2020-2021学年陕西省宝鸡一中九年级（上）第一次月考
数学试卷
1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是( )
2
A. 𝑥+𝑥=3 C. 4𝑥+3=𝑥
B. 𝑥2+2𝑥−3=0 D. 𝑥2+𝑥+1=𝑥2−2𝑥
2. 用配方法解方程𝑥2+6𝑥+4=0时，原方程变形为( )
A. (𝑥+3)2=9 B. (𝑥+3)2=13 C. (𝑥+3)2=5 D. (𝑥+3)2=4
3. 一元二次方程𝑥2−6𝑥+5=0的两根分别是𝑥1，𝑥2，则𝑥1+𝑥2的值是( )
A. 6 B. −6 C. 5 D. −5
4. 下列说法正确的是( )
A. 矩形对角线相互垂直平分 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两邻边相等的四边形是菱形
D. 对角线分别平分对角的四边形是平行四边形
5. 一个不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出
一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误的是( )
A. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球 B. 第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球 C. 第一次摸出的球是红球的概率是3 D. 两次摸出的球都是红球的概率是9
6. 如果顺次连接一个四边形的各边中点所得到的四边形是矩形，那么这个四边形一定
是( )
11
A. 矩形
C. 对角线垂直的四边形
B. 菱形
D. 对角线相等的四边形
7. 如图，在平行四边形ABCD中，𝐴𝐵=5，G是边BC
的一点，𝐷𝐺=2，F是AG上一点，且∠𝐵𝐹𝐶=90°，E是边BC的中点，若𝐸𝐹//𝐴𝐵，则BC的长为( )
A. 5 B. 6
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C. 7 D. 8
8. 如图，一块长方形绿地的长为100m，宽为50m，在绿
地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704𝑚2，则根据题意可列出方程( )
A. 5000−150𝑥=4704 B. 5000−150𝑥−𝑥2=4704 C. 5000−150𝑥+𝑥2=4704 D. (100−𝑥)(50−𝑥)=4704
9. 在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4.若
随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于5的概率为( )
2
A. 4
1
B. 3
2
C. 3
1
D. 16
3
10. 如图所示，在菱形ABCD中，∠𝐴=60°，𝐴𝐵=2，E，F
两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为( )
A. 1 B. √2 C. 2 D. √3
11. 若关于x的方程𝑥2+𝑎𝑥+𝑎=0有一个根为−3，则a的值是______．
2015年房价为760012. 某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，
元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为______． 13. 如果关于x的一元二次方程𝑘2𝑥2−(2𝑘+1)𝑥+1=0有两个不相等的实数根，那么
k的取值范围是______．
14. 如图，在菱形ABCD中，𝐴𝐵=6，∠𝐵=60°，点E在
边AD上，且𝐴𝐸=2.若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为______．
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3
15. 解下列一元二次方程
(1)𝑥2+4𝑥−8=0 (2)(𝑥−3)2=5(𝑥−3)
16. 尺规作图：如图，已知△𝐴𝐵𝐶，求作菱形AEDF，使点
E、D和F分别在边AB、BC、AC上．(保留作图痕迹，不写作法)
17. 如图，正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点
E、F，满足𝐵𝐸=𝐷𝐹，连接AE、AF、CE、CF，求证：△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐹．
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18. 阅读下面的例题，
范例：解方程𝑥2−|𝑥|−2=0，
(1)当𝑥≥0时，𝑥1=2，𝑥2=−1(不合题意，解：原方程化为𝑥2−𝑥−2=0，解得：舍去)．
