2014年4月NIUXS的高中数学组卷02
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2014年4月niuxs的高中数学组卷02
一．选择题（共9小题） 1．已知函数
的定义域为
，值域为[﹣5，1]，则函数g（x）=a
bx+7
在[b，a]
上，（ ） A．有最大值2 B． 有最小值2 C． 有最大值1 D． 有最小值1 2．函数f（x）=|sinx|+|cosx|的取值范围是（ ） A．B． [0，2] C． [1，2] D． [0，] [1，] 3．（2011•天津）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=
时，f（x）取得最大值，则（ ）
B． f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数 D． f（x）在区间[4π，6π]上是减函数 A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数 f（x）在区间[3π，5π]上是减函数 C． 4．在[0，2π]上满足sinx≥的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（ ） A．B． C． D． * 6．（2009•海淀区一模）函数 A． 7．若0＜|a|＜ A．sin2a＞sina ，则（ ）
B． cos2a＜cosa C． tan2a＜tana D． cot2a＜cota B． 的一个单调增区间为（ ） C． D． 8．若定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，且在 A．[﹣ C．[﹣，﹣，﹣上的解集为（ ） ）∪（﹣）∪（﹣，，）∪（） ，] B． [﹣D． [﹣，﹣，﹣，那么不等式
）∪（，] ，）∪（，] ）∪（﹣ 9．函数y=
的一个单调增区间是（ ）
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www.jyeoo.com A． B． C． D． 二．填空题（共4小题） 10．（2011•江苏模拟）函数
11．（2008•闵行区一模）（文）对于任意_________ ．
12．函数y=sinx+4sinx+3，x∈R的值域为 _________ ．
13．若f（x）=sinωx（0＜ω＜1），在区间
三．解答题（共17小题） 14．（2006•上海）求函数
15．（2011•海淀区二模）已知函数f（x）=sinxcosx+sinx． （Ⅰ）求（II）若
的值；
，求f（x）的最大值及相应的x值．
2
2
的值域为 _________ ．
，不等式psinx+cosx≥0恒成立，则实数p的最小值为 24
上的最大值为，则ω= _________ ．
的值域和最小正周期．
16．（2011•阜阳模拟）已知函数f（x）=sin2x+cos2x． （Ⅰ）当
（Ⅱ）画出函数f（x）在
时，求f（x）的取值范围；
内的图象．
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www.jyeoo.com 17．（2004•黄埔区一模）如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的底面为扇形小山（P为
上的点），其余部分为平地．今有开发商想在平地上建一个边落在BC及CD上的长方形停车场
PQCR．求长方形停车场PQCR面积的最大值及最小值．
18．已知
．
（1）求f（x）的最大值以及取得最大值时自变量x的取值构成的集合； （2）当自变量
19．（2012•盐城一模）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）在区间
20．设△ABC的三内角为A、B、C，且满足（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）当|x|≤A时，求函数
21．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为
的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，
x的值域．
上的函数值的取值范围．
．
时，求f（x）的值域．
矩形ABCD的面积为S．
（1）请找出S与α之间的函数关系（以α为自变量）；
（2）求当α为何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
22．（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0 （1）若y=f（x）在[﹣
，
]上单调递增，求ω的取值范围；
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www.jyeoo.com （2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移
个单位，在向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间
