高考复习文科函数与导数知识点总结()

一、映射与函数 1、映射 f：A→B 概念

（1）A中元素必须都有________且唯一；

（2）B 中元素不一定都有原象，且原象不一定唯一。 2、函数 f：A→B 是特殊的映射

(1)、特殊在定义域 A 和值域 B都是非空数集。函数 y=f(x)是“y是x 的函数”这句话的数学表示，其

中 x是自变量，y是自变量 x的函数，f 是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象， 也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与垂直x轴的直线________公共点，但与垂直y轴的直

线公共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x只能对应一个y，但一个y可以对应多个x。） （2）、函数三要素是________，________和________，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.

二、函数的单调性

在函数f(x)的定义域内的一个________上，如果对于任意两数x1，x2∈A。当x1时，都有________，那么，就称函数f(x)在区间A上是增加的，当x11、作差（商）法（定义法） 2、导数法 3、复合函数单调性判别方法（同增异减）

函数的最值

函数y＝f(x)的定义域为D，(1)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；(2)对于任意x∈D，都有________. M为最大值

(3)存在x0∈D，使得f(x0)＝M；(4)对于任意x∈D，都有________. M为最小值 求函数最值的常用方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值；

(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

三．函数的奇偶性

⑴偶函数：f(x)f(x)

设（a,b）为偶函数上一点，则________也是图象上一点.偶函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于y轴对称，例如：yx21在[1,1)上不是偶函数. ②满足________，或f(x)f(x)0，若f(x)0时， ⑵奇函数：f(x)f(x)

设（a,b）为奇函数上一点，则________也是图象上一点.奇函数的判定：两个条件同时满足

①定义域一定要关于原点对称，例如：yx3在[1,1)上不是奇函数. ②满足________，或f(x)f(x)0，若f(x)0时， 周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有________， 那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中________的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.

※(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数

f(x)1 f(x)f(x)1. f(x)周期性的判断，利用函数周期性求值. (2)函数周期性的三个常用结论：

①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，②若f(x＋a)＝＝2a (a>0).

※(1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间

11

，则T＝2a，③若f(x＋a)＝－，则Tfxfx

上的问题转化为已知区间上的问题.

(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|).②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.

四．二次函数 幂函数

1.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式

①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).②顶点式：f(x)＝________________③零点式：f(x)＝

________________ (2)二次函数的图像和性质

解析式 图像 定义域 值域 (－∞，＋∞) ________ 在________________上单调单调性 递减； 在_______________上单调递增 对称性 2.幂函数

(1)定义：形如_______(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. (2)幂函数的性质

①幂函数在_______上都有定义；②幂函数的图像过定点_______；

③当α>0时，幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调_______； ④当α<0时，幂函数的图像都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调_______.

※(1)二次函数最值问题解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，

f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) (－∞，＋∞) 在________________上单调递增； 在________________上单调递减 b函数的图像关于x＝－对称 2a一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成. (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.

②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

(3)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式.

(4)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间

(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴.

五．函数的变换

①yf(x)yf(x)：将函数yf(x)的图象关于y轴对称得到的新的图像就是

yf(x)的图像；

②yf(x)yf(x)：将函数yf(x)的图象关于x轴对称得到的新的图像就是

yf(x)的图像；

③yf(x)y|f(x)|：将函数yf(x)的图象在x轴下方的部分对称到x轴的上方，连同函数yf(x)的图象在x轴上方的部分得到的新的图像就是y|f(x)|的图像；

④yf(x)yf(|x|)：将函数yf(x)的图象在y轴左侧的部分去掉，函数yf(x)的图象在y轴右侧的部分对称到y轴的左侧，连同函数yf(x)的图象在y轴右侧的部分得到的新的图像就是yf(|x|)的图像. 函 数 y=f(x+a) y=f(x)+a y=f(-x) y=-f(x) y=-f(-x) y=f(|x|) y=|f(x)y=f(|x|)的图象关于y轴对称，x0时函数即y=f(x)，所以x<0时的图象与x0时y=f(x)的图象关于y轴对称. ∵yf(x)f(x),f(x)0；，∴y=|f(x)|的图象是f(x),f(x)0.y=f(x) a>0时，向左平移a个单位；a<0时，向右平移|a|个单位. a>0时，向上平移a个单位；a<0时，向下平移|a|个单位. y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y=-f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y=-f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称. | yf1y=f(x)0与y=f(x)<0图象的组合. ＝y=f1(x)与y=f(x)的图象关于直线y=x对称. (x) 注：

（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴； （2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=

ab是f(x)的对称轴. 2※(1)利用函数的图像研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图像的函数，其性

质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图像研究，但一定要注意性质与图像特征的对应关系.

(2)利用函数的图像可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图像交点的横坐标；不等式f(x)六、指数函数与对数函数的图像和性质

一．指数函数

（一） 指数与指数幂的运算

1．根式的概念：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根，其

中n>1，且n∈N*．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作

n00。

a(a0)当n是奇数时，aa，当n是偶数时，a|a|

a(a0)nnnn 2．分数指数幂

正数的分数指数幂的意义，规定：

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质

rsrsrrrs （1）a·aa (a0,r,sR)；（2）(a)a

(a0,r,sR)；

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数______________________ 叫做指

数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注：指数函数的底数的取值范围______________________． 2、指数函数的图象和性质

a>1 0（1）在[a，b]上，f(x)ax(a0且a1)值域是___________或

___________；

（2）若x0，则f(x)1；f(x)取遍所有正数当且仅当xR； （3）对于指数函数f(x)ax(a0且a1)，总有f(1)a； ※指数函数的性质及应用问题解题策略

(1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法.

