习题二

1. 设随机过程{X(t,),t}只有两条样本函数

X(t,1)2cost,X(t,2)2cost,x

21且P(1),P(2)，分别求：

33（1）一维分布函数F(0,x)和F(,x)；

4（2）二维分布函数F(0,;x,y)；

4（3）均值函数mX(t)； （4）协方差函数CX(s,t).

2. 利用抛掷一枚硬币一次的随机试验，定义随机过程

cost出现正面1X(t)

2出现反面2且“出现正面”与“出现反面”的概率相等，各为1）画出{X(t)}的样本函数

1，求 212）{X(t)}的一维概率分布，F(;x)和F(1;x)

213）{X(t)}的二维概率分布F(,1;x1,x2)

23. 通过连续重复抛掷一枚硬币确定随机过程{X(t)}

costX(t)2在t时刻抛掷硬币出现正面

在t时刻抛掷硬币出现反面11求：（1）F(,x),F(1,x)； （2）F(,1;x1,x2)

224. 考虑正弦波过程{X(t),t0}，X(t)cost，其中为正常数，~U(0,1).

（1）分别求t3,,,时X(t)的概率密度f(t,x). 424（2）求均值函数m(t)，方差函数D(t)，相关函数R(s,t)，协方差函数C(s,t). 5. 给定随机过程：

X(t)t (t)

13其中r. v. (,)的协方差矩阵为C求随机过程{X(t),t}的协方差函，

34数.

6. 考虑随机游动{Y(n),n0,1,2,}

Y(n)X(k),n1,2,,Y(0)0

k1n其中X(k)(k0,1,2,)是相互独立同服从N(0,2)的正态随机变量. 试求： （1）Y(n)的概率密度；

（2）(Y(n),Y(m))的联合概率密度（mn）.

7. 给定随机过程{X(t),tT}，定义另一个随机过程：

1,X(t)x, Y(t)0,X(t)x.试证：{Y(t),tT}的均值和自相关函数分别为{X(t),tT}的一维分布函数和二维分布函数. 8. 设随机过程

X(t)Acos(t)

其中为正常数，r. v. A~N(0,1),~U(0,2)二者相互独立. 试求随机过程

{X(t),t的}均值函数m(t)、方差函数D(t)和相关函数R(s,t). 9. 已知随机变量,相互独立都服从正态分布N(0,2)，分别设：

（1）X(t)t；

（2）X(t)cost，

令ZmaxX(t)，分别两种情形求E(Z).

0t110. 一个通讯系统，以每T秒为一周期输出一个幅度为A的信号，A为常数，信号输出时间

Xi~U(0,T)，且持续到周期结束，设每个信号的输出时间Xi相互独立，证Y(t)为t时

刻接收到的信号幅度，求{Y(t)}的一维概率分布。

11. 一个通讯系统，每隔T秒信号源输出一个宽为X的矩形脉冲，其中r. v. X~U(0,T)，

并假定不同时间间隔脉冲宽度的取值是相互独立的，能传送的这类信号称为脉冲调制信号. 设Y(t),t0，表示脉冲宽度调制信号在t时间幅度{Y(t),t0}是一个随机过程，它的一个样本函数如图2.3所示. 试求Y(t)的一维分布.

Y(t) A X1 O T X2 X3 2T 图2.3 X4 3T t 12. 一个通讯系统，以每T秒为一周期输出一个幅度为A的信号，A为常数，每个周期内信

5T号输出时间Xi~U(0,T)，持续时间Zi~U(0,)，Xi,Zi相互独立，且输出时间Xi相

66互独立，持续时间Zi也相互独立，证Y(t)为t时刻接收到的信号幅度，求{Y(t)}的一维概率分布。

13. 一脉冲位置调置信号Y(t)，其幅度为A，U(0,T)，与Y(t)相互独立，设

Z(t)Y(t)，求（1）Z(t)的一维概率分布；（2）{Z(t)}的均值函数和自相关函数.

服从柯西分布，14. 设X(t)acos(t)其中a为常数，即f(x)1,(t)

(1x2)~U(0,2)，,相互独立. 求该过程均值函数mX(t)，协方差函数C(s,t).

15. 设X(t)cos(t)，其中为正常数，随机变量服从瑞利分布：

xx2e2,x0f(x)2,0

0,x02~U(0,2)，与相互独立. 试求随机过程{X(t),t}的均值函数mX(t)，协

方差函数CX(s,t).

16. （半随机二元波） 设{X(t),t}在每个长度为T的区间[(n1)T,nT]，

n0,1,2,，取值+1或1，且

1P{X(t)1}P{X(t)1},(n1)TtnT

2且在不同区间的取值是独立的.求{X(t),t}的均值函数和自相关函数。