[备考方向要明了]
考 什 么 怎 么 考 1.以填空题的形式考查正、余弦定理在求三角形边或 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 角中的应用，如2010年高考T13. 2.与平面向量、三角恒等变换等相结合出现在解答题中，如2011年高考T15,2012年高考T15等.
[归纳 知识整合]
1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 abc＝＝＝2R sin Asin Bsin C余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos_B c2＝a2＋b2－2abcos_C ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C abc②sin A＝，sin B＝，sin C＝ 2R2R2R变形形式 (其中R是△ABC外接圆半径) ③a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C b2＋c2－a2cos A＝ cos B＝2bca2＋c2－b2 2ac内容 a2＋b2－c2④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin cos C＝2ab A 定理 正弦定理 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条解决三角形的问题 ①已知三边，求各角； 边． ②已知两边和它们的夹角，求②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其第三边和其他两个角. 他两角. [探究] 1.在三角形ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的什么条件？“A＞B”是“cos A＜cos B”的什么条件？
余弦定理 提示：“A＞B”是“sin A＞sin B”的充要条件，“A＞B”是“cos A＜cos B”的充要条件．
2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 [探究] 2.如何利用余弦定理判定三角形的形状？(以角A为例) 提示：∵cos A与b2＋c2－a2同号，
∴当b2＋c2－a2＞0时，角A为锐角，若可判定其他两角也为锐角，则三角形为锐角三角形；
当b2＋c2－a2＝0时，角A为直角，三角形为直角三角形； 当b2＋c2－a2＜0时，角A为钝角，三角形为钝角三角形．
[自测 牛刀小试]
1．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝2，c＝4，B＝60°，则b＝________. 解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即b2＝4＋16－8＝12，所以b＝23. 答案：23 2．(教材习题改编)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cos B＝________. ab1510解析：∵＝，∴＝，
sin Asin Bsin 60°sin B233∴sin B＝×＝. 323又∵a＞b，A＝60°， ∴B＜60°，
∴cos B＝1－sin2B＝答案：
6 3
2
，则符合条件的三角形有________个． 2
6. 3
a＝bsin A 一解 bsin A＜a＜b 两解 a≥b 一解 a＞b 一解 a≤b 无解 3．△ABC中，a＝5，b＝3，sin B＝解析：∵asin B＝
10
，∴asin B 1 4．在△ABC中，a＝32，b＝23，cos C＝，则△ABC的面积为________． 3122 解析：∵cos C＝，∴sin C＝， 33 1122∴S△ABC＝absin C＝×32×23×＝43. 223答案：43 5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2asin B，则角A的大小为________． 解析：由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，∵sin B≠0， 1 ∴sin A＝，∴A＝30°或A＝150°. 2答案：30°或150° [例1] (2012·浙江高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝3acos B. (1)求角B的大小； (2)若b＝3，sin C＝2sin A，求a，c的值． [自主解答] (1)由bsin A＝3acos B及正弦定理 ab ＝，得sin B＝3cos B， sin Asin B π 所以tan B＝3，所以B＝. 3 ac (2)由sin C＝2sin A及＝，得c＝2a. sin Asin C由b＝3及余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B， 得9＝a2＋c2－ac. 所以a＝3，c＝23. ————— —————————————— 正、余弦定理的选用原则 利用正、余弦定理解三角形 解三角形时，有时可用正弦定理，也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．在解题时，还要根据所给的条件，利用正弦定理或余弦定理合理地实施边和角的相互转化． —————————————————————————————————————— cos A－2cos C2c－a1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝. cos Bb(1)求 sin C 的值； sin A 1 (2)若cos B＝，△ABC的周长为5，求b的长． 4解：(1)由正弦定理，设则 abc＝＝＝k， sin Asin Bsin C 2c－a2ksin C－ksin A2sin C－sin A ＝＝， bksin Bsin B cos A－2cos C2sin C－sin A所以＝， cos Bsin B 即(cos A－2cos C)sin B＝(2sin C－sin A)cos B， 化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)． 又因为A＋B＋C＝π，所以sin C＝2sin A. sin C 因此＝2. sin A(2)由 sin C ＝2得c＝2a. sin A 1 由余弦定理及cos B＝得 4 1 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－4a2×＝4a2. 4所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，从而a＝1.