(理科)试题
满分:150分 时量:120分钟 命题人:杨玉琳
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。 1.命题“x∈R,sinx>1”的否定是( )
A.x∈R,sinx≤1 B.x0∈R,sinx0≤1 C.x0∈R,sinx0>1 D.不存在x∈R,sinx>1
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=22,A=45°,B=60°, 则b=( ) A.23 B.
2 C.1 D.2
3.已知等比数列an的前三项依次为a1,a1,a4,则an( )
323A.4 B.4 C.42322nnn12 D.43n1
x2y21的右焦点重合,则p的值为( ) 4.若抛物线y2px的焦点与椭圆62A.4 B.4 C.2 D.2
5.在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则\"ab\"是\"sinAsinB\" 的( )
A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件
x成立,6.在R上定义运算:xyx(1y),若不等式(xa)(xa)1对任意实数则实数a的取值范围是( ).
A.{a|1a1} B.{a|0a2} C.{a|1331a} D.{a|a} 22227.等差数列{an}中,a1a4a739,a3a6a927,则数列 {an}前9项的和S9等于( )A.66 B.99 C.144 D.297
8.在ABC,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若内角A、B、C依次
2成等差数列,且不等式x6x80的解集为{x|axc},则b等于( )
A.3 B.4 C.33 D.23
xy309.如果实数x,y满足不等式组x2y30,目标函数zkxy的最大值为6,最小值
x1为0,则实数k的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
x2y210.设F1、F2分别为双曲线221(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在
ab点P,满足PF2FF且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心12,率为( ) A.
55 B.2 C.2 D.
34
二.填空题:本大题5小题,每小题5分,共25分。
a、b、c分别是A、B、C三内角所对应的边,11.在ABC中,若a2c2b2ac0,
则B= .
x212.抛物线y的准线方程是 413.当x1时,不等式 x11a恒成立,则实数a的最大值是 x114.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn2(an1),则a7=___.
x2y215.已知命题p:实数m满足m+12a7am(a>0),命题q:实数m满足方程+
m12m2
2
=1表示的焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,a的取值范围为________.
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)某餐馆一天中要购买A,B两种蔬菜,A、B蔬菜每斤的单价分别为2元
y20161284o6121830x和3 元。根据需要,A蔬菜至少要买6斤,B蔬菜至少要买4斤,而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元。
(1)写出一天中A蔬菜购买的斤数x和B蔬菜购买的斤数y之间的不等式组; (2)在下面给定的坐标系中画出(1) 中不等式组表示的平面区域(用阴影表 示),并求z=x+y的最大值。
17. (本小题满分12分)
已知在等比数列{an}中,a11,且a2是a1和a31的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn2n1an(nN*),求{bn}的前n项和Sn.
18、(本小题满分12分)
已知命题p:方程2xaxa0在1,1上有解;命题q:只有一个实数x0满
222足不等式x02ax02a0,若命题“pq”是假命题,求a的取值范围。
19.(本小题满分13分)
在海岛A上有一座海拔3km的山峰,山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行,上午11:00时,测得此船在岛北偏东15、俯角为30的B处,到11:10时,又测得该船在岛北偏西45、俯角为60的C处.
(1) 求船的航行速度;
P北CA东B(2) 求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离. 20.(本小题满分13分)
x2y2已知椭圆E:221(a>b>0)的离心率e=
ab,并且经过定点P(,).
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)问是否存在直线yxm,使直线与椭圆交于A、B两点,满足OA⊥OB,若
存在求m值,若不存在说明理由. 21、(本小题满分13分)
数列an满足:a11,a22,an21cos(Ⅰ)求数列an的通项公式; (Ⅱ)设bn
2n22n,nN。 asinn2a2n1,Snb1b2a2n。 bn,证明:Sn2(nN)
高二年级期中考试理科数学试题
总分:150分 时间:120分
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。 1.命题“x∈R,sinx>1”的否定是( )
A.x∈R,sinx≤1 B.x0∈R,sinx0≤1 C.x0∈R,sinx0>1 D.不存在x∈R,sinx>1 【答案】B
2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=22,A=45°,B=60°,
则b=( ) A.23 B.【答案】A
3.已知等比数列an的前三项依次为a1,a1,a4,则an
2 C.1 D.2
323A.4 B.4 C.4232【答案】C
nnn12 D.43n1
x2y21的右焦点重合,则p的值为( ) 4.若抛物线y2px的焦点与椭圆622A.4 B.4 C.2 D.2
【答案】B
5.在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,则\"ab\"是\"sinAsinB\" 的( )
A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 【答案】A
x成立,6.在R上定义运算:xyx(1y),若不等式(xa)(xa)1对任意实数则实数a的取值范围是( ).
A.{a|1a1} B.{a|0a2} C.{a|【答案】C
7.等差数列{an}中,a1a4a739,a3a6a927,则数列{an}前9项的和S9等 于( )
A.66 B.99 C.144 D.297 【答案】B
8.在ABC,三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若内角A、B、C依次
2成等差数列,且不等式x6x80的解集为{x|axc},则b等于( )
1331a} D.{a|a} 2222A.3 B.4 C.33 D.23 【答案】D
xy309.如果实数x,y满足不等式组x2y30,目标函数zkxy的最大值为6,最小值
x1为0,则实数k的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
x2y210.设F1、F2分别为双曲线221(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在
ab点P,满足PF2FF且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心12,率为 ( ) A.
