,0].
④知道指数函数是一类重要的函数模型。 (3)对数函数 47
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①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。 【试题举例】(2008·广东)
设a∈R，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( ) <－1/3 >－1/3 <－3 >－3 【答案】C
【解析】解决本题的关键是要理解“函数有大于零的极值点”这一条件。由题意，根据导数公式，得y′＝3＋aeax，若函数y＝eax＋3x，x∈R有大于零的极值点，说明方程y′＝3＋aeax＝0有正根，即eax＝－3/a有正根，显然需a<0.此时，x＝1/aln(－3/a)，由x>0立即可解得参数a<－3.故答案为C. ②理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。 ③知道对数函数是一类重要的函数模型。 【试题举例】
设f(x)＝lg（2/1－x＋a）是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是( ) A.(－1,0) B.(0,1)
C.(－∞，0) D.(－∞，0)∪(1，＋∞) 【答案】A
【解析】由函数f(x)＝lg（2/1－x＋a）为奇函数，可得f(0)＝lg(2＋a)＝0，
解之得2＋a＝1，即a＝－1，∴f(x)＝lg（2/1－x＋a）＝lg1+x/1-x，由f(x)＜0可得lg1+x/1-x＜0，即0＜1+x/1-x＜1，解之得－1＜x＜0， 由此可得的x取值范围为(－1,0)， 故应选A.
点评：本题通过对数复合函数与函数的奇偶性及函数不等式的求解等知识点的交汇，考查了考生对函数的性质及不等式的解法的掌握，以及灵活选择解题策略，决定解题方向的解题机智。 ④了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数(a>0，且a≠1). 【试题举例】
函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x(x＞0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝ . 【答案】3x(x∈R)
【解析】本小题主要考查原函数与反函数图象间的关系及反函数的求解问题。本题转化为求y＝log3x(x＞0)的反函数。即f(x)＝3x.但一定要注明f(x)的定义域x∈R. (4)幂函数 48
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①了解幂函数的概念。
②结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1/x，y＝x1/2的图象，了解它们的变化情况。 【试题举例】
设a∈{－1，1，12，3}，则使函数y＝xa的定义域为R且为奇函数的所有a值为( ) ,3 B.－1,1 C.－1,3 D.－1,1,3 【答案】A
【解析】本题可作出上述几种常见幂函数图象，观察图象即可作出判断。 (5)函数与方程
①结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。 ②根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。 【试题举例】(2008·山东)
函数y＝lncosx(－π/2 【解析】本题考查函数中的识图问题，给出解析式后，应该利用函数性质作出判断。常用到函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、特殊值等性质。显然函数是偶函数，故排除B，D，又因为0 ②了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用。 【试题举例】 49 - 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝(1/16)t－a(a为常数)，如图所示。根据图中提供的信息，回答下列问题： (Ⅰ)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为 ； (Ⅱ)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。 【答案】y＝{10t(0≤t≤1/10)，1/16t－1/10(t＞1/10).； 必考内容与要求：立体几何初步 2009年02月16日 18:53 3.立体几何初步 (1)空间几何体 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。 【试题举例】 在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 (写出所有正确结论的编号). ①矩形； ②不是矩形的平行四边形； ③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体； ④每个面都是等边三角形的四面体； 50 - ⑤每个面都是直角三角形的四面体。 【答案】①③④⑤ 【解析】本题主要考查立体几何中的概念，几何图形的性质，属于综合知识能力的考查。如图四边形BB1D1D为矩形；四面体B1ACD1满足选项④；四面体A1AB1D1满足选项③；四面体ABD1D满足选项⑤. ②能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。 【试题举例】 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.②④ 【答案】D 【解析】根据三视图的概念易知②④有且仅有两个视图相同。 ③会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。 ④会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求). 【试题举例】 已知某个几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( ) 【答案】B 【解析】本题考查三视图的知识及几何体体积公式等知识。根据三视图的知识及特点，可画出几何体形状，为如图所示的四棱锥。且底面为边长是20的正方形，高VH＝20，所以这个几何体的体积V＝1/3×20×20×20＝8000/3cm3. 51 - ⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式). 