研讨园地ｌ Ｆｉｅｌｄ ｏｆ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ 渐开线花键齿根 弯曲强度的弦齿厚度分析 太原重工股份有限公司口郭新明 摘要本文从渐开线的形成原理出发，结合渐开线的基本特性，利用渐开线方程式， 综合分析齿形各参数量之间的关系，阐释渐开线花键弦齿厚计算公式的形成过程。 关键词渐开线花键弯曲强度弦齿厚 花键联结是机械产品中常用的连接形式之 一套针对矩形花键和渐开线花键的完整、全面的 一 它是两零件上等距分布且齿数相同的键齿 强度计算方法。ＧＢ／１－１７８５５—１９９９涉及的计算 相互联结。也是传递扭矩和运动的同轴偶件。 内容有各自的针对性，应根据花键副的具体结 花键联结主要有矩形花键和渐开线花键两种。 构、受力状态、材料性能、热处理工艺、加工精 矩形花键的使用较早。多用于机床、工程机械 度、配合性质、使用场合、重要程度等情况。按 等行业。随着工业设备向大型化、重型化、自 实际需要选取这些计算项目的全部或者部分进行 动化、高效化方向发展。传动功率不断增大。 花键承载能力的计算。 演变发展出了渐开线花键。渐开线花键具有传 ＧＢ／＿ｒ １７８５５—１９９９适用于矩形花键和渐开 递功率大、强度高、寿命长、互换性好及结构 线花键的承载能力计算。ＧＢ／Ｔ １１４４ｍ２００１ 紧凑等特点。尤其适用于大型工程机械、重型 《矩形花键尺寸、公差和检验》的矩形花键和 机械、冶金机械等重载产品。 ＧＢｆｒ ３４７８．１—２００８《圆柱直齿渐开线花键（米 矩形花键和渐开线花键在各类机械产品中都 制模数齿侧配合）第１部分：总论》的渐开线 有广泛的应用。矩形花键和渐开线花键的强度计 花键。可依据ＧＢ／１＿１７８５５—１９９９规定的方法进 算，依照ＧＢ，Ｔ １ ７８５５—１ ９９９《花键承载能力计 行计算。其他类型、规格的花键也可参照使用。 算方法》。该国标参考ＤＩＮ ５４６６—１：２Ｏ００《花键 接头载荷能力计算第１部分：一般基础》和 １ 齿根弯曲强度的计算公式 原苏联标准ＦＯＣＴ ２１４２５—１９７５《矩形花键承载 ＧＢ／１＿１７８５５—１９９９给出的齿根弯曲强度的 能力计算方法》，并结合我国实际情况制定了国 计算公式为式（１）、式（２）： 标中的一些图、表、材料应力值等。ＧＢ／Ｔ 渐开线花键：ｔｒｒ＝６ｈＷ ｃｏｓｃｄＳ￣ｏ （１） １７８５５—１９９９给出的计算项目很多。包括齿面 矩形花键：ｔｒ￣＝６ｈＷ／Ｓ２． （２） 接触强度、齿根弯曲强度、齿根剪切强度、齿面 对矩形花键，．ｓ 取键齿最小齿厚或齿根过 耐磨损能力以及花键轴扭转与弯曲承载能力的计 渡曲线上最小齿厚（两者中的小值）；而对渐开 算，还给出了花键在各种受力情况下的受载分 线花键，Ｓ 取渐开线起始圆上的弦齿厚。弦齿 析、各类系数的功能作用及选用方法等．形成了 厚Ｓ 按式（３）计算： Ｓｒ．＝Ｄｒ￣ｘｓｉｎ｛ ｌ３６０一一ｏ一×【 “ｎ—— ｖ仅Ｄ－ｉｎｖ（ａｒｃ。ｃ一ｏｓ 一… Ｉ（３） １ ３ Ｆｉｅｌｄ ｏｆ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｌ研讨园地 踩∞ｏ寸躲 ０． ０ 械 工 业 标 准 化 与 质 量 式（１）、式（２）、式（３）中： Ｓ ——花键齿根危险截面的弦齿厚，ｍｍｉ Ｄ——渐开线花键分度圆直径。