高中数学选择性必修三第六章 再练一课(范围：§6.1～§6.2)

1．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，则不同的安排方案共有( ) A．12种 B．10种 C．9种 D．8种 答案 A

解析 先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C12C24＝12(种)安排方案．

2．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的共有( ) A．36个 B．24个 C．18个 D．6个 答案 A

解析 若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有C23C12A33＝36(个)符合要求的数． 3．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( ) A．30种 B．35种 C．42种 D．48种 答案 A

解析 选修1门A类，2门B类的课程的选法有C13C24种；选修2门A类，1门B类的课程的选法有C23C14种，故选法共有C13C24＋C23C14＝18＋12＝30(种)．

4．有六名队员打算排成一排照相，其中队长主动要求排在排头或排尾，甲、乙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )

A．34种 B．48种 C．96种 D．144种 答案 C

解析 根据题意，分3步进行分析：

①队长主动要求排在排头或排尾，则队长有2种站法；

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②甲、乙两人必须相邻，将2人看成一个整体，考虑2人的左右顺序，有A22＝2(种)情况； ③将甲、乙整体与其余3人进行全排列，有A44＝24(种)情况． 则满足要求的排法有2×2×24＝96(种)． 故选C.

5.现有5种不同颜色的染料，要对如图所示的四个不同区域进行涂色，要求有公共边的两个区域不能使用同一种颜色，则不同的涂色方法的种数是( )

A．120 C．240 答案 D

解析 由题意，先涂A处共有5种涂法，再涂B处有4种涂法，然后涂C处，若C处与A处所涂颜色相同，则C处共有1种涂法，D处有4种涂法；若C处与A处所涂颜色不同，则C处有3种涂法，D处有3种涂法，由此可得不同的涂色方法有5×4×(1×4＋3×3)＝260(种)．故选D. 6．若A3m＝8C2m，则m＝________. 答案 6

解析 ∵A3m＝8C2m，

mm－1∴m(m－1)(m－2)＝8×，m≥3，

2∴m－2＝4，解得m＝6.

7．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答) 答案 660

解析 方法一 只有1名女生时，先选1名女生，有C12种方法；再选3名男生，有C36种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有C12C36A24＝480(种)选法．

B．140 D．260

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有2名女生时，再选2名男生，有C26种方法；然后排队长、副队长位置，有A24种方法．由分步乘法计数原理知，共有C26A24＝180(种)选法．由分类加法计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法．

方法二 不考虑限制条件，共有A28C26种不同的选法， 而没有女生的选法有A26C24种，

故至少有1名女生的选法有A28C26－A26C24＝840－180＝660(种)． 8．连接正三棱柱的6个顶点，可以组成________个四面体． 答案 12

解析 从正三棱柱的6个顶点中任取4个，有C46种方法，其中4个点共面的有3种情况，故可以组成C46－3＝12(个)四面体．

9．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求： (1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？

(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？ (3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？ 解 (1)有A55＝120(种)不同的方法．

(2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，故有A22A22A23＝24(种)不同的方法． (3)按人数分配方式分类：

C35C12C11①3,1,1，有A33＝60(种)方法；

A22C25C23

②2,2,1，有A33＝90(种)方法．

A22故共有60＋90＝150(种)分配方法．

10．4位同学参加辩论赛，比赛规则如下：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分．若4位同学的总分为0分，则这4位同学有多少种不同的得分情况？ 解 本题分两种情况讨论．

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(1)4位同学中有2人选甲，2人选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是选甲的2人一人答对，另一人答错，选乙的2人一人答对，另一人答错．有C24A22A22＝24(种)不同的情况．

(2)4位同学都选甲或者都选乙．若这4位同学的总分为0分，则必须是2人答对，另2人答错，有C12C24C22＝12(种)不同的情况．

综上可知，一共有24＋12＝36(种)不同的情况．

11．三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有( )

A．6种 B．10种 C．8种 D．16种 答案 B

解析 记另外两人为乙、丙，若甲第一次把球传给乙，则不同的传球方式有

其中经过5次传球后，球仍回到甲手中的有5种，同理若甲第一次把球传给丙也有5种不同的传球方式，共有10种传球方式．

12．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20

000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有( ) A．96个 B．78个 C．72个 D．64个 答案 B

解析 根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则首位必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当首位是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A44＝24(个)；当首位是2,4,5时，由于百位

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数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A44－A33)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求．故选B.

13．某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( ) A．72 B．120 C．144 D．168 答案 B

解析 先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”，“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有A22A13A23＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A22A34＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．

14．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的排法有________种． 答案 432

解析 第一类：每相邻两节文化课之间都间隔1节艺术课，有2A33A33种排法； 第二类：三节文化课相邻，有A33A44种排法；

第三类：三节文化课中有两节相邻，与另一节之间间隔1节艺术课，有C23A22C13A22A33种排法． 故共有2A33A33＋A33A44＋C23A22C13A22A33＝432(种)排法．

15．若自然数n使得n＋(n＋1)＋(n＋2)不产生十进位现象，则称n为“良数”．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生十进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生十进位现象．那么，小于1 000的“良数”的个数为( ) A．27 B．36 C．39 D．48 答案 D

解析 如果n是良数，则n的个位数字只能是0,1,2，非个位数字只能是0,1,2,3(首位不为0)，而小于1 000的数至多三位，一位数的良数有0,1,2，共3个；二位数的良数个位可取0,1,2，十位可取

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1,2,3，共有3×3＝9(个)；三位数的良数个位可取0,1,2，十位可取0,1,2,3，百位可取1,2,3，共有3×4×3＝36(个)．综上，小于1 000的“良数”的个数为3＋9＋36＝48. 16．已知不定方程x1＋x2＋x3＋x4＝12，求： (1)不定方程正整数解的组数； (2)不定方程自然数解的组数；

(3)不定方程满足x1≥3，x2≥－2，x3，x4∈N的解的组数．(x1，x2∈Z)

解 (1)问题相当于将12个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程正整数解的组数为C311＝165.

(2)令X1＝x1＋1，X2＝x2＋1，X3＝x3＋1，X4＝x4＋1，则X1＋X2＋X3＋X4＝16，Xi∈N*，问题相当于将16个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程自然数解的组数为C315＝455.

(3)令Y1＝x1－2，Y2＝x2＋3，Y3＝x3＋1，Y4＝x4＋1，则Y1＋Y2＋Y3＋Y4＝15，Yi∈N*，问题相当于将15个完全相同的小球放入4个不同的盒子，且每个盒子中至少放入1个小球，使用“隔板法”得不定方程满足条件的解的组数为C314＝364.

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