浅谈数学解题教学

浅谈数学解题教学

作者：莫业邦

来源：《中学教学参考·理科版》2010年第04期

数学课堂离不开解题教学,解题教学是数学课堂教学的一个重要组成部分,它不仅能有效地增强学生解决问题的能力,而且可以加深学生对基本概念的理解,促进学生良好数学观念的形成.《数学新课程标准》明确指出:要加强对学生数学应用意识和解决实际问题能力的培养.然而,在平时的课堂教学中,解题教学存在的一些问题应引起足够的重视.如当学生面对新的数学问题时,常常会出现无计可施的现象.其中一个重要的原因,就是教师没有教会学生在遇到一个新的数学题目时,应该怎样有效地去思考,学生解题是在一种随意的杂乱无章的思维状态下进行的.因此,教师在课堂教学中应重视解题教学. 一、要让学生掌握解题的思维程序

解题思维程序主要有释题、分析、解题、反思四个环节,本文从这四个方面作些分析探讨. 1.释题,目的是为了弄清问题

它是解题思维的初始环节,也是其他三个解题环节能否顺利完成的基础.有时学生遇到题目感到无从下手,往往是由于对题目自身的含义理解得不够透彻.因此,教师要教会学生从问题的叙述入手,观察揣摩整个问题,仔细研究题目的意义,并指导学生完成下列工作:(1)找出已知条件和待求量.(2)将已知条件和待求量分成若干个部分.(3)画出图形或列出一些数据.(4)在图形或数据中引入恰当的符号,并尽可能多地将已知和待求量“标注”出来.学生可把“问题”弄得清晰、鲜明,而且教师也在释题过程中不知不觉地向学生渗透了解题策略中的“具体化原则”.使学生通过上述这些一般性的工作程序,逐步悟出释题的真谛:“问题解决”的奥妙常常存在于对题目的“最初认识”之中.

2.分析,是解题过程中思维最活跃、最有创造力的环节

能否完成分析这一思维程序,是能否解题的关键所在,也是培养提高学生解题能力的有利时机.教会学生完成下列工作,将对学生解决问题起到难以估量的作用:(1)寻找突破口,并努力向待求量靠拢.所谓的突破口,常常是学生在释题中感觉较为敏感的那些因素,如已知条件中的一部分,题的图形,题中的一个特殊的数据或式子等.(2)思维受阻后的迂回、转换.在由突破口向“问题解决”靠拢的过程中,一帆风顺的时候并不多见,常常会“卡壳”于某一细节之中,此时,教师要想方设法引导学生怎样从“无计可施”的窘境中解脱出来. 3.解题,是对释题、分析加以落实和验证的过程

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当学生抓住了问题的主要联系,包括可能成立的解题细节,便可进入解题这一程序,解题包括两项工作:(1)完成释题、分析中认为可行的一切细节并加以完善.解题过程力求清晰、详尽、规范.(2)边完成解题细节,边用逻辑推理或直观的方法加以验证. 4.反思,是提高与延伸的机会

孔子云:学而不思则罔.“罔”即迷惑,把其意思引申一下,我们也就不难理解解题教学为什么要进行解后反思了.事实上,解后反思是一个知识小结、方法提炼的过程;是一个吸取教训、逐步提高的过程;是一个收获希望的过程.从这个角度讲,解题教学后的反思应该成为解题教学的一个重要内容.(1)对解题过程进行反思.在解题结束后学生应尽力回忆自己从解题开始到结束的每一步心理活动,分析其中走了哪些弯路,碰到哪些问题;为什么会走这些弯路,为什么会有这些问题,有没有规律性经验可以吸收;自己的思路与教师或同学的思路有什么不同,其中的差距是什么,原因是什么;自己在解题过程中有没有做过调整等问题.对解题过程的反思能够培养学生的归纳总结能力,帮助学生养成良好的逻辑思维习惯.(2)对解题的结果进行反思.数学家波利亚在他的《怎样解题》一书中的“回顾”环节,对此作了精彩的论述:你能检验这个结果吗?你能检验这个论证吗?你能以不同的方式推导这个结果吗?你能一眼就看出它来吗?引导学生对解题结果进行反思,找出自己做错的原因,总结经验教训,避免下次解题时犯同样的错误. 【例1】 已知实数a、b分别满足 解:由已知a、b是方程