【试题举例】 已知三棱锥S－ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO⊥底面ABC，AC＝√2r.则球的体积与三棱锥体积之比是( ) A.π π π π 【答案】D 【解析】本题考查球及球的组合体以及球的体积和棱锥的体积公式等知识。由于三棱锥各顶点都在球面上，且球心O在AB上，SO⊥底面ABC，所以AB为球的一条直径，且AO＝BO＝SO＝r，AC＝√2r.所以三棱锥S－ABC为底面是等腰直角三角形，高SO＝r的棱锥，其体积是S＝1/3·S△ABC·SO＝ 1/3×1/2×√2r×√2r×r＝r*r*r/3，球的体积S＝4/3πr3，所以球的体积与三棱锥的体积之比为4π. (2)点、直线、平面之间的位置关系 ①理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内。 公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。 【试题举例】 在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种. 已知α、β是两个相交平面，空间两条直线l1、l2在α上的射影是直线s1、s2，l1、l2在β上的射影是直线t1、t2.用s1与s2，t1与t2的位置关系，写出一个总能确定l1与l2是异面直线的充分条件： . 【答案】s1∥s2，并且t1与t2相交(t1∥t2，并且s1与s2相交) 52 - 【解析】 若两条直线在一个平面内的射影为一对平行直线，则这两直线平行或异面， 由此结论知，只需要该直线在另一平面内的射影满足是两条相交直线即可. 故可以填：s1∥s2 ，并且t1与t2相交(t1∥t2，并且s1与s2相交). ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理。 理解以下判定定理。 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行。 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直。 如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直。 理解以下性质定理，并能够证明。 如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行。 【导读】1.准确理解、熟练掌握性质定理并能进行三种语言(文字语言、符号语言和图形语言)的转化是关键。 2.一般在已知中知道线面平行时就要考虑运用线面平行的性质定理；在求证线线平行时也要想到可能要运用线面平行的性质定理。 3.在运用线面平行的性质定理时，要特别注意“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论。 4.直线与平面平行的性质定理实质就是线线平行与线面平行的转化，转化的思想方法贯穿于整个立体几何中。 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行。 垂直于同一个平面的两条直线平行。 如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直。 ③能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题。 【试题举例】 53 - 如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC. (Ⅰ)求证：D1C⊥AC1； (Ⅱ)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由。 【解析】(Ⅰ)证明略。 (Ⅱ)当E是CD中点时， 可使D1E∥平面A1BD. 【导读】新课标教材中对立体几何的内容编排作了大胆的改进，即将旧教材中以位置关系为主线，从局部到整体的内容展开形式变为以图形特征为主线，从整体到局部(从柱，锥，台球到点、线、面)，更容易帮助学生完善思维结构，发展空间想象能力，“立体几何初步”是以三个载体(三视图、直观图、点线面的位置关系)来帮助学生认识空间图形及其位置关系，建立空间想象能力。并在几何直观的基础上，初步形成对空间图形的逻辑推理能力。复习中注意如下方面： ①明确柱、锥、台、球的几何特征，并能进行表面积、体积、球的球面距离的运算是高考考查的重点之一。高考以此为载体考查空间想象能力及运算能力。 ②新课程“立体几何”部分新增了一些内容：平行投影、中心投影、三视图，特别是三视图将是高考的重点和热点，要求学生能够画出空间几何体的三视图和直观图，能够从空间几何体的直观图画出它的三视图，从三视图画出它的直观图等。使得学生能够通过“实物模型—三视图—直观图”这样一个相互转化的过程认识空间几何体，培养和发展学生的几何直观能力和空间想象能力，更全面地把握空间几何体。 ③对空间位置关系特别是空间中的平行与垂直关系的考查将是高考必考内容，要将平行与垂直的判定定理及性质定理灵活应用，着重考查学生的空间想象能力和逻辑推理论证的能力。 4.平面解析几何初步 (1)直线与方程 ①在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。 ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式。 ③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。 54 - ④掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系。 ⑤能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。 ⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。 【试题举例】 已知直线l过点P(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为 . 【答案】4 【解析】本题考查直线方程。均值不等式等。 设A(a,0)，B(0，b)，由题意知a＞0，b＞0. 直线AB：x/a＋y/b＝(2,1)在直线上。 ∴2/a＋1/b＝1 ∴1＝2/a＋1/b≥2√2/ab ∴ab≥8 ∴S△AOB＝1/2ab≥4 等号成立条件：b＝2，a＝4. (2)圆与方程 ①掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程。 