满分：150分
考试时间：120分钟
一、选择题(共12个小题，每小题5分，共60分.每小题只有一项是符合题目要求的)
1.设全集U=R, A = L|^>O|, B = {x\\x<2}f 贝 11(^4)05 =
x-1 (A) {x|l (D) {%|X>1} 2. 下列函数既是偶函数，又在(0,+oo)上是增函数的是 _r — (B) y = x3 (A) y = x~^ 3. 下列说法正确的是 (C) y = 2|A1 (D) y =|X-1| + |X+1| (A)若/(兀)是奇函数,则/(0) = 0 (C)若a!Ibj)l/c,贝!la//c (B)若a是锐角，则2a是一象限或二象限角 (D) 集合A = {P|Pc{l,2)}有4个元素 4•将函数j = sin71 x的图像沿兀轴伸氏到横坐标为原来的2倍，再向左平移1个单位，得到的 图像対应的解析式是 6•如图，向一个圆台型容器(下底比上底口径宽)匀速注水(单位时间注水体积相同)，注 (A) y = sin( +1) 兀 X (B) y-sin(2^x + l) (C) y = cos 7T X (D) 3^ =-cos —— 2 JI x 5.若G是AABC的重心，且满足GA + GB = AGC,则久= (A) 1 (B) -1 (C) 2 (D) -2 3 4 7.平而直角坐标系xOy +，角Q的始边在兀轴非负半轴，终边与单位圆交于点将其 终边绕o点逆 吋针旋转—后与单位圆交于点B，则B的横坐标为 (A) (B) 4 7A/2 10 (C) 3V2 ~T~ (D) 4V2 -y- 8•函数y = /(x)满足对任意的x9ye R ,都有 f(x+y) = /(x)- f(y),且/(1) = 2, (A) 3 (B) 4 (C) 16 1 (D) 256 V3 + tan x 9•函数 /(x)= 1 - V3 tan x 若g(兀)是/(X)的反函数(注：互为反函数的函数图像关于直线y = x对称)，则g(8) = TT (A)定义域是{x|兀H比龙+ ―,伙G Z)}(B)值域是/? 6 (C)在其定义域上是增函数 10.%轴上一点P作x轴(D)最小正周期是龙 的垂线，分别交函数y = sinx,y = cosx,y = tanx的图像于 —3——- 耳,E，E，若卩出='Jl^l= o 尹2,贝 (A) —1 3 (B) 一1 2 (D) 2V2 \"T\" l,x>() 11.定义符号函数为sgn(x) = J 0,x = 0 ,则下列命题： ①|x|=x-sgn(x)； —l,x < 0 ②关于兀的方程Inx-sgn(lnx) = sinx• sgn(sinx)有5个实数根; ③ 若 In a - sgn(ln a) = ln/? sgn(ln b)(a > b),则 a + b 的取值范围是⑵+呵； ④ 设/(x) =(X2 一 1)• sgn(x2 一 1)，若函数 g(x) = /2(x) + af(x) +1 有 6 个零点，则 正确的有 (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 12 .已知函数/(力=丄二 +处山兀,那么下列命题正确的是 a +1 (A) 若d = 0,则)=/(兀)与〉=3是同一函数 TT 1 logi— JT (B) 若 0 VdSl,则 /(--)3 ](C) 若0 = 2,则对任意使得f(m) = 0的实数加，都有f(-m) = 1 (D) 若d>3,则/(cos2)< /(cos3) 二、填空题(共4个小题，每小题5分，共20分，把最终的结果填在题中横线上) a <-2. 13.若函数/（兀）=4x^2 ,则函数y二/（2x）的定义域是 ___________ . 14•若函数心）=（1一2咲+ 3小<1）的值域为R,那么Q的取值范围是 ___________ . In X, （x>l） 15.若 a w （0,龙）,0 w （0,龙）,\"“干 =£, cos（a + 0） = 2，则 sin 0 二 ___ . l + cos2o 3 13 l 16 .已知定义在R上的奇函数/（兀）和偶函数g（兀）满足f（x）+g（x） = e（e是自然对数的 x底 数）,又AP = fMAB + g（2x）AC，其中兀>（），则^PAB与APAC的面积比邑聲的最小值 SAPAC 是 _______ . 