因此b＝2. [例2] 在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状． [自主解答] ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2sin Acos B·b2＝2cos Asin B·a2， 即a2cos Asin B＝b2sin Acos B. 利用正、余弦定理判断三角形的形状 法一：由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B， ∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又sin A·sin B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， ∴sin 2A＝sin 2B. 在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π， π∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝. 2∴△ABC为等腰或直角三角形． 法二：由正弦定理、余弦定理得： b2＋c2－a22a2＋c2－b2ab＝ba， 2bc2ac 2 ∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0. 即a＝b或a2＋b2＝c2. ∴△ABC为等腰或直角三角形． 若将条件改为“sin B＝cos Asin C”，试判断△ABC的形状． 解：∵sin B＝cos A·sin C， b2＋c2－a2 ∴b＝·c，即b2＋a2＝c2， 2bc∴△ABC为直角三角形． ————— —————————————— 1.三角形形状的判断思路 判断三角形的形状，就是利用正、余弦定理等进行代换、转化，寻求边与边或角与角之间的数量关系，从而作出正确判断.,1边与边的关系主要看是否有等边，是否符合勾股定理等； 2角与角的关系主要是看是否有等角，有无直角或钝角等. 2.判定三角形形状的两种常用途径,①通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；,②利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断. —————————————————————————————————————— 2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c －b)sin C. (1)求角A的大小； (2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状． 解：(1)∵2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C， 得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，即bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a21 ∴cos A＝＝，∴A＝60°. 2bc2(2)∵A＋B＋C＝180°， ∴B＋C＝180°－60°＝120°. 由sin B＋sin C＝3， 得sin B＋sin(120°－B)＝3， ∴sin B＋sin 120°cos B－cos 120°sin B＝3. 33 ∴sin B＋cos B＝3，即sin(B＋30°)＝1. 22又∵0°＜B＜120°，30°＜B＋30°＜150°， ∴B＋30°＝90°，即B＝60°. ∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为正三角形. [例3] (2012·山东高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C. (1)求证：a，b，c成等比数列； (2)若a＝1，c＝2，求△ABC的面积S. [自主解答] (1)证明：在△ABC中，由于sin B(tan A＋tan C)＝tan Atan C， sin Asin Csin Asin C所以sin B， cos A＋cos C＝cos A·cos C因此sin B(sin Acos C＋cos Asin C)＝sin Asin C， 所以sin Bsin(A＋C)＝sin Asin C. 又A＋B＋C＝π， 所以sin(A＋C)＝sin B，因此sin2B＝sin Asin C. 由正弦定理得b2＝ac， 即a，b，c成等比数列． (2)因为a＝1，c＝2，所以b＝2， 与三角形面积有关的问题 a2＋c2－b212＋22－23 由余弦定理得cos B＝＝＝， 2ac2×1×24因为0 1177 故△ABC的面积S＝acsin B＝×1×2×＝. 2244 ————— —————————————— 三角形面积公式的应用原则 111 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个 222公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． —————————————————————————————————————— 3．(2012·新课标全国卷)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋3asin C－b－c＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c. 解：(1)由acos C＋3asin C－b－c＝0及正弦定理得 sin Acos C＋3sin Asin C－sin B－sin C＝0. 因为B＝π－A－C，所以 3sin Asin C－cos Asin C－sin C＝0. π1 A－＝. 由于sin C≠0，所以sin62π 又0＜A＜π，故A＝. 3 1 (2)△ABC的面积S＝bcsin A＝3，故bc＝4. 2而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2. 1条规律——三角形中的边角关系 在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 2个原则——选用正弦定理或余弦定理的原则 在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 2种途径——判断三角形形状的途径 根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换． 