【试题举例】 与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是 【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝2 55 . - 【解析】本题考查学生数形结合思想，以及分析问题、解决问题的能力。如图，显然当两圆圆心的连线与已知直线垂直时，所求圆的半径最小。把圆方程化为标准方程得：(x－6)2＋(y－6)2＝18，所以圆心A(6,6)，半径R＝3√2.由点A到直线x＋y－2＝0的距离d＝|6＋6－2|/√2＝5√2，所以动圆的半径r＝√2，再设动圆圆心C(x0，y0)，由AC⊥l， 所以y0－6/x0－6＝1⇒x0＝y0..................(1) 又因为点C到直线l的距离为r， 所以√2＝|x0＋y0－2|/√ 2............................(2)，由(1)、(2)得x0＝2，y0＝2.所以所求圆的标准方程为：(x－2)2＋(y－2)2＝2. ②能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系。 【试题举例】 在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B. (Ⅰ)求k的取值范围； (Ⅱ)是否存在常数k，使得向量OA＋OB与PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。 【解析】(Ⅰ)圆的方程可写成(x－6)2＋y2＝4，所以圆心为Q(6,0).过P(0，2)且斜率为k的直线方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，整理得 (1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0. ① 直线与圆交于两个不同的点A、B等价于Δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)＞0，解得－3/4 所以OA＋OB与PQ共线等价于－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)， 将②③代入上式，解得k＝－3/4. 由(Ⅰ)知k∈(－3/4，0)，故没有符合题意的常数k. ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 56 - ④初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 【试题举例】 如图，l1、l2、l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2间的距离是1，l2与l3间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在l1、l2、l3上，则△ABC的边长是( ) √3 √6/3 √17/4 √ 【答案】D 【解析】本题着重以平面几何为载体考查解析几何中两点间距离问题。建立以B为坐标原点，l2为x轴的平面直角坐标系。则：l1：y＝1，l3：y＝－2，设A(x1,1)，C(x2，－2)，则由题意知|OA|＝|OC|， ∴x＋1＝x＋4 …① cos＜OA，OC＞＝，∴cos60°＝， ∴x＋1＝2x1x2－4……② 由①②得x2＝－2x1(舍) 或4x1＝5x2………③，将③代入①得x＋1＝x＋4，∴x＝，||＝＝＝.故选D. (3)空间直角坐标系 ①了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。 ②会推导空间两点间的距离公式。 5.算法初步 (1)算法的含义、程序框图 ①了解算法的含义，了解算法的思想。 ②理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。 (2)基本算法语句 理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义。 【试题举例】 57 - 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1，A2，…，A10(如A2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数).图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( ) ＜9 ＜8 ＜ 7 ＜6 【答案】B 【解析】由条形统计图可得身高在160～180 cm(含160 cm，不含180 cm)的学生数为A4＋A5＋A6＋A7，应用循环结构的算法流程图表示时其初始条件为s＝0，i＝4，终止条件为i＜8.(若终止条件为i＜7，则输出的s＝A4＋A5＋A6，不符合条件)，故应选B 高考数学知识网络图： 1.集合与常用逻辑用语 58 - 2.函数及基本初等函数(Ⅰ) 59 - (1) (2)指数函数图象和性质 a a＞1 0＜a＜1 y＝ax 定义域 R R 值域 x≥0时，y≥1 x＜0时，0＜y＜1 x≥0时，0＜y≤1 x＜0时，y＞1 定点 过点(0,1) 过点(0,1) 单调性 单调递增 单调递减 (3)对数函数图象和性质 a a＞1 0＜a＜1 性质 ①定义域：(0，＋∞) 60 - ②值域：R ③过点(1,0)，即当x＝1时，y＝0 ④在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 ⑤x＞1时，y＞0；0＜x＜1时，y＜0 x＞1时，y＜0；0＜x＜1时，y＞0 (4)函数有零点的判定 如果函数y＝f(x)在一个区间[a，b]上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f(a)·f(b)<0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0∈(a，b)，使f(x0)＝0，这样的零点叫做变号零点，有时曲线通过零点时不变号，这样的零点叫做不变号零点。 函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表现形式，如方程根的个数就是函数零点的个数，也就是函数图象与x轴的交点个数。 用计算机操作求零点近似值，其操作步骤如图所示： (5)常见的几种函数模型 ①一次函数型y＝kx＋b； ②反比例函数型y＝k/x(k≠0)； ③二次函数型y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 61 - ④指数函数型y＝N(1＋p)x(增长率问题)(x＞0)； ⑤y＝x＋a/x型； ⑥分段函数型。 3.立体几何初步 (1) (2) 凸多面体 棱柱 直棱柱 正棱柱 性质 1.