(2)当𝑥<0时，原方程化为𝑥2+𝑥−2=0，解得：𝑥1=−2，𝑥2=1(不合题意，舍去)．
∴原方程的根是𝑥1=2，𝑥2=−2 请参照例题解方程𝑥2−|𝑥−1|−1=0．
19. 设△𝐴𝐵𝐶的三边长为a，b，c，其中a，b是方程𝑥2−(𝑐+2)𝑥+2(𝑐+1)=0的两
个实数根．
(1)判断△𝐴𝐵𝐶是否为直角三角形？是说明理由． (2)若△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，求a，b，c的值．
20. 如图，矩形ABCD中，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=4，过对角线BD
中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F． (1)求证：四边形BEDF是平行四边形；
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(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
21. 箱子里有4瓶果汁，其中有一瓶是苹果汁，其余三瓶都是橙汁，它们除口味不同外，
其他完全相同．现从这4瓶果汁中一次性取出2瓶． (1)请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来； (2)求抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的概率．
22. 如图，已知一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，
途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20√10海里的圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且𝐴𝐵=100海里，若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．
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23. 某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试
销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元． (1)若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；
(2)要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？
24. 已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠𝐷𝐵𝐶交DC于
点E，延长BC到点F，使𝐶𝐹=𝐶𝐸，连接DF，交BE的延长线于点G． (1)求证：△𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐹； (2)求CF的长；
(3)如图2，在AB上取一点H，且𝐵𝐻=𝐶𝐹，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．
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25. 已知，正方形ABCD中，∠𝑀𝐴𝑁=45°，∠𝑀𝐴𝑁绕点A顺时针旋转，它的两边长分
别交CB、𝐷𝐶(或它们的延长线)于点M、N，𝐴𝐻⊥𝑀𝑁于点H．
(1)如图①，当∠𝑀𝐴𝑁点A旋转到𝐵𝑀=𝐷𝑁时，请你直接写出AH与AB的数量关系：______；
(2)如图②，当∠𝑀𝐴𝑁绕点A旋转到𝐵𝑀≠𝐷𝑁时，(1)中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
(3)如图③，已知∠𝑀𝐴𝑁=45°，𝐴𝐻⊥𝑀𝑁于点H，且𝑀𝐻=2，𝑁𝐻=3，求AH的长．
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答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B．
根据一元二次方程的定义(只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程)逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义的内容是解此题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：由𝑥2+6𝑥+4=0可得：𝑥2+6𝑥=−4， 则𝑥2+6𝑥+9=−4+9， 即：(𝑥+3)2=5， 故选：C．