55 B.2 C.2 D.
34【答案】D
二.填空题:本大题5小题,每小题5分,共25分。
11.在ABC中,a、b、c分别是A、B、C三内角所对应的边,若
a2c2b2ac0, 则B= . 【答案】 120
o
x212.抛物线y的准线方程是 4【答案】 y=-1
13.当x1时,不等式 x【答案】2
14.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn2(an1),则a7=___. 【答案】128
11a恒成立,则实数a的最大值是 x1x2y215.已知命题p:实数m满足m+12a7am(a>0),命题q:实数m满足方程+
m12m2
2
=1表示的焦点在y轴上的椭圆,且p是q的充分不必要条件,a的取值范围为________. 【答案】[
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。
16、(本小题满分12分)
某餐馆一天中要购买A,B两种蔬菜,A、B蔬菜每斤的单价分别为2元和3 元。根据需要,A蔬菜至少要买6斤,B蔬菜至少要买4斤,而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过
13,] 3860元。
(1)写出一天中A蔬菜购买的斤数x和B蔬菜购买的斤数y之间的不等式组; (2)在下面给定的坐标系中画出(1)中不等式组表示的平面区域(用阴影表 示),并求z=x+y的最大值。
y
20161284o6121830x2x3y60解:(1)x6………6分
y4(2)画出的平面区域如右图,
y20C(6,16)4oB(24,4)A630x2x3y60A(6,4),由求得
x62x3y60C(6,16)由求得B(24,4)易知在B点时取得最大值
y4 Zmax24428………12分
17. (本小题满分12分)
已知在等比数列{an}中,a11,且a2是a1和a31的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn2n1an(nN*),求{bn}的前n项和Sn. 解:(Ⅰ)设公比为q,则a2q,a3q2, ∵a2是a1和a31的等差中项,
∴2a2a1(a31)2q1(q21)q2, ∴an2n1………6分
(Ⅱ)bn2n1an2n12n1 则Sn[13(2n1)](122n1)
n[1(2n1)]12n212 ………12分
n22n1
18、(本小题满分12分)
已知命题p:方程2xaxa0在1,1上有解;命题q:只有一个实数x0满
222足不等式x02ax2a0,若命题“pq”是假命题,求a的取值范围。
a22
解:由2x+ax-a=0,得(2x-a)(x+a)=0,∴x=或x=-a,
2
a∴当命题p为真命题时,≤1或|-a|≤1,∴|a|≤2. ………4分 2
又“只有一个实数x0满足不等式x0+2ax0+2a≤0”, 即抛物线y=x+2ax+2a与x轴只有一个交点, ∴Δ=4a-8a=0,∴a=0或a=2.
∴当命题q为真命题时,a=0或a=2. ………8分 ∴命题“p∨q”为真命题时,|a|≤2. ∵命题“p∨q”为假命题,∴a>2或a<-2. 即a的取值范围为{a|a>2,或a<-2}.………12分 19.(本小题满分13分)
在海岛A上有一座海拔3km的山峰,山顶设有一个观察站P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行,上午11:00时,测得此船在岛北偏东15、俯角为30的B处,到11:10时,又测得该船在岛北偏西45、俯角为60的C处.
(1) 求船的航行速度;
2
2
2
(2) 求船从B到C行驶过程中与观察站P的最短距离.
【解析】解:⑴设船速为xkm/h,则BCxkm. 6在Rt△PAB中,∠PBA与俯角相等为30°,∴AB33. tan3011.
tan60同理,Rt△PCA中,AC------4分
在△ACB中,∠CAB15°+45°=60°, ∴
由
余
弦
定
理
得
BC3212231cos607,
∴x67km/h,∴船的航行速度为67km/h. ------7分
⑵ 作ADBC于点D,∴当船行驶到点D时,
AD最小,
从而PD最小.
此时,ADABACsin60BC3132321. 147------11分 ∴PD=23777. 3(21)21414∴船在行驶过程中与观察站P的最短距离为777km. ------13分
14 20.(本小题满分13分)
x2y2已知椭圆E:221(a>b>0)的离心率e=
ab,并且经过定点P(,).
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)问是否存在直线yxm,使直线与椭圆交于A、B两点,满足OA⊥OB,
若存在求m值,若不存在说明理由. 解(Ⅰ)由题意:e31c32221cab且2,又 2a4ba22x2y21 ------6分 解得:a4,b1,即:椭圆E的方程为42(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2)
x22y1x24(mx)2405x28mx4m240 (*) 4yxm8m4m24,x1x2所以x1x2 ------------8分 55824m24m2422y1y2(mx1)(mx2)mm(x1x2)x1x2mm
555由OAOBOAOB0
4m24m242100,m得(x1,y1)(x2,y2)0,x1x2y1y20, ---12分 55522又方程(*)要有两个不等实根,(8m)45(4m4)0,5m5 m的值符合上面条件,所以m 21、(本小题满分13分)
数列an满足:a11,a22,an21cos(Ⅰ)求数列an的通项公式;
210 -----------13分 52n22n,nN。 asinn2a2n1,Snb1b2bn,证明:Sn2(nN)。 a2n【解析】(Ⅰ)∵a11,a22,
∴由题设递推关系式,当n2k1(kN)时,
(Ⅱ)设bn2k1asin22k1a1,
a2k11cos22k12k122即a2k1a2k11。所以数列a2k1是首项为1公差为1的等差数列,
因此a2k1k。 ……………3分 当n2k(kN)时,a2k21cos22k22kasin2a2k, 2k22所以数列a2k是首项为2公比为2的等比数列,因此a2k2k………6分 故数列an的通项公式为
n12,n2k1,kN。 …………8分 ann22,n2k,kNan(Ⅱ)由(Ⅰ)知bn2n1n,
a2n2123n于是Sn23n, ……………………①
22221123n1n从而Sn234nn1, ……………………②
22222211111n ①―②得Sn23nn1
222222n11122n1n2。 n1n112212n2所以Sn2n。故有Sn2。 …………13分
2
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