江苏省苏州市高新区第一中学2020-2021学年高一数学理月考试卷含解析

一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的

1. 若平面向量两两所成的角相等，且

，则

等于

（ ）

A．2 B．5 C．2或5

D．

或

参考答案：

C

【考点】向量的模． 【专题】平面向量及应用．

【分析】由题意可得每两个向量成的角都等于120°，或都等于0°，再由

，由此分别求得

、

、

的值，再根据=

=

，运算求得结果

【解答】解：由于平面向量两两所成的角相等，故每两个向量成的角都等于120°，或都等

于0°， 再由，

①若平面向量两两所成的角相等，且都等于120°，

∴

=1×1×cos120°=﹣，

=1×3×cos120°=﹣，

=1×3×cos120°=﹣．

=

=

=

=2．

②平面向量两两所成的角相等，且都等于0°， 则

=1×1=1，

=1×3=3，

=1×3=3，

=

==

=5．

综上可得，则

=2或5，

故选C．

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．

2. 在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于

其他十个小长方形面积的和的且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ）

A.32 B.0.2 C.40 D.0.25 参考答案： A

3. 已知是R上的单调递增函数，则实数的取值范围( )

A．

B．

C．

D．

参考答案：

D 略

4. 已知一元二次不等式的解集为

,则

的解集为（ ）

A．

B．

C．

D．

参考答案：

D

5. 已知集合，

，则下列对应关系中不能看作从

到

的映射

的是( )．

A． B．

C． D．

参考答案：

C 略

6. 从一批产品中取出三件产品，设A=“三件产品全不是次品”，B=“三件产品全是次品”，C=“三件产品至少有一件是次品”，则下列结论正确的是 （ ） A.A与C互斥 B.任何两个均互斥 C.B与C互斥 D.任何两个均不互斥 参考答案： A 略

7. 函数

的单调递增区间为（ ）

A. (－∞,1] B. (－∞,2] C. [2,+∞) D. [1,+∞)

参考答案：

D

8. 如果a＞1，b＜﹣1，那么函数f（x）=ax+b的图象在（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、二、四象限

参考答案：

B

【考点】指数函数的图象变换． 【专题】转化思想．

【分析】先考查 y=ax

的图象特征，f（x）=ax

+b 的图象可看成把 y=ax

的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的，即可得到 f（x）=ax

+b 的图象特征． 【解答】解：∵a＞1，

∴y=ax

的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过（0，1），

f（x）=ax

+b 的图象可看成把 y=ax

的图象向下平移﹣b（﹣b＞1）个单位得到的， 故函数f（x）=ax

+b的图象

经过第一、第三、第四象限，不经过第二象限， 故选 B．

【点评】本题考查函数图象的变换，指数函数的图象特征，体现了转化的数学思想．

9. 已知，

，，那么（ ）

（A）

（B）

（C） （D）

参考答案：

C 略

10. （5分）已知f（x）=x7+ax5+bx﹣5，且f（﹣3）=5，则f（3）=（）

A．

﹣15 B．

15

C．

10

D．

﹣10

参考答案：

A

考点： 函数奇偶性的性质． 专题： 计算题．

分析： 设g（x）=x7+ax5+bx，则可证明其为奇函数，从而f（x）=g（x）﹣5，先利用f（﹣3）=5求得g（3），再代入求得f（3）即可

解答： 设g（x）=x7

+ax5

+bx，∵g（﹣x）=﹣x7

﹣ax5

﹣bx=﹣g（x），即g（﹣x）=﹣g（x） ∵f（﹣3）=g（﹣3）﹣5=5

∴g（﹣3）=10，∴g（3）=﹣g（﹣3）=﹣10 ∴f（3）=g（3）﹣5=﹣10﹣5=﹣15

故选 A

点评： 本题考查了利用函数的对称性求函数值的方法，发现函数f（x）为奇函数加常数的特点，是快速解决本题的关键

二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在等比数列中，已知

，则

_________.

参考答案：

12.