把常数项4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方． 本题主要考查配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3.【答案】A
【解析】解：根据题意得𝑥1+𝑥2=6． 故选：A．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若𝑥1，𝑥2是一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的两根
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时，𝑥1+𝑥2=−𝑎，𝑥1𝑥2=𝑎．
𝑏𝑐
4.【答案】B
【解析】解：𝐴.矩形的对角线相等，故A说法错误； B.对角线相等的菱形是正方形，正确；
C.两组邻边分别相等的四边形是菱形，故C说法错误；
D.每一条对角线平分每一组对角的四边形是菱形，也是平行四边形，故D说法错误； 故选：B．
根据矩形的性质可得A错误；先判定四边形是菱形，再判定是矩形就是正方形可得B正确；
此题主要考查了平行四边形，以及特殊的平行四边形的判定，关键是熟练掌握各种四边形的判定方法．
5.【答案】A
【解析】解：A、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是绿球，故本选项错误；
B、第一次摸出的球是红球，第二次摸出的不一定是红球，故本选项正确；
C、∵不透明袋子中装有1个红球，2个绿球，∴第一次摸出的球是红球的概率是，故本3选项正确；
D、共用9种等情况数，分别是红红、红绿、红绿、绿红、绿绿、绿绿、绿红、绿绿、绿绿，则两次摸出的球都是红球的概率是9，故本选项正确； 故选：A．
根据概率公式分别对每一项进行分析即可得出答案．
此题考查了概率的求法，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
1
1
6.【答案】C
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【解析】解：𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，E，F，G，H是AB，BC，CD，DA的中点，
∵𝐸𝐻//𝐵𝐷，𝐹𝐺//𝐵𝐷， ∴𝐸𝐻//𝐹𝐺， 同理；𝐸𝐹//𝐻𝐺，
∴四边形EFGH是平行四边形． ∵𝐴𝐶⊥𝐵𝐷， ∴𝐸𝐻⊥𝐸𝐹，
∴四边形EFGH是矩形．
所以顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形． 故选：C．
有一个角是直角的平行四边形是矩形，根据此可知顺次连接对角线垂直的四边形的各边中点是矩形．
本题考查矩形的判定定理和三角形的中位线的定理，并掌握根据矩形定义判定矩形的方法．
7.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐷=5， ∴𝐶𝐺=𝐶𝐷−𝐷𝐺=5−2=3， ∵𝐸是边BC的中点，且∠𝐵𝐹𝐶=90°， ∴𝐸𝐹=2𝐵𝐶，
∵𝐸𝐹//𝐴𝐵，𝐴𝐵//𝐶𝐺，E是边BC的中点， ∴𝐹是AG的中点，
∴𝐸𝐹是梯形ABCG的中位线， ∴2𝐸𝐹=𝐴𝐵+𝐶𝐺，
∴𝐵𝐶=𝐴𝐵+𝐶𝐺=5+3=8； 故选：D．
依据直角三角形斜边上中线的性质，得𝐸𝐹=2𝐵𝐶，证出EF是梯形ABCG的中位线，的2𝐸𝐹=𝐴𝐵+𝐶𝐺，即可得出答案．
1
1
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本题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及梯形中位线定理；熟练掌握平行四边形的性质和梯形中位线定理是解题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：依题意，得：(100−𝑥)(50−𝑥)=4704， 故选：D．
由在绿地中开辟两条道路后剩余绿地面积为4704𝑚2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有12种可能出现的结果，其中“和为5”的有4种， ∴𝑃(和为5)=故选：C．
用列表法表示所有可能出现的结果，从中找出两次和为5的结果数，进而求出相应的概率．
考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
=．
123
4
1
10.【答案】D
【解析】解：连接DB，作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵于H，如图， ∵四边形ABCD为菱形，
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∴𝐴𝐷=𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷， 而∠𝐴=60°，
