辽宁省沈阳二中高二上学期期末考试数学(理)试题

沈阳二中201４-２015学年度上学期期末考试

高二(16届）理科数学试题

第Ⅰ卷(6０分）

一.选择题（共１2小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的）

１.已知命题p:xR,|x|0，那么命题p为（ ）

A.xR,x0 Ｃ． xR,x0

B.xR,x0 Ｄ．xR,x0

2. 已知ab,则下列不等关系正确的是( ）

A.a2b2 C．2a2b ３. 设直线:l:yB．ac2bc2 Ｄ．log2alog2b

kxm(mx2y20)，双曲线C:221(a0,b0),则“kabB．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

b”是“直线l与双a曲线C恰有一个公共点“的( )

A．充分不必要条件 C.充分条件

4. 有下列四个命题：

(1)已知A，B,Ｃ，D是空间任意四点，则ABBCCDDA0;

（2)若两个非零向量AB与CD满足AB＋CD＝0，则AB‖CD；

(３)分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是

共面向量; (4)对于空间的任意一点O和不共线的三点Ａ，B,Ｃ,若OPxOAyOBzOC

(x,y,zR)，则P,A,B,C四点共面。

其中正确命题的个数是( ) A．3 B.2

C.1

D．０

2xy2x2y25.设变量x,y满足约束条件,则目标函数z2xy的最大值是（ ) x0y0Ａ.4

B.２

C.1

Ｄ. 2 36. 空间四边形OＡＢＣ中，OAa，OBb, OCc,点Ｍ在OA上,且OM2OA，Ｎ为ＢC中点，则MN=（ )

121A.a-bc 232B.ab23121c 2--

--

Ｃ.ab-c

121223D.ab-c

232312７.已知数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn,若

A.9

B.1８

S6S9,则12( ） S3S6D.６5

C.64

x2y28.已知双曲线则该抛物线的准线被双曲线所截的线段长1的右焦点与抛物线y2ax的焦点重合，

45度为( ) A.4

B.5

C.

5 2D. 5 2９.定义

n为n个正数p1,p2,...,pn的“均倒数”．若已知正数数列{an}的前n项的“均倒

p1p2...pn数”为

111a11,又bnn，则... ( ） 2n14b1b2b2b3b10b11B.

A.

1 111 12C.

10 1122D． 12111０.已知P是抛物线y24x上的一个动点,Q是圆x3y11上的一个动点,N(1,0)是一个定点,则PQPN的最小值为（ ） A．3

B.４

Ｃ.5

D.

21

11．已知直三棱柱ＡBC-A１B1C1的各棱长均为1,棱BB1所在直线上的动点M满足BMBB1,AＭ与侧面BB１1

CC所成的角为,若2,2,则的取值范围是（ )

2A.,

126B., 64Ｃ．,

43D．,  3125x2y21２.已知双曲线221(a0,b0),M,N是双曲线上关于原点对称的两点,P是双曲线上的动点,直线

abPＭ,PＮ的斜率分别为k1,k2(k1k20),若k1k2的最小值为1，则双曲线的离心率为( ) A. 2

B. 5 2C.

3 2D.

3 2第Ⅱ卷（90分)

二、填空题(共4小题，每小题5分,共20分，将答案填在答题纸上）

1３. 若a(1,1,0),b(1,0,2),则与ab同方向的单位向量是_____＿_＿_＿_＿＿___

--

--

１４. 已知数列1,a1,a2,9是等差数列,数列1,b1,b2,b3,9是等比数列，则

b2的值为 _______ ． a1a215. 平行六面体AＢCＤ—Ａ1Ｂ1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为60°，则DB1和

C1A1所成角大小为___＿________．

16. 若x0,y0,且

132，则6x5y的最小值为________＿＿＿. 2xyxy三、解答题(共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）

17、(本小题满分１２分）已知命题p:方程x2mx10有两个不相等的实根;ｑ：不等式

4x24(m2)x10的解集为Ｒ;若p或ｑ为真,ｐ且q为假，求实数m的取值范围。

18.（本小题满分1２分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a217,S10100. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式;

（Ⅱ）若数列bn满足bnancos(n)2n(nN*),求数列bn的前n项和.

y2x219.（本小题满分12分）设双曲线21(a0)的两个焦点分别为F1,F2，离心率为2.

