湖南省新化一中2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案

（理科）试题

满分:150分 时量：120分钟 命题人:杨玉琳

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。 1．命题“x∈R，sinx＞1”的否定是（ ）

A．x∈R，sinx≤1 B．x0∈R，sinx0≤1 C．x0∈R，sinx0＞1 D．不存在x∈R，sinx＞1

2．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a=22，A=45°，B=60°， 则b=（ ） A．23 B．

2 C．1 D．2

3．已知等比数列an的前三项依次为a1,a1,a4,则an（ ）

323A.4 B.4 C.42322nnn12 D.43n1

x2y21的右焦点重合，则p的值为（ ） 4．若抛物线y2px的焦点与椭圆62A．4 B．4 C．2 D．2

5．在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，则\"ab\"是\"sinAsinB\" 的（ ）

A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件

x成立，6．在R上定义运算:xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数则实数a的取值范围是( )．

A．{a|1a1} B．{a|0a2} C．{a|1331a} D．{a|a} 22227．等差数列{an}中,a1a4a739,a3a6a927,则数列 {an}前9项的和S9等于（ ）A．66 B．99 C．144 D．297

8．在ABC，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若内角A、B、C依次

2成等差数列，且不等式x6x80的解集为{x|axc}，则b等于（ ）

A．3 B．4 C．33 D．23

xy309．如果实数x,y满足不等式组x2y30，目标函数zkxy的最大值为6，最小值

x1为0，则实数k的值为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4

x2y210．设F1、F2分别为双曲线221(a＞0,b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在

ab点P，满足PF2FF且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心12，率为（ ） A．

55 B．2 C．2 D．

34

二．填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分。

a、b、c分别是A、B、C三内角所对应的边，11．在ABC中，若a2c2b2ac0,

则B＝ .

x212.抛物线y的准线方程是 413．当x1时,不等式 x11a恒成立，则实数a的最大值是 x114．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2(an1)，则a7=___．

x2y215．已知命题p：实数m满足m＋12a7am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋

m12m2

2

＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为________．

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16、（本小题满分12分）某餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A、B蔬菜每斤的单价分别为2元

y20161284o6121830x和3 元。根据需要，A蔬菜至少要买6斤，B蔬菜至少要买4斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元。

（1）写出一天中A蔬菜购买的斤数x和B蔬菜购买的斤数y之间的不等式组； （2）在下面给定的坐标系中画出（1） 中不等式组表示的平面区域（用阴影表 示），并求z=x+y的最大值。

17. （本小题满分12分）

已知在等比数列{an}中，a11，且a2是a1和a31的等差中项．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn2n1an(nN*)，求{bn}的前n项和Sn．

18、（本小题满分12分）

已知命题p:方程2xaxa0在1,1上有解；命题q:只有一个实数x0满

222足不等式x02ax02a0，若命题“pq”是假命题，求a的取值范围。

19．（本小题满分13分）

在海岛A上有一座海拔3km的山峰，山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东15、俯角为30的B处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西45、俯角为60的C处.

(1) 求船的航行速度；

P北CA东B(2) 求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离. 20．（本小题满分13分）

x2y2已知椭圆E：221（a＞b＞0）的离心率e=

ab，并且经过定点P（，）．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）问是否存在直线yxm，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OA⊥OB，若

存在求m值，若不存在说明理由． 21、（本小题满分13分）

数列an满足：a11，a22，an21cos（Ⅰ）求数列an的通项公式； （Ⅱ）设bn

2n22n，nN。 asinn2a2n1，Snb1b2a2n。 bn，证明：Sn2（nN）

高二年级期中考试理科数学试题

总分：150分 时间：120分

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。 1．命题“x∈R，sinx＞1”的否定是（ ）

A．x∈R，sinx≤1 B．x0∈R，sinx0≤1 C．x0∈R，sinx0＞1 D．不存在x∈R，sinx＞1 【答案】B

2．在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，若a=22，A=45°，B=60°，

则b=（ ） A．23 B．【答案】A

3．已知等比数列an的前三项依次为a1,a1,a4,则an

2 C．1 D．2

323A.4 B.4 C.4232【答案】C

nnn12 D.43n1

x2y21的右焦点重合，则p的值为（ ） 4．若抛物线y2px的焦点与椭圆622A．4 B．4 C．2 D．2

【答案】B

5．在ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，则\"ab\"是\"sinAsinB\" 的（ ）

A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 【答案】A

x成立，6．在R上定义运算:xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数则实数a的取值范围是( )．

A．{a|1a1} B．{a|0a2} C．{a|【答案】C

7．等差数列{an}中,a1a4a739,a3a6a927,则数列{an}前9项的和S9等 于（ ）

A．66 B．99 C．144 D．297 【答案】B

8．在ABC，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若内角A、B、C依次

2成等差数列，且不等式x6x80的解集为{x|axc}，则b等于（ ）

1331a} D．{a|a} 2222A．3 B．4 C．33 D．23 【答案】D

xy309．如果实数x,y满足不等式组x2y30，目标函数zkxy的最大值为6，最小值

x1为0，则实数k的值为（ ）

A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B

x2y210．设F1、F2分别为双曲线221(a＞0,b＞0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在

ab点P，满足PF2FF且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心12，率为 （ ） A．

55 B．2 C．2 D．

34【答案】D

二．填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分。

11．在ABC中，a、b、c分别是A、B、C三内角所对应的边，若

a2c2b2ac0, 则B＝ . 【答案】 120

o

x212.抛物线y的准线方程是 4【答案】 y=-1

13．当x1时,不等式 x【答案】2

14．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn2(an1)，则a7=___． 【答案】128

11a恒成立，则实数a的最大值是 x1x2y215．已知命题p：实数m满足m＋12a7am(a>0)，命题q：实数m满足方程＋

m12m2

2

＝1表示的焦点在y轴上的椭圆，且p是q的充分不必要条件，a的取值范围为________． 【答案】[

三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤。

16、（本小题满分12分）

某餐馆一天中要购买A，B两种蔬菜，A、B蔬菜每斤的单价分别为2元和3 元。根据需要，A蔬菜至少要买6斤，B蔬菜至少要买4斤，而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过