∴△𝐴𝐵𝐷和△𝐵𝐶𝐷都是等边三角形， ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐷𝐵𝐶=60°，𝐴𝐷=𝐵𝐷， 在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐻中，𝐴𝐻=1，𝐴𝐷=2， ∴𝐷𝐻=√3， 在△𝐴𝐷𝐸和△𝐵𝐷𝐹中 𝐴𝐷=𝐵𝐷
{∠𝐴=∠𝐹𝐵𝐷， 𝐴𝐸=𝐵𝐹
∴△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐷𝐹， ∴∠2=∠1，𝐷𝐸=𝐷𝐹
∴∠1+∠𝐵𝐷𝐸=∠2+∠𝐵𝐷𝐸=∠𝐴𝐷𝐵=60°， ∴△𝐷𝐸𝐹为等边三角形， ∴𝐸𝐹=𝐷𝐸，
而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为√3， ∴𝐸𝐹的最小值为√3． 故选：D．
连接DB，作𝐷𝐻⊥𝐴𝐵于H，如图，利用菱形的性质得𝐴𝐷=𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷，则可判断△𝐴𝐵𝐷和△𝐵𝐶𝐷都是等边三角形，再证明△𝐴𝐷𝐸≌△𝐵𝐷𝐹得到∠2=∠1，𝐷𝐸=𝐷𝐹，接着判定△𝐷𝐸𝐹为等边三角形，所以𝐸𝐹=𝐷𝐸，然后根据垂线段最短判断DE的最小值即可．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了等边三角形的判定与性质．
11.【答案】4.5
【解析】解：把𝑥=−3代入方程𝑥2+𝑎𝑥+𝑎=0得9−3𝑎+𝑎=0， 解得𝑎=4.5． 故答案为：4.5．
把𝑥=−3代入方程𝑥2+𝑎𝑥+𝑎=0得9−3𝑎+𝑎=0，然后解关于a的方程即可． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二
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次方程的解．
12.【答案】8100×(1−𝑥)2=7600
【解析】 【分析】
此题考查了一元二次方程的应用，注意第二次降价后的价格是在第一次降价后的价格的基础上进行降价的．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键． 该楼盘这两年房价平均降低率为x，则第一次降价后的单价是原价的1−𝑥，第二次降价后的单价是原价的(1−𝑥)2，根据题意列方程解答即可． 【解答】
解：设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意列方程得： 8100×(1−𝑥)2=7600，
故答案为：8100×(1−𝑥)2=7600．
13.【答案】𝑘>−4且𝑘≠0
【解析】 【分析】
本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根的判别式△=𝑏2−4𝑎𝑐：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到𝑘2≠0且△=(2𝑘+1)2−4𝑘2>0，然后求出两个不等式解的公共部分即可． 【解答】
解：根据题意得△=(2𝑘+1)2−4𝑘2>0且𝑘2≠0， 解得𝑘>−4且𝑘≠0． 故答案为𝑘>−4且𝑘≠0．
11
1
14.【答案】2√7
【解析】解：如图，过点A和点E作𝐴𝐺⊥𝐵𝐶，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于点G和H， 得矩形AGHE，
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∴𝐺𝐻=𝐴𝐸=2，
∵在菱形ABCD中，𝐴𝐵=6，∠𝐵=60°， ∴𝐵𝐺=3，𝐴𝐺=3√3=𝐸𝐻，
∴𝐻𝐶=𝐵𝐶−𝐵𝐺−𝐺𝐻=6−3−2=1， ∵𝐸𝐹平分菱形面积， ∴𝐸𝐹经过菱形的对称中心， ∴𝐹𝐶=𝐴𝐸=2，
∴𝐹𝐻=𝐹𝐶−𝐻𝐶=2−1=1， 在𝑅𝑡△𝐸𝐹𝐻中，根据勾股定理，得 𝐸𝐹=√𝐸𝐻2+𝐹𝐻2=√27+1=2√7． 故答案为：2√7．
过点A和点E作𝐴𝐺⊥𝐵𝐶，𝐸𝐻⊥𝐵𝐶于点G和H，可得矩形AGHE，再根据菱形ABCD𝐴𝐵=6，∠𝐵=60°，𝐹𝐻=𝐹𝐶−𝐻𝐶=中，可得𝐵𝐺=3，由题意可得，𝐴𝐺=3√3=𝐸𝐻，2−1=1，进而根据勾股定理可得EF的长．
本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
15.【答案】解：(1)∵𝑥2+4𝑥−8=0，
∴𝑥2+4𝑥=8，
则𝑥2+4𝑥+4=8+4，即(𝑥+2)2=12， ∴𝑥+2=±2√3，
∴𝑥1=−2+2√3，𝑥2=−2−2√3；
(2)∵(𝑥−3)2=5(𝑥−3)， ∴(𝑥−3)2−5(𝑥−3)=0， 则(𝑥−3)(𝑥−3−5)=0， ∴𝑥−3=0或𝑥−8=0， 解得𝑥1=3，𝑥2=8．
