_随机数学_习题解答 第一章答案

证：只需证AiF 。

i1先证：对可列不交并封闭的代数也对可列并封闭；

事实上，设F为代数， Ai，i1,2,，是F上的可列个集合。则

i1Aii1Bi；

其中B1A1,BiA1Acci1Ai,i2,3,...

显然，Bi,i1,2,...是F上的可列不交集列，由题设，

i1BiF，从而

i1AiF，。

由于F为代数，故Ai F ，i1,2,，从而AiF，，再由F为代数，

i1ccc则AiF，，即AiF 。

i1i1c证毕。

2 设C为上的集类，A，令AC{AB|BC}，记A(AC)C)，此结论可推广至单表示AC生成的代数，则A(AC)A(调类和类.

3 设(,F)，(E,E)和(G,G)都是可测空间，f为到E的关于F可测映射.

4 （1）设f,gU可积，如果对于AU，都有fdA的可的

测映射，h为E到G的关于E的可测映射，则hf为到G的关于FAgd，则fg，

1

a.s.成立；

（2）设是有限测度，

fd和

gd存在，若对于AU，都有

AfdAgd，则fg，a.s.成立.

(|f|d)p1/p5 证明：设f为(,F,)上的可测函数，令f，

p则存在简单函数列{fn,n1}，使得limfnfnp0.

6 设(1,A),(2,B),(3,C)为三个可测空间，证明

ABC(AB)C

7 设f(t,)满足：

（1）tR1,f(t,)是(,F)的可测函数； （2）,f(,)是R1上的连续函数； 则f是乘积空间(R1,BF)上的可测函数.

8 若在AA上随机变量XY，则E(X|A)AE(Y|A)A，立.

证：显然，E(X|A)A和E(Y|A)A都关于A可测，且

E(X|A)AdPE(XA|A)dPXAdPBA，

BBB

YAdPE(YA|A)dPE(Y|A)AdPBBB由条件期望的唯一性，E(X|A)AE(Y|A)A。

9 设BB，则P(B|A)BP(A|B)dP.

P(A|B)dP证： 由条件概率的定义，

a.s.成

2

P(B|A)E(BA)ABdPBAdPdPEBA|B|BdPdPBP(A|B)dPP(A|B)dPP(A)AE

A10已知三个论断：

①X,Y； ②E(X|Y)E(X)； ③E(XY)E(X)E(Y)； 证明①②③，并举例说明相反的蕴含关系不成立.

证明：①②E(X|Y)和E(X)都是关于Y可测的，nXnaiiEBY，

i1nnE(Xn|Y)dPXndPaiEiBdPaiEEiBBBi1i1nnaiPEiBaiPEiPB

i1i1E(Xn)dPB由条件期望的唯一性，E(Xn|Y)E(X)

对非负可测函数X存在单调递增的非负简单函数序列XnX，

E(Xn|Y)E(Xn)

由单调收敛定理，

EX|YElimXn|YlimEnnXnEX；

对可测函数X,，XXX，

EX|YEXX|YEX

③② E(X|Y)E(X)，则

BY 且设

，

3

E(X|Y)dPXdPBXdPEBXE(X)dPEXEB

BBBm设YmbjFj，则

j1mmEXYmbjEXFjbjEXEFjEXEYm

j1j1对非负可测函数Y，存在单调递增的非负简单函数序列YmY，满足

EXYmEXEYm，

由单调收敛定理，

EXYElimXYXmmlimEXEYEmmEY。

对可测函数Y，YYY，

EXYEX(YY)EXYXYEXYEXY。

EXEYEXEYEXEY①<≠ ② X,Y服从以原点为圆心的单位圆上的均匀分布，则

EXYEXEY0，但X与Y不。

②<≠③ 设Y~U1，1，XY2， EXY0EXEY，EX|YXEX

4