[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值．
23．（2011•衡阳模拟）巳知函数f（x）=2sinxcos（（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）的单调递增区间．
24．已知函数
，x∈R．
）+
（1）写出函数f（x）的对称轴方程、对称轴中心的坐标及单调区间． （2）求函数f（x）在区间
25．（2007•崇文区二模）已知
．
上的最大值和最小值．
（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围． 26．已知
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积．
27．已知f （x）=2cos x+2sin xcos x+a （a为常数）． （1）求f （x）的单调递增区间； （2）若f （x）在区间[﹣
28．已知函数f（x）=5sinxcosx﹣5
cosx+
2
2
，]上的最大值与最小值之和为3，求a的值．
（其中x∈R），求：
（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的单调区间；
（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心．
29．已知关于x的方程（1）求实数a的取值范围； （2）求这两个实根的和．
30．已知函数
．
在区间[0，2π]有且只有两个不同的实根．
（I）求出f（x）的最小正周期及函数f（x）图象的对称中心； （II）设g（x）=f（x+φ），若函数g（x）为偶函数，求满足条件的最小正数φ的值．
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2014年4月niuxs的高中数学组卷02
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题） 1．已知函数
的定义域为
，值域为[﹣5，1]，则函数g（x）=a
bx+7
在[b，a]
上，（ ） A．有最大值2 B． 有最小值2 C． 有最大值1 D． 有最小值1 考点： 正弦函数的定义域和值域． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 此题考查正弦型函数的值域问题，配合指数函数的单调性最值问题，设t=2x+，x∈，那么t∈[，]是关键 解答： 解：∵已知函数∴不妨设t=2x+，x∈，那么t∈[的定义域为，] ，值域为[﹣5，1] ∴h（t）=f（x）=2asint+b，a＞b ∴f（x）max=h（ f（x）min=h（由①②解得， ∴a=2，b=﹣3 又∵g（x）=2在[﹣3，2]上单调递减 ∴g（x）min=g（2）=2 bx+7即，函数g（x）=a在[b，a]上有最小值2 故选：B． 点评： 此题考查正弦型函数的值域问题，需要采用换元的思想，是一道基础题目，也是高考常见题型． 2．函数f（x）=|sinx|+|cosx|的取值范围是（ ） A．B． [0，2] C． [1，2] D． [0，] [1，] 考点： 正弦函数的定义域和值域． 专题： 计算题． 分析： 根据x的不同范围对函数f（x）去绝对值符号，进而可得到函数f（x）的范围，确定答案． 解答： 解：当2kπ≤x时，f（x）=|sinx|+|cosx|=sinx+cosx=sin（x+） ）=2asin）=2asin+b=1① +b=﹣5② ﹣3x+7∴f（x）∈[1，当∴f（x）∈[1，] 时，f（x）=|sinx|+|cosx|=sinx﹣cosx=] sin（x﹣） ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 当∴f（x）∈[1，当] 时，f（x）=|sinx|+|cosx|=﹣sinx+cosx=﹣sin（x﹣） 时，f（x）=|sinx|+|cosx|=﹣sinx﹣cosx=﹣sin（x+） ∴f（x）∈[1，] 故选D． 点评： 本题主要考查正弦函数和余弦函数在不同范围时的函数值的符号，考查两角和与差的正弦公式的应用．对三角函数的考查一般以基础题为主，要强化基础的夯实． 3．（2011•天津）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，﹣π＜φ≤π．若函数f（x）的最小正周期为6π，且当x=
时，f（x）取得最大值，则（ ）