三、解答题（共6个小题，共计70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本题满分 10 分）（I）求值:log23-log34-log20.125-^27^ ； （II）求值：sin 15° + cos 15°. 18.（本题满分 12 分）己知函数 f（x） = >/3sinxcosx+sin（— + x）sin（——x）. 4 4 （I） 求函数/（兀）对称轴方程和单调递增区间； 71 71 （II） 对任意兀“一一 -],/（x）-m>0恒成立，求实数加的取值范围. 6 6 19.（本题满分12分）根据平面向量基本定理，若无&为一组基底，同一平面的向量方可以 被唯一确定地表示为a = xe{+ ye2 ,则向量。与有序实数对（兀,y） ------- 对应，称 （兀,刃为向量2在基底勺,勺下的坐标；特别地，若弓,勺分别为轴正方向的单位 向量门，则称（兀,刃为向量d的直角坐标. （I）据此证明向塑加法的直角坐标公式：若方=（州』）/ （=兀2,乃），则 a + /? = （x,+x2,y1 + y2）； （II）如图，直角厶。/!〃屮，ZAOB = 90°,| OA\\=],\\OB\\=43f C点在AB上，且况丄而, 求向暈况在基底刃,如下的坐标. (II) 由于当地冬季雾霾严重，从环保的角度，既要控制火力发电厂的排放量，电力供应有 限； 又要控制企业的排放量，于是需要对各企业实行分吋拉闸限电措施.已知该企业某日前 半日能分配到的供电量g(f)(万千瓦时)与吋间f (小时)的关系可用线性函数模型 ^(r) = -2r + 25(0 2xx22.(本题满分12分)设/(劝是定义在R上的奇函数，且对任意XG R,都有/(x + 2) = -/(%), 当0<%<1 时,/(x) = x2. (I) 当-2<^<0时，求/(x)的解析式； (II) 设向量a = (2sin&,l),b = (9,16cos&),若a,b 同向，求/( 一 一 2017 ----- )的值； SH1& + COS& (III) 定义：一个函数在某区间上的最大值减去最小值的差称为此函数在此区间上的“界高\"• 求 /(兀)在区间[z^ + 1] (-2 一、选择题 l.A 2.C 3.D 4.C 5.B 6. D 7. B 8. A 9. D 10.A二、填空题 11. D 13. [h+8) 16. 2^2 三、解答题 17•解:⑴原式卷詈沁2卜27」沁227 = 2 + 3 — 3 = 2 (II)原式二V2(—sinl5°+—cosl5°) =血(cos45°sin 15°+sin45°cos 15°) 2 2 =41 sin(l 5°+45°) = V2 sin 60° =冷 （直接算出sin 15： cos 15°的值也 可） 險解：（I）法一:g卑sin2卄si吟兀）吨+沪拿心+扣吟2兀） 2 2 6 —sin2x+—cos 2x = sin(2x + —). 法二: /(x) = £ sin 2x + • (cos x+sin x) • (cos x 一 sin x) = -^3 1 7 r y/^ 1 • /c 兀、 Tsin2x + -(cos x-sin^) = Tsin2A + -cos2x=sm(2x + -) 由 2x + —= Z:^ + —=> x = — + — (/: e Z), 6 2 2 6 TT 7T 7T 7T 7E 由如巧G +訂2炽+厂炽-齐+石(MZ), hjr jr jr jr 所以对称轴是兀=——+ —伙w Z）,单调增区间是伙兀-二k兀+仪2 6 3 \\6 （kw Z）. 7T 7T 7T JT TT 7T | （II） 由得力+才［一从而“心+評二，1］， /(x)-m>0恒成立等价于m < /(x)min,・•・m < 一*. 12. C （5 分）（10 分） （3 分） （6 分） (11 分) （12 分） 19.⑴证明：根据题意：a = (x},y}\\b = (x2,y2) =>a = x}i + y} j,b = xoi+y2j (2 分) —♦ —♦ —♦ —♦ —♦ —♦ •••a + b = (尢］+花\"+ (才+丿2)丿，(4 分)•••Q + b = 3+勺 Ji+乃)・ (6 分) —1 — 3 （II）解：法一（向量法）：根据几何性质，易知ZOAB = 60^\\CA\\=-」CB|= —• 2 2 从而疋=丄西，所以 Ad + OC = -（CO + OB）^>-OC = OA + -OB, 3 3 一 3 _ 1 一 ______ _______ __ 3 1 3 3 化简得：OC = -OA + -OB.