平行于底面的截面是与上、下底面全等的正多边形 2.过不相邻的两条侧棱的截面是矩形 度 量 62 - S棱柱侧＝cl V棱柱＝Sh 性质 1.平行于底面的截面是与底面相似的正多边形 2.过不相邻的两条侧棱的截面是等腰梯形 3.侧面是全等的等腰梯形 度量 S棱台侧＝(c1＋c2)h′ V棱台＝(S1＋S2＋)h (c1、c2为上下底周长，h′为斜高，S1S2为上下底面积，h为高)棱锥 正棱锥 性质 1.平行底面的截面是与底面相似的正多边形 2.过不相邻的两条侧棱的截面是等腰三角形 3.侧面是相互全等的等腰三角形 度量 S棱锥侧＝1/2ch′ V棱锥＝1/3Sh (以上体积公式对一般棱锥台均适用) 63 - 注：球面距离(球面上经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度)，计算A、B两点间的球面距离关键是搞清纬度、经度、经度差、纬度差等概念，求球面上两点A、B间的距离的步骤：①计算线段AB的长；②计算球心角AOB的弧度数；③用弧长公式计算劣弧AB的长。 (3) (上面符号“(l)α＝a”表示“直线l在平面α上的射影为a”) (4) 64 - (5)三视图：选取三个两两垂直的平面作为投射面，一个水平放置，叫做水平投射面，投射到这个平面内的图形叫做俯视图；一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面，投射到这个平面内的图形叫做主视图；和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，投射到这个平面内的图形叫做左视图。将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图。 4.平面解析几何初步 65 - (1)直线方程的五种形式 ①点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y－y0＝k(x－x0)，它不包括垂直于x轴的直线；②斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b，它不包括垂直于x轴的直线；③两点式：已知直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1，它不包括垂直于坐标轴的直线；④截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；⑤一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式。 注：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 (2)①圆的标准方程 圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.说明：方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆。 ②圆的一般方程 二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(*)，将(*)式配方得(x＋D/2)2＋(y＋E/2)2＝D*D+E*E-4F/4. 当D2＋E2－4F＞0时，方程(*)表示圆心(－D/2，－E/2)，半径r＝1/2√D*D+E*E-4F的圆，把方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫做圆的一般方程。 说明：Ⅰ.圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：、y2项系数相等且不为零.b.没有xy项。 Ⅱ.当D2＋E2－4F＝0时，方程(*)表示点(－D/2，－E/2)，当D2＋E2－4F＜0时，方程(*)不表示任何图形。 Ⅲ.据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程。 66 - ③研究直线与圆的位置关系有两种方法：一是将直线与圆的交点问题转化为研究它们的方程所组成的方程组有几个实数解的问题。通常利用判别式法。若Δ>0有2解，则直线与圆相交；若Δ＝0有1解，则直线与圆相切；若Δ<0，无解，则直线与圆相离。二是将直线与圆的位置关系转化为判定圆心到直线的距离d与半径r大小的比较。若d>r，直线与圆相离；若d＝r，直线与圆相切；若d 圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r与圆(x－a2)2＋(y－b2)2＝r的位置关系，其中r1>0，r2>0. 设两圆的圆心距为d，则 d＝√(a1-a2)(a1-a2)+(b1-b2)(b1-b2)， 当d>r1＋r2时，两圆外离； 当d＝r1＋r2时，两圆外切； 当|r1－r2| 67 - 求回归直线方程的思想方法 在观察散点图特征时，发现各点大致分布在一条直线的附近，画出的直线不止一条类似的直线，应选择最能代表变量x与y之间关系的直线的特征，即n个偏差的平方和最小。设所求直线方程为y＝bx＋a，其中a、b是待定系数，则 yi＝bxi＋a (i＝1,2，…，n) 于是得到各个偏差 yi－yi＝yi－(bxi＋a) (i＝1,2，…，n) 显见，偏差yi－i的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，故采用n个偏差的平方和 Q＝ ni＝1(yi－bxi－a)2 采用最小二乘法可求出使Q为最小值时的b和a. 7.概率 68 - (1)互斥事件与对立事件的概念 若事件A与B不可能同时发生，则称事件A与B互斥。从集合的角度看，事件A，B互斥，表示其相应的集合的交集是空集。 对于事件A，所有不包含在A中的结果组成的集合记为事件，事件A与事件必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。从集合的角度看，由事件所含的结果组成的集合组成的集合，是全集I中由事件A所含的结果组成的集合的补集。于是有：A∪＝I，A∩＝∅. 一般来说，两个对立事件一定是互斥事件，而两个互斥事件却不一定是对立事件。对立事件是互斥事件的特殊情况，两个事件互斥是两个事件对立的必要不充分条件。 (2)古典概型 Ⅰ.古典概型的定义 在试验中，能够描绘其他事件且不能再分的最简单事件是基本事件。 具有特征 ①有限性 每次试验可能出现的结果(即基本事件)只有有限个； ②等可能性 每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的。 故随机试验的概率模型称为古典概型。 Ⅱ.古典概型的概率公式 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是。