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【解析】(1)利用配方法求解可得； (2)利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
16.【答案】解：如图，菱形AEDF为所作．
【解析】先作AD平分∠𝐵𝐴𝐶交BC于D，再作AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，则可证明AD、EF互相垂直平分，则四边形AEDF满足要求．
本题考查了作图−复杂作图−复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
17.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=90°， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐷𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐷𝐹， 在△𝐴𝐵𝐸与△𝐴𝐷𝐹中 𝐴𝐵=𝐴𝐷
{∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐷𝐹， 𝐵𝐸=𝐷𝐹
∴△𝐴𝐵𝐸≌△𝐴𝐷𝐹(𝑆𝐴𝑆)．
【解析】根据正方形的性质得𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=90°，由等角的补角性质得∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐷𝐹，最后根据SAS证明即可．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，补角的性质等
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知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
18.【答案】解：𝑥2−|𝑥−1|−1=0，
(1)当𝑥≥1时，原方程化为𝑥2−𝑥=0，解得：𝑥1=1，𝑥2=0(不合题意，舍去)． (2)当𝑥<1时，原方程化为𝑥2+𝑥−2=0，解得：𝑥1=−2，𝑥2=1(不合题意，舍去)． 故原方程的根是𝑥1=1，𝑥2=−2．
【解析】分为两种情况：(1)当𝑥≥1时，原方程化为𝑥2−𝑥=0，(2)当𝑥<1时，原方程化为𝑥2+𝑥−2=0，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．
19.【答案】解：(1)△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．理由如下：
根据题意得𝑎+𝑏=𝑐+2，𝑎𝑏=2(𝑐+1)=2𝑐+2， ∴(𝑎+𝑏)2=(𝑐+2)2，即𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2=𝑐2+4𝑐+4， ∴𝑎2+4𝑐+4+𝑏2=𝑐2+4𝑐+4， ∴𝑎2+𝑏2=𝑐2，
∴△𝐴𝐵𝐶是以c为斜边的直角三角形； (2)∵△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形， ∴𝑎=𝑏，且𝑐=√2𝑎， ∴𝑎+𝑎=√2𝑎+2， ∴𝑎=2+√2， ∴𝑏=2+√2， 𝑐=2+2√2．
【解析】(1)根据根与系数的关系得到𝑎+𝑏=𝑐+2，𝑎𝑏=2(𝑐+1)=2𝑐+2，把第一个等式两边平方，整理可得到𝑎2+𝑏2=𝑐2，根据勾股定理的逆定理得到△𝐴𝐵𝐶是以c为斜边的直角三角形；
(2)由于△𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，则𝑎=𝑏，且𝑐=√2𝑎，利用𝑎+𝑏=𝑐+2可计算出a，于是可得到b、c的值．
本题考查了一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与系数的关系：若方程的两根为𝑥1，𝑥2，则𝑥1+𝑥2=−𝑎，𝑥1⋅𝑥2=𝑎.也考查了勾股定理的逆定理和等腰直角三角形性
𝑏
𝑐
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质．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴𝐴𝐵//𝐷𝐶，𝑂𝐵=𝑂𝐷， ∴∠𝑂𝐵𝐸=∠𝑂𝐷𝐹， 在△𝐵𝑂𝐸和△𝐷𝑂𝐹中， ∠𝑂𝐵𝐸=∠𝑂𝐷𝐹{𝑂𝐵=𝑂𝐷
∠𝐵𝑂𝐸=∠𝐷𝑂𝐹
，
∴△𝐵𝑂𝐸≌△𝐷𝑂𝐹(𝐴𝑆𝐴)， ∴𝐸𝑂=𝐹𝑂，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)解：当四边形BEDF是菱形时，𝐵𝐷⊥𝐸𝐹， 设𝐵𝐸=𝑥，则 𝐷𝐸=𝑥，𝐴𝐸=6−𝑥， 在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，𝐷𝐸2=𝐴𝐷2+𝐴𝐸2， ∴𝑥2=42+(6−𝑥)2， 解得：𝑥=