13，] 3860元。

（1）写出一天中A蔬菜购买的斤数x和B蔬菜购买的斤数y之间的不等式组； （2）在下面给定的坐标系中画出（1）中不等式组表示的平面区域（用阴影表 示），并求z=x+y的最大值。

y

20161284o6121830x2x3y60解：（1）x6………6分

y4（2）画出的平面区域如右图，

y20C(6,16)4oB(24,4)A630x2x3y60A（6，4），由求得

x62x3y60C（6，16）由求得B（24，4）易知在B点时取得最大值

y4 Zmax24428………12分

17. （本小题满分12分）

已知在等比数列{an}中，a11，且a2是a1和a31的等差中项．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn2n1an(nN*)，求{bn}的前n项和Sn． 解：（Ⅰ）设公比为q，则a2q，a3q2， ∵a2是a1和a31的等差中项，

∴2a2a1(a31)2q1(q21)q2， ∴an2n1………6分

（Ⅱ）bn2n1an2n12n1 则Sn[13(2n1)](122n1)

n[1(2n1)]12n212 ………12分

n22n1

18、（本小题满分12分）

已知命题p:方程2xaxa0在1,1上有解；命题q:只有一个实数x0满

222足不等式x02ax2a0，若命题“pq”是假命题，求a的取值范围。

a22

解：由2x＋ax－a＝0，得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝或x＝－a，

2

a∴当命题p为真命题时，≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2. ………4分 2

又“只有一个实数x0满足不等式x0＋2ax0＋2a≤0”， 即抛物线y＝x＋2ax＋2a与x轴只有一个交点， ∴Δ＝4a－8a＝0，∴a＝0或a＝2.

∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2. ………8分 ∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2. ∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<－2. 即a的取值范围为{a|a>2，或a<－2}．………12分 19．（本小题满分13分）

在海岛A上有一座海拔3km的山峰，山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午11:00时，测得此船在岛北偏东15、俯角为30的B处，到11:10时，又测得该船在岛北偏西45、俯角为60的C处.

(1) 求船的航行速度；

2

2

2

(2) 求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离.

【解析】解：⑴设船速为xkm/h，则BCxkm. 6在Rt△PAB中，∠PBA与俯角相等为30°，∴AB33. tan3011.

tan60同理，Rt△PCA中，AC------4分

在△ACB中，∠CAB15°＋45°＝60°， ∴

由

余

弦

定

理

得

BC3212231cos607，

∴x67km/h，∴船的航行速度为67km/h. ------7分

⑵ 作ADBC于点D，∴当船行驶到点D时，

AD最小，

从而PD最小.

此时，ADABACsin60BC3132321. 147------11分 ∴PD＝23777. 3(21)21414∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为777km. ------13分

14 20．（本小题满分13分）

x2y2已知椭圆E：221（a＞b＞0）的离心率e=

ab，并且经过定点P（，）．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）问是否存在直线yxm，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OA⊥OB，

若存在求m值，若不存在说明理由． 解（Ⅰ）由题意：e31c32221cab且2，又 2a4ba22x2y21 ------6分 解得：a4,b1，即：椭圆E的方程为42（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)

x22y1x24(mx)2405x28mx4m240 （*） 4yxm8m4m24,x1x2所以x1x2 ------------8分 55824m24m2422y1y2(mx1)(mx2)mm(x1x2)x1x2mm

555由OAOBOAOB0

4m24m242100,m得(x1,y1)(x2,y2)0,x1x2y1y20, ---12分 55522又方程（*）要有两个不等实根，(8m)45(4m4)0,5m5 m的值符合上面条件，所以m 21、（本小题满分13分）

数列an满足：a11，a22，an21cos（Ⅰ）求数列an的通项公式；

210 -----------13分 52n22n，nN。 asinn2a2n1，Snb1b2bn，证明：Sn2（nN）。 a2n【解析】（Ⅰ）∵a11，a22，

∴由题设递推关系式，当n2k1（kN）时，

（Ⅱ）设bn2k1asin22k1a1，

a2k11cos22k12k122即a2k1a2k11。所以数列a2k1是首项为1公差为1的等差数列，

因此a2k1k。 ……………3分 当n2k（kN）时，a2k21cos22k22kasin2a2k， 2k22所以数列a2k是首项为2公比为2的等比数列，因此a2k2k………6分 故数列an的通项公式为

n12,n2k1,kN。 …………8分 ann22,n2k,kNan（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn2n1n，

a2n2123n于是Sn23n， ……………………①

22221123n1n从而Sn234nn1， ……………………②

22222211111n ①―②得Sn23nn1

222222n11122n1n2。 n1n112212n2所以Sn2n。故有Sn2。 …………13分

2