如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为 P(A)＝m/n＝A中所含的基本事件数/基本事件总数 根据公式P(A)＝m/n进行概率计算时，关键是求出n，m的值，在求n值时，应注意这n种结果必须是等可能的。对一些比较简单的概率问题，求m、n的值只需枚举即可。 Ⅲ.古典概型的集合理解 69 - 设在一次试验中，等可能出现的n个结果构成一个集合I，包含m个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A，则事件A发生的概率为： P(A)＝m/n＝card(A)/card(I). 求古典概型的概率要明确两点：①选取适当的集合I，使它满足等可能的要求，找出n值；②把事件A表示为I的某个子集A，找出m值。 (3)几何概型试验 Ⅰ.几何概型试验的定义 如果一个随机试验满足： ①试验结果是无限不可数； ②每个结果出现的可能性是均匀的。 则该试验为几何概型试验。 Ⅱ.几何概型的概率 事件A理解为区域Ω的某一个子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，满足以上条件的试验称为几何概型，记P(A)＝μA/μΩ. 8.基本初等函数(Ⅱ)及三角恒等变换 同角三角函数关系式： (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1,1＋tan2α＝sec2α，1＋cot2α＝csc2α； (2)倒数关系：sinαcscα＝1，cosαsecα＝1，tanαcotα＝1； (3)商数关系：tanα＝sinα/cosα，cotα＝cosα/sinα. ①诱导公式的规律可简记为：奇变偶不变，符号看象限。此外在应用时，不论α取什么值，我们始终视α为锐角。否则，将导致错误。诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：a.负角变正角，再写成2kπ＋α，0≤α＜2π；b.转化为锐角。 ②求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值). 70 - ③三角函数的图象与性质： 三角函数 y＝sinx y＝cosx y＝tanx y＝cotx 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) (nπ－，nπ＋) (nπ，nπ＋π) 值域 [－1,1] [－1,1] (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 当x＝2kπ＋ 当x＝2kπ时， 最大(小) 值(k∈Z) 时，ymax＝1； ymax＝－1； 当x当x＝2kπ－ ＝2kπ＋π 时，时，ymin＝－1 无 无 ymin＝－1 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 周期性 T＝2π T＝2π T＝π T＝π 有界性 有界 有界 无界 无界 在[2kπ－， 2kπ＋] 上都是单调性 (k∈Z) 增函数， 在[2kπ＋， 2kπ＋] 上都是减函数 在[(2k－1)π，2kπ] 上都是增函在(kπ－， kπ数， 在[2kπ，(2k＋) 内都是增函＋1)π] 上都是减函数 数 在(kπ，kπ＋π) 内都是减函数 (ⅰ)公式间的关系 71 - 相除相除相除 (ⅱ)辅助角公式：asinα＋bcosα＝√a*a+b*bsin(α＋φ)(辅助角φ所在象限由点(a，b)的象限决定，tanφ＝b/a). (ⅲ)三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心；第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有： a.巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换。如α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·α＋β/2，α＋β/2＝α－β/2－α/2－β等). b.三角函数名互化(切割化弦). c.公式变形使用如：tanα±tanβ＝tan(α＋β)(1∓tanαtanβ). d.三角函数次数的降升(降幂公式：cos2α＝1＋cos2α/2，sin2α＝1－cos2α/2；升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α). e.式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同). f.常值变换主要指“1”的变换(1＝sin2x＋cos2x＝sec2x－tan2x＝tanxcotx＝tanπ/4＝sinπ/2＝…). 9.平面向量 72 - (1)平面向量基本定理，如果e1、e2是同一平面内非共线向量，那么该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1、λ2使a＝λ1e1＋λ2e2. ①两个向量平行的充要条件 a∥b⇔a＝λb 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a∥b＝x1x2－y1y2＝0 ②两个非零向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) a⊥b＝x1x2＋y1y2＝0 θ＝〈a，b〉. cosθ＝x1x2＋y1y2/x21＋y21 x22＋y22 (2)数量积的性质：设e是单位向量，〈a，e〉＝θ 73 - ①a·e＝e·a＝|a|cosθ；②当a，b同向时，a·b＝|a||b|，特别地，a2＝a·a＝|a|2，|a|＝；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；③a⊥b⇔a·b＝0；④非零向量a，b夹角θ的计算公式：cosθ＝，当θ为锐角时，a·b＞0，且ab不同向，a·b>0是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b<0，且ab不反向，a·b<0是θ为钝角的必要非充分条件；⑤|a·b|≤|a||b|. 10.解三角形 (1)正弦定理 a/sinA＝b/sinB＝c/sinC＝＝＝2R. 