的两个根,由

求1a+1b的值. 得

-2=0

由韦达定理,得:a+b=-2,ab=-2,∴1a+1b=a+bab=-2-2=1

上述解答看起来条理清楚,推理过程步步有依据,解答结果似乎是正确的.引导学生反思解题过程,学生发现在上述解题过程中默认了a和b不相等,从而造成漏解.这样的反思使得解题过程更加合理、完善,有利于培养学生数学思维的严谨性和批判性.数学家弗赖登塔尔就指出:反思是数学活动的核心和动力.引导学生对解题进行反思,能使方法、规律得到及时的小结归纳;解后的反思使我们拨开迷雾,看清“庐山真面目”而逐渐成熟起来;在反思中学会了独立思考,在反思中学会了倾听,学会了交流、合作,学会了分享,体验了学习的乐趣,交往的快慰! 二、要注重对学生进行解题教学的指导

解题教学是课堂教学工作的一个重要组成部分,也是学生巩固知识不可缺少的一个重要环节.它对学生澄清模糊观念、校正错误、查缺补漏、激发学生求知欲和提高解决问题的能力起着重要的作用.从教学效果角度考虑,解题教学要注重以下两点:(1)教学预设要有先见性.教师有预见性的备课,是减少学生解题错误的关键.授课前,教师要对学生学习本节内容可能出现的错误进行预测,课内讲授时有意识地点拨与强调,能防患于未然.例如,在讲授乘法公式前,教师应意识到学生会犯项,它等于

的错误,于是在上课时教师应有意识地强调与

展开后是三

不能划等号.(2)解题教学中要注重前后知识间

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的联系.如在人教版八年级上册有这样一个典型问题:要在一条笔直的公路旁建一个货物供应站,使货物供应站到公路同侧的两个村庄A和B的距离最短,找出货物供应站的位置.这个问题可以用轴对称的知识来解决.而在后面学到一次函数后还会碰到:在平面直角坐标系中,在x轴上方(或下方)有两个固定的点A和B,在x轴上找一点P,使线段PA和PB之和最短,并求出P的坐标.虽然这两个问题呈现的形式不一样,背景也不同,但问题间存在着很多共性,除问题的要求有层次上的差异外,解决问题的思路基本相同.因此,解题教学中如能抓住知识与问题间的内在联系,学生的学习效率必能事半功倍.

三、解题教学要突出数学思想方法

数学问题解决中,蕴含着丰富的数学思想方法,如转化思想、整体思想、分类讨论思想、方程思想、数学建模思想、数形结合思想等,这些思想中又包含着许多具体的数学方法,如换元法、消元法、割补法、参数法等等.在解题教学中,教师应帮助学生领会伴随着问题解决中的数学思想,使他们掌握必要的数学方法和策略.

【例2】 有甲、乙、丙三种货物,若购甲3件、乙7件、丙1件共需3.15元;若购甲4件、乙10件、丙1件共需4.20元.现计划购甲、乙、丙各1件,共需多少元?

解析:要求的未知数是三个(设为x,y,z)而题设条件中只有两个等量关系,要把甲、乙、丙各1件的钱数一一求出来是不可能的.由于我们感兴趣的不是x,y,z的值,而是x+y+z这个整体的值,如果我们把甲、乙、丙各一件的钱数看成一个整体,利用整体思想方法来解题,那么就会目标明确,直奔主题,收到事半功倍的效果.

解:设购甲、乙、丙各1件分别需x元、y元、z元 依题意,得

即

解关于x+3y与x+y+z的方程组,可得x+y+z=1.05(元) 四、解题教学要有适度的变通性

在解题教学中,要使学生掌握一些必要的解题方法和模式,同时又要防止学生的思维定势,僵化地理解这些方法和模式.在学生获得某种基本的、常规的解题方法之后,教师应经常结合题目,将其进行适度的变通,通过改变原题目的条件、结论或解题方法,对题目进行横向或纵向延拓,从而加深学生对知识和方法的理解,培养思维的灵活性.例如,证明命题“在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形”,除了课本上的“轴对称”方法外,还可以引导学生用“平移梯形腰”、“作出梯形高”、“延长两腰来相交”这几种辅助线来证明.一题多变是题目结构的变式,表现为题设、结论、图形或形式的变化,而题目的实质不变,以便从不同角度、不同方面揭示题目的实质.例如:已知一次函数y=(m+2)x+(3-n).(1)当m和n满足什么条件时,y随x的增大而减小;(2)当m和n满足什么条件时,图象与y轴的交点在x轴的下方;(3)当m和n满足什么条件时,函数图象过原点;(4)当m和n满足什么条件时,函数图象过一、三、四象限.

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总之,解题教学作为课堂教学的一个重要组成部分,它可以让学生进一步理解与巩固所学的数学知识,培养数学的基本能力,掌握解决实际问题所需要的技能与技巧,发展思维的灵活性和创造性,提高分析问题和解决问题的能力. (责任编辑 易志毅)