ｍｍ： Ｄ ——渐开线起始圆直径，ｍｍ； ．ｓ——外花键分度圆上的弧齿厚．是齿距 的一半，即Ｓ＝０．５ｐ，ｍｍ（其中Ｐ为齿距，分度 圆上两相邻同侧齿形之间的弧长）； 。——标准压力角， （。）； ——单位载荷。单一键齿在单位长度上 所受的法向载荷。Ｎ／ｍｍｚ： ｈ——全齿高，ｍｍ（其中ｈ＝Ｄ 一Ｄｉ ，Ｄ 为外花键大径，ｍｍ；Ｄｉ 为外花键小径，ｍｍ）。 公式中数值．除了花键齿根危险截面的弦齿 厚Ｓ 是未知量外，其他均可从花键标准中查出 或通过简单计算得到。花键齿根危险截面的弦齿 厚Ｓ ，对矩形花键来说较简单，取键齿最小齿 厚或齿根过渡曲线上最小齿厚这两者中的较小值 即可：对渐开线花键，标准中把它定义为渐开线 起始圆上的弦齿厚．需要通过计算得到。公式 （３）就是国家标准给出的计算渐开线花键齿根危 险截面弦齿厚Ｊｓｈ的计算公式。 ２渐开线起始圆上的弦齿厚 花键齿根危险截面的弦齿厚．ｓ 。对渐开线 花键来说就是渐开线起始圆上的弦齿厚 取渐开 线花键的一个键齿进行分析。见图１。弦齿厚用 线段ＣＦ表示，即ＳＦｈ＝ＣＦ。 由图１可知式（４）： Ｓ ＝ＣＦ＝Ｄ￣Ｅｘｓｉｎ ＣＯＥ （４） 式中的Ｄ表示花键的圆心点．所有有关直 径都经过０点 齿形上渐开线起始圆上的弦齿 厚是渐开线起始圆直径与 ＣＯＥ的正弦值的乘 积。渐开线起始圆直径Ｄ 可根据公式计算出 来。或由渐开线花键标准查出。未知量只有 ＣＯＥ。只要知道了 ＣＯＥ的大小。根据其正 弦值．就能计算出渐开线起始圆上的弦齿厚即 花键齿根危险截面的弦齿厚Ｓ 。 ｌ一 ． ． ．｝ 一／ ／ ／１ ———、 ０ 图１渐开线齿形参数分析 分析图１各角度之关系，有式（５）： Ｃ０Ｅ＝ Ｇ０Ｈ＋ＬＡＯＧ－ＬＡＯＣ （５） 式（５）等号右边的三项是三个相关角，各 项的值可通过已知量表示出来。其和就是ＬＣＯＥ。 结合图１。分析各角度之间的几何关系，用已知 量表达这几个相关角．找出其用已知量表达的数 学公式 （１）ＬＧＯＨ。 ＧＯＨ是键齿上的分度圆弧 齿厚的一半所对应的圆心角 该圆心角是一平 面角，其顶点位于Ｏ点。大小等于分度圆弧齿 厚的一半与分度圆半径之比。当采用弧齿厚Ｓ 和分度圆直径Ｄ表示时．此圆心角／ＧＯＨ表达 式为 ＧＯＨ＝Ｓ／Ｄ。单位为弧度。 （２）／＿ＡＯＧ。ＬＡＯＧ是渐开线ＡＧ段的展 角。由于Ｇ点在分度圆上。因此Ｇ点处的压力 角为标准压力 。，Ｇ点处的直径是渐开线花键分 度圆直径Ｄ 渐开线的发生线ＧＫ与基圆交于Ｋ 点。与渐开线齿形交于Ｇ点。发生线亦与过 点的基圆半径垂直．可用正切函数表示直角三角 形ＡＧＯＫ对边与邻边的关系。依渐开线的特性。 渐开线的发生线沿基圆滚过的长度与基圆上被滚 过圆弧的长度相等。平面角的对应弧长等于该角 与弧长所在圆的圆半径的乘积。注意到／＿ＧＯＫ 是渐开线花键的标准压力角 ｍ则见式（６）： 研讨园地ｌ Ｆｉｅｌｄ ｏｆ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｔａｎ Ｄ＝２ＧＫ ｂ＝２ＡＫ／Ｄｂ （６） 为弧度 ＝ ｂ（ ＡＯＧ＋ＬＧＯＫ）／Ｄｂ 这样，三个相关角均由相应的已知量得出。 ＝ ＡＯＧ＋／ＧＯＫ 求其和就会得到ＬＣＯＥ。将各角度的最终数学表 ＝ＬＡＯＧ Ｄ 达式代入式（５）中，即可求得ＬＣＯＥ，单位为弧 式中 Ｄ 渐开线花键基圆直径，ｍｍ。 度。如果要以角度（。）为单位来表示ＬＣＯＥ，将 因此ＺＡＯＧ＝ｔａｎ Ｄ．－ Ｄ，这就得到了渐开线 弧度值乘以转换因数３６０￣／（２，ｒ）即可。将式（５） 的极坐标参数方程。根据渐开线函数的定义。有 代入式（４）中，并考虑用角度作为计算单位， ＬＡＯＧ＝ｉｎｖｏｔＤ，单位为弧度。 就会得到ＧＢ厂ｒ １７８５５—１９９９中的渐开线花键齿 （３）ＬＡＯＣ。ＬＡＯＣ是渐开线ＡＣ段的展 根危险截面弦齿厚．ｓ 的计算式，即公式（３）。 角。Ａ点是渐开线的起始点。Ｃ点是渐开线起始 ３结束语 圆与齿根圆弧的交点：渐开线的向径就是渐开线 起始圆的半径．它和花键的基圆半径一样是已知 ＧＢ／＿ｒ １７８５５—１９９９为花键的设计提供了一 的。根据渐开线的特性。渐开线的法线是基圆的 套全面、严谨的计算方法。齿根弯曲强度计算 切线。ＢＣ上ＯＢ，三角形ＡＢＯＣ是直角三角形。 是渐开线花键和矩形花键的重要内容之一。渐 在这个直角三角形中．用反余弦函数来表示相应 开线花键的渐开线起始圆上的弦齿厚需按给定 边、角之间的关系，ＬＢＯＣ可以表示为： 的公式计算。根据渐开线的特性。通过渐开线 ＢＯＣ＝ａｒｃｅ０ｓ（Ｄｂ／Ｄ ）＝ａｒｃｃｏｓ（Ｄｃｏｓ ＯｇＤ／Ｄ ） 函数。用压力角表示渐开线的展角。则渐开线 ＬＢＯＣ是Ｃ点的压力角．Ｃ点的渐开线展 起始圆上的弦齿厚计算公式就可以简单地表示 角／＿ＡＯＣ是压力角的渐开线函数，有：ＬＡＯＣ＝ 出来。 ｉｎｖ［ＬＢＯＣ］＝ｉｎｖ［ａｒｃｃｏｓ（ＤｃｏｓｏｔＤ／Ｄ ）］，单位 （收稿日期：２０１４－０４－１５） 屯．Ｓ也． ．Ｓ ．５止．Ｓ屯．５ 之．． ＩＬ．善止． Ｊ－ ．喜 ． Ｊ－． 也 屯． 己．善屯．喜 ．Ｓ屯． ． ． 止． ．Ｓ ．Ｓ ．ｓ ． 止． Ｌ．善 （上接第１２页） 表３ 表４ 轴线垂直度公差ｔ 加Ｔ轴实际尺寸ｄ 轴线垂直度公差ｔ 加Ｔ孔实际尺寸Ｄ ４，Ｏ．２ 击２０ ０＿３ ６２ｏ．５ 击０．１９ ６２０＋４，０．Ｏｌ ０．２５ ４，２０．５－－６０．０５ ６０．１８ ２０＋ ０．０２ ０．２１ ６２ｏ．５－￣０．０９ ６ｏ．１７ ６２０＋６０．０３ ０．１６ ６２ｏ．５－－６ｏ．１４ ６ｏ．１２ ４，２０＋６ｏ．０８ Ｏ．１ ６２ｏ．５－４，０．２ ０ 西２Ｏ＋西０．２ ０ ｑ，２０．５－￣０．３ 间进行权衡与优化。如果希望所选的制造工艺有 装配性，能充分利用公差带，使尺寸和形位公 小的形位公差偏差．则应在直径上有较大的尺寸 差之间相互补偿．扩大了被测要素实际尺寸的 公差范围。若只有很小的尺寸公差范围，则会获 范围．将实际尺寸超过了最大实体尺寸而未超 得补偿的形位公差。 过最大实体实效边界的废品变为合格品．还能 ４结束语 根据所选的工艺优化公差，达到最优化设计。 最大实体要求及可逆要求能保证零件的可 （收稿日期：２０１４—０４—１０） １ ５