a3(Ⅰ）求此双曲线的渐近线l1，l2的方程；

（Ⅱ)若A,B分别为l1,l2上的点，且２|AＢ|=５|F1F2｜,求线段AB的中点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

２０.(本小题满分12分）如图，在四棱锥Ｐ-ABＣＤ中,底面AＢＣD为直角梯形,AＤ//BC，∠ＡDC=9０°,平面PＡD⊥底面ABCD，Q为AD的中点,M是棱ＰC上的点，PA=PD=2,BC＝(Ⅰ)若点M是棱ＰC的中点，求证:PA // 平面BMQ； (Ⅱ)求证:若二面角M-ＢQ-C为３0°,试求

1AD＝1，ＣD=3． 2PM的值。 PC

--

--

P

M

D Q A

B

2C

xy2121．(本小题满分12分）椭圆C:221(ab0)的长轴是短轴的两倍，点P(3,)在椭圆上.不过原

ab2点的直线l与椭圆相交于A、B两点,设直线OＡ、l、OB的斜率分别为k1、k、k2,且k1、k、k2恰好构成等比数列，记△ABO的面积为S．

(Ⅰ）求椭圆Ｃ的方程.

(Ⅱ)试判断OAOB是否为定值?

若是,求出这个值;若不是，请说明理由？ (Ⅲ)求S的范围．

请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

2２. （本小题满分１0分）选修4－4:坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是4cos.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴,建立平面

2txm2直角坐标系，直线l的参数方程是:(t是参数). y2t222(Ⅰ) 若直线l与曲线Ｃ相交于Ａ、Ｂ两点，且|AB|14,试求实数m值. (Ⅱ) 设Mx,y为曲线C上任意一点,求xy的取值范围.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

--

--

设不等式x23xa(aN)的解集为Ａ，且2A,（Ⅰ)求ａ的值；

(Ⅱ)求函数f(x)xax2的最小值。

*3A 2沈阳二中201４-2０1５学年度上学期期末考试

高二（16届)理科数学试题答案

一.选择题：1－5CCABC ６－1２BDBCA ＢB 二.填空题：13. （0，525631343，） 14. 15. arccos 16. 255610

三．解答题:

2

１7、 解：因为方程x + mx + 1＝0有两个不相等的实根，

2

所以Δ１=m – ４＞０， ∴m>2或ｍ < – 2 …………3分

２

又因为不等式4x +4(m – 2）ｘ + 1>0的解集为Ｒ，

2

所以Δ2＝１6(m – 2) – １６<0, ∴1< ｍ <3 …………６分 因为p或q为真，ｐ且q为假,所以p与q为一真一假， …………８分

(１）当p为真q为假时，m2或m2m2或m3…………10分

m1或m3(2）当ｐ为假q为真时,2m21m2

1m3综上所述得:m的取值范围是m2或m3或1m2 …………12分

a1+d=1718． (I）设ａｎ首项为ａ1，公差为d,则解得ａ１=19,ｄ＝-2 10(2a1+9d)1002∴an=19+（n-1）×（-2)=21-2n…………(４分)ﻫ(II)∵bn=ａｎｃos（nπ）＋2=（-1）an+2ﻫ当n为偶数n2(12n)23n时,Tn＝b1+b2++bｎ=（-a1+２)＋（a2+2)+(-a３+2)+…+(ａn＋2)ﻫ=(-２)×2n1n2…………212(7分)

当n为奇数时，Ｔn=ｂ1+ｂ２++ｂn=(-a1+２）+（a2+２）＋(-a3+2）＋…+（-an＋2）ﻫ=-a１+(a2-ａ3）＋…

ｎ＋1ｎ＋12(12n)＋(an-1-ａn）+=-19+２×n1+2-2=2+n-２2 …………………（１0分) 12223ｎnｎｎ2n1n2(当n为偶数）∴Tｎ＝ ………………（12分) n1（当n为奇数）2n22--

--

2x１９. 解:（Ⅰ) ∵e=2，∴c＝４a，∵c=a＋3,∴a=1,ｃ=2，ﻫ∴双曲线方程为y1,渐近线方程为32

2

2

2

2ｙ=±3ｘ;…………（4分) 35|F1F2|=１0 ﻫ∴2(Ⅱ）设A(x1， y1)，B(x2, y２）,AB的中点M(x,y) ∵2|AB|5|F1F2|∴|AB|（６分) 又∵y1=(x1x2)2(y1y2)2=10…………33x1,ｙ2＝x2，2ｘ=ｘ1+ｘ2,233ｙ=ｙ1＋y２ ∴y1＋y２＝333(x1－x２)，ｙ1-y2=（x1+ ｘ２) ∴[(x1x2)]2[3(y1y2)]23331x23y22＝１０ﻫ∴3（2y)+(２x)=100∴1，即为M的轨迹方程。 …………（10分）