133
，
∵𝐵𝐷=√𝐴𝐷2+𝐴𝐵2=2√13， ∴𝑂𝐵=2𝐵𝐷=√13， ∵𝐵𝐷⊥𝐸𝐹， ∴𝐸𝑂=√𝐵𝐸2−𝑂𝐵2=∴𝐸𝐹=2𝐸𝑂=
【解析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解决问的关键．
(1)根据平行四边形ABCD的性质，判定△𝐵𝑂𝐸≌△𝐷𝑂𝐹(𝐴𝑆𝐴)，得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
(2)在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
4√133
2√13， 3
1
．
21.【答案】解：(1)设这四瓶果汁分别记为A、B、C、D，其中苹果汁记为A，
画树状图如图所示，
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共有12种等可能结果；
(2)共有12种等可能结果，抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的有6种结果， ∴抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的概率=12=2．
【解析】(1)画出树状图即可；
(2)共有12种等可能结果，抽出的2瓶果汁中恰好抽到苹果汁的有6种结果，由概率公式即可得出答案．
此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
6
1
22.【答案】解：设途中会遇到台风，且最初遇到的时间为th，此时轮船位于C处，台
风中心移到E处，连接CE， 则𝐴𝐶=20𝑡，
𝐴𝐸=𝐴𝐵−𝐵𝐸=100−40𝑡， 𝐴𝐶2+𝐴𝐸2=𝐸𝐶2．
∴(20𝑡)2+(100−40𝑡)2=(20√10)2 400𝑡2+10000−8000𝑡+1600𝑡2=4000 𝑡2−4𝑡+3=0
(𝑡−1)(𝑡−3)=0，
解得𝑡1=1，𝑡2=3(不合题意舍去)． 答：最初遇到的时间为1h．
【解析】设途中会遇到台风，且最初遇到台风的时间为t小时，此时轮船位于C处，台风中心移到E处，连接CE，根据勾股定理列方程求解即可．
此题用到了路程公式和勾股定理．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
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23.【答案】解：(1)(60−40)×[100−(60−50)×2]=1600(元)．
答：每天的销售利润为1600元．
(2)设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100−2(𝑥−50)]件， 依题意，得：(𝑥−40)[100−2(𝑥−50)]=1350， 整理，得：𝑥2−140𝑥+4675=0， 解得：𝑥1=55，𝑥2=85(不合题意，舍去)． 答：每件工艺品售价应为55元．
【解析】(1)根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可求出结论； (2)设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100−2(𝑥−50)]件，根据每天的销售利润=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：如图1，
在△𝐵𝐶𝐸和△𝐷𝐶𝐹中， 𝐵𝐶=𝐷𝐶
{∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐹=90°， 𝐶𝐸=𝐶𝐹
∴△𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆)；
(2)证明：如图1，
∵𝐵𝐸平分∠𝐷𝐵𝐶，BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠𝐸𝐵𝐶=2∠𝐷𝐵𝐶=22.5°， 由(1)知△𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐹，
∴∠𝐸𝐵𝐶=∠𝐹𝐷𝐶=22.5°(全等三角形的对应角相等)； ∴∠𝐵𝐺𝐷=90°(三角形内角和定理)， ∴∠𝐵𝐺𝐹=90°； 在△𝐷𝐵𝐺和△𝐹𝐵𝐺中， ∠𝐷𝐵𝐺=∠𝐹𝐵𝐺{𝐵𝐺=𝐵𝐺， ∠𝐵𝐺𝐷=∠𝐵𝐺𝐹
∴△𝐷𝐵𝐺≌△𝐹𝐵𝐺(𝐴𝑆𝐴)，
∴𝐵𝐷=𝐵𝐹，𝐷𝐺=𝐹𝐺(全等三角形的对应边相等)，
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1
∵𝐵𝐷=√𝐴𝐵2+𝐴𝐷2=√2， ∴𝐵𝐹=√2，
∴𝐶𝐹=𝐵𝐹−𝐵𝐶=√2−1；
(3)解：如图2，∵𝐶𝐹=√2−1，𝐵𝐻=𝐶𝐹 ∴𝐵𝐻=√2−1，
①当𝐵𝐻=𝐵𝑃时，则𝐵𝑃=√2−1， ∵∠𝑃𝐵𝐶=45°， 设𝑃(𝑥,𝑥)，
∴2𝑥2=(√2−1)2， 解得𝑥=1−√或−1+√，