= ．

参考答案：

6

略

13. 已知函数

的图象必过定点

，则

点的坐标为 ▲ .

参考答案：

略

14. 若sin α是方程x 2 +

x – 1 = 0的根，则sin 2 ( α +

)的值是______________。

参考答案：

– 4

15. 已知cosα+cosβ=

，则cos（α﹣β）= ．

参考答案：

【考点】两角和与差的余弦函数．

【分析】已知两等式两边分别平方，相加得到关系式，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简，将得出的关系式代入计算即可求出值．

【解答】解：已知两等式平方得：（cosα+cosβ）2

=cos2

α+cos2

β+2cosαcosβ=，

（sinα+sinβ）2=sin2α+sin2β+2sinαsinβ=， ∴2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=

，即cosαcosβ+sinαsinβ=

，

则cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=．

故答案为：

．

16. 如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是 _________ （写出所以正确结论的序号） ①PB⊥AD；

②平面PAB⊥平面PAE；

③BC∥平面PAE；

④直线PD与平面ABC所成的角为45°．

参考答案：

②④ 略

17.

的图象如图所示，则

__

参考答案：

略

三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （19）（本小题满分12分）P是平行四边形ABCD外的一点，Q是PA的中点，求证：PC∥平面BDQ．（要求画出图形） 参考答案：

证明：如图，连结AC交BD于O

∵ ABCD是平行四边形， ∴ AO＝OC

连结OQ，则OQ平面BDQ， 且OQ是△APC的中位线

∴ PC∥OQ，又PC在平面BDQ外 ∴ PC∥平面BDQ．

略

19. 已知函数f（x）=，

（1）求f（2）+f（）；f（3）+f（）的值； （2）猜想：f（x）+f（）的值（不用证明）；

（3）求f（2）+f（3）+f（4）+…+f+…+f（）+f（）+f（）的值．

参考答案：

【考点】函数的值．

【分析】（1）直接利用函数的表达式，求解f（2）+f（）；f（3）+f（）的值，即可．（2）通过（1）猜想f（x）+f（）的值． （3）利用倒序相加法，借助（2）求出结果即可．

【解答】解：（1）∵函数f（x）=，

∴f（2）+f（）===1；

f（3）+f（）=

=

=1．

（2）猜想f（x）+f（）=1． （3）令S=f（2）+f（3）+f（4）+…+f+…+f（）+f（）+f（）…① ∴S=f（）+f（）+f（）+…+f（

）+f+…+f（3）+f（2）…②

由f（x）+f（）=1以及①+②得：

2S=4030×1， S=2015．

即f（2）+f（3）+f（4）+…+f+…+f（）+f（）+f（）的值为：2015．20. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；

（2）当PD=

AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

参考答案：

【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．

【专题】计算题；证明题．

【分析】（Ⅰ）欲证平面AEC⊥平面PDB，根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC内一直线与平面PDB垂直，而根据题意可得AC⊥平面PDB；

（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．

【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，

∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB， ∴平面AEC⊥平面PDB．

（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，

∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∴O，E分别为DB、PB的中点，

∴OE∥PD，， 又∵PD⊥底面ABCD，

∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，

在Rt△AOE中，

，

∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．

【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

21. 已知函数

（1）求函数

的值域； （2）若时，函数

的最小值为

，求的值和函数 的最大值。

参考答案：

解：设

（1）

在

上是减函数

所以值域为

…… 6分

（2）①当时， 由

所以在上是减函数，

或

（不合题意舍去）

当时有最大值，

即

②当

时，，在上是减函数，

，或（不合题意舍去）

或（舍去）

当时y有最大值，即

综上，或。当时f（x）的最大值为；当时f（x）的最大值为。略

22. 求过两直线和

的交点, 且分别满足下列条件的直线l的方程

（1）直线l与直线平行； （2）直线l与直线

垂直.

参考答案：