375252则M的轨迹是中心在原点，焦点在ｘ轴上长轴长为103,短轴长为103的椭圆。……(12分) 3２0． 解:证明：(Ⅰ)连接AC,交ＢQ于N,连接ＭＮ ∵BＣ∥AD且BC=

1AD,即BC//ＡQ. 2∴四边形ＢＣQＡ为平行四边形，且N为ＡＣ中点, 又∵点Ｍ是棱PC的中点,∴ MN ／/ PＡ MＮ平面MQB,ＰA平面MQB， ∴ PA // 平面MＢQ ……………………………… 4分 （Ⅱ) ∵ＰA=PＤ，Ｑ为AD的中点, ∴ＰQ⊥AD. ∵平面PＡD⊥平面ABCD，且平面PＡD∩平面AＢCD=AD, ﻭ∴PＱ⊥平面ABCD ∵AD // BC,BC=

1AD,Q为AＤ的中点， ∴四边形BＣDＱ为平行四边形,∴CD /／ 2BQ

∵∠ADＣ=90° ∴∠AQB=90° 即QB⊥ＡD． ……………………………… 6分ﻭ如图，以Ｑ为原点建立空间直角坐标系.

z P M D Q A x N B y C

则平面BQC的法向量为n(0,0,1); Q(0,0,0),P(0,0,3),B(0,3,0),C(1,3,0) ﻭ则

--

--

PC(1,3,3),

QP(0,0,3)设PMtPC,(0t1), ﻭ在平面MBQ

中,QB(0,3,0),QMQPtPC(t,3t,33t), ………………8分 ∴ 平面MBＱ法向量为m(33t,0,t) ………………10分 ∵二面角M-ＢQ-Ｃ为30°, cos30|nm|nm|t|(33t)20t2333，∴ t1,t2(舍）

422∴

PM331=………………12分ﻭ２1. （１)由题意可知a2b且221b21, PC4 a4bx2所以椭圆的方程为y21……………………………… 3分

4ykxm(２）设直线l的方程为ykxm(m≠0),A(x1,y1)、B(x2,y2)由2 2x4y4(14k2)x28kmx4m240

8kmxx1214k2 ……………………………… 4分 24m4xx1214k2

k1、k、k2恰好构成等比数列．

k2k1k2y1y2(kx1m)(kx2m)= x1x2x1x22222m14k8km22即kk4k2m2m20 224m44m4k211……………………………… 6分 k42

222此时且16(14km)0 16(2m)0

得０＜m<2，且ｍ≠1（否则：x1x2=0,则x1，ｘ２中至少有一个为0,直线OM、ON中至少有一个斜率不存在，

矛盾！）………………… 7分

2

2

x1x22m 2x1x22m222=OAOBx12y12x2y222322x1x22 4=

32x1x22x1x225 4--

--

所以OA2OB2是定值为5. ………………………… ８分

(３)S12ABd121k2xm1x2 1k2=122x1x24x1x2m=124m28m28m = (m21)21 (0 S(0,1) ……………………………… 12分

22. 解法一： （I)曲线C的极坐标方程是4cos化为直角坐标方程为: x2y24x0ﻭ 线l的直角坐标方程为：yxm 圆心到直线l的距离d22(1422 2)2,|20m|222|m2|1 m1ﻭ或m3

x2tm解法二:把2（t是参数)代入方程x2y24x0， y22t得t22(m2)tm24m0,

t21t22(m2),t1t2m4m. 

|AB||t1t2|(t1t2)24t1t2

[2(m2)]24(m24m)14.m1或m3

(2)曲线C的方程可化为（x2)2y24，其参数方程为

x22cosy2sin(为参数） Mx,y为曲线C上任意一点，xy222sin(4)

xy的取值范围是[222,222]

2３．(1）由已知可得a1，所以1a2,因为aa2N,所以ａ=2………………4分

（２)因为x2x2(x2)(x2)4

--

直 --

所以f(ｘ)的最小值是4. ………………………10分

--