证:只需证AiF 。
i1先证:对可列不交并封闭的代数也对可列并封闭;
事实上,设F为代数, Ai,i1,2,,是F上的可列个集合。则
i1Aii1Bi;
其中B1A1,BiA1Acci1Ai,i2,3,...
显然,Bi,i1,2,...是F上的可列不交集列,由题设,
i1BiF,从而
i1AiF,。
由于F为代数,故Ai F ,i1,2,,从而AiF,,再由F为代数,
i1ccc则AiF,,即AiF 。
i1i1c证毕。
2 设C为上的集类,A,令AC{AB|BC},记A(AC)C),此结论可推广至单表示AC生成的代数,则A(AC)A(调类和类.
3 设(,F),(E,E)和(G,G)都是可测空间,f为到E的关于F可测映射.
4 (1)设f,gU可积,如果对于AU,都有fdA的可的
测映射,h为E到G的关于E的可测映射,则hf为到G的关于FAgd,则fg,
1
a.s.成立;
(2)设是有限测度,
fd和
gd存在,若对于AU,都有
AfdAgd,则fg,a.s.成立.
(|f|d)p1/p5 证明:设f为(,F,)上的可测函数,令f,
p则存在简单函数列{fn,n1},使得limfnfnp0.
6 设(1,A),(2,B),(3,C)为三个可测空间,证明
ABC(AB)C
7 设f(t,)满足:
(1)tR1,f(t,)是(,F)的可测函数; (2),f(,)是R1上的连续函数; 则f是乘积空间(R1,BF)上的可测函数.
8 若在AA上随机变量XY,则E(X|A)AE(Y|A)A,立.
证:显然,E(X|A)A和E(Y|A)A都关于A可测,且
E(X|A)AdPE(XA|A)dPXAdPBA,
BBB
YAdPE(YA|A)dPE(Y|A)AdPBBB由条件期望的唯一性,E(X|A)AE(Y|A)A。
9 设BB,则P(B|A)BP(A|B)dP.
P(A|B)dP证: 由条件概率的定义,
a.s.成
2
P(B|A)E(BA)ABdPBAdPdPEBA|B|BdPdPBP(A|B)dPP(A|B)dPP(A)AE
A10已知三个论断:
①X,Y; ②E(X|Y)E(X); ③E(XY)E(X)E(Y); 证明①②③,并举例说明相反的蕴含关系不成立.
证明:①②E(X|Y)和E(X)都是关于Y可测的,nXnaiiEBY,
i1nnE(Xn|Y)dPXndPaiEiBdPaiEEiBBBi1i1nnaiPEiBaiPEiPB
i1i1E(Xn)dPB由条件期望的唯一性,E(Xn|Y)E(X)
对非负可测函数X存在单调递增的非负简单函数序列XnX,
E(Xn|Y)E(Xn)
由单调收敛定理,
EX|YElimXn|YlimEnnXnEX;
对可测函数X,,XXX,
EX|YEXX|YEX
③② E(X|Y)E(X),则
BY 且设
,
3
E(X|Y)dPXdPBXdPEBXE(X)dPEXEB
BBBm设YmbjFj,则
j1mmEXYmbjEXFjbjEXEFjEXEYm
j1j1对非负可测函数Y,存在单调递增的非负简单函数序列YmY,满足
EXYmEXEYm,
由单调收敛定理,
EXYElimXYXmmlimEXEYEmmEY。
对可测函数Y,YYY,
EXYEX(YY)EXYXYEXYEXY。
EXEYEXEYEXEY①<≠ ② X,Y服从以原点为圆心的单位圆上的均匀分布,则
EXYEXEY0,但X与Y不。
②<≠③ 设Y~U1,1,XY2, EXY0EXEY,EX|YXEX
4
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