山东建筑大学2010-2011第二学期线性代数试卷B卷答案

一、选择题（4分×5＝20分）

1．A； 2.D； 3.D； 4.B； 5.D。

二、填空题（4分×5＝20分）

131. 00014008n20 2. ； 3. A 4.10 5. 2t2。 315

三、计算题 四、

311.解D11131111311111611311311113111………………………………………（6分） 1310600 2.解

1200102010=48………………………………………（10分） 02法一：因为ABA2B，所以(A2E)BA，………………………………(2分)

100100由于A2E121， A2E12020，则A可逆。

201201故B(A2E)A．…………………………………………………………… （4分）

1100100100100100100由 121010021110020111

2010010012010012011001000101/21/21/2 0012010011可知(A2E)1/21/21/2． …………………………（8分）

2010030030011进而B(A2E)A1/21/21/2141121． ……（10分）

201203403法二． 因为ABA2B，所以(A2E)BA，………………………………(2分)

100100由于A2E121， A2E12020，则A可逆。

201201故B(A2E)1A．………………………………………………………………… (4分）

100300100300100300121141021241020242201203001403001403100300010121， 0014033001所以B(A2E)A121． ……………………………………（10分）

403

1212033.解 （1） A000000（2）记A(a1,a2,a3,a4,a5)0221，所以R(A)3……………………（4分） 3100，A的列向量组的最大无关组含3个向量。a1,a2,a4是A的列向量组的一个最大线性无关组。（a1,a2,a5或a1,a3,a4或a1,a3,a5均可）….…(8分) 把A再变为行最简矩阵

1r0 A0001/312/30000016/901/9B……………………………………………（12分）

11/300记B(b1,b2,b3,b4,b5),由于方程Ax0与Bx0同解，因此向量a1,a2,a3,a4,a5之间与向量b1,b2,b3,b4,b5之间有相同的线性关系.

故a3

121611a1a2，a5a1a2a4. ……………………………….(15分) 339934. 解 111121 ….….….…………….……… ……..….(4分)

211(1)当2且1时，方程组有唯一解。………………………………………..(6分)

11112421~A121201132（2）当时，,

11240001~RARA，方程组无解。……………----------------------------………………(8分)

1 1 11 0 0 0 0，R（）=(3)当1时，AAR（A）=1<3，

0 0 0 0方程组有无穷多解。 …………………………………………………….…..…….(12分)

x1111则方程组的通解为：x2 1c1+0c20，c1,c2为任意常数…….(15分)

x 0103

- 0 0 1 0 - 1 05解：(1) 由AE(1)2(1)2=0

0 1 - 0 1 0 0 -求得A的特征值为121,341 ……………………………….. (6分)

（AE）x0 当121，解方程组

-1 0 0 11 0 0 -1 0 -1 1 00 1 -1 0, 由AE 0 1 -1 00 0 0 0 1 0 0 -10 0 0 00110得到基础解系 1.2

1001则121对应的全体特征向量为k11k22（k1,k2不同时为0）………(9分)

（AE）x0 当341，解方程组

1 0 0 11 0 0 10 1 1 00 1 1 0 由AE0 1 1 00 0 0 01 0 0 10 0 0 0 011 0得到基础解系 3 4

 1 0 0 1341对应的全体特征向量为k33k44（k3,k4不同时为0）……..…(12分)

0 1 0 -11 0 0 01 0 -1 00 1 0 01， ……...…………(15分) (2)存在可逆矩阵Q使得QAQ1 0 1 00 0 -1 00 1 0 10 0 0 -1