A．f（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数 B． f（x）在区间[﹣3π，﹣π]上是增函数 f（x）在区间[3π，5π]上是减函数 C．D． f（x）在区间[4π，6π]上是减函数 考点： 正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值． 专题： 计算题；压轴题． 分析： 由函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=，且当x=时，f（x）取得最大值，代入可得，2sin（φ）=2，结合已知﹣π＜φ≤π可得φ= 可得，分别求出函数的单调增区间和减区间，结合选项验证即可 解答： 解：∵函数f（x）的最小正周期为6π，根据周期公式可得ω=∴f（x）=2sin（∵当x=φ）， φ）=2， ， 可得函数的单调增区间：可得函数的单调减区间：， ， ， 时，f（x）取得最大值，∴2sin（，∴∵﹣π＜φ≤π，∴φ= 由由结合选项可知A正确， 故选A． 点评： 本题主要考查了利用函数的部分图象求解函数的解析式，还考查了函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间的求解，属于对基础知识的考查． 4．在[0，2π]上满足sinx≥的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 考点： 正弦函数的单调性． 专题： 计算题． ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 分析： 利用三角函数线，直接得到sinx≥的x的取值范围，得到正确选项． 解答： 解：在[0，2π]上满足sinx≥，由三角函数线可知，满足sinx≥，的解，在图中阴影部分， 故选B 点评： 本题是基础题，考查三角函数的求值，利用单位圆三角函数线，或三角函数曲线，都可以解好本题，由于是特殊角的三角函数值，可以直接求解． 5．若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（ ） A．B． C． D． * 考点： 正弦函数的单调性；象限角、轴线角；正切函数的单调性． 专题： 计算题． 分析： 先根据点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，得到sinα﹣cosα＞0，tanα＞0，进而可解出α的范围，确定答案． 解答： 解：∵ 故选B． 点评： 本题主要考查正弦、正切函数值的求法．考查基础知识的简单应用． 6．（2009•海淀区一模）函数 A． B． 的一个单调增区间为（ ） C． D． 考点： 正弦函数的单调性． 专题： 计算题． 分析： 先把已知函数利用诱导公式化简可得，要求函数的单调增区间，转化为求函数g（x）=sin（的单调减区间 ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 解答： 解：∵f（x）=令g（x）=sin（） 根据复合函数的单调性，可求函数g（x）的单调减区间 结合选项可知 故选A 点评： 本题主要考查了三角函数y=Asin（wx+θ）（w＜0）的单调区间，求解的基本方法是利用诱导公式把函数进行化简，使得x的系数w化为正，然后结合正弦函数的单调区间求解． 7．若0＜|a|＜
，则（ ）
A．sin2a＞sina B． cos2a＜cosa C． tan2a＜tana D． cot2a＜cota 考点： 正弦函数的单调性；余弦函数的单调性；正切函数的单调性． 专题： 计算题． 分析： 变形得到角的范围，观察四种函数的单调性，找一种函数在第一象限递减，且在第四象限递增，y=sinα，y=tanα在这两个象限都是递增的，不合题意，y=cotα在一和四象限是递减的，不合题意，得到结果． 解答： 解：∵0＜|a|＜， ∴﹣﹣， ， 在第一四象限，观察四种函数的单调性， 找一种函数在第一象限递减，且在第四象限递增， y=sinα，y=tanα在这两个象限都是递增的，不合题意， y=cotα在一和四象限是递减的，不合题意， 只有y=cosα合题意， 故选B 点评： 本题主要考查四个三角函数的性质，是一个根据自变量的取值，看出在这个范围中函数图象的变化趋势，注意兼顾第一和第四两个象限的特点，这是一个基础题． 8．若定义在R上的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，且在 A．[﹣ C．[﹣，﹣，﹣上的解集为（ ） ）∪（﹣）∪（﹣，，）∪（） ，] B． [﹣D． [﹣，﹣，﹣）∪（，] ，）∪（，] ，那么不等式
）∪（﹣ 考点： 正弦函数的单调性；奇偶性与单调性的综合． 专题： 计算题． 分析： 利用偶函数的图象关于y轴对称，又且在（﹣∞，0]上为增函数，将不等式中的抽象的对应法则“f”化去，变形为三角不等式，求出解集． ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 解答： 解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0]上为增函数，可化为∵x∈（∴2x﹣]，解得x∈[∈[ 或 ]，∴须2x﹣）∪（∈[）∪（] ，∴原不等式）∪（）∪故选D 点评： 本题主要考查函数的奇偶性、单调性及其应用，三角不等式的解法． 9．函数y=的一个单调增区间是（ ） A．B． C． D． 考点： 正弦函数的单调性． 专题： 计算题． 分析： 先利用辅助角公式对函数进行化简，再利用正弦函数的单调性求出单调增区间，取其一即可． 解答： 解：y==2sin（x+） ∴﹣+2kπ≤x+，（k∈Z） ，]， 解得：取k=0得函数的一个单调增区间为[故选D 点评： 本题主要考查了正弦函数的单调性，单调性是函数的重要性质，属于基础题． 二．填空题（共4小题） 10．（2011•江苏模拟）函数