所以况在基底刃，面下的坐标为（-,-）. 法二（向量法）：同上可得：疋=丄而，所以AO + OC = -（AO + OB）=>OC = -OA + -OB. 4 4 4 4 ___ ____ I _______ ___ 1 _______ _ _____ 3 ______ 1 ______ 上法也可直接从况开始\"5 +心如严5 +評BS）蔦如严 法三(向量法)：设OC = xOA + yOB,^\\BC = OC-OB = xOA + (yBA = OA-OB, 利用就，丽共线可解得. 法四（坐标法）：以O为坐标原点，亦，丽方向为X」轴正方向 建 立直角坐标系（以下坐标法建系同），则A（l,O）,B（O,Ji）.由儿何意义易得C的直角坐标为 4 4 3 — = x iS：OC = xOA + yOB,则(-,/ =>< x = — 4 4—) = x(l, 0) + y(0,吕= (x, ^3y), /. • • • 亘卡 4 4 ’ f— 法五(坐标法)：设 OC = xOA + yOB = x(l,0) + y(0,>/3) = (x,>/3y),又矢口 A(l,0),B(0,的)， 则由A,B,C三点共线易解得兀儿 法六(坐标法)：完全参照《必修4》P99例8 (2)的模 3 1 型和其解答过程，此处略.法七（几何图形法）：将况分解在刃，丽方向，利用平几知识算 出边的 关系亦可. 法八（向量法）（已经学过数量积的同学可以选用此法〉：设OC = xOA + yOB,«ijx + y = 1 ©； 由况丄 AB^>OC AB = 0,=>(xOA^yOB) (OB-OA) = Q=> -- 2 -- 2 -- ► -- 3 ] yOB~ -xOA y）OA'OB = Q^>3y-x = Q@,由①，②解得兀=],歹=才. __ ___________ Q 1 所以呪在基底刃,丙下的坐标为（12分，还有其它方法，各方法酌情分两到三段给 4 4 分） 20.解：(I)由图知IT = 12 =二^ , co — . （1分） 6 九x -儿in = 2.5-1.5 =j_ B= （3分） 儿和 + 儿in 二 2.5+ 1.5 二2 2 ~ 2 ~ 2 * - 2 _ 2 ~ TT 7T * （5分） （6分） 综上，4 即 /(O = ~sin(—/ + —) + 2 . y =丄 sin(£x + °) + 2 •代入(0,2.5),得(p = — + 2k7r,又 0 <(p< 兀，：・(p = ^ (II)由(I)知/(/)=卜血(自 + 彳) + 2 = gcosff + 2 •令 〃(/) =/(f) 一 g(f), 设/z（/o） = O,则（°为该企业的停产时间.易知加/）在（11J2）上是单调递增函数. 由 h(l 1) = /(II)-g(ll)<0, A(12) = /(12)-g(12)>0 , 又 /z(l 1.5) = /(11.5) - g(l 1.5) = - cos— + 2 - 2 = -cos(-—) > 0，则 Z0G (11,11.5). 1 4^ 1 即11点到11点30分之间（大于15分钟） 1 45 龙 1 I 又 Ml 1.25) = /(11.25) -^(11.25) =-cos — + 2-2.5<-xl-0.5 = — 一 0.5 = 0, 2 2^1* 2 2 MIJZOG （11.25,11.5）.即11点15分到11点30分之间（正好15分钟）. （11 分） （12 分） =>X>1，所以定义域为（l,+oo） 兀+ l>0 答：估计在11点15分到11点30分之间的吋间段停产. 21.解：（I ）由题意< X_I>O （2分） 任取1 —s，则心)_弘)主冲斗丸空畔g (Xj - l)(x2 +1) XXX2 - 1 - x2 + X| ••• 1 V Xj V 尢2，•••（兀1兀2 一 1 + 兀2 一 兀1）一（西兀2 一 1 一兀2 + 西）=2（*2 一 西）> 0， 且 XXX2 - 1 - X2 + X] =(X, - l)(x2 + 1) > 0 , /. ~\" + 孔__ X]X, _1 _兀2 +西 X2.