(2)简单的指数方程或不等式的求解问题.解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论.

(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.

二、对数函数 （一）对数

1．对数的概念：一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作

以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中___________叫作对数的底数，___________叫作真数.

说明：○1 注意底数的限制a0，且a1； ○2 axNlogaNx；

○3 注意对数的书写格式．loga 两个重要对数：

N

○1 常用对数：以10为底的对数___________；

○2 自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数

___________．

指数式与对数式的互化 幂值 真数

ab＝ NlogaN＝ b

底数

指数 对数 （二）对数的运算性质

如果a0，且a1，M0，N0，那么：

1 loga(M·N)______________________； ○

MN

2 loga ○___________； ①alogaN＝_____；②logaa＝

N_____(a>0且a≠1).

3 logaMn=___________ (nR)． ○

注意：换底公式

logcb log（a0，且a1；c0，且c1； b0）． balogac 利用换底公式推导下面的结论

1n （1）logabnlogab；（2）logab．

logambm（三）对数函数

1、对数函数的概念：函数ylogax(a0，且a1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．注：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形 式定义，注意辨别。如：y2log2x，ylog5x 都不是对数函数，

5而只能称其为对数型函数． ○2 对数函数对底数的限制：(a0，且a1)． 2、对数函数的性质：

a>1 0函数图象都过定点（1，0） αloga|M|(α∈N＋，且α为偶数).

2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.

七．函数与方程

1.函数的零点(1)函数零点的定义函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的________称为这个

函数的零点.

(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与________有交点⇔函数y＝f(x)有________

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间________内，函数y＝f(x)________零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解. 2.二分法

对于在区间[a，b]上连续不断且________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________，使区间的两个端点逐步逼近________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

※1.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还

要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像.

2.判断零点个数要注意函数的定义域，不要漏解；画图时要尽量准确. 解函数应用问题的步骤(四步八字)

(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)解模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 八．导数

1.导数与导函数的概念

(1)当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果_________________，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，

fx1－fx0fx0＋Δx－fx0

记作f′(x0)＝xlim ＝lim .

Δxx1－x01→x0Δx→0

(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝Δlim x→0fx＋Δx－fx

，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.

Δx2.导数的几何意义

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点________处的________.相应地，切线方程为________ 3.几种常见函数的导数

①f(x)＝c(c为常数)，f ′(x)＝________；②f(x)＝xα(α为实数)，f ′(x)＝________； ③f(x)＝sin x，f ′(x)＝________；④f(x)＝cos x，f ′(x)＝________；

⑤f(x)＝ax(a>0，a≠1)，f ′(x)＝________；⑥f(x)＝ex f ′(x)＝________； ⑦f(x)＝logax(a>0，a≠1)，f ′(x)＝________；⑧f(x)＝ln x，f ′(x)＝________。 4.导数的运算法则

若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝________；(2)[f(x)·g(x)]′＝________________； (3)[

fx

]′＝________________________(g(x)≠0). gx

※1.f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)

是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.

2.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.

3.未知切点的曲线切线问题，一定要先设切点，利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程.

4.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆.

5.求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者.

6.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别. 5. 极值的判别方法：（极值是在x0附近所有的点，都有极小值同理）

当函数

f(x)在点x0处连续时，

则f(x0)是函数f(x)的极大值，f(x)＜f(x0)，

①如果在x0附近的左侧②如果在x0附近的左侧

f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值； f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

f'(x)=0

①

也就是说x0是极值点的充分条件是x0点两侧导数异号，而不是. 此外，函数不可

导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）. 注①： 若点x0是可导函数

f(x)的极值点，则f'(x)=0.

但反过来不一定成立. 对于可导函数，

其一点x0是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数yf(x)x3，x0使f'(x)=0，但x0不是极值点.

f(x)|x|，在点x0处不可导，但点x0是函数的极小值点.

②例如：函数y极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.

5.导数与单调性

（1） 一般地，设函数 y = f ( x) 在某个区间可导，如果 f ′( x ) > 0 ，则 f ( x ) 为增函数；如果 f ′( x) < 0 ，则 f ( x) 为减函数；如果在某区间内恒有 f ′( x) = 0 ，则 f ( x) 为常数；

（2）对于可导函数 y = f ( x) 来说， f ′( x ) > 0 是 f ( x ) 在某个区间上为增函数的充分非必要 条件， f ′( x ) < 0 是 f ( x ) 在某个区间上为减函数的充分非必要条件；

（3）利用导数判断函数单调性的步骤：

①求函数 f ( x ) 的导数 f ′( x ) ；②令 f ′( x ) > 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间；③令 f ′( x) < 0 解不等式，得 x 的范围，就是递增区间。

1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能.

2.求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. 3.函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 1.用导数方法证明不等式f(x)>g(x)时，找到函数h(x)＝f(x)－g(x)的零点是解题的突破口. 2.在讨论方程的根的个数、研究函数图像与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用.

3.在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较.