考点： 正弦函数的定义域和值域． 专题： 计算题． 分析： 利用辅助角公式可先对函数化简可得f（x）=的值域为 （﹣1，2] ．
，结合已知x的范围及正弦函数的图象可求函数的值域． 解答： 解：∵∵∴∴∴﹣1＜y≤2 故答案为：（﹣1，2]
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www.jyeoo.com 点评： 本题主要考查了正弦函数的值域的求解，要求考生熟练应用函数的图象，掌握函数的性质． 11．（2008•闵行区一模）（文）对于任意
，不等式psinx+cosx≥0恒成立，则实数p的最小值为 0 ．
2
4
考点： 正弦函数的定义域和值域；函数恒成立问题． 专题： 计算题． 分析： 2424222222由psinx+cosx≥0，知p（1﹣cosx﹣cosx）≥0，所以﹣（cosx+）﹣p+p≥0，（cosx﹣）≤p﹣p，p≥4或p≤0，由此解得p的最小值为0． 24解答： 解：∵psinx+cosx≥0， 24∴p（1﹣cosx）+cosx≥0， ﹣（cosx+）﹣p+p≥0， （cosx﹣）≤p﹣p（1） 当p﹣p＜0时（1）式显然不成立， p≥4或p≤0， 当0≤p≤2即0＜≤1，p﹣p≥0， 0≤（cosx﹣）≤p≤p﹣p，0≤p≤2， 2≤p≤4，0≤（cosx﹣）≤p≤p﹣p，p=2， p的最小值为0． 故答案为：0． 点评： 本题考查正弦函数的图象和性质，解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数的恒等变换． 12．函数y=sinx+4sinx+3，x∈R的值域为 [0，8] ． 考点： 正弦函数的定义域和值域． 专题： 计算题． 分析： 由解析式的特点设t=sinx，由正弦函数的值域求出t的范围，利用配方法对解析式进出化简，根据二次函数的性质求出函数的最值，即求出函数的值域． 22解答： 解：设t=sinx，则t∈[﹣1，1]，代入函数解析式得，y=t+4t+3=（t+2）﹣1， ∴当t=﹣1时，函数取最小值是0，当t=1时，函数取最大值是8， ∴函数的值域是[0，8]． 故答案为：[0，8]． 点评： 本题考查了正弦函数的值域的应用，根据解析式需要利用换元法，把已知函数转化为二次函数，再根据二次函数的性质和正弦函数的值域求出函数的值域． 22222222222222222
13．若f（x）=sinωx（0＜ω＜1），在区间 考点： 正弦函数的定义域和值域． 专题： 计算题． 上的最大值为，则ω= ．
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www.jyeoo.com 分析： 根据已知区间，确定ϖx的范围，求出它的最大值，结合0＜ϖ＜1，求出ϖ的值． 解答： 解：因为 ， 所以所以所以故答案为： 点评： 本题是基础题，考查三角函数的最值的应用，考查计算能力，转化思想的应用． 三．解答题（共17小题） 14．（2006•上海）求函数
考点： 正弦函数的定义域和值域；三角函数的周期性及其求法． 专题： 计算题． 分析： 利用积化和差，两角和的正弦，化函数 ， 的值域和最小正周期．
为一个角的一个三角函数的形式，然后求出周期和最值． 解答： 解：===∴函数 的值域是[﹣2，2]， 最小正周期是π； 点评： 本题考查正弦函数的定义域和值域，三角函数的周期性及其求法，考查计算能力，是基础题． 15．（2011•海淀区二模）已知函数f（x）=sinxcosx+sinx． （Ⅰ）求（II）若
的值；
，求f（x）的最大值及相应的x值．
2
考点： 正弦函数的定义域和值域；三角函数的化简求值． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）把x=代入函数的解析式，化简求得结果． （Ⅱ）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为， ，由x的范围，得 ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 故当，即时，f（x）取到最大值． 2解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sinxcosx+sinx， ∴==1．…（6分） （Ⅱ）f（x）=sinxcosx+sinx==由所以，当得 ，即=2，…（1分） …（4分） ，…（8分） ，…（9分） ，…（11分） 时，f（x）取到最大值为．…（13分） 点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题． 16．（2011•阜阳模拟）已知函数f（x）=sin2x+cos2x． （Ⅰ）当
（Ⅱ）画出函数f（x）在
时，求f（x）的取值范围；
内的图象．
考点： 正弦函数的定义域和值域；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象． 专题： 作图题；转化思想． 分析： （Ⅰ）f（x）=sin2x+cos2x=，再求时函数的取值范围． （Ⅱ）由作图规则，先列表，再作图 解答： 解：（Ⅰ）由题设∴（Ⅱ）列表
