2019全国数学联赛山东省预赛试题A(答案)

一、填空题（每小题8分，共80分）

1、已知A{x|log3(x22x)1}，B(,a](b,)其中ab，如果ABR，那么ab的最小值是 答案：1

2、设函数f(x)x2axb，对于任意的a,bR，总存在t[0,4]，使得|f(t)|m成立，则实数m的最大值是 答案：2

3、已知虚数数z满足wz11z为实数且1w2，u，那么|wu2|的最小值是 z1z答案：1

4、空间有4个点A、B、C、D，满足ABBCCD,若ABCBCDCDA36，那么直线AC与直线BD成的角的大小是 答案:90或36

5、数列{an}中，a12，a219，an2|an1|an(nN*)，那么a2019 答案：17

6、设函数f(x)xcosx (x[0,])，那么f(x)的最大值是

2答案：

216

（xa)2(yb)2r2至少有3个公共点，7、实数k(k0)，在平面直角坐标系内已知抛物线ykx2与圆

其中一个是原点，另外两个在直线ykxb上，那么实数b的最小值是 答案：2

8、ABC中，AB16，BC55，CA9，在ABC外部、到点B或C距离小于6的点组成的集合覆盖的平面区域的面积是 答案：54595 49、6个相同的红色球，3个相同的白色球，3个相同的黄色球排在一条直线上，那么同色球不相邻的概率是

5答案：

92410、整数n使得多项式f(x)3x3nxn2可以表示为两个非常数整系数多项式的乘积，所有n的可能值的和为 答案：192

二、解答题（共70分） 11、（本题15分）已知：正方形ABCD边长为1，点M是边AD的中点，以M为圆心以AD为直径作圆，点E在线段AB上，且直线CE与圆相切. 求：CBE的面积.

解：设直线CE与圆相切于点N，联结ME，MN，MC

在RtMNC和RtMDC中，MCMN，MCMC，所以MNCMDC，故NMCDMC.

同理EMNAME. 所以EMC90.

故 MN是RtEMC斜边上的高，所以所以AE13，BE 44ENMN1，所以EN NMNC43所以 CBE的面积等于

812、（本题15分）已知n43n29是素数，求正整数n的所有可能值. 解：n43n29(n23n3)(n23n3) 所以 n23n31或n23n31，解得n1,2

将n1，n2带入检验均满足题意，所以n1，n2是所求.

13、（本题20分）已知a,b,c,d都是区间[1,2]上的实数，求证：|(ab)(bc)(cd)(da)|证明：|(ab)(bc)(cd)(da)|abcd 4abcd 4(ab)2(bc)2(cd)2(da)21  abbccdda16(ab)21aa12(2（由于))0 因为a,b[1,2]所以 上式成立. ab2bb2(bc)21(cd)21(da)21，， 同理

bc2cd2da2将上面的4个不等式相乘就得到所要证明的不等式 其中 当(a,b,c,d)(2,1,2,1)或(1,2,1,2)时等号成立.

14、（本题20分）设正整数a1,a2,,a10均不大于21，且每两个数的和不等于21.试求出所有满足条件的数组a1,a2,,a10的积a1a2a10的和.

解：考察下列10个集合：{1,20}，{2,19}，…，{10，11} 分两种情况讨论：

（1）如果任意ai(i1,2,,10)均不等于21，则每个集合{i,21i}(i1,2,,10)中必有一个a1,a2,,a10中的数，于是所求的总和为S(120)(219)(1011)2110

（2）如果其中某一个ai等于21，则需要在9个集合{i,21i}中各选一个数.假设不在{1,20}中选数,此时所求总和为S21(219)(1011)2110. 类似讨论其他9个集合.

由（1）（2）知 所求的总和为112110