2022年九年级数学中考折叠问题--压轴题

1.如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．

（1）当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）；

（2）（2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

2、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题.

动手操作：如图 1，在直角三角形纸片 ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作：

第一步：折叠三角形纸片 ABC 使点 C 与点 A 重合，然后展开铺平，得到折痕 DE；

第二步：将△ABC 沿折痕 DE 展开，然后将△DEC 绕点 D 逆时针方向旋转得到△DFG，点 E，C 的对应点分别是点 F，G，射线 GF 与边 AC 交于点 M(点 M 不与点 A 重合)，与边 AB交于点 N，线段 DG 与边 AC 交于点 P. 数学思考： （1）求 DC 的长；

（2）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，试判断 MF 与 ME 的数量关系，并证明你的结论； 问题解决：

（3）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，探究 下列问题： ① 如图 2，当 GF∥BC 时，求 AM 的长； ② 如图 3，当 GF 经过点 B 时，AM 的长为

③ 当△DEC 绕点 D 旋转至 DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线 GF，并直接写出 AM 的长（要求：尺规作图 ，不写作法，保留 作图痕迹，标记出所有相应的字母）

3.如图，已知一个直角三角形纸片ACB，其中∠ACB=90°，AC=4，BC=3，E、F分别是AC、AB边上点，连接EF．

（1）图①，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且使S四边形ECBF=3S△EDF，求AE的长；

（2）如图②，若将纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且使MF∥CA． ①试判断四边形AEMF的形状，并证明你的结论； ②求EF的长；

（3）如图③，若FE的延长线与BC的延长线交于点N，CN=1，CE=7，求𝐵𝐹的值．

4

𝐴𝐹

4．如图1，四边形的对角线相交于点，，.

（1）填空：与的数量关系为；

（2）求

的值；

（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若求

的长.

，，

，

5.Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝7，点P是边AC上不与点A、C重合的一点，作PD∥BC交AB边于点D．

（1）如图1，将△APD沿直线AB翻折，得到△AP'D，作AE∥PD．求证：AE＝ED； （2）将△APD绕点A顺时针旋转，得到△AP'D'，点P、D的对应点分别为点P'、D'， ①如图2，当点D'在△ABC内部时，连接P′C和D'B，求证：△AP'C∽△AD'B；

②如果AP：PC＝5：1，连接DD'，且DD'＝√2AD，那么请直接写出点D'到直线BC的距离．

6．如图1和图2，AB是⊙O的直径，AB＝10，C是⊙O上的一点，将（1）若点D与圆心O重合，直接写出∠B的度数； （2）设CD交⊙O于点E，若CE平分∠ACB， ①求证：△BDE是等腰三角形； ②求△BDE的面积； （3）将图1中的数．

沿弦BC翻折，交AB于点D．

沿直径AB翻折，得到图2，若点F恰好是翻折后的的中点，直接写出∠B的度

7．如图1，AB是⊙O的直径，AB＝10，C是⊙O上的一点，将弧BC沿弦BC翻折，交AB于点D，连接CD并延长，交⊙O于点E，连接BE． （1）当AD＝2时，BE的长是 ．

（2）当点D位于线段OA上时（不与点A重合），设∠ABC＝a，则a的取值范围是 ． （3）当∠ABC＝15°时，点D和点O的距离是 ． （4）如图2，设

所在圆的圆心是O′，当BE与⊙O′相切时，求BE的长．

8．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为Q是

上的一动点，连接PQ．

，P是半径OB上一动点，

（1）当∠POQ＝ 度时，PQ有最大值，最大值为 ． （2）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求

的长；

（3）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在AO的延长线上，求阴影部分面积．

（4）如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．

9．如图1，半圆的直径AB长为6，点C在AB上，以BC为一边向半圆内部作一正方形BCDE，连接AD并延长交半圆于F点，连接BF．设BC的长为x（0＜x＜3），AF的长为y， （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝2时， ①求BF的长；

②如图2，若将弧AF沿直线AF翻折与直径AB交于点G，试求AG的长．

10.如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置，设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.

(1)如图1，当x为何值时，直线AD1过点C? (2)如图2，当x为何值时，直线AD1过BC的中点E? (3)求出y与x的函数表达式．

11.如图1，将△ABC纸片沿中位线EH折叠，使点A的对称点D落在BC边上，再将纸片分别沿等腰△BED和等腰△DHC的底边上的高线EF，HG折叠，折叠后的三个三角形拼合形成一个矩形．类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为叠合矩形．

(1)将▱ABCD纸片按图2的方式折叠成一个叠合矩形AEFG，则操作形成的折痕分别是线段， ；S矩形AEFG∶S▱ABCD＝；

(2)▱ABCD纸片还可以按图3的方式折叠成一个叠合矩形EFGH，若EF＝5，EH＝12，求AD的长； (3)如图4，四边形ABCD纸片满足AD∥BC，AD12.早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三，股四，弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中．为了方便，在本题中，我们把三边的比为3∶4∶5的三角形称为(3，4，5)型三角形．例如：三边长分别为9，12，15或32，42，52的三角形就是(3，4，5)型三角形．用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．

实践操作

如图1，在矩形纸片ABCD中，AD＝8 cm，AB＝12 cm.

第一步：如图2，将图1中的矩形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使点D落在AB上的点E处，折痕为AF，再沿EF折叠，然后把纸片展平．

第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为GH，然后展平，隐去AF.

第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿AH折叠，得到△AD′H，再沿AD′折叠，折痕为AM，AM与折痕EF交于点N，然后展平．

问题解决

(1)请在图2中证明四边形AEFD是正方形；

(2)请在图4中判断NF与ND′的数量关系，并加以证明； (3)请在图4中证明△AEN是(3，4，5)型三角形． 探索发现

(4)在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是(3，4，5)型三角形？请找出并直接写出它们的名称．