2个防范——解三角形应注意的问题 (1)在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解或无解，所以要进行分类讨论． (2)在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 答题模板——利用正、余弦定理解三角形 [典例] (2012·江西高考)(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，πππ ＋C－csin＋B＝a. b，c.已知A＝，bsin444 π (1)求证：B－C＝；(2)若a＝2，求△ABC的面积． 2 [快速规范审题] 第(1)问 1．审条件，挖解题信息 πππ ＋C－csin＋B＝a 观察条件：A＝，bsin444 数式中既有边π＋C－sin Csinπ＋B＝sin A. ―――――――→sin Bsin又有角，应统一44 2．审结论，明确解题方向 观察所求结论：求证： π应求角B－C的 B－C＝――――――――→sin(B－C)＝1或cos(B－C)＝0. 2某一个三角函数值3．建联系，找解题突破口 ππ ＋C－sin Csin＋B＝sin A中考虑到所求的结论只含有B，C，因此应消掉sin B·sin44 π4＋C－ 的角Asin Bsin4 π2利用两角和与差的 ＋B＝―sin Csin――――――→sin(B－C)＝1 三角函数公式42―3ππ要求角的值，还应 ――――――――→由0＜B，C＜，解得B－C＝. 确定角的取值范围42第(2)问 1．审条件，挖解题信息 ππ可求B，C的值5ππ观察条件：a＝2，A＝，B－C＝――――――→B＝，C＝. 42882．审结论，明确解题方向 观察所求结论：求△ABC的面积―――――→由及其夹角3．建联系，找解题突破口 15ππππ1利用面积△ABC的边角都具备――――→S＝bcsin A＝ 2sinsin＝2cossin＝. 公式求结论288882 [准确规范答题] ππ ＋C－csin＋B＝a，应用正弦定理， (1)证明：由bsin44 ππ22＋C－sin Csin＋B＝sin A，sin Bsin C＋cos C－sin C·得sin Bsin 4422 应具有两边 借助A＝abc5ππ ＝＝，得b＝2sin，c＝2sin. sin Asin Bsin C88 2sin B＋2cos B＝2，⇨(4分) 222 整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1， 即sin(B－C)＝1， 3π 由于0 易忽视角B－C的3π5ππ (2)B＋C＝π－A＝，因此B＝，C＝.⇨(8分) 范围，直接由sinB 488 －C＝1，求得结论.πasin B5πasin Cπ 由a＝2，A＝，得b＝＝2sin ，c＝＝2sin ，⇨(10分) 4sin A8sin A81 所以△ABC的面积S＝bcsin A＝ 22sin 5ππππ1 sin＝2cossin＝.⇨(12分) 88882 [答题模板速成] 解决解三角形问题一般可用以下几步解答 第一步 边角互化 利用正弦定理或余弦定理实现边角互化；(本题为边化角) ⇒ 第二步 三角变换 三角变换、化简、消元，从而向已知角(或边)转化 ⇒ 第三步 由值求角 代入求值 ⇒ 第四步 反思回顾 查看关键点，易错点，如本题中公式应用是否正确 一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝________. abasin B10sin 60°解析：由＝得，b＝＝＝56. sin Asin Bsin Asin 45°答案：56 2．(2013·南通模拟)在△ABC中，已知a＝7，b＝43，c＝13，则最小的内角为________． a2＋b2－c23 解析：大边对大角，小边对小角，所以边c所对的角最小，cos C＝＝，又2ab2因为C∈(0，π)，所以最小角C＝30°. 答案：30° 3．(2013·昆山期中)在△ABC中，已知sin A＝2sin Bcos C，则该三角形的形状为________． a2＋b2－c2a2＋b2－c2sin Aaa 解析：由正弦定理及余弦定理，得＝，cos C＝，所以＝2·， sin Bb2abb2ab整理得b2＝c2，因为b＞0，c＞0，所以b＝c.因此，△ABC为等腰三角形． 答案：等腰三角形 4．已知△ABC中，AB＝1，BC＝2，则角C的取值范围是________． 解析：依题意c＝1，a＝2，由正弦定理知 cac11 ＝，即sin C＝sin A＝sin A≤， sin Csin Aa22 π5π 解得0＜C≤或，≤C＜π， 66又c＜a，所以C＜A， π 故0＜C≤. 6π 答案：0＜C≤ 6 5．(2012·广东高考)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝________. BCAC32AC322解析：由正弦定理得：＝，即＝，所以AC＝×＝23. sin Asin Bsin 60°sin 45°23 2答案：23 6．在△ABC中，已知a＝18，b＝20，A＝150°，这个三角形解的情况是________． 解析：∵b＞a，∴B＞A，而A＝150°，B为钝角不可能， ∴无解． 答案：无解 7．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于________． 解析：由余弦定理得：(7)2＝22＋AB2－2×2AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB33＝3，故BC边上的高是ABsin 60°＝. 2 33答案： 2 3 8．(2012·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos A＝，cos 55 B＝，b＝3，则c＝________. 13 412 解析：由题意知sin A＝，sin B＝，则 51356 sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos AsinB＝， 65bsin C14 所以c＝＝. sin B514 答案： 5 9．在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝2，AC＝1，∠BAD＝30°，则AD的长度为________． 解析：延长AD到M，使得DM＝AD，连结BM、MC，则四边形ABMC是平行四边形．在△ABM中，由余弦定理得BM2＝AB2＋AM2－2AB·AM·cos∠BAM，即12＝22＋AM2－ 2·2·AM·cos 30°，解得AM＝3，所以AD＝ 答案： 3 2 3. 2 10．(2013·无锡模拟)已知△ABC中，B＝45°，AC＝4，则△ABC面积的最大值为________． 解析：法一： AC4 如图，设△ABC的外接圆为圆O，其直径2R＝＝＝42.取AC的中点 sin∠ABCsin 45°M，则OM＝Rcos 45°＝2，则AC＝4.