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，当，故； 时，； 菁优网
www.jyeoo.com 图象如图 点评： 本题考查正弦函数的定义域及值域，以及函数的图象作法，五点法作图，求解本题关键是将函数的解析式化简，再由函数的性质求值域，要掌握好五点法作图的步骤， 17．（2004•黄埔区一模）如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为90米的底面为扇形小山（P为
上的点），其余部分为平地．今有开发商想在平地上建一个边落在BC及CD上的长方形停车场
PQCR．求长方形停车场PQCR面积的最大值及最小值．
考点： 正弦函数的定义域和值域；函数模型的选择与应用． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 设∠PAB=θ，θ∈[0，]，则SPQCR=f（θ）=（100﹣90cosθ）（100﹣90sinθ），令sinθ+cosθ=t，则t=sin（θ+）∈[1，解答： ]，由二次函数的性质求得SPQCR的最大值和最小值． ]，则 解：设∠PAB=θ，θ∈[0，SPQCR=f（θ）=（100﹣90cosθ）（100﹣90sinθ）=8100sinθcosθ﹣9000（sinθ+cosθ）+10000． 令sinθ+cosθ=t，则t=sin（θ+）∈[1，]． ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com ∴SPQCR=故当t=t﹣9000t+10000﹣2，此二次函数的图象开口向上，对称轴为t=2， 时，SPQCD最小值为950（m）， 2当t=时，SPQCD最大值为14050﹣9000（m）． 点评： 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质的应用，属于基础题． 18．已知
．
（1）求f（x）的最大值以及取得最大值时自变量x的取值构成的集合； （2）当自变量 考点： 正弦函数的定义域和值域；三角函数的化简求值． 专题： 计算题． 分析： （1）利用二倍角公式，两角和及差的正弦及余弦函数公式，化简函数为时，求f（x）的值域．
，然后求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合； （2）根据x的范围确定解答： 解：==（1）f（x）max=2， 当（k∈Z），即（k∈Z）． ．…（10分） ，…（12分） ， ． …（14分） ． …（6分） 的范围，进而利用正弦定理的单调性求得函数的最值，求得函数的值域． 故f（x）取得最大值时自变量x的取值构成的集合是（2）因为所以所以f（x）的值域为，所以点评： 本题考查三角函数的化简求值、正弦函数的定义域和值域的求法，考查计算能力，基本知识掌握的熟练程度，高考常考题型． 19．（2012•盐城一模）已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）在区间
上的函数值的取值范围．
．
考点： 正弦函数的定义域和值域；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法． ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 专题： 计算题． 分析： （1）先降幂扩角，再利用辅助角公式化简，进而可求函数f（x）的最小正周期； （2）根据数值的取值范围． 解答： 解：（1）因为=…（6分） …（4分） ，可确定，从而可求函数f（x）在区间上的函故f（x）的最小正周期为π…（8分） （2）当∴故所求的值域为时， …（14分） …（10分） 点评： 本题重点考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，解题的关键是将函数式进行化简，利用三角函数的性质进行求解． 20．设△ABC的三内角为A、B、C，且满足（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）当|x|≤A时，求函数
x的值域．
考点： 正弦函数的定义域和值域；同角三角函数基本关系的运用． 专题： 计算题． 分析： （Ⅰ）利用三角形内角和把cos2（B+C）转化成cos2A，把题设等式转化成关于cosA的一元二次方程求得cosA，进而根据A的范围求得A． （Ⅱ） 根据x的范围求出角2x﹣+2x）， 求出sin（﹣解答： 的范围，利用两角差的正弦公式化简函数解析式为 + sin（﹣+2x）的范围，可得函数的值域． =2+2cosA﹣cos2A ． x=≤，可得﹣1≤sin（﹣，]． 的范围以及sin（﹣+2x）+sin2x﹣， 解：（Ⅰ）△ABC中，∵A+B+C=π，∴=﹣2cosA+2cosA+3=，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=（Ⅱ） 当x∈[﹣=∴+ sin（﹣≤f（x）≤，]时，函数2+2x），由﹣π≤2x﹣，即函数的值域为[+2x）≤点评： 本题主要考查二倍角公式，两角差的正弦公式的应用，根据x的范围求出角2x﹣的范围， 是解题的难点． ©2010-2014 菁优网