垃 竺土士丸,・・./（州）>/（兀2）,即函数/（X）在（l,+oo）上单调递减 XX ~ 1 ~ x2 + X] Y 4- 1 + 1 （6分） 注：令 f(x) = lg ------- (xe (1,+°°))， (p(x)=-——,先判断(p{xx),(p(x2)大小, x-1 x-1 ~ 再判断 /（兀I ） J（*2 ）大小的酌情给分. （II）由/（x） = lg^U>l）知，f（3） = lg± = lg2,（可直接看出或设未知数解出）, x-1 3-1 于是原不等式等价于/（^2A -2^）（7分） 由（I）知函数/⑴在区间（l,+oo）上单调递减，于是上不等式等价于：a-2a>3>}, 即 0 一 2/ _ 3 > 2xx0 => （/ - 3）（/ +1） > 0 n / > 3. （9 分） 于是：①若a>l ,不等式的解集是{x|x>logj}:②若0VQV1,不等式的解集是 {x|x 一种情况扣1分) (12分，每少 22. 解：(I)设一 25 兀 5—1,贝 iJO —(A* + 2)2, (—2 5 兀 W — 1) 综上：当一 2 9 o 25 (II) rfl 题：32 sin 0 cos & = 9 => sin & cos & = —, ••• (sin & + cos 8)~ = 1 + 2 sin & cos 0-—, 32 16 所以sin&+cos& = ±)・・・sin&cos&>0, ・・.0可能在一、三象限， 4 若8在三象限，则方,乙反向，与题意矛盾；若&在一象限，则方/同向.综上，&只能在一象限. 5 2017 4 4 4 8 •••sin& + cos& =—，••• f(—— --)=/(2017X-) = /(2015x- + 2x-) = /(403x4 + -),怪) 4 sin& + cos& 5 5 5 5 由 /(x + 2) = -f(x)得 /(x + 4) = -/(x + 2) = -[-/(x)] = /(x), Q Q 2 2 2 4 (或 0.16) • 所以怪)式=/(》= -/(彳-2) = -/(-” = /(F = U)2= (6 分) (111) 先说明对称性(以下方法均可，未说明对称性扣1分)： 法一：由(II)： /(x + 4) = /(x),再由已知:/(兀)是奇函数且/(% +2) = -/(%),得 /(x-2) = -/(%) = /(-x),令兀为一兀,得 /(-2-x) = f(x), 法二：由(I)： XG /(x)的图像关x = -l 对称. 1,0］时，/(—2 —兀)=—(―2 —兀)？=—(兀 + 2)1 =于(兀)； 广=_兀2 = j (x) XE. ［-2,-1］吋，f (—2 — x) = _(_2_x + 2 综上：/(兀)在［-1,01和［―2,—1］上的图像关于x = -l对称. 法三：由画出图像说明/(兀)在［-2,-1］和［-1,0］上的图像关于x = -l对称也可. 设/(%)在区间［切+ 1］上的最大值为 M(t),最小值为加⑴，则h(t) = M(t) - m(t). 显然：区间”,f + l］的中点为f + 丄.所以，如图： 2 (i)当/>-2Mr + -<-1,即-2 ・•・ h(t) = M (0 一 m(t) = -(t + 2尸 +1 ； (iii)当-\\ = (/ +1)2 + 八=2“ + 2/ +1 ・ -a+2尸+1, (-2 综上：处)=_a+i)2+i, (—— 2”+2/ + l, (-l （10 分） 根据解析式分段画出图像，并求出每段最值（如图），由图像可得：十汗-12分） 题号 6 8 题目改编或创作的课本来源 《必修1》P112 A组4 《必修1》P75 B组5 P82A组7 P73正文 题号 17 (1) 17（2） 题目改编或创作的课本来源 《必修1》P75A组11 《必修4》P126例1原题 （改稿前为P146 5 （1）） 《必修4》P130-P131 例4 （3） 的解答过程（改稿后加了系数 、9 19 20 《必修4》P94-96正文， P102 B 组 4, P99 例 8(2). 改编自《必修4》P62例4 借鉴15届成都市一诊命题思路. 存，比例4 （3）容易看出是两 角和正切公式，降低难度）. P45练习5, P42-45正文 函数源自《必修1》P83B组3・ 方法类似《必修1》P44A组8 《必修4》P142练习1, 12 12⑶ 21 22(1) 《必修1》P75B组4及P82 A组8 《必修1》P39 A组6 《必修4》 P119 A组8 15 P146 A组1,原题 22（2） P147 B组5,将B组5参数 改成具体数 16 《必修1》P83B组4 22(3) 编创思路源自成都市2015-2016高 一上期期末调研考试22 （2） 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容