正弦定理的三种变式： ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC. ②sinA＝a/2r，sinB＝b/2r，sinC＝c/2r. ③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC. (2)余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA b2＝a2＋c2－2cacosB c2＝a2＋b2－2abcosC或cosA＝b2＋c2－a2/2bc cosB＝a2＋c2－b2/2ac cosC＝a2＋b2－c2/2ab 余弦定理的特殊情况： ①在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则0°＜A＜90°； 反之，若0° 74 - 已知条件 应用定理 一般解法 由A＋B＋C＝180° 求角A，由正弦定一边和二角 (如a，B，C) 求出b与c S△＝acsinB 在有解时正弦定理 理 只有一解 由余弦定理求第三边c，由正弦定理求两边和夹角 (如a，b，C) 余弦定理 出小边所对的角，再由A＋B＋C＝180°求出另一个角 S△＝absinC 在有解时只有一解 由余弦定理求出角A、B，再利用A＋B三边 (a，b，c) S△＝absinC 余弦定理 ＋C＝180°，求出角C 在有解时只有一解 由正弦定理求出角B，由A＋B＋C＝两边和其中 一边的对角 (如a，b，A) 正弦定理 180°求出角C，再利用正弦定理求出c边，S△＝absinC可有两解，一解或无解，详见下表 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 关系式 a＝bsinA bsinA ①阅读理解，画出示意图，分清已知和所求，尤其要理解应用题中有关名词和术语，如坡度、仰角、象限角、方位角等。 ②分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形。 ③解这些三角形，求出答案。 第四章 应试答题技巧 75 - 最易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段，此时保持心态平衡是非常重要的。刚拿到试卷，一般心情比较紧张，不要匆匆作答，可先通览全卷，尽量从卷面上获取最多的信息，为实施正确的解题策略作全面调查，一般可在10分钟之内做完下面三件事。 1.解答那些一眼看得出结论的简单题(一旦解出，情绪会立即稳定). 2.其他不能立即作答的题目，可一边通览，一边粗略分为A、B两类：A类指题型比较熟悉、预计上手比较容易的题目；B类是题型比较陌生、自我感觉比较困难的题目。 3.做到三个心中有数：对全卷一共有几道大小题有数，防止漏做题；对每道题各占几分心中有数，大致区分一下哪些属于代数题，哪些属于三角题，哪些属于综合型的题。 通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”.对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅，有的人解决的多，有的人解决的少。为了区分这种情况，高考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分。这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分。 “分段得分”的基本精神是：会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分。 1.对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题。有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对。有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全。因此，会做的题目要特别注意表达的准确、思维的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣点分”.经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”. 2.对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分。我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略。把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密。 (1)缺步解答。如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败。特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”. (2)跳步答题。解题过程卡在某一过渡环节上是常见的。这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论。如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”.由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底。也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面。若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作“已知”，先做第二问，这也是跳步解答。 (3)退步解答.“以退求进”是一个重要的解题策略。如果不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论。总之，退到一个你能够解决的问题。为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”.这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发。 76 - (4)辅助解答。一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤。实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举。如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等。 答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高准确率。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，在确信万无一失后方可交卷。 77 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容