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21．如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为
的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形．记∠COP=α，
矩形ABCD的面积为S．
（1）请找出S与α之间的函数关系（以α为自变量）；
（2）求当α为何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积．
考正弦函数的定义域和值域；任意角的三角函数的定义；两角和与差的正弦函数． 点： 专综合题． 题： 分（1）先把矩形的各个边长用角α表示出来，进而表示出矩形的面积； 析（2）再利用角α的范围，结合正弦函数的性质可求求矩形面积的最大值即可． ： 解解：在RT△OBC中，OB=OC•cosα=cosα，BC=OC•sinα=sinα 答在RT△OAD中，（2分） ： ∴∴矩形ABCD的面积， ，（4分） ==（8分） （2）由所以当，得，即 所以，当时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为．（14分） 时，（12分） ，（10分） 点本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒评等式变换公式进行化简．
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www.jyeoo.com ： 22．（2013•上海）已知函数f（x）=2sin（ωx），其中常数ω＞0 （1）若y=f（x）在[﹣
，
]上单调递增，求ω的取值范围；
个单位，在向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象，区间
（2）令ω=2，将函数y=f（x）的图象向左平移
[a，b]（a，b∈R，且a＜b）满足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a，b]中，求b﹣a的最小值． 考点： 正弦函数的单调性；根的存在性及根的个数判断；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （1）已知函数y=f（x）在上单调递增，且ω＞0，利用正弦函数的单调性可得，且，解出即可； ．令g（x）=0，即可解出*（2）利用变换法则“左加右减，上加下减”即可得到g（x）=2零点的坐标，可得相邻两个零点之间的距离．若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，mπ+a（]m∈N）恰有2m+1个零点，所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点，即可得到a，b满足的条件．进一步即可得出b﹣a的最小值． 解答： 解：（1）∵函数y=f（x）在∴解得，且． 个单位，在向上平移1个单位，得到， ， 上单调递增，且ω＞0， （2）（fx）=2sin2x，∴把y=f（x）的图象向左平移∴函数y=g（x）=令g（x）=0，得∴相邻两个零点之间的距离为，或x=或． ， （k∈Z）． 若b﹣a最小，则a和b都是零点，此时在区间[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N）分别恰有3，5，…，2m+1个零点， 所以在区间[a，14π+a]是恰有29个零点，从而在区间（14π+a，b]至少有一个零点， ∴另一方面，在区间因此b﹣a的最小值为． ． 恰有30个零点， *点评： 本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力． ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 23．（2011•衡阳模拟）巳知函数f（x）=2sinxcos（（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）的单调递增区间． 考点： 正弦函数的单调性；正弦函数的定义域和值域． 专题： 计算题． 分析： 利用同角平方关系及二倍角公式对函数化简可得）+
，代入可求函数的值域 可得，即为（1）由正弦函数的性质可得（2） 由正弦函数的性质可得，由所求的单调区间． 解答： 解：f（x）====（1）∵∴（2）由可得，即函数在 单调递减 点评： 本题主要考查了同角平方关系，二倍角公式在三角函数化简中应用，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的值域及单调区间的求解，考查的是对基础知识、基本方法的掌握． 24．已知函数
，x∈R．
（1）写出函数f（x）的对称轴方程、对称轴中心的坐标及单调区间． （2）求函数f（x）在区间
上的最大值和最小值．