过点B作BH⊥AC于H，要使△ABC的面积最大，当且仅当BH最大．而BH≤BO＋OM，所以BH≤R＋ 21 R＝22＋2，所以(S△ABC)max＝AC·BHmax22 1 ＝×4×(2＋22)＝4＋42，即当且仅当BA＝BC时取等号． 2 法二： 1 如图，同上易知，△ABC的外接圆的直径2R＝42.S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝2R2sin 2∠BAC· sin∠ABC·sin∠ACB＝82 sin ∠BAC·sin ∠ACB＝42 2cos135°.当A＝C＝67.5°时，(S△ABC)max＝4＋42. －2∠ACB＋ 2 答案： 4＋42 二、解答题(本大题共4小题，共60分) 11．(满分14分)(2013·苏州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. (1) 若(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，求A的值； (2) 若c＝10，A＝45°，C＝30°，求b的值． 解：(1) 由已知得(b＋c)2－a2＝3bc，即a2＝b2＋c2－bc. 1 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得cos A＝. 2 π 由于0 bc ＝，得 sin Bsin C 6＋2c10 b＝·sin B＝·sin 105°＝20×＝5(6＋2)． sin Csin 30°4 12．(满分14分)(2011·江苏高考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c. π A＋＝2cos A，求A的值； (1)若sin61 (2)若cos A＝，b＝3c，求sin C的值． 3ππ 解：(1)由题知sin Acos＋cos Asin ＝2cos A. 66从而sin A＝3cos A，所以cos A≠0，tan A＝3. π 因为0＜A＜π，所以A＝. 3 1 (2)由cos A＝，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bccos A， 3得a2＝b2－c2，即b2＝a2＋c2. π 故△ABC是直角三角形，且B＝. 21 所以sin C＝cos A＝. 3 AC＝3BA·13．(满分16分)(2012·江苏高考)在△ABC中，已知AB·BC (1)求证：tan B＝3tan A； (2)若cos C＝ 5 ，求A的值． 5 AC＝3BA·BC，所以AB·解：(1)因为AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B，即AC·cos A＝ ACBC 3BC·cos B，由正弦定理知＝， sin Bsin A 从而sin Bcos A＝3sin Acos B， 又因为0＜A＋B＜π，所以cos A＞0，cos B＞0， 所以tan B＝3tan A. (2)因为cos C＝ 5 ，0＜C＜π， 5 25 所以sin C＝1－cos2C＝， 5 从而tan C＝2，于是tan[π－(A＋B)]＝2， 即tan(A＋B)＝－2， tan A＋tan B4tan A亦即＝－2.由(1)得＝－2， 1－tan Atan B1－3tan2A1解得tan A＝1或－， 3 π 因为cos A＞0，故tan A＝1，所以A＝. 4 14．(满分16分)设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acos B－bcos 1A＝c. 2 tan A(1) 求的值； tan B (2) 求tan(A－B)的最大值，并判断当tan(A－B)取得最大值时△ABC的形状． 1 解：(1) 由acos B－bcos A＝c可得， 2 2sin Acos B－2sin Bcos A＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， tan A 故sin Acos B＝3sin Bcos A，所以＝3. tan B(2) 设tan B＝t，则tan A＝3t且t>0， 3t－t2t23 则tan(A－B)＝≤ ， 2＝2＝131＋3t1＋3t 3t＋ t13 当且仅当3t＝，即t＝时取等号． t3所以tan (A－B)的最大值为 3πππ ，此时B＝，A＝，故C＝，所以△ABC为直角三角形． 3632 1．若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________． 解析：由(a＋b)2－c2＝4， 得a2＋b2－c2＋2ab＝4.① 由余弦定理得 a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，② 4 将②代入①得ab＋2ab＝4，即ab＝. 34答案： 3 2．若△ABC的内角A，B，C满足6sin A＝4sin B＝3sin C，则cos B＝________. 解析：依题意，结合正弦定理得6a＝4b＝3c，设3c＝12k(k＞0)，则有a＝2k，b＝3k，c＝4k，由余弦定理得 a2＋c2－b22k2＋4k2－3k211 cos B＝＝＝. 2ac162×2k×4k11 答案： 16 3．在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sin B·sin C，则A的取值范围是________． 解析：由已知及正弦定理，有a2≤b2＋c2－bc.而由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A，1 于是b2＋c2－2bccos A≤b2＋c2－bc，可得cos A≥.注意到在△ABC中，0＜A＜π，故A∈ 2 0，π. 3π0， 答案：3 A 4．已知A、B、C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且2cos2＋cos A 2＝0. (1)求角A的值； (2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积． A 解：(1)由2cos2＋cos A＝0，得1＋cos A＋cos A＝0， 212π 即cos A＝－，∵0 (2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，A＝， 3则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4， 1 有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC＝bcsin A＝3. 2 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容