2
2
22∴𝑃(1−
√2,12
−
√2√2√2)或(−1+,−1+)； 222
②当𝐵𝐻=𝐻𝑃时，则𝐻𝑃=𝑃𝐵=√2−1， ∵∠𝐴𝐵𝐷=45°，
∴△𝑃𝐵𝐻是等腰直角三角形， ∴𝑃(√2−1,√2−1)；
③当𝑃𝐻=𝑃𝐵时，∵∠𝐴𝐵𝐷=45°， ∴△𝑃𝐵𝐻是等腰直角三角形， ∴𝑃(
√2−1√2−1,2)， 2
综上，在直线BD上存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符
√√√√
合条件的P点坐标为(1−√,1−√)、、、(−1+,−1+)(2−1,2−1)(,). √√222222
22222−12−1
【解析】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
(1)利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐹； (2)通过△𝐷𝐵𝐺≌△𝐹𝐵𝐺的对应边相等知𝐵𝐷=𝐵𝐹=√2；然后由𝐶𝐹=𝐵𝐹−𝐵𝐶=即可求得；
(3)分三种情况分别讨论即可求得．
25.【答案】(1)𝐴𝐻=𝐴𝐵
(2)数量关系成立．如图②，延长CB至E，使𝐵𝐸=𝐷𝑁．
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∵𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐷=∠𝐴𝐵𝐸=90°，
𝐴𝐵=𝐴𝐷
在𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐵和𝑅𝑡△𝐴𝑁𝐷中，{∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐷𝑁，
𝐵𝐸=𝐷𝑁∴𝑅𝑡△𝐴𝐸𝐵≌𝑅𝑡△𝐴𝑁𝐷， ∴𝐴𝐸=𝐴𝑁，∠𝐸𝐴𝐵=∠𝑁𝐴𝐷， ∴∠𝐸𝐴𝑀=∠𝑁𝐴𝑀=45°，
𝐴𝐸=𝐴𝑁
在△𝐴𝐸𝑀和△𝐴𝑁𝑀中，{∠𝐸𝐴𝑀=∠𝑁𝐴𝑀，
𝐴𝑀=𝐴𝑀∴△𝐴𝐸𝑀≌△𝐴𝑁𝑀，
∴𝑆△𝐴𝐸𝑀=𝑆△𝐴𝑁𝑀，𝐸𝑀=𝑀𝑁，
∵𝐴𝐵、AH是△𝐴𝐸𝑀和△𝐴𝑁𝑀对应边上的高， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐻；
AN翻折△𝐴𝑀𝐻和△𝐴𝑁𝐻，(3)如图③分别沿AM、得到
△𝐴𝐵𝑀和△𝐴𝑁𝐷，
∴𝐵𝑀=2，𝐷𝑁=3，∠𝐵=∠𝐷=∠𝐵𝐴𝐷=90°， 分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCD， 由(2)可知，𝐴𝐻=𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=𝐴𝐷， 设𝐴𝐻=𝑥，则𝑀𝐶=𝑥−2，𝑁𝐶=𝑥−3，
在𝑅𝑡△𝑀𝐶𝑁中，由勾股定理，得𝑀𝑁2=𝑀𝐶2+𝑁𝐶2，
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∴52=(𝑥−2)2+(𝑥−3)2，
解得𝑥1=6，𝑥2=−1(不符合题意，舍去) ∴𝐴𝐻=6． 【解析】
解：(1)如图①𝐴𝐻=𝐴𝐵， ∵四边形ABCD是正方形， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐷，∠𝐵=∠𝐷=90°， 𝐴𝐵=𝐴𝐷
在△𝐴𝐵𝑀与△𝐴𝐷𝑁中，{∠𝐵=∠𝐷，
𝐵𝑀=𝐷𝑁∴△𝐴𝐵𝑀≌△𝐴𝐷𝑁，
∴∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐷𝐴𝑁，𝐴𝑀=𝐴𝑁， ∵𝐴𝐻⊥𝑀𝑁，
∴∠𝑀𝐴𝐻=2𝑀𝐴𝑁=22.5°， ∵∠𝐵𝐴𝑀+∠𝐷𝐴𝑁=45°， ∴∠𝐵𝐴𝑀=22.5°，
∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐻𝐴𝑀
在△𝐴𝐵𝑀与△𝐴𝐻𝑀中，{∠𝐵=∠𝐴𝐻𝑀=90°，
𝐴𝑀=𝐴𝑀∴△𝐴𝐵𝑀≌△𝐴𝐻𝑀， ∴𝐴𝐵=𝐴𝐻；
故答案为：𝐴𝐻=𝐴𝐵；
(2)见答案 (3)见答案 【分析】
(1)由三角形全等可以证明𝐴𝐻=𝐴𝐵，
(2)延长CB至E，使𝐵𝐸=𝐷𝑁，证明△𝐴𝐸𝑀≌△𝐴𝑁𝑀，能得到𝐴𝐻=𝐴𝐵，
(3)分别沿AM、AN翻折△𝐴𝑀𝐻和△𝐴𝑁𝐻，得到△𝐴𝐵𝑀和△𝐴𝑁𝐷，然后分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，设𝐴𝐻=𝑥，则𝑀𝐶=𝑥−2，𝑁𝐶=𝑥−3，在𝑅𝑡△𝑀𝐶𝑁中，由勾股定理，解得x．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，翻折的性质，此题比
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较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力．
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