考点： 正弦函数的单调性；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的对称性． 专题： 计算题． 分析： （1）在函数，x∈R中，令 2x﹣=kπ+，k∈z，可得称轴方程；令 2x﹣=kπ，可得对称轴中心的横坐标 x的值；由 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得x的范围即得增区间；令 ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 2kπ+≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，解得x的范围即得减区间． ≤2x﹣≤，利用正弦函数的单调性求得最值． ，x∈R中，令 2x﹣，k∈z． ，0），k∈z． =kπ+，k∈z，可得 （2）由x的范围求得﹣解答： 解：（1）在函数x=令 2x﹣由 2kπ﹣，故函数f（x）的对称轴方程为 x==kπ，k∈z，可得 x=≤2x﹣≤2kπ+，kπ+≤2kπ+，kπ+，∴﹣，故对称轴中心的坐标为（，k∈z，解得 kπ﹣≤x≤kπ+， 故增区间为[kπ﹣由2kπ+≤2x﹣]，k∈z． ，k∈z，解得 kπ+]，k∈z． ≤2x﹣≤，故当 x=时，函数f（x）的最大值为2， ）=﹣1． ≤x≤kπ+， 故减区间为[kπ+（2）由于 0≤x≤故当 x=﹣ 时，函数f（x）的最小值为2×（点评： 本题考查正弦函数的对称性、单调性、定义域和值域，掌握正弦函数的图象性质，是解题的关键． 25．（2007•崇文区二模）已知
．
（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围． 考点： 正弦函数的单调性；正弦定理；三角函数的最值． 专题： 计算题． 分析： （1）先用两角和公式和对函数解析式化简整理，进而根据正弦函数的性质求得函数f（x）的单调递增区间． （2）先利用正弦定理把题设中的等式转化成关于角的正弦和余弦的等式，进而根据两角和公式化简整理求得cosB，进而求得B，利用三角形的内角和求得A的范围，则f（A）的取值范围可得． 解答： 解：（Ⅰ）由=． ∵∴∴f（x）的单调递增区间为，（k∈Z） ，（k∈Z） （k∈Z）． （Ⅱ）由（2a﹣c）cosB=bcosC， 得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC， ∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC， ∴2sinAcosB=sin（B+C）， ∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0， ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com ∴∴，，． ． ， 故函数f（A）的取值范围是点评： 本题主要考查了正弦函数的单调性．考查了解三角形问题中正弦定理得应用． 26．已知
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f（A）=，求△ABC的面积． 考点： 正弦函数的单调性；余弦定理． 分析： （Ⅰ）函数f（x）展开后，利用两角和的咨询公司化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）利用f（A）=，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△ABC的面积． 解答： 解：（Ⅰ）因为== 〕（k∈Z） 故A= = 所以函数f（x）的单调递增区间是〔（Ⅱ）因为f（A）=，所以又0＜A＜π所以从而在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=22∴1=b+c﹣2bccosA，即1=4﹣3bc． 故bc=1 从而S△ABC= 点评： 本题是基础题，考查三角函数的化简求值，单调增区间的求法，余弦定理的应用，考查计算能力，注意A的求法，容易出错．常考题型． 27．已知f （x）=2cos x+2sin xcos x+a （a为常数）． （1）求f （x）的单调递增区间； （2）若f （x）在区间[﹣
，
]上的最大值与最小值之和为3，求a的值．
2
考点： 正弦函数的单调性；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域． ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 专题： 计算题． 分析： （1）先利用二倍角公式及和角正弦公式化简函数f（x）为一个角一个函数的形式，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求出x的范围写出区间形式即得到f （x）的单调递增区间； ，]求出整体角的范利用三角函数的单调性求出函数的最值，根据题意列出方程进一（2）根据x∈[﹣步求出a的范围． 2解答： 解：（1）f （x）=2cosx+2sin xcosx+a 2=2cosx﹣1+2sin xcosx+a+1 =2cos2x+sin 2x+a+1 =2sin（2x+令2kπ﹣即kπ﹣）+a+1 ≤2x+≤x≤kπ+≤2kπ+， ，kπ+]（k∈Z） （6分） ， ∴f （x）的单调递增区间是[kπ﹣（2）因为x∈[﹣所以2x+所以∈[﹣，，] ] ）≤1， ）≤2， ）≤a+3， sin（2x+所以﹣1≤2sin（2x+所以a≤2sin（2x+∴f （x）min+f （x）max=a+a+3=3， ∴a=0．（12分） 点评： 本题考查求三角函数的性质问题应该先根据三角函数的公式化简三角函数为只含一个角一个函数名的形式，然后利用整体角处理，属于中档题． 28．已知函数f（x）=5sinxcosx﹣5
cosx+
2
（其中x∈R），求：
（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的单调区间；
（3）函数f（x）图象的对称轴和对称中心． 考点： 正弦函数的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x ）的解析式为 5sin（2x﹣），故此函数的周期为 T==π． ，k∈z，（2）由 2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围即为增区间，由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+求得x的范围即为减区间． （3）由2x﹣=kπ+，k∈z 求得对称轴方程：x=+，由 2x﹣=kπ，k∈z 求得对称中心（， ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 0）． 解答： 解：（1）函数f（x）=5sinxcosx﹣5=5（ sin2x﹣（2）由 2kπ﹣≤2x﹣cosx+2=﹣=π． ， + ）=5sin（2x﹣≤2kπ+），故此函数的周期为 T=≤x≤kπ+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ﹣≤2x﹣故增区间为：[kπ﹣故减区间：[kπ+（3）由2x﹣由 2x﹣，kπ+，kπ+]，由2kπ+，k∈z，解得kπ+≤x≤kπ+， ]，其中k∈z． +，故对称轴方程：x=+． =kπ+，k∈z 可得 x==kπ，k∈z 可得 x=，故对称中心：（，0），其中，k∈z． 点评： 本题考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性、周期性、对称性，把函数f（x）的解析式化为 5sin（2x﹣ 29．已知关于x的方程（1）求实数a的取值范围；
（2）求这两个实根的和． 考点： 正弦函数的对称性；正弦函数的图象． 专题： 数形结合． 分析： （1）先将方程有且只有两个不同的实根问题转化为函数y=sin（x+） 是解题的突破口，属于中档题． 在区间[0，2π]有且只有两个不同的实根．
） x∈[0，2π]与函数y=﹣有且只有两个不同的交点的问题，画出函数图象，数形结合解得a的范围；（2）利用函数图象的对称性即可利用中点坐标公式计算这两个实根的和 解答： 解：（1）关于x的方程在区间[0，2π]有且只有两个不同的实根， 即函数y=sin（x+函数y=sin（x+） x∈[0，2π]与函数y=﹣有且只有两个不同的交点， ） x∈[0，2π]的图象如图：数形结合可得： 在区间[0，2π]有且只有两个不同的实根，即sin（x+）=﹣＜﹣＜1或﹣1＜﹣＜解得﹣2＜a＜﹣或﹣＜a＜2即所求 或x==对称 （2）由图象可知两交点关于x=∴这两个实根的和为2×∴这两个实根的和为或=或2× ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 点评： 本题主要考查了方程的根与函数的零点及函数图象交点问题间的转化关系，函数y=Asin（ωx+φ）图象的画法，数形结合解决交点问题的思想方法 30．已知函数
．
（I）求出f（x）的最小正周期及函数f（x）图象的对称中心； （II）设g（x）=f（x+φ），若函数g（x）为偶函数，求满足条件的最小正数φ的值． 考点： 正弦函数的对称性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性． 专题： 计算题． 分析： （I）由题意可得：f（x）=，根据正弦函数的有关性质可得：函数的最小正周期与函数图象的对称中心． （II）由题意可得：f（x+φ）=数，可得解答： 解：（I）由题意可得： ==． ． （k∈Z），进而得到答案． =，根据函数g（x）为偶函所以函数的最小正周期令即=kπ， （k∈Z）． 所以函数f（x）图象的对称中心是（II）f（x+φ）=因为函数g（x）为偶函数， 所以（k∈Z）． =（k∈Z）． ， ©2010-2014 菁优网
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www.jyeoo.com 所以（k∈Z）． ． 则满足条件的最小整数φ的值为点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握正弦函数的有关性质，如单调性，奇偶性，周期性以及对称性等性质． ©2010-2014 菁优网
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